Anwendungen der mathematischen Statistik auf Probleme der Massenfabrikation

128 Pages·1930·6.052 MB·German

by  Dr. R. Becker, Dr. H. Plaut, Dr. I. Runge (auth.)

Anwendungen der
mathematischen Statistik auf
Probleme der Massenfabrikation
Von
Dr. R. Becker
Professor an der Technischen Hochschule
zu Berlin
Dr. H. Plaut und Dr. I. Runge
Mit 24 Abbildungen im Text
Bcrichtigtol' Manuldruok
Berlin
Verlag von Julius Springer
1930
ISBN 978-3-642-49457-4 ISBN 978-3-642-49739-1 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-642-49739-1
Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright 1927 by Julius Springer in Berlin.
Vorwort.
In der Technik beginnt man mehr und mehr, den statistischen
Methoden seine Aufmerksamkeit zu widmen. Bereits haben
leitende PersonIichkeiten in einzelnen Zweigen der Technik zu
erkennen begonnen, daB ihr Fabrikationsgegenstand sich im
mathematisohen Sinne als "Kollektivgegenstand" behandeln laBt,
und daB man folgIich bei Schwankungen der Eigenschaften dieser
Gegenstande die KollektivmaBlehre anwenden kann. Den ersten
Versuch in groBerem MaBstabe hat Daeves auf dem Gebiet der
Eisenindustrie gemacht, einen weiteren Czochralski auf dem
Gebiet der Metallforschung, einen anderen Westman in Amerika
in der keramischen Fabrikation. An den Universitaten, wo die
Statistik schon lange in eigenen Instituten insbesondere in der
Anwendung auf BevOlkerungslehre und NationalOkonomie ge
pflegt wird, verfolgt man diese Entwicklung mit Interesse und
sucht nach Ankniipfungen mit den sich neu erschlieBenden An
wendungsgebieten.
Die Durchdringung mit wissenschaftIicher Statistik ist fur die
Technik von der groBten Bedeutung. Sie stellt einen weiteren
Schritt auf dem Wege zur vollig bewuBten Beherrschung aller
Bedingungen des Produktionsprozesses dar. Sie bedeutet ins
besondere eine Soharfung des kritischen Urteils aller am Fabri
kationsprozeB Beteiligten, vor aHem derjenigen, die mit dem
Einzelgegenstand nicht mehr in Beriihrung kommen, also der
leitenden Personlichkeiten.
Das vorliegende Buch soIl nun ein Musterbeispiel fur die Durch
dringung einer typischen Massenfabrikation - gewahlt ist die
Gliihlampenherstellung - mit den Methoden der KollektivmaB
lehre sein. Die Verfasser hielten es fur wichtig, ein solches vollig
durchgearbeitetes Beispiel der Offentliehkeit zu iibergeben, da
sie bemerkt haben, daB es nicht nur praktische Schwierigkeiten
sind, die bisher haufig dem weiteren Eindringen der Statistik in
die Technik Hindernisse bereitet haben, sondern vor aHem der
IV Vorwort.
Mangel an Vertrauen in die Zuverlassigkeit der statistischen Me
thoden. Diese Bedenken konnen schwerlich durch theoretische
Erwagungen, sondern sicher am besten durch den Hinweis auf
den praktischen Erfolg zerstreut werden. Es wird daher in der
vorliegenden Arbeit durchweg vom Beispiel ausgegangen, und
die allgemeinen Gesetze werden erst zum SchluB zusammengestellt.
Der Nichtmathematiker wird ja ohnehin seine Studien am besten
mit dem Beispiel beginnen, und erst dann, wenn er dieses ver
standen hat, die Verallgemeinerung vornehmen.
Die Verfasser hoffen also, mit ihrem Buch eine Grundlage
geschaffen zu haben, die den Ingenieur instandsetzt, die Methoden
der KollektivmaBlehre auf sein spezielles Fabrikationsgebiet, moge
es auch ganz anderer Art sein, als das, welches in diesem Buch
als Beispiel gewahlt ist, anzuwenden.
Berlin, Oktober 1927.
Die Verfasser.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
A. Einleitung. . . 1
B. Praktischer Teil. . . . . . . . . . . . . . 6
I. Beurteilung einer Menge auf Grund einer Probe. 6
1. Mittelwert und Streuung • . • . . . . . • 6
2. Feststellung der Einheitliohkeit einer Menge 11
3. Verteilungskurven . . . • . . . . . . . • 18
a) Herstellung von Verteilungskurven 19
b) Die GauBsohe Verteilung . . . . . . .. . ...• 23
0) Vergleioh wirklioher Verteilungskurven mit der GauBsohen 28
d) GauBsohe Verteilung bei Serienmitteln . . . • • . . . . 35
4. Praktisohe Durohfiihrung • . . . . . . . . . • . . . . 37
n.
Vergleioh zweier Mengen auf Grund zweier Proben 45
1. Allgemeine Behandlung . . . . . . . 45
2. ZahienmiWige Anwendung der Formel 50
3. Begriff der Sioherheit. . . . . . . . 52
4. Praktisohe Durohfiihrung . . . . . . 54
m.
ZusammenhangzweierEigensohaften oder Korrelation 56
IV. Abnahmebedingungen und Risiko 60
1. Bedingungen fiir Serienmittel . . . . . 62
2. Bedingungen fiir Einzelexemplare . . . 65
3. Bedingungen fiber zwei Eigensohaften . 67
4. Zusammengesetzte Abnahmebedingungen 70
5. Abnahmebedingung mit Wiederholung . . . . . . . . . . 71
6. Zusammenstellung der Formeln und Durohfiihrung von Bei-
spielen ......••.• ..•..••• . . . . 71
C. Mathematischer Ten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
I. Allgemeine Eigensohaften von Kollektivgegenstan
den. Das quadratisohe StreuungsmaB . . • . . • . . 75
1. Mittelwert und Streuung . . • . . . • . . . . . 75
2. Streuung von Serienmitteln (fn-Gesetz). . . . . . 76
3. Streuung innerhalb einer Serie. . • . . . • . . • 80
4. Serieneinteilung mit systematisohen Untersohieden . 81
VI Inhaltsverzeichnis.
Seite
II. Eigenschaften von Kollektivgegenstanden mit GauB-
scher VerteiIung . . . . . . . . . . . • . . 84
1. Ableitung der GauBschen Verteilung . . . . 84
2. Streuung der Streuung . . . . . . • . . . 89
3. "Sicherheitsbreite" bei Mittelwertbestimmung 96
III. Vergleich zweier Kollektivgegenstande • • 101
1. WahrscheinIichkeit eines gegebenen Unterschiedes einzelner
Werte ........•................ 101
2. WahrscheinIichkeit eines gegebenen Unterschiedes der Mittel-
werte ....•.......•.••......... 104
3. Wahrscheinlichkeit positiver Untersohiede. . . . . • . . . 107
IV. VerteiIung der Serienmittel bei beliebig verteilten
Kollektivgegenstanden ............... 109
1. Erstes Beispiel . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . 109
2. Behandlung mittels Poincares oharakteristisoher Funktion. . 113
3. Zweites Beispiel • . • . 115
Anhang: Tabelle fiir <P ( ~ ) • 118
f28
Literaturverzeichnis . . . . 119
A. Einleitnng.
Es Jiegt im Wesen des Fabrikbetriebes, daB seine Erzeug
nisse in groBer Menge und moglichst gleichartig hergestellt
werden. Auch das bei jeder Fabrikation notwendige Kon
trollieren des Produktes gestaltet sich damit zu einer vielfach
wiederholten Massenaufgabe, moge es nun im Messen oder Wagen,
in ohemischer Analyse oder Beobaohtung der Leistung bestehen.
Die Ergebnisse aller dieser Priifungen bilden, sofern sie ge
sammelt werden, mit der Zeit ein fast unermeBliches Material,
dessen weitere Ausnutzung oft schon aHein seines Umfangs
wegen gar nicht so einfach ist, jedenfalls Obersicht und geeig
nete Methoden erfordert. In vielen Fallen liegt es auch nahe,
die Kontrolle der Beschaffenheit der gesamten Produktion auf
die Untersuchung von Stichproben zu beschranken, da man
hoffen kann, daB diese, wenn sie richtig geleitet wird, fUr die
zutreffende Beurteilung des Ganzen ausreichen diirfte, und da
die Priifung der gesamten Fabrikation zeitraubend und ent
sprechend kostspieIig sein wiirde. Bei manchen Industrien ist
man ohnehin zu einer Beschrankung auf Stichproben genotigt,
wenn namlich die Priifung mit der Unbrauchbarmaohung des
betreffenden gepriiften Gegenstandes verkniipft ist, man denke
z. B. an die Feststellung der LichtempfindIichkeit einer photo
graphischen Platte oder der Lebensdauer einer Gliihlampe.
Unter solchen Umstanden bleibt gar nichts anderes iibrig, als
aus dem Verhalten der untersuchten Proben auf die Beschaffen
heit des iibrigen ungepriiften Fabrikates zu schlieBen.
Nun liegt es auf der Hand, daB die Berechtigung dieses
letzteren Verfahrens in hohem MaBe von den besonderen Be
dingungen des Falles abhangt. Wenn ein Betriebschemiker aus
dem groBen Bottich einer FarblOsung seine Proben zur Analyse
entnimmt, so wird wohl niemand daran zweifeln, daB er bei
richtiger Durchmischung danach den Gehalt des Ganzen zu
treffend beurteilen kann. Schon anders liegt die Sache, wenn
Becker.Plaut-Runge, Massenfabrikation. 1
2 EinIeitung.
z. B. aus einer Lieferung von 100 Verstarkerrohren laut Ab
machung 6 herausgegriffene Exemplare gepriUt werden sollen.
Rier wird man durchaus im Zweifel sein konnen, ob die Prii
fung einen hinreichend sicheren SchluB auf das nicht Gepriifte
erlaubt, obwohl der Prozentsatz des gepriiften Materials hier
vielleicht erheblich hOher ist als im FaIle der Farblosung. Eine
nahere Uberlegung laBt das Wesen dieses Unterschiedes leicht
erkennen. Bei der Farb16sung ware es auBerordentlich unwahr
scheinlich, daB sich die Farbstoffmolekiile in der herausge
schopft en Probe zufallig zu einer merklich anderen Konzen
tration zusammengedrangt haben sollten als in der iibrigen
Fliissigkeit, wogegen es schlieBlich ganz leicht eintreffen kOnnte,
daB sich vielleicht von 3 im ganzen vorkommenden fehlerhaften
Exemplaren durch Zufall 2 unter den 6 herausgegrifIenen be
finden. Der Unterschied liegt in dem sehr groBen Zahlenwert
fUr die Anzahl der Molekiile, die in dem ersten Beispiel die
Wahrscheinlichkeit bestimmen; sie sind etwa von der GroBen
ordnung 1020, Zahlen, gegen die die des zweiten Beispiels,
namlich 6 und 100, beide noch verschwindend klein sind.
Soviel steht jedenfalls fest, daB es Wahrscheinlichkeitsfragen
sind, auf Grund deren zu entscheiden ist, ob ein gegebenes
Verfahren in einem speziellen Fall eine ausreichende Beurtei
lung erlaubt. Die Gesetze der Wahrscheinlichkeit sind iiberall
da anwendbar, wo es sich um groBe Mengen gleichartiger
Gegenstande oder um sehr vielfache Wiederholungen gleichartiger
Ereigirisse handelt: In solchen Fallen erlauben sie Aussagen
iiber die im Durchschnitt zu erwartenden Ergebnisse zu machen,
obwohl die Ursachen, die den Ausfall der einzelnen Beobachtung
bestimmen, vollkommen unbekannt bleiben. Gerade solche
Aussagen sind es aber, die man bei der Produktionskontrolle
wiinscht, denn hier kommt es nicht auf das einzelne Exemplar
und seine Beschaflenheit an, die ja gegeniiber dem Ganzen eine
verschwindende Rolle spielt, sondem auf die Beurteilung und
Kennzeichnung einer Gesamtheit von vielen Exemplaren oder
in der Sprache der Statistik eines Kollektivgegenstandes.
Es ist daher fiir jeden Techniker, der sich mit Aufgaben
der Fabrikationskontrolle beschaftigt, von Bedeutung, die Gesetze
der Statistik zu kennen und sie zweckentprechend auf seine
Probleme anwenden zu konnen. Man braucht nicht zu fiirchten,
Einleitung. 3
daB Aussagen, die sich nur auf WahrscheinIichkeit griinden, zu
unsicher waren, um wichtige Entscheidungen daran zu kniipfen.
Laplace, einer der Begriinder der Wahrscheinlichkeitstheorie,
macht die Bemerkung, daB fast unser gesamtes Wissen sich im
letzten Grunde auf Wahrscheinlichkeit aufbaut. Es fragt sich
nur, wie groB in einem gegebenen FaIle die Wahrscheinlichkeit
ist, und ob demnach die zu ziehenden Schliisse eine geniigende
Sicherheit enthalten. Gerade darauf gibt aber die Wahrschein
lichkeitslehre Antwort. Denn freilich wird man sich ebensosehr
vor dem Fehler hiiten miissen, zu glauben, daB die Tatsache,
daB ein Ergebnis auf Grund mathematisch abgeleiteter Regeln
gewonnen ist, diesem Ergebnis schon die Sicherheit mathema
tischer Wahrheiten verleihen konnte. Das ware ebenso falsch,
wie wenn man aus der Vorziiglichkeit einer Werkzeugmaschine
auf die Giite des mit ihrer Hilfe bearbeiteten Werkstoffes
schlieBen wollte. Aber die statistische Behandlung bearbeitet
nicht nur das Material, sondern sie vermag auch zu entscheiden,
ob das Material fiir eine lohnende Bearbeitung tauglich ist.
Sollen z. B. zwei auf verschiedene Art hergestellte Posten von
Gliihlampen verglichen werden, und hat man festgestellt, daB
die mittlere Lebensdauer des ersten Postens die des zweiten
Postens iibertrlfft, so kann der SchluB, daB der erste besser
ist als der zweite, trotzdem unberechtigt sein, weil es moglich
ist, daB der festgestellte Unterschied noch innerhalb der Grenzen
der fiir einen solchen Posten zufallig zu erwartenden Schwan
kungen liegt. Ob das der Fall ist, dariiber gibt eine weiter
gehende mathematische Betrachtung AufschluB; sie lehrt zu
gleich, urn wieviel das untersuchte Material vermehrt werden
muB, um die Frage wirklich zu entscheiden, eine Feststellung,
die fast ebenso wichtig ist wie die Entscheidung der Frage
selbst. Eine solohe erweiterte Betraohtung ist ganz unentbehr
lich, wenn die Ergebnisse irgendwie verwertet werden sollen.
Erst mit ihrer Hilfe gewinnen die Berechnungen Bedeutung,
dann aber sind sie auch geeignet, eine ganze Reihe praktisch
wichtiger Fragen zu beantworten.
In der vorliegenden Arbeit solI die Anwendung der statisti
schen Gesetze auf eine Anzahl solcher praktischer Fragen ge
zeigt werden. Die hier bearbeiteten Fragestellungen und Lo
sungsmethoden sind speziell in der Gliihlampenfabrikation ent-
1*
4 Einleitung.
standen und weiter entwickelt worden. Aus Grunden der An
schaulichkeit wird daher meist am Beispiel der Gluhlampe
festgehalten. Das Buch wendet sich aber uber den Kreis der
Gluhlampenerzeuger hinaus an jeden Techniker, der fur die
mathematisch-statistische Auswertung der Fabrikationskontrolle
Interesse hat. In dem vorangestellten praktischen Teil lerot
er die Art der Fragen kennen, auf die die Statistik eine Ant
wort geben kann, und die graphischen und rechnerischen Ver
fahren, mit denen die Losung durchzufiihren ist. Die zugrunde
liegenden statistischen Gesetze werden dabei meist ohne Beweis
mitgeteilt, so daB mathematische Schwierigkeiten in diesem Ab
schnitt nicht auftreten. DaB dabei als Beispiel im wesentlichen
von Gluhlampen die Rede ist, wird den Fachmann aus einem
anderen Gebiet nicht stOren. Die spezielle Form der Frage
stellung sowie die technische Anordnung der Rechnung kann
ja doch nur im engen AnschluB an die Betriebspraxis aufge
stellt werden, sie muB daher den einzelnen Fachleuten selbst
uberlassen bleiben. Die von den Verfassern herangezogenen
Beispiele aus anderen Gebieten sind somit nur als Anregungen
und Vorschlage aufzufassen, wahrend die Beispiele aus der
Gluhlampenindustrie ein ausgefuhrtes Bild von der Leistungs
fahigkeit der statistischen Methoden geben, wie sie sich in der
Praxis bewahrt habenl.
Dem praktischen Teil folgt ein theoretischer, in dem die
mathematische Ableitung der im ersten Teil benutzten Gesetze
im Zusammenhang gegeben wird. Dieser Teil ist naturgemaB
ganz allgemein gehalten und kann also ohne weiteres als Grund
lage fUr andere Spezialisierungen dienen.
Die im ersten Teil behandelten Probleme sind dreierlei Art.
Zuniichst handelt es sich darum, die laufende Fabrikation zu
kontrollieren. Hier ergibt sich die Frage, wie das Verhalten
einer groBeren Menge durch Untersuchung einer Probe beurteilt
werden kann. Zweitens mussen bei jeder Fabrikation fortlaufend
Verbesserungen ausprobiert und deren Vorteile und Nachteile
gegen die des bisherigen Verfahrens abgewogen werden. Hier
1 DaB dieselben Methoden auch in ganz anderen Gebieten der Technik
Anwendung finden, ersieht man z. B. aus E. A. Westman, Statistical Me
thods in Keramic Research, Journal of the American Keramic Society 10,
Nr. 3, 133. 1927.