Aplicación de los conceptos de interpolación polinómica y derivada en tratamiento y análisis de

109 Pages·2013·4.76 MB·Spanish

Aplicaci(cid:243)n de los conceptos de interpolaci(cid:243)n
polin(cid:243)mica y derivada en tratamiento y anÆlisis
de imÆgenes. Una propuesta didÆctica para
estudiantes de ingenier(cid:237)a.
Adolfo Reyes Cuevas
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
BogotÆ, Colombia
2013
Aplicaci(cid:243)n de los conceptos de
interpolaci(cid:243)n polin(cid:243)mica y derivada
en tratamiento y anÆlisis de
imÆgenes. Una propuesta didÆctica
para estudiantes de ingenier(cid:237)a.
Adolfo Reyes Cuevas
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al t(cid:237)tulo de:
Magister en Enseæanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
Doctor Humberto Sarria Zapata
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
BogotÆ, Colombia
2013
Dedicatoria
A toda mi familia, en particular a mi querida hermana
Ligia quiØn siempre ha estado presente en el logro de
nuestros objetivos. A mis padres Honorio y Maria
Rosaura, a mi hijo David, mi esposa Carolina, y a mis
preciados hermanos
Agradecimientos
De manera muy especial, agradezco al Profesor Humberto Sarria por la gu(cid:237)a
que me ha brindado, sus comentarios y las palabra de aliento que en su debido
momento ayudaron a seguir y terminar este trabajo.
De igual manera, deseo expresar mis mÆs sinceros agradecimientos a Hugo
Franco.
I
Resumen
El presente trabajo tiene por prop(cid:243)sito la formulaci(cid:243)n de un mØtodo de
aprendizaje basado en problemas para la presentaci(cid:243)n de la interpolaci(cid:243)n y la
derivaci(cid:243)nnumØrica,mediantesuaplicaci(cid:243)natØcnicasbÆsicasdeprocesamiento
de imÆgenes digitales. Los casos de estudio seleccionados para la implementa-
ci(cid:243)n del mØtodo propuesto consisten en el escalamiento de imÆgenes mediante
interpolaci(cid:243)n polinomial y la detecci(cid:243)n de bordes.
Palabras clave
Interpolaci(cid:243)n polinomial, interpolaci(cid:243)n cœbica segmentada, procesamiento
bÆsico de imÆgenes, scripts en Geogebra.
.
Abstract
In this work we propose a method for problem-based learning applied to
interpolation and numerical di(cid:27)erentiation teaching by the implementation of
basicdigitalimageprocessingtechniques.Thecasestudiesselectedforthisstudy
are image stretching by polynomial interpolation and edge detection.
Keywords
Polynomial interpolation, segmented polynomial interpolation, basic image
processing, scripts in Geogebra.
˝ndice general
Agradecimientos 4
1. Introducci(cid:243)n 6
2. Reseæa hist(cid:243)rica 10
2.1. Reseæa bibliogra(cid:28)ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Marco Te(cid:243)rico 17
3.1. Preliminares MatemÆticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1. L(cid:237)mite de una funci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2. Continuidad de una funci(cid:243)n en un punto . . . . . . . . . . 17
3.1.3. Derivada de una funci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.4. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.5. Lim(cid:237)te de una funci(cid:243)n en dos variables . . . . . . . . . . . 18
3.1.6. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.7. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.8. M(cid:243)dulo del gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Polinomios de interpolaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1. Forma de Lagrange del polinomio de interpolaci(cid:243)n . . . . 20
3.2.2. Forma de Newton del polinomio de interpolaci(cid:243)n . . . . . 21
3.3. Generalidades de las imÆgenes digitales. . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1. Detecci(cid:243)n y adquisici(cid:243)n de imÆgenes . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2. Dispositivos de captura de imagen . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.3. Resoluci(cid:243)n espacial y en amplitud. . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Tipos de imÆgenes digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1. ImÆgenes binarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2. ImÆgenes en escala de grises. . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.3. Color verdadero o RGB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.4. ImÆgenes indexadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5. Procesamiento bÆsico de imÆgenes digitales. . . . . . . . . . . . . 30
3.5.1. Histograma de una imÆgen H . . . . . . . . . . . . . . . 31
f
3.5.2. Operaciones lineales sobre imÆgenes . . . . . . . . . . . . 32
3.5.2.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.2.2. Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II
˝NDICE GENERAL III
3.5.2.3. Negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.2.4. FSHS (Full Scale Histogram Stretch) . . . . . . 34
4. Propuesta Metodol(cid:243)gica 36
4.1. El borde en una imÆgen digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2. Representaci(cid:243)n matricial de imÆgenes digitales . . . . . . . . . . 36
4.3. La variaci(cid:243)n como medida del cambio . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4. Valor umbral k para detectar un borde . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5. Polinomios de interpolaci(cid:243)n cœbica segmentada . . . . . . . . . . 39
4.5.1. CÆlculo de los coe(cid:28)cientes a, b, y c . . . . . . . . . . . . . 42
4.5.2. Ejemplodeinterpolaci(cid:243)ncœbicasegmentadaparauncon-
junto de 4 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5.3. CÆlculodelasderivadasdelpolinomiodeinterpolaci(cid:243)nen
tØrminos de las intensidades I ,I ,I , e I . . . . . . . . . 45
0 1 2 3
4.5.3.1. M(cid:243)dulo del gradiente de una imagen digital. . . 46
5. Propuesta didÆctica. 50
5.1. Introducci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2. Aprendizaje basado en prolemas (ABP) . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3. Gu(cid:237)as de trabajo y actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4. Talleres pedag(cid:243)gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4.1. Taller 1. Representaci(cid:243)n de la intensidad. . . . . . . . . . 53
5.4.2. Taller 2. Variaci(cid:243)n de intensidades. . . . . . . . . . . . . . 53
5.4.3. Taller 3. Programando en Geogebra 4.2. . . . . . . . . . . 53
5.4.4. Taller 4. Interpolaci(cid:243)n y regresi(cid:243)n polin(cid:243)mica.. . . . . . . 53
5.4.5. Taller 5. Manipulaci(cid:243)n de imÆgenes en Matlab R2012a. . 53
5.4.6. Taller 6. Resoluci(cid:243)n espacial de imÆgenes. . . . . . . . . . 53
5.4.7. Taller 7. Reconocimiento de bordes. . . . . . . . . . . . . 53
5.4.8. Taller 8. Zoom digital via interpolaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . 53
5.4.9. Taller 9. Derivada-Gradiente de una imagen. . . . . . . . 53
6. Anexos 88
6.1. Comprimiendo imÆgenes digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.1. Algoritmo para la compresi(cid:243)n de imÆgenes mediante pro-
medios aritmØticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.2. Implementaci(cid:243)n en Matlab R2012a Comprimiendo en X . 88
6.1.3. Implementaci(cid:243)n en Matlab R2012a Comprimiendo en Y . 89
6.1.4. Compresi(cid:243)n iterada de imÆgenes digitales en X y Y . . . 89
6.2. Resoluci(cid:243)n espacial y amplitud de una imagen. . . . . . . . . . . 90
6.2.1. Algoritmo para la variaci(cid:243)n de la resoluci(cid:243)n espacial de
una imagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.2. Implementaci(cid:243)nenMatlabR2012aparalavariaci(cid:243)ndela
resoluci(cid:243)n espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.3. ImÆgenes de la implementaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3. Concepto de variaci(cid:243)n en la detecci(cid:243)n de bordes. . . . . . . . . . 92
6.3.1. Algoritmo para la detecci(cid:243)n de bordes . . . . . . . . . . . 92
˝NDICE GENERAL IV
6.3.2. Implementaci(cid:243)n en Matlab R2012a . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.3. ImÆgenes resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.4. Zoom v(cid:237)a interpolaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.4.1. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.4.2. Implementaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.4.3. Algoritmo Zoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.4.4. Implementaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.5. Derivada de una imagen digital. . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3.5.1. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3.5.2. Implementaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.6. El m(cid:243)dulo del gradiente de una imagen digital. . . . . . . 101
6.3.6.1. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.6.2. Implementaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
˝ndice de (cid:28)guras
2.0.1.Primeras imÆgenes codi(cid:28)cadas. Tomado de [2]. . . . . . . . . . . 10
2.0.2.Primera imagen de la super(cid:28)cie lunar. Tomado de [2]. . . . . . . 12
2.0.3.Mecanismo de Antikythera. Tomado de [17] . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1.Una imagen es una funci(cid:243)n. Tomado de [2]. . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2.Espectro electromagnØtico. Tomado de [2]. . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.3.Componentes bÆsicos de un sensor. Tomado de [5]. . . . . . . . . 25
3.3.4.Digitalizaci(cid:243)n de una seæal anal(cid:243)gica. Tomado de [5]. . . . . . . . 26
3.3.5.Variaci(cid:243)n de la resoluci(cid:243)n espacial. Tomado de [18] . . . . . . . 27
3.3.6.Variaci(cid:243)n de la resoluci(cid:243)n en amplitud. Tomado de [18] . . . . . 28
3.4.1.Imagen Binaria con distintos niveles de umbral k. . . . . . . . . . 29
3.4.2.Imagen en escala de grises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.3.Imagen de color de 24 bits. Tomado de [2].. . . . . . . . . . . . . 30
3.4.4.Imagen indexada. Tomado de [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.1.ImÆgen RGB, en escala de grises y el histograma asociado. . . . . 32
3.5.2.Aplicaci(cid:243)n del desplazamiento con L=100 y L=−100. . . . . . 33
3.5.3.Efectos del escalamiento P sobre una imagen. Tomado de [21] . 34
3.5.4.Imagen en escala de grises y la operaci(cid:243)n negativo . . . . . . . . 34
3.5.5.Imagen con hist(cid:243)grma reducido y la aplicaci(cid:243)n de la operaci(cid:243)n
FSHS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1.Imagen de tamaæo 9×9 p(cid:237)xeles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.1.AnÆlisis de bordes para una (cid:28)la de 8 p(cid:237)xeles. . . . . . . . . . . . 38
4.4.2.GrÆ(cid:28)cadelavariaci(cid:243)ndeintensidadesdeunaimagenconumbral
k.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5.1.Polinomio de interpolaci(cid:243)n segmentada con Geogebra 4.2. . . . . 44
4.5.2.Derivadas parciales f y f de una imagen f. . . . . . . . . . . . 46
x y
4.5.3.Aplicaci(cid:243)n del gradiente sobre una imagen. . . . . . . . . . . . . 48
5.1.1.Aprendizaje tradicional y aprendizaje basado en problemas. . . . 51
5.4.1.Creaci(cid:243)n de una funci(cid:243)n en Matlab R2012a. . . . . . . . . . . . . 72
5.4.2.Compresi(cid:243)n iterada de imÆgenes utilizando promedios aritmØticos. 74
5.4.3.Cuadr(cid:237)cula de tamaæo n=56 para p(cid:237)xelar una imagen. . . . . . 77
V
˝NDICE DE FIGURAS VI
5.4.4.Diferenciasdeintensidadentrep(cid:237)xelesadyacentesdeunaimagen
para diferentes valores de umbral k. . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.5.Funci(cid:243)n de interpolaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.6.Modulo del gradiente de una imagen digital. . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1.Tamaæo de p(cid:237)xel n en la nueva imagen. . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2.2.Asignaci(cid:243)n de intensidad para cada p(cid:237)xel. . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.1.Variaci(cid:243)n de intensidades de una imagen con umbral k. . . . . . 96