Anneaux: Licence-L3-Mathématiques-Besancon

48 Pages·2009·0.519 MB·French

by  Henri Lombardi

Anneaux
Licence-L3-Math´ematiques-Besan¸con
H. Lombardi(∗)
derni`ere mise a` jour le 8 d´ecembre 2009
Livres de r´ef´erence
– Georges et Marie-Nicole GRAS. Alg`ebre fondamentale. Arithm´etique. Ellipses. 2004.
– Re´mi GOBLOT. Alg`ebre Commutative. Dunod. 2001.
Table des mati`eres
C’est ici! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
1 Arithm´etique de base 1
1.1 On a le droit de calculer modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Th´eor`eme des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Les lemmes de Gauss et d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique dans Z et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Syst`emes d’´equations lin´eaires sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Manipulations ´el´ementaires sur une matrice `a coefficients entiers . . . . . . . . . . . . 5
Le plan de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Anneaux et corps (commutatifs) 11
2.1 Groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Homomorphisme de groupes commutatifs, isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Anneaux : d´efinitions et exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Quelques d´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires reli´ees `a la structure d’anneau . . . . . 14
Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Homomorphisme d’anneaux, isomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Sous-anneau engendr´e par ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Corps des fractions d’un anneau int`egre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Anneaux de fonctions, anneaux produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Produit fini d’anneaux, syst`eme fondamental d’idempotents orthogonaux . . . . . . . 18
Anneaux de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
∗EquipedeMath´ematiques,UMRCNRS6623,UFRdesSciencesetTechniques,Universit´edeFranche-Comt´e,25030
Besanc¸on cedex, FRANCE, email: [email protected]
i
ii Math´ematiques. L3-Anneaux. TABLE DES MATIE`RES
3 Anneaux de polynˆomes 21
3.1 D´efinition de A[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Fonction polynomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Homomorphisme d’´evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Anneaux de polynˆomes `a plusieurs ind´etermin´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Th´eorie des identit´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 D´erivation et formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Id´eaux, anneaux quotients 27
4.1 Calculer modulo un id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Id´eaux comme noyaux d’homomorphismes, th´eor`eme de factorisation . . . . . . . . . 28
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Retour sur les syst`emes fondamentaux d’idempotents orthogonaux . . . . . . . . . . . 29
4.3 Op´erations sur les id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Th´eor`eme des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Id´eaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Th´eorie de la divisibilit´e 33
5.1 Quelques d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Anneaux nœth´eriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Propri´et´es de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Une caract´erisation des anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Anneaux `a pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Syst`eme exact d’irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Anneaux de polynˆomes `a coefficients dans un anneau factoriel . . . . . . . . . . . . . . 43
Crit`eres d’irr´eductibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1 Arithm´etique de base
1.1 On a le droit de calculer modulo n
On se place dans Z, et on consid`ere un entier n > 1. On ´ecrit
a ≡ b mod n, ou encore a = b pour signifier ∃k, a = b+kn.
n
Dans un tel cas on dit que a et b sont congrus modulo n.
Fait 1.1
1. Il s’agit d’une relation d’´equivalence.
2. On a les propri´et´es de stabilit´e suivantes
a = a(cid:48) et b = b(cid:48) =⇒ a+b = a(cid:48)+b(cid:48)
n n n
a = a(cid:48) et b = b(cid:48) =⇒ a×b = a(cid:48)×b(cid:48)
n n n
a = a(cid:48) =⇒ −a = −a(cid:48)
n n
Ainsi tous les calculs dans Z qui utilisent +,−,×,0,1 vont pouvoir ˆetre faits sous une forme
miniature, modulo n, en ne conservant que l’information (cid:40)(cid:40) a mod n (cid:41)(cid:41) pour l’´el´ement a.
Exemple avec n = 100 : pour les nombres ´ecrits en base 10, on ne garde que les deux derniers
chiffres.
Exemple de la preuve par 9 et de la preuve par 11 pour les op´erations effectu´ees avec des nombres
´ecrits en base 10. Elles sont bas´ees sur le genre de calcul suivant, en remarquant que 10n = 1n = 1
9 9
et 10n = (−1)n :
11
123524 = 1+2+3+5+2+4 = 17 = 1+7 = 8,
9 9 9 9
123524 = −1+2−3+5−2+4 = 5.
11 11
On peut se demander ce qui se passe avec des op´erations plus compliqu´ees que +,−,× :
– Ou bien l’op´eration compliqu´ee est une combinaison des op´erations +,−,×, par exemple
(a,b,c) (cid:55)→ 7ab2−3abc3+b4,
ou encore
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)a b c(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(a,b,c,d,e,f,g,h,i) (cid:55)→ (cid:12)d e f(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)g h i (cid:12)
et tout se passe bien.
– Ou bien ce n’est pas le cas et en g´en´eral rien ne va plus.
Par exemple la relation d’ordre a compl`etement disparu.
Autre exemple le quotient et le reste de la division de a par b (cid:54)= 0 : ceci est caract´eris´e par
a = bq + r avec 0 (cid:54) r < |b|. Si on les a effectu´es dans Z, il va rester modulo n l’´egalit´e
a = bq+r. Mais si l’on remplace a et b par a(cid:48) et b(cid:48) tels que a = a(cid:48) et b = b(cid:48) et si q(cid:48) et r(cid:48)
n n n
sont le nouveau quotient et le nouveau reste, on n’a pas en g´en´eral q = q(cid:48), ni non plus r = r(cid:48).
n n
Par exemple comparer modulo 7 le quotient et le reste de la division de 101 par 10 et celui de
la division de 31 par 17.
1.2 L’algorithme d’Euclide
Th´eor`eme 1.2 Soient a,b > 0 dans Z, et g le plus grand diviseur commun `a a et b. Alors :
1. Tout diviseur commun `a a et b divise g.
2. On peut exprimer g sous la forme ua+vb avec u,v ∈ Z.
Plus pr´ecis´ement il existe une matrice M ∈ M (Z) de d´eterminant ±1 telle que
2
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
a g
M = .
b 0
2 Math´ematiques. L3-Anneaux. 1 ARITHME´TIQUE DE BASE
3. m = ab/g est le plus petit commun multiple de a et b : plus pr´ecis´ement, tout multiple commun
`a a et b est multiple de m.
D´emonstration. La preuve du point 1. est bas´ee sur les deux remarques suivantes :
– Le r´esultat est trivial si b divise a, dans ce cas g = b, et tout diviseur commun `a a et b divise b.
– Si b ne divise pas a et si par division euclidienne on obtient a = bq+r avec b > r > 0, alors les
diviseurs communs `a a et b sont exactement les diviseurs communs `a b et r.
Ainsi en d´emarrant avec a = a, b = b, on pose a = b et b = r, et on remplace le probl`eme de
0 0 1 1
d´epart pour (a ,b ) par le mˆeme probl`eme pour (a ,b ). La remarque importante est que 0 < b < b .
0 0 1 1 1 0
En recommen¸cant l’op´eration, on remplace ensuite (a ,b ) par (a ,b ) etc... Apr`es un nombre fini
1 1 2 2
d’´etapes du processus on tombe forc´ement sur la situation ou` pour un certain k, b divise a . Et les
k k
diviseurs communs `a a et b sont alors exactement les diviseurs de b .
k
Tous les diviseurs communs `a a et b sont donc diviseurs d’un seul d’entre eux, b : celui-ci n’est pas
k
seulement le plus grand au sens de la relation d’ordre usuelle, c’est aussi (cid:40)(cid:40) le plus grand (cid:41)(cid:41) au sens de
la relation de divisibilit´e, pour laquelle (cid:40)(cid:40) plus grand (cid:41)(cid:41) signifie (cid:40)(cid:40) ˆetre multiple de (cid:41)(cid:41).
2. La forme matricielle du calcul pr´ec´edent est
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21)
b 0 1 a a 0 1 a
= , i.e. 1 = 0
r 1 −q b b 1 −q b
1 1 0
Donc si l’on appelle q ,q ... les quotient successifs, jusqu’`a q le quotient de a par b on aura
1 2 k+1 k k
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21)
b 0 1 0 1 0 1 a
k = ··· 0
0 1 −q 1 −q 1 −q b
k+1 2 1 0
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 0 0 1
Ainsi en posant M = et, successivement pour i = 0,...,k, M = M , on
0 0 1 i+1 1 −q i
i+1
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
g a
obtient en fin de compte = M avec det(M ) = (−1)k+1.
0 k+1 b k+1
3. Tout d’abord m = a(b/g) = b(a/g) est bien un multiple commun de a et b. Ensuite si l’on a un
multiple commun ad = bc, en utilisant au+bv = g on obtient
gd = (au+bv)d = adu+bvd = bcu+bvd = b(cu+vd),
d = (b/g)(cu+vd) et ad = m(cu+vd). (cid:50)
On appelle ce type d’´egalit´e (cid:40)(cid:40) au+bv = pgcd(a,b) (cid:41)(cid:41) une relation de Bezout entre a et b.
Remarques. 1) L’algorithme des divisions successives pour calculer le pgcd est appel´e (cid:40)(cid:40) algorithme
d’Euclide (cid:41)(cid:41). Lorsque on (cid:40)(cid:40) enrichit (cid:41)(cid:41) l’algorithme de mani`ere `a calculer ´egalement u et v (ou mˆeme la
matrice M ) on parle d’(cid:40)(cid:40) algorithme d’Euclide ´etendu (cid:41)(cid:41). Il s’agit de la m`ere de tous les algorithmes.
k
2) Au sujet de la propri´et´e caract´eristique du pgcd d de a et b :
(cid:40)(cid:40) x divise g si et seulement si x divise a et b (cid:41)(cid:41).
2a) Si on la lit dans Z, cela d´etermine g seulement au signe pr`es. La convention la plus pratique est de
choisirlepgcddansNpourr´etablirl’unicit´e.Demani`ereg´en´eralelesnombresxet−xsont´equivalents
du point de vue la divisibilit´e.
2b) Puisque tout nombre divise 0, il n’y a pas de difficult´e `a ´etendre la notion de pgcd `a un couple
(a,b) arbitraire dans Z (dans le th´eor`eme on a examin´e le cas ou` a et b sont > 1). En particulier
pgcd(a,0) = |a| et pgcd(a,±1) = 1.
Commentaire. Le mot (cid:40)(cid:40) algorithme (cid:41)(cid:41) vient de Al Khwarizmi (790-850), un savant perse qui a ´ecrit un
livre en arabe dans le titre duquel se trouvait (cid:40)(cid:40) Al Djabr (cid:41)(cid:41), qui a donn´e (cid:40)(cid:40) alg`ebre (cid:41)(cid:41).
Deuxentiersaetbsontdits´etrangers,ouencorepremiers entre eux,ouencorecomaximaux,
lorsque pgcd(a,b) = 1, (on n’a pas besoin pour cela de supposer qu’ils sont positifs, ni mˆeme que leur
valeur absolue est > 1). Cette condition ´equivaut `a : ∃u,v ∈ Z, au+bv = 1.
1.3 Th´eor`eme des restes chinois Besanc¸on. 12/2009. 3
Corollaire 1.3 Si a est ´etranger `a b et c alors il est ´etranger `a bc.
D´emonstration. On fait le produit des deux relations de Bezout. (cid:50)
Exercices
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21)
g u v a
Exercice 1.1 Si = avec ut−vs = 1, `a quoi sont ´egaux s et t?
0 s t b
Exercice 1.2 On peut utiliser une l´eg`ere variante de la division euclidienne. On suppose seulement
a,b (cid:54)= 0 (plutˆot que a,b > 0). Alors on peut ´ecrire a = bq+r avec |r| (cid:54) |b|/2. Dans ce cas donner une
majoration du nombre d’´etapes de l’algorithme d’Euclide ainsi modifi´e.
Exercice 1.3 Donnerunalgorithmeenlangagedeprogrammationpourl’algorithmed’Euclide´etendu
correspondant `a la d´emonstration du th´eor`eme 1.2.
1.3 Th´eor`eme des restes chinois
Th´eor`eme 1.4 On consid`ere des entiers a ,...,a deux a` deux ´etrangers et des entiers x ,...,x
1 n 1 n
arbitraires, alors il existe un entier x tel que x ≡ x mod a pour chaque i. En outre deux solutions du
i i
probl`eme sont congrues modulo le produit a = (cid:81)n a .
i=1 i
D´emonstration.
Existence. Commen¸cons par le cas n = 2. On ´ecrit a u +a u = 1, on remarque alors que
1 1 2 2
(cid:26) (cid:26)
a u ≡ 1 mod a a u ≡ 1 mod a
1 1 2 et 2 2 1
a u ≡ 0 mod a a u ≡ 0 mod a
1 1 1 2 2 2
Une solution est donc x = x (a u )+x (a u ). La diff´erence entre deux solutions ´eventuelles est un
2 1 1 1 2 2
multiple commun `a a et a , i.e. un multiple de a a (car a et a sont ´etrangers).
1 2 1 2 1 2
Cas g´en´eral. Montrons d’abord que l’on peut trouver e tel que
1
e ≡ 1 mod a et e ≡ 0 mod a pour i (cid:54)= 1
1 1 1 i
Pour ceci on multiplie les relations de Bezout pour chacun des couples (a ,a ). On obtient une ´egalit´e
1 i
du type
c a +f (cid:81)n a = 1.
1 1 1 i=2 i
Alors e = 1−c a convient. De la mˆeme mani`ere, on construit pour chaque j ∈ 1..n un e qui est
1 1 1 j
(cid:80) (cid:74) (cid:75)
congru `a 1 modulo a , et `a 0 modulo les autres a . Finalement on pose x = x e .
j i j j j
Unicit´e modulo le produit des a . Si on a deux solutions b et b(cid:48), leur diff´erence est multiple de chacun
i
des a . L’unicit´e modulo (cid:81)n a r´esulte alors du th´eor`eme 1.2 point 3. (il implique que tout multiple
i i=1 i
commun de deux ´el´ements ´etrangers est multiple de leur produit) et du corollaire 1.3 (qui permet de
passer `a n > 2). (cid:50)
Remarque. On pourrait aussi traiter d’abord le cas n = 2 en entier (existence et unicit´e), et terminer
avec un raisonnement par r´ecurrence sur n.
1.4 Les lemmes de Gauss et d’Euclide
Rappel : d´efinition des nombres premiers.
Lemme 1.5 (lemme de Gauss)
Soient a, b, c, d des entiers > 1.
1. Si pgcd(a,b) = 1 et si a divise bc alors a divise c.
2. (forme sym´etrique) Si pgcd(a,b) = 1 et si ad = bc alors il existe e tel que c = ae et d = be
4 Math´ematiques. L3-Anneaux. 1 ARITHME´TIQUE DE BASE
3. (forme sym´etrique, la mˆeme, dite autrement) Si pgcd(a,b) = 1, tout multiple commun `a a et b
est multiple de ab.
4. (cas particulier : (cid:40)(cid:40) lemme d’Euclide (cid:41)(cid:41)) Si un nombre premier p divise bc, il divise b ou il divise c.
D´emonstration. Le point 3. a d´ej`a ´et´e d´emontr´e, sous une forme un peu plus g´en´erale : c’est le th´eo-
r`eme 1.2 3. (cid:50)
1.5 Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique dans N
La premi`ere d´emonstration correcte du th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique semble due `a
Gauss, et non pas `a Euclide. Euclide´enonce le th´eor`eme apr`es avoir d´ecrit l’algorithme du pgcd. Mais
il n’utilise pas ce r´esultat crucial dans la suite, de sorte que sa d´emonstration du (cid:40)(cid:40) lemme d’Euclide (cid:41)(cid:41)
semble bel et bien fautive. Or c’est ce lemme qui assure l’unicit´e de la d´ecomposition en facteurs
premiers.
Le th´eor`eme
– E´nonc´e du th´eor`eme : tout entier naturel a > 1 s’´ecrit sous forme
a = pn1 ··· pnk
1 k
avec k (cid:62) 1, p < ··· < p premiers, n ,...,n ∈ N∗. Cette ´ecriture est unique.
1 k 1 k
– Existence d’une d´ecomposition en facteurs premiers (facile).
– Le probl`eme de l’unicit´e (plus d´elicat : r´esulte du lemme d’Euclide).
La relation de divisibilit´e : c’est une relation d’ordre partiel dans N∗.
Le pgcd est alors vu comme une borne inf´erieure (le plus grand des minorants de la partie {a,b}, au
sens de la relation d’ordre (cid:40)(cid:40) a divise b (cid:41)(cid:41)), et le ppcm comme une borne sup´erieure (le plus petit des
majorants de la partie {a,b}, au sens de la relation d’ordre (cid:40)(cid:40) a divise b (cid:41)(cid:41)).
La structure multiplicative de N∗.
1. La relation de divisibilit´e sur l’ensemble des diviseurs de 24, de 72, de 120 : petits dessins.
2. Consid´eronsparmiles´el´ementsdeN∗ l’ensembleM form´eparlesentiersquiadmettentcomme
11
seuls diviseurs premiers 2,3,5,7,11. Un tel entier naturel a s’´ecrit de mani`ere unique sous forme
a = 2n2 ·3n3 ·5n5 ·7n7 ·11n11
avec les n ∈ N, et on peut noter a = (n ,n ,n ,n ,n ) ∈ N5.
i (cid:101) 2 3 5 7 11
Il est clair que le produit de deux ´el´ements de M est encore dans M .
11 11
On obtient alors le dictionnaire suivant :
(a) multiplication dans M11 ↔ addition dans N5, i.e., a(cid:101)b =(cid:101)a+(cid:101)b,
(b) divisibilit´e dans M11 ↔ relation d’ordre produit dans N5, i.e., a | b ⇔(cid:101)a (cid:54)(cid:101)b :
si (cid:101)a = (n2,...,n11) et(cid:101)b = (m2,...,m11), l’´ecriture (cid:101)a (cid:54)(cid:101)b signifie
n (cid:54) m , n (cid:54) m , n (cid:54) m , n (cid:54) m , et n (cid:54) m .
2 2 3 3 5 5 7 7 11 11
(c) pgcd dans M ↔ inf dans N5, i.e. avec les notations pr´ec´edentes
11
pgcd(a,b) = 2inf(n2,m2)·3inf(n3,m3)·5inf(n5,m5)·7inf(n7,m7)·11inf(n11,m11)
(d) ppcm dans M ↔ sup dans N5.
11
3. Si l’on prend N∗ tout entier au lieu de M le mˆeme genre de dictionnaire se met en place, entre
11
d’une part
– (N∗,×, |,pgcd,ppcm)
et d’autre part,
– (cid:40)(cid:40) (N5,+,(cid:54),inf,sup) remplac´e par quelque chose de l´eg`erement plus compliqu´e (cid:41)(cid:41), dont on
reparlera plus loin.
On pourra comparer avec ln et exp qui ´echangent l’addition dans R et la multiplication dans
R>0.
1.6 Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique dans Z et Q Besan¸con. 12/2009. 5
1.6 Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique dans Z et Q
Comparaison des relations de divisibilit´e dans N et dans Z
Dans Z la relation de divisibilit´e
x | y ⇐de⇒f ∃z ∈ Z, x = yz
n’est plus une relation d’ordre, mais de pr´eordre : c’est-`a-dire r´eflexive et transitive (sans demander
la propri´et´e d’(cid:40)(cid:40) antisym´etrie (cid:41)(cid:41)).
Lorsque l’on a une relation de pr´eordre (cid:52) sur un ensemble E, la relation
x (cid:52) y et y (cid:52) x
est une relation d’´equivalence x ∼ y sur E. Si l’on identifie deux ´el´ements de E qui sont ´equivalents
pour ∼, on obtient ce que l’on appelle l’ensemble quotient de E par ∼, que l’on note E/ ∼. Sur
cet ensemble quotient la relation (cid:52) reste bien d´efinie et devient une relation d’ordre.
Dans Z et avec la relation de divisibilit´e, la relation d’´equivalence correspondante est simplement
x = ±y, et Z/ ∼ s’identifie `a N. Cela tient `a ce que 1 et −1 sont les seuls diviseurs de 1 dans Z.
Variantes pour le th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique
Variante pour Z. On a une ´ecriture unique d’un a (cid:54)= 0 dans Z sous forme
εpn1 ··· pnk
1 k
avec ε = ±1, k (cid:62) 0, p < ··· < p premiers, n ,...,n ∈ N∗.
1 k 1 k
Variante pour Q. On a une ´ecriture unique d’un a (cid:54)= 0 dans Q sous forme
εpn1 ··· pnk
1 k
avec ε = ±1, k (cid:62) 0, p < ··· < p premiers, n ,...,n ∈ Z∗.
1 k 1 k
Enparticulieronvoitquesia ∈ Q>0 n’estpasentier,l’undesexposantsn est< 0,etcelaimplique
i
que pour n’importe quel exposant (cid:96), a(cid:96) n’est pas non plus entier. Autrement dit, nous obtenons une
√
g´en´eralisation du th´eor`eme affirmant l’irrationalit´e de 2 :
Corollaire 1.6 Si un nombre entier n’est pas la puissance (cid:96)-`eme d’un nombre entier, ce n’est pas non
plus la puissance (cid:96)-`eme d’un nombre rationnel.
Ou si l’on pr´ef`ere : la racine (cid:96)-`eme d’un nombre entier > 0 est ou bien un nombre entier, ou bien un
nombre irrationnel.
1.7 Syst`emes d’´equations lin´eaires sur Z
Manipulations ´el´ementaires sur une matrice `a coefficients entiers
On appelle manipulation ´el´ementaire sur une matrice `a coefficients dans Z l’une des
transformations suivantes que l’on fait subir `a la matrice :
1. Ajout `a une ligne d’une combinaison lin´eaire (`a coefficients entiers) des autres lignes.
2. Ajout `a une colonne d’une combinaison lin´eaire (`a coefficients entiers) des autres colonnes.
3. Permutation de colonnes ou de lignes.
Silamatrice,not´eeA,estcelled’unsyst`emelin´eaireAX = C,dontlescoefficientsetlesinconnues
sont dans Z, nous pouvons comparer avec ce que nous savons d´ej`a dans le cas ou` les coefficients et les
inconnues sont dans un corps (Q par exemple).
Comparaison avec le cas des matrices `a coefficients dans Q
Ce qui ne change pas :
– Une manipulation ´el´ementaire de lignes remplace le syst`eme lin´eaire par un syst`eme lin´eaire
´equivalent dont les coefficients restent dans Z. Autrement dit le syst`eme lin´eaire est ´equivalent
au pr´ec´edent, en tant que syst`eme `a coefficients et inconnues dans Z (pas seulement dans Q).
– Une permutation de colonnes revient `a changer la num´erotation des inconnues.
6 Math´ematiques. L3-Anneaux. 1 ARITHME´TIQUE DE BASE
– Faire une manipulation ´el´ementaire de lignes sur A ∈ M (Z) revient `a la multiplier `a gauche
m,n
par la matrice U ∈ GL (Z) obtenue `a partir de I en lui faisant subir la mˆeme manipulation
n n
´el´ementaire.
– Faire une manipulation´el´ementaire de colonnes sur A ∈ M (Z) revient `a la multiplier `a droite
m,n
par la matrice V ∈ GL (Z) obtenue `a partir de I en lui faisant subir la mˆeme manipulation
m m
´el´ementaire.
Ce qui change :
– On n’autorise pas la division d’une ligne par un ´el´ement non nul : dans le cas des corps Q, R ou
C, cela permet de rendre les pivots ´egaux `a 1.
– Onautorisedesmanipulations´el´ementairesdecolonnes.Lesinconnuessubissentalorsdestrans-
formations plus importantes qu’une simple renum´erotation. C’est le prix `a payer pour ramener
le syst`eme lin´eaire `a une forme diagonale. La transformation sur les inconnues n’est cependant
(cid:40)(cid:40) pas trop grave (cid:41)(cid:41), car `a partir de la solution obtenue avec les nouvelles inconnues, on peut
retrouver la solution avec les inconnues de d´epart en faisant les transformations inverses.
Le plan de travail
– algorithme qui ram`ene une matrice `a coefficients dans Z `a la forme (cid:40)(cid:40) diagonale (cid:41)(cid:41) au moyen de
manipulations ´el´ementaires de lignes et de colonnes
– application `a la r´esolution (et `a la discussion si le second membre est donn´e par des param`etres)
d’un syst`eme lin´eaire `a coefficients dans Z.
Th´eor`eme 1.7 (forme r´eduite (cid:40)(cid:40) diagonale (cid:41)(cid:41))
On peut `a l’aide des manipulations ´el´ementaires d´ecrites pr´ec´edemment, ramener toute matrice `a
coefficients entiers `a une forme r´eduite du type suivant :
(cid:20) (cid:21)
D 0
0 0
la matrice D ´etant diagonale `a diagonale enti`erement non nulle.
NB : La matrice D, les colonnes de 0 ou les lignes de 0 peuvent ˆetre absentes.
D´emonstration. L’algorithme est le suivant.
Si la matrice est nulle il n’y a rien `a faire. Sinon ...
On rep`ere un coefficient non nul minimum en valeur absolue, disons c.
Si sa ligne et sa colonne sont nulles (hormis lui mˆeme), on le ram`ene en position (1,1), ce qui donne
une matrice de la forme :
(cid:20) (cid:21)
c 0
0 A(cid:48)
et on doit traiter le probl`eme initial avec la matrice restante A(cid:48), de taille plus petite, ce qui permet
de terminer par r´ecurrence (du point de vue algorithmique on fait une boucle convenable).
Sinon ...
On rep`ere dans la ligne ou la colonne de c un coefficient non nul, disons a.
– (cas simple) Si c divise a, on utilise c comme pivot pour tuer a et on passe `a un nouveau
coefficient non nul dans la ligne ou la colonne de c, s’il en reste.
– (cas d´ecisif) Si c ne divise pas a, on peut´ecrire c = aq+r avec |r| (cid:54) |c|/2. Par une manipulation
´el´ementaire autoris´ee on peut donc remplacer a par r. Maintenant r fait office de nouveau c, et
on peut terminer par r´ecurrence (du point de vue algorithmique on fait une boucle convenable).
Il est clair que cet algorithme termine, parce que tant que l’on n’est pas ramen´e au cas d’une matrice
de taille plus petite, chaque ´etape (cid:40)(cid:40) d´ecisive (cid:41)(cid:41) remplace le coefficient minimum en valeur absolue par
un coefficient au moins deux fois plus petit (en valeur absolue). (cid:50)
1.7 Syst`emes d’´equations lin´eaires sur Z Besan¸con. 12/2009. 7
Pour voir comment cet algorithme permet la discussion compl`ete des syst`emes lin´eaires sur Z le
mieux est d’examiner un exemple en d´etail.
E´tantdonn´e un syst`emelin´eairesurZ´ecritmatriciellement souslaformeAX = C,onconsid`ere la
matrice B = [A | C]. On fait subir `a B des manipulations´el´ementaires de lignes, ce qui ne change pas
lessolutionsdusyst`eme,etdesmanipulations´el´ementairesdecolonnes,seulementsurlapartieAdela
matrice,cequirevient`afaireunchangementd’inconnues.Ondoitdoncm´emoriserlestransformations
de colonnes. Pour cela on cr´ee une matrice carr´ee V ayant pour taille le nombre d’inconnues (i.e. le
nombre de colonnes de A). Au d´epart cette matrice V est ´egale `a la matrice identit´e. Ensuite, chaque
fois que l’on fait subir `a A une manipulation de colonnes, on fait subir `a V la mˆeme manipulations de
colonnes.
Un exemple
Voici un exemple trait´e avec Maple :
Onvaanalyserlesyst`emelin´eairesurZ:AX =C,avec[A|C]=B ,lamatriceB ´etantlasuivante(ona
1 1
mis des param`etres dans le second membre C pour faire la discussion en fonction des valeurs des param`etres) :
> B1 := matrix([[-1075, -175, 545, -850, a], [3010, 490, -1526, 2380, b], [-1489, -247,
755, -1177, c]]);
 
−1075 -175 545 −850 a
 
B1 :=  3010 490 −1526 2380 b 
 
−1489 −247 755 −1177 c
La matrice V est donn´ee par
> V:=LinearAlgebra[IdentityMatrix](4); U:=LinearAlgebra[IdentityMatrix](3):
> S:=LinearAlgebra[IdentityMatrix](5):
 
1 0 0 0
 
 0 1 0 0 
V :=  
 
 0 0 1 0 
 
0 0 0 1
Pourfairecomprendrecommentonchoisitlamanipulationquel’onvafaire,onencadrelecoefficientleplus
petit en valeur absolue (parmi les coefficients non nuls) et on souligne, dans sa ligne ou sa colonne, le plus petit
coefficient restant en valeur absolue1 (parmi les coefficients non nuls).
> B2:=addrow(B1,1,3,-1);
 
−1075 −175 545 −850 a
 
B2 :=  3010 490 −1526 2380 b 
 
−414 -72 210 −327 −a+c
> B3:=addrow(B2,3,1,-3);
 
167 41 −85 131 4a−3c
 
B3 :=  3010 490 −1526 2380 b 
 
−414 −72 210 −327 −a+c
> B4:=addrow(B3,1,3,2);
 
167 41 −85 131 4a−3c
 
B4 :=  3010 490 −1526 2380 b 
 
−80 10 40 −65 7a−5c
> B5:=addrow(B4,3,1,-4);
1. En fait le lecteur attentif remarquera quelques erreurs de d´etails, sans influence sur la correction du r´esultat : on
n’a pas toujours soulign´e le coefficient optimal, et le reste de la division n’est pas toujours le reste centr´e.
8 Math´ematiques. L3-Anneaux. 1 ARITHME´TIQUE DE BASE
 
487 1 −245 391 −24a+17c
 
B5 :=  3010 490 −1526 2380 b 
 
−80 10 40 −65 7a−5c
> B6:=addcol(B5,2,3,245): B6:=addcol(B6,2,4,-391): B6:=addcol(B6,2,1,-487):
> B6:=swapcol(B6,2,1): B6:=addrow(B6,1,2,-490): B6:=addrow(B6,1,3,-10);
 
1 0 0 0 −24a+17c
 
B6 :=  0 −235620 118524 −189210 11760a−8330c+b 
 
0 −4950 2490 −3975 247a−175c
> V6:=addcol(V,2,3,245): V6:=addcol(V6,2,4,-391): V6:=addcol(V6,2,1,-487):
> V6:=swapcol(V6,2,1);
 
0 1 0 0
 
 1 −487 245 −391 
V6 :=  
 
 0 0 1 0 
 
0 0 0 1
> B7:=addcol(B6,3,2,2); V7:=addcol(V6,3,2,2):
 
1 0 0 0 −24a+17c
 
B7 :=  0 1428 118524 −189210 11760a−8330c+b 
 
0 30 2490 −3975 247a−175c
> B8:=addrow(B7,3,2,-48);
 
1 0 0 0 −24a+17c
 
B8 :=  0 -12 −996 1590 −96a+70c+b 
 
0 30 2490 −3975 247a−175c
> B9:=addrow(B8,2,3,2);
 
1 0 0 0 −24a+17c
 
B9 :=  0 −12 −996 1590 −96a+70c+b 
 
0 6 498 −795 55a−35c+2b
> B10:=addrow(B9,3,2,2): B10:=swaprow(B10,3,2) ;
 
1 0 0 0 −24a+17c
 
B10 :=  0 6 498 −795 55a−35c+2b 
 
0 0 0 0 14a+5b
> B11:=addcol(B10,2,3,-83); V11:=addcol(V7,2,3,-83):
 
1 0 0 0 −24a+17c
 
B11 :=  0 6 0 −795 55a−35c+2b 
 
0 0 0 0 14a+5b
> B12:=addcol(B11,2,4,133); V12:=addcol(V11,2,4,133):
 
1 0 0 0 −24a+17c
 
B12 :=  0 6 0 3 55a−35c+2b 
 
0 0 0 0 14a+5b
> B13:=addcol(B12,4,2,-2): B13:=swapcol(B13,4,2);
> V13:=addcol(V12,4,2,-2): V13:=swapcol(V13,4,2);