ANOVA à 2 facteurs PDF
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Biostatistiques et statistiques appliquées aux sciences expérimentales ANOVA à deux facteurs Pascal Bessonneau, Christophe Lalanne et Jérémie Mattout* Cogmaster A4 2006-2007 * [email protected] p. 1/16 Programme de la séance • Principes généraux des dessins expérimentaux multi-factoriels • Modèle d’ANOVA à deux facteurs • Notion d’intéraction • Tableau d’ANOVA et tests p. 2/16 Principes généraux • 2 types d’effet pour le facteur • effet fixe: les modalités du facteur sont choisies par l’expérimentateur (e.g. dose d’un produit administré, durée de présentation d’une cible à l’écran) • effet aléatoire: les modalités du facteur sont issues d’un processus d’échantillonnage (e.g. dose d’un produit administré, sujet) • Conséquence à 2 niveaux: • au niveau de la formulation du modèle • du point de vue des effets que l’on peut « généraliser » à la population parente • Distinction entre 3 modèles d’ANOVA: • type I: modèle à effet(s) fixe(s) • type II: modèle à effet(s) aléatoire(s) • type III: modèle à effets mixtes p. 3/16 Principes généraux • Plan factoriel: plusieurs variables indépendantes/facteurs • Cellule ou bloc: unité d’intersection entre les modalités de chaque facteur • Plan équilibré: chaque cellule contient le même nombre d’observations (plus généralement: même nombre d’observations par cellule, de façon indépendante pour chaque modalité d’un des deux facteurs) • Plan avec répétitions: chaque cellule contient plusieurs observations • Mesures répétées: les mêmes sujets ont été utilisés pour les observations au sein de différentes cellules (appariement) Dans le cadre de plans factoriels équilibrés, on s’intéresse ici au cas général, avec répétitions et sans appariement (mesures non répétées). p. 4/16 Principes généraux • 2 facteurs A et B à 2 niveaux (groupes indépendants) A a a 1 2 b a b a b 1 1 1 2 1 B b a b a b 2 1 2 2 2 • Notation: dessin expérimental 2x2 p. 5/16 Modèle d’ANOVA à 2 facteurs • Formulation: A + B (sans interaction) A + B + AxB (avec interaction) • Interaction: modifications d’un effet principal du fait de la variabilité de l’autre facteur y = µ+$ + # +" +! " ~ N(0,!) • Modèle complet: ijk i j ij ijk ijk µ • moyenne générale • ! écarts à la moyenne des moyennes de groupe pour le facteur A i ! • écarts à la moyenne des moyennes de groupe pour le facteur B j ! • écarts à la moyenne des moyennes pour les traitements A x B ij ! • erreur (variance non expliquée ou résiduelle) ijk p. 6/16 Modèle d’ANOVA à 2 facteurs • Hypothèses sous-jacentes - modèle linéaire - les facteurs A et B agissent sur la moyenne µ de façon additive - les données suivent une loi normale de variance ! 2 (l’erreur expérimentale) - les effets ! et ! des variantes des facteurs A et B sont certains (effets fixes) i j • Conditions d’applications: - indépendance des observations - homogénéité des variances - normalité des résidus • Estimateurs sans biais des effets: - m = x pour µ - a = x ! x pour ! i i i - b = x ! x pour ! i j i - c = x ! x ! a ! b pour ! ij ij i j ij p. 7/16 Modèle d’ANOVA à 2 facteurs • Tableau des observations a a … a … 1 2 i b b … b b … b b … b … 1 2 1 2 1 2 j X X … X X … … … X … 111 121 211 221 ij1 X X … X X … … … X … 112 122 212 222 ij2 … … … … … … … … … … X X … X X … … … X … 11k 12k 21k 22k ijk … … … … … … … … … … X X … X X … … … X … 11n 12n 21n 22n ijn • Notations X Xij = !xijk Xi = !xijk = ! Xij x = x = 1 X i i np k jk j N b X = !x X = !x = ! X x = 1 X x = 1 X ijk j ijk i ij n ij j np j ijk ik i a p. 8/16 Modèle d’ANOVA à 2 facteurs Variation SCE ddl CM Totale !( )2 N – 1 SCE = x " x t ijk ijk Facteur A !( )2 p – 1 SCE SCE = np x " x a a a b i CM = a p !1 i a Facteur B SCE = np !(x " x)2 pb – 1 SCEb b a j CM = b p !1 j b Inter. AxB !( )2 (p – 1)(p – 1) SCE SCEc = n xij " xi " xj + x a b CM = c c ( )( ) p !1 p !1 ij a b Erreur SCE = !e2 p p (n-1) SCEr r ijk a b CM = r ( ) p p n !1 ijk a b • i: niveau de A ; j: niveau de B ; k: numéro d’observation • n: nombre de répétitions ; N = np p : nombre total d’observations a b • ddl de la résiduelle obtenus par soustraction (ddl – [ddl + ddl + ddl ]) t a b c p. 9/16 Modèle d’ANOVA à 2 facteurs • Equation de l’analyse de la variance SCE = SCE + SCE + SCE + SCE t a b c r • Interprétation - Indépendamment des effets principaux des facteurs et de leur interaction, CM est une estimée de l’erreur σ2 e - Si les α sont nuls, CM est une estimation de σ2, indépendante de CM i a e - Si les β sont nuls, CM est une estimation de σ2, indépendante de CM j b e - Si les γ sont nuls, CM est une estimation de σ2, indépendante de CM ij c e 33 HHyyppootthhèèsseess àà tteesstteerr ggrrââccee àà llaa ssttaattiissttiiqquuee ddee FFiisshheerr--SSnneeddeeccoorr:: ll’’iinntteerraaccttiioonn ddooiitt êêttrree tteessttééee aavvaanntt lleess eeffffeettss pprriinncciippaauuxx!! p. 10/16
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