APLICACIONES DE LA DERIVADA - x.edu.uy Matematica

216 Pages·2004·4.93 MB·Spanish

APLICACIONES DE LA DERIVADA
A. COLO H. PATRITTI
PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS
TECNOLÓGICOS DEL C.E.T.P.

APLICACIONES

DE LA

DERIVADA

Ejercicios resueltos

PROF. ANA COLO HERRERA PROF. HECTOR PATRITTI
Aplicaciones de la Derivada –

CONTENIDO

Páginas
Prólogo ........................................................................... 1 - 4
Areas , Perímetros y Volúmenes .................................. 5
Fórmulas Trigonométricas .............................................. 6 - 7
Tabla de Derivadas ........................................................ 8 - 9
Selección de definiciones y teoremas ............................. 11 - 14
Capítulo 1
1 – 1 Introducción ....................................................... 17 - 23
1 – 2 Enunciados de ejercicios .................................... 25 - 39
1 – 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 41 - 79
Capítulo 2
2 – 1 Introducción ........................................................ 83 - 88
2 – 2 Enunciados de ejercicios ..................................... 89 - 124
2 – 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 125 - 219
Apéndice
Unidades y equivalencias ............................................... 223
Ejercicios sugeridos ....................................................... 227
Bibliografía ..................................................................... 229

Ana Coló Herrera Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada

PROLOGO

Ana Coló Herrera 1 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Prólogo -

AL ESTUDIANTE

La presente publicación tiene por objetivo poner a tu disposición una amplia
serie de ejercicios , con sus correspondientes resoluciones , relativos a la aplicación
del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran los
Bachilleratos Tecnológicos en sus diferentes orientaciones.
Partimos de la base de que estás familiarizado con los conceptos teóricos
correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha
desarrollado respecto al concepto de Derivada.
Al comienzo de la publicación encontrarás un resumen de los conocimientos
que deberás tener presentes para resolver los problemas propuestos así como una
tabla de derivadas.
Al final de la publicación te sugerimos aquellos ejercicios que entendemos
adecuados según el Bachillerato que estás cursando, sin que ello signifique
naturalmente , que los restantes carezcan de interés para tí.
Esperamos que si aún no lo estás , llegues a convencerte de la importancia
relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolución de problemas relativos
a la tecnología en sus distintas disciplinas.
La publicación está dividida en dos Capítulos.
El Capítulo1 se refiere a la derivada como índice matemático que expresa la tasa de
variación instantánea o rapidez de variación instantánea de una función y consta de
veinticuatro ejercicios.
El Capítulo 2 está dedicado a problemas de Optimización y consta de sesenta
ejercicios.
Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos
problemas que seguramente encontrarás en distintos textos de Matemática pero que
han sido modificados y/o adaptados por los autores a los cursos de los Bachilleratos
Tecnológicos.
Otros son creación de los autores.
El enunciado del ejercicio No. 54 corresponde al ejercicio No.18 , página 317 del
libro “Cálculo” de James Stewart que ha sido incluído por considerar que se trata de

Ana Coló Herrera 3 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada –Prólogo -

una interesante muestra de aplicación de los conceptos que estamos manejando
en una disciplina aparentemente alejada de la que tú has elegido
Las resoluciones de todos los ejercicios propuestos en la publicación son de
exclusiva responsabilidad de los autores.
Deseamos hacerte una precisión respecto de la notación utilizada en la
resolución de los ejercicios.
De las distintas notaciones que suelen utilizarse para la “función derivada primera”
df
de una función f de variable real x , a saber f´ , f hemos adoptado la notación
x , ,
dx
df
de Leibnitz que entendemos la más adecuada pues explicita claramente la

dx
variable respecto de la cual se efectúa la derivación , hecho este que en los problemas
técnicos es absolutamente relevante.
df
será entonces la notación para la función derivada primera. de la función f

dx
respecto de la variable x .
df
(xo) será el valor de la función derivada primera en el punto xo.
dx
2
d f
será la notación para la “función derivada segunda” de la función f respecto

2
dx
de la variable x .
2
d f
(xo) será el valor de la función derivada segunda en el punto xo.
2
dx
Previo al Capítulo 1 encontrarás un resumen de fórmulas de perímetros , áreas
y volúmenes , un resumen de fórmulas trigonométricas , y una tabla de derivadas.
También una selección de definiciones y teoremas que has visto en el curso teórico y
que deberás tener presentes para resolver los ejercicios del Capítulo 1.
Si este material que ponemos a tu disposición resulta de utilidad en tu formación
matemática habremos alcanzado nuestro objetivo.

LOS AUTORES

Ana Coló Herrera 4 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada -

Perímetros , Areas y Volúmenes
Triángulo
p = a + b + c

a c

b.h
h A =
2

b
Rectángulo
a
p =2a + 2b

b
A = a.b

Hexágono
L p = 6L

p.a
a A =
2

Círculo
Long. Cfa.= 2πR

R A = π R2

Sector circular
Long. Arco = Rθ

θ 1
2
R A = R θ

2

Esfera Cilindro Cono

2
A = 4πR
2
A 2πR + 2πRh
total = 1
2
V= πR h
4
V= π R3 V=π R2h 3
3

Ana Coló Herrera 5 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada

TRIGONOMETRIA

Unidades de medida de ángulos
Grados
Radianes
0
180
Equivalencia: 3600 = 2π rad. 1 rad = ≅ 570 17m
π
Longitud de un arco de circunferencia de radio R que subtiende un
ángulo central θ
s = Rθ θ en radianes
Valores de líneas trigonométricas de algunos ángulos especiales.

θ Grados 0 30 45 60 90 120 180 270 360
π π π π 2π 3π
θ Radianes 0 π 2π
6 4 3 2 3 2
1 2 3 3
sen θ 0 1 0 - 1 0
2 2 2 2
3 2 1 1
cos θ 1 0 - - 1 0 1
2 2 2 2
3
tg θ 0 1 3 ∃/ - 3 0 ∃/ 0
3

Angulos suplementarios θ + ϕ = π
sen θ = sen (π−θ) cos θ = - cos (π−θ) tg θ = - tg (π−θ)
π
Angulos complementarios θ + ϕ =
2
π π
sen θ = cos ( - θ ) tg θ = cotg ( - θ )
2 2
Angulos opuestos
Sen (- θ) = - sen θ cos ( - θ ) = cos θ tg (- θ ) = - tg θ

Ana Coló Herrera 6 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada

π
Angulos que difieren en y en π
2
π π π
sen ( θ+ ) = cos θ cos ( θ+ ) = - sen θ tg ( θ+ ) = - cotg θ
2 2 2
sen (θ+π ) = - sen θ cos (θ + π ) = - cos θ tg (θ+π ) = tg θ
Teorema del seno
senA senB senC
= = A
a b c
c b
Teorema del coseno

B a C
2 2 2
a = b + c – 2 b c cos A
2 2 2
b = a + c – 2 a c cos B
2 2 2
c = a + b – 2 a b cos C
Fórmula fundamental
2 2
sen x + cos x = 1
Fórmulas de suma y resta de ángulos
sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen ( x – y ) = sen x cos y – cos x sen y
cos ( x + y ) = cos x cos y – sen x sen y
cos ( x – y ) = cos x cos y + sen x sen y
tgx+tgy
tg ( x + y ) =
1−tgx tgy
tgx-tgy
tg ( x – y ) =
1+tgx tgy
Fórmulas del ángulo doble
2tgx
2 2
sen 2x = 2 senx cosx cos 2x = cos x – sen x tg 2x =
2
1−tg x
Fórmulas del ángulo mitad
1−cos2x 1+cos2x
2 2
sen x = cos x =
2 2

Ana Coló Herrera 7 Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada

TABLA DE DERIVADAS

df df
f(x) f(x)
dx dx
k 0 senx cosx
x 1 cosx - sen x
2
|x| sg(x) x≠0 tgx 1 + tg x
1
m m-1
x mx Arcsenx
2
1−x
1 1
x − x2 Arccosx 1
2
− 1−x
1 1
x Arctgx
2 x 1+ x2
1
3
x shx chx
3 2
3 x
e x e x chx shx
1
2
Lx thx 1 – th x
x
1
1
L|x| Argshx
x
2
x +1

1
Sg(x) 0 ∀x ≠ 0 Argchx
2
x −1
1
ax ax La Argthx 2
1-x

Ana Coló Herrera 8 Héctor Patritti