Anova unifactorial

14 Pages·2015·0.28 MB·Spanish

Anova unifactorial
GradosdeBiologíayBiologíasanitaria
M.Marvá
e-mail:[email protected]
UnidaddocentedeMatemáticas,UniversidaddeAlcalá
29denoviembrede2015
El problema
Analizaremoslarelaciónentreunavariablecualitativayunacuantitativa
C (respuesta)∼F (explicativa)
Ejemplo:Elexcesodeozonoesunaseñaldecontaminación.
Setoman6muestrasdeairedeconcentracionesdeozono(enpartespor
10mil)encuatroestacionesinstaladasenunacuidad.
• ¿Haydiferenciassignificativasenlaconcentraciónmediamedidaen
cadaestación?
• ¿Cuántasestacionessuperanelvalorumbraldealerta?
Enestecaso:
• Variableexplicativa(factor):estaciónenqueserecogelamuestra.
Niveles:cdaunadelasestaciones
• Variablerespuesta:concentracióndeozono
capítulo 11 del libro
El problema
Ejemplo:CortesíadelHospitalRamónyCajalSequiereevaluarlaeficacia
dedistintasdosisdeunfármacocontralahipertensiónarterialycomparárla
conladeunadietasinsal.
Seseleccionanalazar25hipertensosysedistribuyenaleatoriamenteen5
grupos.
• Alprimeronoselesuministraningúntratamiento,
• alsegundounadietaconuncontenidopobreensal,
• altercerounadietasinsal,
• alcuartoelfármacoaunadosisdeterminaday
• alquintoelmismofármacoaotradosis.
• Traselexperimento,¿haydiferenciassignificativasentensiónarterial
mediadecadagrupo?
Enestecaso:
• Variableexplicativa(factor):tipodetratamientoseguido(incluidoel
no-tratamiento).Niveles:cadaunodelostratamientos
• Variablerespuesta:tensiónarterial(enlasunidadesadecuadas)
El problema
Sequieredeterminarcuáldelosremedio
Alirónplus Vuelagra Plumiprofeno Elevantolín
esmejorparacombatirelalicaimientoenlosfrailecillos.
Seseleccionan4muestrasaleatoriasindependientesde100frailecillos
alicaídos,ycadaunasetrataconunremediodiferente.Losresultados,en
aleteosporminutodecadaindividuo,estánanlasiguientetabla
Aliron Elevantolin Plumiprofeno Vuelagra
1 76.65 88.66 87.14 76.74
2 79.36 78.12 82.34 74.72
3 71.83 81.74 94.06 68.61
4 73.24 89.11 88.12 72.84
5 79.73 82.90 84.47 75.83
6 74.50 80.84 83.11 66.81
Recuerdaqueestenoeselmejorformatoparalosdatos.Unejemplo,una
referenciay
El problema
Lapreguntaquequeremosresponderes
¿Quétratamientoesmejor?
Laresponderemosendosetapas:llamaremosµ alnúmerodealeteos
i
medioconcadatratamiento
1.- ¿Sontodoslostratamientosigualdeefectivos?
H :{µ =µ =µ =µ }
0 1 2 3 4
frentea
H :{algunadelasmediasesdiferentedelasdemás}
1
Setratadelacomparaciónsimultáaneade3omásmedias
Veremosquecomparardosadoslasmediasaumenta(sorprendentemente)
deprisalaprobabilidaddeerrordetipoI.
2.-Sinosontodaslasmediasiguales: ordenarlas
Un poco de notación
• Consideramosunfactorconk nivelest ,t ,···,t (tratamientos)
1 2 k
• Losindividuosdecadanivelrepresentank poblaciones
independientes
X , X ,··· ,X
1 2 k
• Hayn datosparaeltratamientot.Sin (cid:54)=n Anovanoequilibrado.
j j j i
Niveldeltratamiento(j de1ak)
t t t ··· t
1 2 3 k
x x x ··· x
11 12 13 1k
Respuestas x x x ··· x
21 22 23 2k
(i de1an) x x x ··· x
j 31 32 33 3k
... ... ... ... ...
x x x ··· x
n11 n22 n33 nkk
Trabajaremosconexperimentosequilibrados(n =n, ∀i,j)
i j
• LlamaremosX(i,j)=x individuoi delnivel/tratamientoj
ij
• N =n +n +···+n
1 2 k
Un poco de notación
Consideramos,además,
• Lamediadelconjuntodetodaslasobservaciones
k nj
(cid:88)(cid:88)
x
ij
X¯ = j=1 i=1
N
• Lamediadecadanivel
X¯· =(cid:88)nj xij
j nj
i=1
Ejemplo:conlosdatosobtenidosparalos400frailecillos:
X¯· =78.40, respuestamediamuestralparat ,AlirónPlus
X¯·1 =80.40, respuestamediamuestralparat1,Elevantolín
4 4
XX¯¯··3 ==8742..4100,, rreessppuueessttaammeeddiiaammuueessttrraallppaarraatt3,,PVuluemlaigprraofeno
2 2
ylamediamuestraltotales
X¯ =78.82
La idea
Alcompararelefectodeltratamientoencadaindividuoconelresultado
medio
x −X¯
ij
intervienen(almenos)dosaspectos
• eltratamientoconcreto(niveldelfactor)aplicadoaeseindividuo
(modelo)
• lascaracterísticasparticularesdeeseindividuo(azar)
¿esposiblesepararelefectodeambosaspectos?
Podemosescribir
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
x −X¯ = x −X¯· + X¯· −X¯
ij ij
j j
resulta
(cid:16) (cid:17)
• X¯· −X¯ escomúnatodoslosdelnivelj:modelo
j
(cid:16) (cid:17)
• x −X¯· esdistintoparacadaindividuodelnivelj:azar.Estetérmino
ij
j
sellamaresiduo
La idea
EjemploParaelcuartofrailecillodelosqueselesadministróPlumiprofeno
x −X¯ =88.12−78.82=9.3
43
ElnúmerodealeteosmedioparalostratadosconPlumiprofenoes
X¯· =72.10
j
Entonces
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
x −X¯ = x −X¯· + X¯· −X¯ =
ij ij
j j
9.3=(88.12−72.10)+(72.10−78.82)
Esdecir
(cid:16) (cid:17)
• X¯· −X¯ =1.52escomúnatodoslosdelnivel4:modelo
j
(cid:16) (cid:17)
• x −X¯· =7.72esdistintoparacadaindividuodelnivelj:azar
ij
j
La identidad Anova
IdentidaddelasumadecuadradosparaAnova
k nj k nj k
(cid:88)(cid:88)(x −X¯)2 =(cid:88)(cid:88)(x −X¯·)2+(cid:88) n (X¯· −X¯)2 (1)
ij ij j j j
j=1 i=1 j=1 i=1 j=1
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
SST SSresidual SSmodelo
EsdecirSST =SS +SS .
residual modelo
• SST esladispersióntotal(nosedistinguenniveles,poblaciónúnica)
• SS dispersiónatribuidaalhechodeutlizark tratamientosdistintos.
modelo
Esladispersiónentregrupos.Tambiénsedicequeeslapartedela
dispersiónodelavarianzaexplicadaporelmodelo
• SS esladispersióndebidaalazaroruido.Sesuelellamar
residual
dispersióndentrodelosgruposointra-grupo,porquesedebealas
circunstanciasindividualesdecadaaplicacióndeunniveldel
tratamiento.
¿quésucedesiSS =0?
residual