Aplicación de la teor´ıa de sistemas dinámicos al estudio cualitativo y cuantitativo de la evolución

243 Pages·2004·10.99 MB·Spanish

Proyecto Final de Carrera
Ingeniero Qu´ımico
Aplicaci´on de la teor´ıa de sistemas
din´amicos al estudio cualitativo y
cuantitativo de la evoluci´on del ozono
estratosf´erico y troposf´erico
MEMORIA
Autor : Alejandro Luque Jim´enez
Director : Jordi Villanueva Castelltort. Matem`atica Aplicada I
Director : Juan Pesu´s P´erez Gonzalez. Enginyeria Qu´ımica
Convocatoria : Septiembre curso 2003-04
Escola T`ecnica Superior
d’Enginyeria Industrial de Barcelona

Memoria 1
Resumen
Elpresentetrabajoconsisteenelestudiodelaevoluci´ondelosnivelesdeozonoenlaestratos-
fera y en la troposfera mediante una metodolog´ıa basada en la teor´ıa de sistema din´amicos. Se
elaboran las herramientas inform´aticas necesarias, prestando especial atenci´on a las soluciones
peri´odicas de los modelos matem´aticos que describen el fen´omeno.
El primer cap´ıtulo formal de la memoria (cap´ıtulo 3) introduce el contexto de la qu´ımica
atmosf´erica y en ´el se discute el papel que juega el ozono tanto en la troposfera como en la
estratosfera. Por supuesto, se tratan tambi´en los procesos qu´ımicos y f´ısicos que regulan el com-
portamiento de la atm´osfera.
En el cap´ıtulo 4 se presentan modelos matem´aticos que describen los dos tipos de contex-
tos estudiados. En primer lugar se presenta el modelo estratosf´erico elaborado para considerar,
adem´asdelaevoluci´ondelassustancias,laabsorci´onderadiaci´onsolarporpartedelasespecies
fotoqu´ımicas (como por ejemplo el ozono). Tambi´en se presentan modelos simplificados de la
qu´ımica troposf´erica que han sido estudiados por distintos autores para su posterior an´alisis
cuantitativo y cualitativo.
Los fundamentos b´asicos de la teor´ıa cualitativa de ecuaciones diferenciales no se presentan
hasta el cap´ıtulo 5. Se indica cu´ando el an´alisis lineal es suficiente para extraer conclusiones
sobre la din´amica del sistema y se motiva la introducci´on de conceptos como variedades inva-
riantes o las formas normales. Se finaliza el cap´ıtulo dando algunas nociones sobre el concepto
de bifurcaci´on y cu´ando este fen´omeno puede tener lugar.
En el cap´ıtulo 6 se describen las herramientas inform´aticas elaboradas para llevar a cabo
el estudio. Se dedica atenci´on a presentar los fundamentos en los que se basan las rutinas de
manipulaci´on algebraica.
Elcap´ıtulo7sededica´ıntegramentealapresentaci´onderesultadosyalan´alisisdelosmode-
los, ilustrando c´omo la teor´ıa cualitativa es una herramienta muy importante para caracterizar
el comportamiento de las soluciones.
Debido al car´acter multidisciplinar de este proyecto, se ha decidido incluir en diversos
ap´endices una discusi´on de los conceptos te´oricos involucrados en el trabajo. El ap´endice A
contiene una breve exposici´on de los conceptos de cin´etica qu´ımica. Los ap´endices B y C recogen
un tratamiento m´as riguroso de algunos aspectos de la teor´ıa de sistemas din´amicos. El ap´endice
D contiene la evaluaci´on econ´omica. En el ap´endice E se discuten todos los m´etodos num´eri-
cos utilizados en este proyecto. Finalmente, el resto de ap´endices incluyen los datos emp´ıricos
utilizados y algunos listados de ejemplo.
2 Memoria
Memoria 3
´
Indice general
Resumen 1
´Indice general 3
´Indice de figuras 7
´Indice de tablas 9
1. Prefacio 11
1.1. Origen del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Requisitos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Introducci´on 13
3. Planteamiento del problema 15
3.1. Estructura y cambios de la atm´osfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Ozono estratosf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1. Papel del ozono estratosf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.2. La disminuci´on del O estratosf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3
3.2.3. Qu´ımica estratosf´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Ozono troposf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1. Estructura de la troposfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.2. Papel del ozono troposf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.3. Qu´ımica troposf´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Descripci´on de los modelos estudiados 31
4.1. Modelo para la estratosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Modelos para la troposfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1. Comentarios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2. Modelo de Stewart, 1995. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3. Modelo de Poppe y Lustfeld, 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.4. Modelo de Hess y Madronich, 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.5. Modelo de Krol y Poppe, 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.6. Modelo de Field y Kalachev, 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.7. Notaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. Metodolog´ıa basada en la teor´ıa cualitativa 39
5.1. Comentarios preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. An´alisis Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3. Reducci´on a la Variedad Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5. C´alculo de la Variedad Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6. Estudio de bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.6.1. Silla-nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.6.2. Transcr´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.6.3. Horquilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Memoria
5.6.4. Hoft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Herramientas inform´aticas 51
6.1. La aplicaci´on KINDYNO3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1. Ficheros de Ozono Estratof´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2. Estudio de Ozono Estratof´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.3. Ozono Troposf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.4. Mecanismo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2. Fundamento del manipulador algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1. Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2. Paquetes de sofware comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.3. Almacenaje y recuperaci´on de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3.1. Polinomios homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.2. Polinomios no homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4. C´alculo de la Forma Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4.1. Consideraciones previas al problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4.2. Algoritmo de Reducci´on a la Variedad Central . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4.3. Algoritmo de Forma Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7. Resultados del estudio de los modelos 65
7.1. Estudio de la Estratosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2. Estudio de la Troposfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.1. Modelo de Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.2. Modelo de Poppe y Lustfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2.3. Modelo de Hess y Madronich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2.4. Modelo de Krol y Poppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2.5. Modelo de Field y Kalachev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3. Reducci´on a la Variedad Central y Formas Normales . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4. Comentarios Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8. Conclusiones 85
Referencias 87
Bibliograf´ıa Complementaria 91
A. Fundamentos de cin´etica qu´ımica 3
A.1. Reacciones Elementales y complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A.2. La Ley de Acci´on de Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
A.3. Aproximaci´on cin´etica al equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
A.4. Reacciones de asociaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.5. Fotoqu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.5.1. Absorci´on y emisi´on de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.5.2. Radiaci´on Solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.5.3. Procesos Fotof´ısicos y Fotoqu´ımicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A.5.4. Cin´etica de las reacciones fotoqu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Memoria 5
B. Teor´ıa b´asica de an´alisis de sistemas din´amicos 15
B.1. Conceptos y resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B.2. Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
B.3. Puntos fijos o de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
B.4. El Sistema Lineal x˙ = Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B.5. El Sistema No Lineal x˙ = f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B.5.1. Sistemas continuos (flujos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B.5.2. Sistemas discretos (mapas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B.6. Teorema de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
B.6.1. Teorema de Hartman-Grobman para difeomorfismos . . . . . . . . . . . . 25
B.6.2. Teorema de Hartman-Grobman para flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
B.7. Teorema de la Variedad Estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
B.8. Orbitas cerradas y secci´on de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
C. Teorema de la Variedad Central 33
C.1. Existencia de la Variedad Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
C.2. Reducci´on a la Variedad Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
C.3. Aproximaci´on de la Variedad Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
D. Evaluaci´on econ´omica del proyecto 43
E. M´etodos num´ericos 45
E.1. Interpolaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
E.1.1. Interpolaci´on polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
E.1.2. Interpolaci´on racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
E.1.3. Interpolaci´on por cubic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
E.2. Sistemas lineales de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
E.2.1. Descomposici´on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
E.2.2. Eliminaci´on gaussiana mediante pivotaje parcial escalonado . . . . . . . . 51
E.2.3. Aplicaciones de la descomposici´on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
E.2.4. Descomposici´on QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
E.2.5. Algoritmo de Gramm-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
E.2.6. Rotaciones planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
E.3. Integraci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
E.3.1. M´etodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
E.4. Ceros de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
E.4.1. M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
E.5. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
E.5.1. Valores propios. M´etodo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
E.5.2. Primera aproximaci´on de vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
E.5.3. M´etodo de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
E.5.4. M´etodo de la potencia para complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
F. Datos atmosf´ericos, cin´eticos y fotoqu´ımicos 77
6 Memoria
G. Ejemplo de archivos de entrada de datos 91
G.1. Modelo de la Estratosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
G.1.1. Archivo Principal: foto.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
G.1.2. Archivo de datos cin´eticos: kin.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
G.1.3. Archivo de partici´on de la estratosfera: grid.txt . . . . . . . . . . . . . . . 93
G.1.4. Archivo del perfil de temperatura: temp.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
G.1.5. Archivo de condiciones iniciales: init.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
G.1.6. Archivo reacci´on fotoqu´ımica: reacO2.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
G.1.7. Archivo reacci´on fotoqu´ımica: reacO3.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
G.1.8. Archivo reacci´on fotoqu´ımica: reacHNO3.txt . . . . . . . . . . . . . . . . 103
G.1.9. Archivo reacci´on fotoqu´ımica: reacNO2.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
G.1.10.Archivo reacci´on fotoqu´ımica: reac31D.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
G.1.11.Archivo reacci´on fotoqu´ımica: reac CF2.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
G.1.12.Archivo reacci´on fotoqu´ımica: reac CF.txt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
G.2. Mecanismo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
H. Archivos obtenidos como output 123
H.1. Output del modelo estratosf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
H.2. Fichero obtenido de la reducci´on a la VC - FN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Memoria 7
´
Indice de figuras
1. Perfil t´ıpico de temperatura en la atm´osfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Balance global de energ´ıa de la Tierra y la atm´osfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Perfiles de concentraci´on de O en el Ant´artico en 1987. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3
4. Representaci´on esquem´atica de la teor´ıa de Molina y Rowland. . . . . . . . . . . . . . 20
5. Medidasrealizadasentre1985y1992muestranquelasemisionesantropog´enicasdecom-
puestos clorados en la atm´osfera superaban las emisiones naturales. . . . . . . . . . . . 20
6. Si se hubiera mantenido el uso de CFC’s, se prevee que el contenido de cloro en la
estratosfera se hubiera triplicado para el 2050. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Esquema del mecanismo de Chapman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8. Esquema del sistema Cl-ClO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9. Esquema de las reacciones de los ciclos de Cl y NO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
x
10. Valores medios de producci´on y p´erdida de O . Se muestra la participaci´on de diferentes
x
ciclos catal´ıticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11. Fracci´on de p´erdida de O para algunas familias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
x
12. Esquema de las reacciones incluidas en los modelos troposf´ericos considerados. . . . . . 34
13. Visualizaci´on de los teoremas de Hartman-Grobman y de la Variedad Estable . . . . . . 40
14. Atracci´on de las soluciones por la variedad central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
15. Ejemplo de diagrama de bifurcaci´on para f (x)=µx−x3. . . . . . . . . . . . . . . . 46
µ
16. Bifurcaci´on silla-nodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
17. Bifurcaci´on transcr´ıtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
18. Bifurcaci´on de horquilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
19. Bifurcaci´on de Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
20. Aparici´on de una ´orbita periodica debido al cambio de estabilidad de un foco. . . . . . . 49
21. Perfiles de concentraci´on de las especies O tras 1 minuto junto con los tomados de [6], (0). 65
x
22. Perfiles de concentraci´on de HO (izquierda) y Cl (derecha) tras 1 minuto junto con los
x x
tomados de [6], (0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
23. Perfiles de concentraci´on de NO tras 1 minuto junto con los tomados de [6], (0). . . . . 66
x
24. Flujo solar en funci´on de la longitud de onda para distintas alturas. A la izquierda se
consideran las concentraciones de [6] y a la derecha las consecuencias de una p´erdida del
90% en la columna de ozono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
25. Porcentaje de absorci´on total y por niveles para los casos de la figura 24. . . . . . . . . 67
26. Evoluci´on de las concentraciones para F = 6.84 · 105 moleculas cm3 s−1 y F =
CO NO
3.42·105 moleculas cm3 s−1 (izquierda) o F =6.84·106 moleculas cm3 s−1 (derecha). 69
NO
27. Transici´on entre los estados de bajo y alto NO . • indica equilibrio estable y ◦ equilibrio
x
inestable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
28. Diagrama de estabilidad. En la leyenda se indica por s o u la estabilidad o inestabilidad
del equilibrio seguido del nu´mero de puntos de equilibrio con esta estabilidad. . . . . . . 70
29. Evoluci´on temporal de las concentraciones para F = 1.3·106 moleculas cm3 s−1 y
CO
F =1·106 moleculas cm3 s−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
NO
30. Evoluci´on de las concentraciones de CO (izquierda) y O (derecha) para F =1.3·106
3 CO
y los distintos valores de F indicados en la leyenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
NO
31. Diagrama de estabilidad. La leyenda indica el tipo de equilibrio. La primera letra es r si
todos los valores propios son reales o c si existen valores propios complejos. La segunda
letra es s (estable) o i (inestable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
32. Evoluci´on de las concentraciones de CO y O para F = 15000, F = 25000, F =
3 NO NO NO
35000 y F =45000, de izquierda a derecha y de arriba a abajo. . . . . . . . . . . . . 74
NO
8 Memoria
33. Evoluci´on de las concentraciones de CO y O para F = 55000, F = 68000, F =
3 NO NO NO
75000 y F =85000, de izquierda a derecha y de arriba a abajo. . . . . . . . . . . . . 75
NO
34. Separaci´ondelassolucionesparacondicionesinicialesseparadasen1·10−6.trasintegrar
108 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
35. Proyecci´on de las ´orbitas para F =25000, F =35000, F =55000 y F =68000. 76
NO NO NO NO
36. Proyecci´on de las ´orbitas para F =75000 y F =85000. . . . . . . . . . . . . . . . 77
NO NO
37. Perturbaci´on peri´odica de un equilibrio hiperb´olico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
38. Perturbaci´on peri´odica de una ´orbita peri´odica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
39. Diagrama del espectro electromagn´etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
40. Modos vibracionales del CO . ν es inactivo, mientas que ν y ν son activos en IR. . . . 11
2 1 2 3
41. Flujo solar en la atm´osfera en funci´on de la longitud de onda para distintas alturas.. . . 12
42. Ilustraci´on de los procesos fotof´ısicos y fotoqu´ımicos que pueden tener lugar tras la ex-
citaci´on electr´onica de una mol´ecula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
43. Secci´on de Poincar´e para una ´orbita peri´odica mostrando las variedades Ws y Wu. . . . 32
44. Diferentes casos de interpolaci´on. Se aprecia el error que puede cometerse si el compor-
tamiento de la funci´on est´a lejos de ser polin´omico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
45. Soluci´on real frente a soluci´on num´erica. Dependencia del error local respecto al paso de
integraci´on h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
46. Perfiles de concentraci´on de la tabla 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
47. Perfiles de concentraci´on de la tabla 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
48. Perfiles de concentraci´on de la tabla 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
49. Perfiles de concentraci´on de la tabla 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
50. Perfiles de concentraci´on de la tabla 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
51. Perfiles de concentraci´on de la tabla 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83