aplicação do método dos elementos finitos ao estudo de ligações viga-pilar em estruturas de

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APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AO
ESTUDO DE LIGAÇÕES VIGA-PILAR EM ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO
Carla Wagner Matzenbacher

Porto Alegre
dezembro 2011
CARLA WAGNER MATZENBACHER
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AO
ESTUDO DE LIGAÇÕES VIGA-PILAR EM ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Enge-
nharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como
parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenha-
ria na modalidade Acadêmico

Porto Alegre
dezembro 2011
CARLA WAGNER MATZENBACHER
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AO
ESTUDO DE LIGAÇÕES VIGA-PILAR EM ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO
Esta dissertação de mestrado foi julgada adequada para a obtenção do título de MESTRE EM
ENGENHARIA, Estruturas, e aprovada em sua forma final pelo professor orientador e pelo
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do
Sul.
Porto Alegre, 15 de dezembro de 2011
Prof. Américo Campos Filho Prof. Alexandre Rodrigues Pacheco
Dr. pela Escola Politécnica da Universidade Ph.D. pela Pennsylvania State University
de São Paulo
orientador orientador
Prof. Luiz Carlos Pinto da Silva Filho
Coordenador do PPGEC/UFRGS
BANCA EXAMINADORA
Prof. Gerson Moacyr Sisniegas Alva (UFSM)
Dr. pela Universidade de São Paulo
Prof. Mauro de Vasconcellos Real (FURG)
Dr. pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Prof. Francisco de Paula Simões Lopes Gastal (UFRGS)
Ph.D. pela North Carolina State University
Matzenbacher, Carla Wagner
Aplicação do método dos elementos finitos ao estudo
de ligações viga-pilar em estruturas de concreto armado /
Carla Wagner Matzenbacher. – 2011.
122 f.
Orientador: Américo Campos Filho.
Orientador: Alexandre Rodrigues Pacheco
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio
Grande do Sul, Escola de Engenharia, Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil, Porto Alegre, BR–RS,
2011.
1. Método dos Elementos Finitos. 2. Concreto armado.
3. Nós de pórtico. I. Campos Filho, Américo, orient. II. Pa-
checo, Alexandre Rodrigues, orient. III. Título.
RESUMO
MATZENBACHER, C. W. Aplicação do Método dos Elementos Finitos ao Estudo de Li-
gações Viga-Pilar em Estruturas de Concreto Armado. 2011. Dissertação (Mestrado em
Engenharia Civil) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre.
A simulação numérica através do Método dos Elementos Finitos vem sendo utilizada em
grande escala nos dias de hoje. Sendo que os trabalhos experimentais não conseguem cobrir
toda a gama de situações que podem ocorrer em estruturas de concreto armado, o Método dos
Elementos Finitos se apresenta como uma ferramenta para ampliar e generalizar os resultados
obtidos através de modelos experimentais testados em laboratório. Estruturas de nós de pórti-
co em concreto armado são largamente utilizadas em construções civis e possuem um com-
portamento muito particular. Este trabalho tem por objetivo desenvolver um modelo numérico
que simule as ligações viga-pilar nos nós de pórtico em concreto armado, examinando o com-
portamento destes nós com diferentes configurações geométricas. O modelo computacional
desenvolvido é avaliado, primeiramente, através de resultados experimentais bem conhecidos
para vigas biapoiadas, para, em seguida, apresentarem-se as análises de nós de pórtico. Os
resultados numéricos, utilizando-se dois modelos de malha: uma com elementos quadrangula-
res quadráticos de oito nós e outra com elementos triangulares lineares de três nós, são com-
parados com resultados experimentais disponíveis na literatura. Nesta comparação, pode-se
verificar que a modelagem com malha de elementos triangulares lineares pode ser utilizada
para análise de estruturas diversas. Podendo-se, também, utilizar esta malha como uma ferra-
menta para elaboração de códigos computacionais restritos a elementos finitos com funções
de interpolação lineares. Os resultados numéricos avaliam, também, a rotação relativa na liga-
ção entre a viga e o pilar.
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos, concreto armado, nós de pórtico.
ABSTRACT
MATZENBACHER, C. W. Applying the Finite Element Method to the Study of Beam-
Column Joints in Reinforced Concrete Structures. 2011. Thesis (MSc. in Civil Engineer-
ing) – Civil Engineering Graduate Program, UFRGS, Porto Alegre.
Numerical simulations by the Finite Element Method are being extensively used nowadays.
Since experimental tests cannot cover the innumerous situations that can occur in reinforced
concrete structures, the Finite Element Method presents itself as a tool to amplify and general-
ize the results obtained throughout experimental models tested in the lab. Structures of rein-
forced concrete frame joints are largely used in civil construction and have a very particular
behavior. This work has the objective of developing a numerical model that simulates beam-
column joints in reinforced concrete frames, examining their behavior with different geome-
trical configurations. The developed computational model is firstly evaluated through well-
known experimental results for simply supported beams to, in a second occasion, present the
analyses of frame joints. The numerical results, with the consideration of two mesh models:
one with quadratic quadrilateral elements of eight nodes and another with linear triangular
elements of three nodes, are compared with experimental results from the literature. In this
comparison, it is possible to verify that the modeling with linear triangular element meshes
can be used for a diversity of structures. One can also use this mesh as a tool in the develop-
ment of computational codes restricted to linear finite elements. The numerical results also
evaluate the relative rotation at the joints between beams and columns.
Keywords: the Finite Element Method; reinforced concrete; frame joints.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1
1.1 OBJETIVOS.................................................................................................................. 2
1.2 CONTEXTO BIBLIOGRÁFICO .................................................................................. 2
1.2.1 Nós de pórtico ......................................................................................................... 3
1.2.2 Modelos numéricos de nós de pórtico .................................................................... 7
1.3 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO ........................................................................ 10
2 MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE DE MATERIAL COM
COMPORTAMENTO ELASTO-VISCOPLÁSTICO ........................................................ 11
2.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 11
2.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ELASTO-VISCOPLÁSTICO ........................... 11
2.2.1 Formulação básica ............................................................................................... 11
2.2.2 Incremento de deformação viscoplástica ............................................................. 13
2.2.3 Incremento de tensão ............................................................................................ 14
2.2.4 Equações de equilíbrio ......................................................................................... 14
2.2.5 Correção do equilíbrio ......................................................................................... 16
2.3 COMPORTAMENTO ELASTO-VISCOPLÁSTICO DO AÇO ................................ 17
2.3.1 Incremento de tensão ............................................................................................ 17
2.3.2 Equações de equilíbrio ......................................................................................... 18
2.3.3 Taxa de deformação viscoplástica ....................................................................... 19
3 MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS EMPREGADOS PARA O CONCRETO E
PARA A ARMADURA .......................................................................................................... 20
3.1 MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA O CONCRETO ............................... 20
3.1.1 Elemento quadrangular quadrático ..................................................................... 20
3.1.2 Elemento triangular linear ................................................................................... 23
3.2 MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA A ARMADURA .............................. 26
3.2.1 Modelo incorporado ............................................................................................. 26
3.2.2 Formulação geométrica ....................................................................................... 27
3.2.3 Segmentos de armadura localizados no interior de um elemento de concreto .... 31
3.2.3.1 FORMULAÇÃO PARA O ELEMENTO QUADRANGULAR
QUADRÁTICO .............................................................................................................. 31
3.2.3.2 FORMULAÇAO PARA O ELEMENTO TRIANGULAR LINEAR .............. 36
3.2.4 Funções de forma para os elementos de armadura ............................................. 38
3.2.5 Matriz de rigidez para a armadura ...................................................................... 38
4 MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS ................................................... 41
4.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 41
4.2 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA O CONCRETO ............................................ 42
4.2.1 Modelo para o concreto comprimido ................................................................... 42
4.2.1.1 CRITÉRIO DE RUPTURA .............................................................................. 44
4.2.1.2 CRITÉRIO DE PLASTIFICAÇÃO .................................................................. 47
4.2.1.3 REGRA DE ENDURECIMENTO ................................................................... 48
4.2.1.4 VETOR DE FLUXO PLÁSTICO ..................................................................... 50
4.2.2 Modelo para o concreto à tração ......................................................................... 52
4.2.2.1 CRITÉRIO DE FISSURAÇÃO ........................................................................ 52
4.2.2.2 CRITÉRIO PARA ESCOLHA DA CURVA DE AMOLECIMENTO ............ 53
4.2.2.3 RIGIDEZ TRANSVERSAL DO CONCRETO FISSURADO ......................... 55
4.3 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA A ARMADURA .......................................... 56
5 PRÉ-PROCESSADOR E PÓS-PROCESSADOR ........................................................ 57
6 ANÁLISE DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO .................................................. 60
6.1 DESCRIÇÃO DO MODELO ...................................................................................... 60
6.2 RESULTADOS OBTIDOS NA SIMULAÇÃO NUMÉRICA ................................... 62
6.2.1 Viga ET1 ............................................................................................................... 62
6.2.2 Viga ET2 ............................................................................................................... 67
6.2.3 Viga ET3 ............................................................................................................... 71
6.2.4 Viga ET4 ............................................................................................................... 75
6.3 REFINAMENTO DA MALHA DE ELEMENTOS TRIANGULARES .................... 79
7 ANÁLISE DE NÓS DE PÓRTICO EM CONCRETO ARMADO ............................. 83
7.1 COMPARAÇÕES: RESULTADOS EXPERIMENTAIS E SIMULAÇÃO
NUMÉRICA.......................................................................................................................... 83
7.1.1 Resultados experimentais ..................................................................................... 87
7.1.2 Resultados numéricos ........................................................................................... 89
7.1.2.1 MODELO RK2 ................................................................................................. 90
7.1.2.2 MODELO RK3 ................................................................................................. 98
7.1.2.3 MODELO RK5 ............................................................................................... 104
7.1.2.4 MODELO RK6 ............................................................................................... 110
7.1.3 Análise dos resultados ........................................................................................ 116
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................ 118
8.1 CONCLUSÕES ......................................................................................................... 118
8.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ..................................................... 119
LISTA DE SÍMBOLOS

I - LETRAS ROMANAS MAIÚSCULAS

A - área; coeficiente
A - área da seção transversal de concreto
c
A - área da seção transversal da armadura
p
B - matriz que relaciona deformações e deslocamentos nodais do elemento de concreto; coefi-
ciente
B vetor que relaciona deformações e deslocamentos nodais do elemento de aço
s -
C - função de posição ao longo da barra de armadura; coeficiente
D - matriz constitutiva
E - módulo de elasticidade longitudinal
E - módulo de elasticidade longitudinal do concreto
c
E - módulo de elasticidade longitudinal do aço
s
F - função de plastificação; força; “pseudo-carga”
F - tensão de excoamento uniaxial
0
G - módulo de elasticidade transversal
G - módulo de elasticidade transversal do concreto fissurado
c
H - função de interpolação da armadura
I - primeiro invariante do tensor de tensão
1
J - matriz jacobiana;
J - segundo invariante do tensor desviador de tensão
2
J - terceiro invariante do tensor desviador de tensão
3
K - matriz de rigidez do elemento de concreto armado
K - matriz de rigidez do concreto
c