ANY-ANGLE PATH PLANNING by Alex Nash A Dissertation

271 Pages·2012·6.71 MB·English

ANY-ANGLEPATH PLANNING
by
AlexNash
A DissertationPresented tothe
FACULTY OFTHE USC GRADUATESCHOOL
UNIVERSITY OF SOUTHERN CALIFORNIA
InPartial Fulfillmentofthe
RequirementsfortheDegree
DOCTOROF PHILOSOPHY
(COMPUTERSCIENCE)
August2012
Copyright 2012 AlexNash
Table of Contents
ListofTables vii
ListofFigures ix
Abstract xii
Chapter 1: Introduction 1
1.1 PathPlanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 TheGenerate-Graph Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 TheFind-PathProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hypotheses andContributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Hypothesis 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Hypothesis 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2.1 Basic Theta*: Any-Angle Path Planning in Known 2D Envi-
ronments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2.2 Lazy Theta*: Any-Angle Path Planning in Known 3D Envi-
ronments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2.3 Incremental Phi*: Any-Angle Path Planning in Unknown 2D
Environments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Dissertation Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chapter 2: PathPlanning 18
2.1 Navigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 PathPlanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 TheGenerate-Graph Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1.1 Skeletonization Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1.2 CellDecomposition Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1.3 Hierarchical Generate-Graph Techniques . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1.4 TheGenerate-Graph ProbleminUnknown2DEnvironments . 35
2.2.2 TheFind-PathProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2.1 Single-ShotFind-PathAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2.2 Incremental Find-PathAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.3 Post-Processing Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4 ExistingAny-AngleFind-PathAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii
2.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Chapter 3: PathLengthAnalysisonRegularGrids(Contribution1) 52
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 2DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 ExistingWork: 2DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.3 GridGraphProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.4 PathLengthAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.4.1 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4.2 Part1: Unblocked Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4.3 Part2: TwoEdgeTypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.4.4 Part3: ScalingMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.5 GeometricRelationships: 2DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.5.1 DoubleTriGraphsandHexGraphs . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 3DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.2 GridGraphProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.3 PathLengthAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.3.1 Part1: Unblocked Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.3.2 Part2: LagrangeMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.4 GeometricRelationships: 3DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.5 CubicGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.6 LagrangeMethod: 2DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Chapter 4: BasicTheta*: Any-AnglePathPlanninginKnown2DEnvironments(Con-
tribution2) 82
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 ExistingFind-PathAlgorithmsinKnown2DEnvironments . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 A*onOctileGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.2 A*withPost-Smoothing(A*PS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.3 FieldD*(FD*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.4 A*onVisibilityGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 BasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.1 Operation ofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.2 ExampleTraceofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4.3 Properties ofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.3.1 SimplicityProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.3.2 Generality Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.3.3 Correctness andCompleteness . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.3.4 Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.3.5 HeadingChanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Angle-Propagation Theta*(APTheta*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
iii
4.5.1 DefinitionofAngleRanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5.2 UpdatingAngleRanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5.3 ExampleTraceofAPTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.4 Properties ofAPTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6 Experimental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7 Extensions ofBasicTheta*andAPTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.7.1 SingleSourcePaths. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.7.2 Non-Uniform TraversalCosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.8 TradingOffRuntimeandPathLength: Exploiting h-Values . . . . . . . . . . . . 118
4.8.1 Weightedh-Valueswithw < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.8.2 TieBreaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.8.2.1 TieBreakingandtheTriangleInequality . . . . . . . . . . . . 121
4.8.3 Re-Expanding Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.9 TradingOffRuntimeandPathLength: OtherApproaches . . . . . . . . . . . . . 124
4.9.1 ThreePaths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.9.2 KeyVertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.9.3 LargerBranchingFactors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.10 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Chapter 5: LazyTheta*: Any-AnglePathPlanninginKnown3DEnvironments(Con-
tribution3) 128
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3 Find-PathAlgorithmsinKnown3DEnvironments . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1 A*onTripleCubicGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.2 A*withPost-Smoothing(A*PS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.3 BasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.3.1 ExampleTraceofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4 LazyTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.1 Operation ofLazyTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.2 ExampleTraceofLazyTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.5 VariantsofLazyTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.6 Experimental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.7 TradingOffRuntimeandPathLength: Exploiting h-Values . . . . . . . . . . . . 144
5.7.1 Weightedh-Valueswithw > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.7.1.1 EnvironmentsinwhichFind-PathAlgorithmsEncounterLocal
Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.7.1.2 Environments in which Find-Path Algorithms do not En-
counterLocalMinima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Chapter 6: Incremental Phi*: Any-Angle Path Planning in Unknown 2D Environ-
ments(Contribution4) 155
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
iv
6.3 Find-PathAlgorithmsinUnknown2DEnvironments . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.1 BasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3.1.1 ExampleTraceofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4 Phi* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4.1 DefinitionofAngleRanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.2 UpdatingAngleRanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.3 UsingAngleRanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4.4 TieBreakingandtheTriangleInequality . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4.5 ExampleTraceofPhi* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.5 Incremental Phi* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.5.1 ExampleTraceofIncremental Phi* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.2 MovingAgent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.6 Experimental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.6.1 Phi* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.6.2 Incremental Phi* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Chapter 7: Conclusions 173
Bibliography 179
AppendixA
Checking Line-of-Sight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
AppendixB
APTheta*Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
AppendixC
RegularGridProofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C.1 Part1ofLemma1for2DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C.2 Part1ofLemma2for3DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
C.2.1 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
C.2.2 Category1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
C.2.2.1 RightStep(Q =R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
C.2.2.2 BackStep(Qb=B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
C.2.2.3 UpStep(Qb=U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
C.2.3 Category2 . . . . b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
C.2.3.1 BackUpStep(Q =BU)[RightSide] . . . . . . . . . . . . . . 208
C.2.3.2 BackRightStepb(Q =BR)[UpSide] . . . . . . . . . . . . . . 209
C.2.3.3 RightUpStep(Qb=RU)[BackSide] . . . . . . . . . . . . . . 210
b
AppendixD
Phi*andIncremental Phi*Proofs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
D.1 NotationandDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
D.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
D.2.1 CoreProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
v
D.2.2 Initialize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
D.2.2.1 CoreProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
D.2.3 Procedures ComputeCostandUpdateVertex . . . . . . . . . . . . . . . . 217
D.2.4 Procedure ComputeShortestPath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
D.2.4.1 HelperLemmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
D.2.4.2 CoreProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
D.2.4.3 Completeness andCorrectness . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
D.2.4.4 LocalParentPathProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
D.2.5 Procedure PreProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
D.2.5.1 HelperLemmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
D.2.5.2 CoreProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
AppendixE
ImpactofAny-AnglePathPlanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
E.1 Citations ofBasicTheta*anditsVariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
E.1.1 RoboticsConferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
E.1.2 ArtificialIntelligence Conferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
E.1.3 Aerospace Conferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
E.1.4 VideoGameConferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
E.1.5 Oceanography Conferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
E.2 Extensions ofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
E.2.1 FasterLine-of-Sight Checks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
E.2.2 Non-Uniform TraversalCosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
E.3 Experimental Comparisons withBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
E.3.1 Accelerated A*(AA*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
E.3.2 BlockA* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
vi
List of Tables
1.1 SummaryofContribution 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 SummariesofContributions 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 CellDecomposition Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Find-PathAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1 GridGraphsConstructed from2DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Properties ofGridGraphsConstructed from2DRegularGrids . . . . . . . . . . 56
3.3 PathLengthAnalysisResultsforGridGraphsConstructed from2DRegularGrids 60
3.4 Hexagonal GridStepSequenceandMoveSequenceforaHexGraph . . . . . . . 62
3.5 GridGraphsConstructed from3DRegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6 Properties ofGridGraphsConstructed from3DRegularGrids . . . . . . . . . . 69
3.7 PathLengthAnalysisResultsforGridGraphsConstructed from3DRegularGrids 69
3.8 CubicGridStepSequenceandMoveSequenceforaTripleCubicGraph . . . . . 69
4.1 PathLengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2 Runtimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 NumberofVertexExpansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 NumberofHeadingChanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Find-PathAlgorithmswithoutPost-ProcessingStepsonRandom500 500Grids
×
with20PercentBlockedGridCells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Find-PathAlgorithmsonRandom1000 1000GridswithNon-UniformTraver-
×
salCosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7 TieBreaking: Random500 500Gridswith20PercentBlockedGridCells . . . 123
×
4.8 Re-Expanding Vertices: Random500 500Gridswith20PercentBlockedGrid
×
Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1 A*onTripleCubicGraphsPathLength/PathLength . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.2 BasicTheta*VertexExpansions /VertexExpansions . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3 BasicTheta*Line-of-Sight Checks/Line-of-Sight Checks . . . . . . . . . . . . 141
5.4 BasicTheta*Runtime/Runtime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.1 BasicTheta*VersusPhi*onRandomGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2 SquareGridSizesandPercentages ofBlockedGridCellsonRandomGrids . . . 170
6.3 SensorRadiusonRandom500 500Grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
×
6.4 Non-Random 500 500Grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
×
C.1 Triangular andSquareGridStepSequence andMoveSequence foraDoubleTri
GraphandanOctileGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
E.1 PathLengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
E.2 Runtimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
E.3 NumberofVertexExpansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
vii
E.4 PathLengths(Sˇisˇla´k,Volf,&Peˇchoucˇek, 2009b) . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
E.5 Runtimes(Sˇisˇla´ketal.,2009b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
E.6 NumberofVertexExpansions (Sˇisˇla´ketal.,2009b) . . . . . . . . . . . . . . . . 255
E.7 PathLengths(Yap,Burch,Holte,&Schaeffer, 2011) . . . . . . . . . . . . . . . 256
E.8 Runtimes(Yapetal.,2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
E.9 NumberofVertexExpansions (Yapetal.,2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
viii
List of Figures
1.1 8-NeighborSquareGridGraphConstructedfromaContinuousEnvironmentDis-
cretized intoaSquareGrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 8-Neighbor NavGraphConstructed fromaContinuousEnvironmentDiscretized
intoaNavMesh(adapted from(Patel,2000)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Classification ofPathsonaGridGraphConstructed fromaSquareGrid . . . . . 4
1.4 Classification ofPathsonaNavGraphConstructed fromaNavMesh . . . . . . . 4
1.5 ScreenShotfromStarcraftII(BlizzardEntertainment) . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Post-Processing Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 DifferentTypesofContinuous Environments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 MovementwithoutPathPlanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 ScreenShotsfromWarcraftII(BlizzardEntertainment) . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Continuous 2DEnvironments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 VisibilityGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 WaypointGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 RegularGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 NavMesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 CircleBasedWaypoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Hierarchical Generate-Graph Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Classification ofGenerate-Graph Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.11 Snapshot ofDijkstra’sAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12 Edge-Constrained PathVersusTrueShortestPath . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.13 Post-Processing Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.14 Classification ofFind-PathAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1 Hexagonal Grid: ScreenShotfromCivilization V(FiraxisGames) . . . . . . . . 52
3.2 PathsonHexGraphswithVerticesPlacedinGridCellCenters . . . . . . . . . . 59
3.3 Replacing MovesintheMoveSequenceonHexGraphs . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Replacing MovesintheMoveSequenceonDoubleHexGraphs . . . . . . . . . 65
3.5 ScalingMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 TrueShortestPathinaContinuous 3DEnvironment . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.7 PathsonTripleCubicGraphswithVerticesPlacedinGridCellCorners . . . . . 72
3.8 BR(left),BU(middle)andRU(right)Steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.9 Projection ofLontothex-z andx-y Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1 Known 2D Environments: Screen Shot from Company of Heroes (Relic Enter-
tainment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 GridPathVersusTrueShortestPath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
ix
4.3 Runtime Versus Path Length (relative to the length of a true shortest path) on
Random100 100Gridswith20PercentBlockedGridCells . . . . . . . . . . 86
×
4.4 A*PSPathVersusTrueShortestPath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 FD*Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6 ScreenShotofFD*PathVersusTrueShortestPath . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 VisibilityGraphConstructed FromaSquareGrid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8 Paths1and2Considered byBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.9 ExampleTraceofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.10 BasicTheta*PathsVersusTrueShortestPaths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.11 HeadingChangesofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.12 Classification ofFind-PathAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.13 RegionofCoordinates withLine-of-Sight toVertexs . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.14 AngleRangeofAPTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.15 ExampleTraceofAPTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.16 BasicTheta*PathVersusAPTheta*Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.17 Classification ofFind-PathAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.18 GameMapfromBaldur’sGateII(BioWare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.19 Find-PathAlgorithmsonRandom500 500Grids . . . . . . . . . . . . . . . . 110
×
4.20 StartandGoalVerticesonRandomGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.21 TrueShortestPathsFoundbyFD*(left), A*PS(middle)andBasicTheta*(right) 113
4.22 BasicTheta*onSquareGridswithGridCellswithNon-UniformTraversalCosts
ofUnblocked GridCells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.23 Non-Monotonicity off-ValuesofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.24 Weightedh-Valueswithw < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.25 BasicTheta*PathsforDifferentTie-BreakingSchemes . . . . . . . . . . . . . . 121
4.26 BasicTheta*PathswithandwithoutVertexRe-Expansions . . . . . . . . . . . . 122
4.27 Basic Theta* with Key Vertices on Random 500 500 Grids with 20 Percent
×
BlockedGridCells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.28 SquareGridswithDifferenceBranchingFactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.29 BasicTheta*withDifferentBranchingFactorsonRandom500 500Gridswith
×
20PercentBlockedGridCells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1 Known3DEnvironments: ScreenShotfromJamesCameron’sAvatar: TheGame
(Ubisoft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Runtime Versus Path Length (relative to the length of a shortest grid path) on
Random100 100 100Gridswith20PercentBlockedGridCells . . . . . . . 131
× ×
5.3 Unrealistic LookingPathonaTripleCubicGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4 ExampleTraceofBasicTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5 ExampleTraceofLazyTheta* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6 Classification ofFind-PathAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7 Expanded Vertices by Lazy Theta* with Different Values of w > 1 (in an envi-
ronmentinwhichfind-pathalgorithmsencounter localminima) . . . . . . . . . 145
5.8 Cul-De-SacEnvironment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.9 Weightedh-Valueswithw > 1on50 50 50Grids . . . . . . . . . . . . . . 148
× ×
5.10 Lazy Theta* with w > 1 on an Environment in which Find-Path Algorithms do
notEncounter LocalMinima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
x