Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch: Band 3 Differential- und Integralrechnung

495 Pages·2008·8.397 MB·German

by  Mag. Josef Trölß (auth.)

W
Josef Trölß
Angewandte Mathematik
mit Mathcad
Lehr- und Arbeitsbuch
Band 3
Differential- und Integralrechnung
Dritte, aktualisierte Auflage
SpringerWienNewYork
Mag. Josef Trölß
Asten/Linz, Österreich
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ISBN 978-3-211-76746-7 SpringerWienNewYork
ISBN 978-3-211-71180-4 2. Aufl. SpringerWienNewYork
Vorwort
Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad"
richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten,
Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender, speziell im
technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme
informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.
Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und
Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad".
Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und
technischer Aufgaben mit Mathcad gelten die im Band 1 (Einführung in Mathcad) angeführten
Grundlagen.
Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den
praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung.
Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische
Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle
Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können
mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt
werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und
kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle
betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so
das "Was wäre wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation
vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis
mathematischer Probleme. Ein weiterer Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen
Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise
dargestellt werden können.
Gliederung des dritten Bandes
In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des
mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz
gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen
und Grafiken näher erläutert.
Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 14 (M011) erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht
nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst
werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt.
Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt:
(cid:120) Folgen, Reihen und Grenzwerte: reelle Zahlenfolgen, Eigenschaften von Folgen, arithmetische und
geometrische Folgen, arithmetische endliche Reihen, geometrische endliche Reihen, Grenzwerte von
unendlichen Folgen, Grenzwerte von unendlichen Reihen, geometrische unendliche Reihen.
(cid:120) Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit: Grenzwerte einer reellen Funktion, Stetigkeit von
reellen Funktionen, Eigenschaften stetiger Funktionen, Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen.
(cid:120) Differentialrechnung: Differenzen- und Differentialquotient (Sekante und Tangente), Ableitungsregeln von
reellen Funktionen in kartesischer Darstellung, Parameterdarstellung und Polarkoordinatendarstellung,
Krümmung ebener Kurven, Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken, Kurvenuntersuchungen,
Extremwertaufgaben, Differential einer Funktion (angenäherte Funktionswertberechnung und Fehler-
bestimmung), Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen (Newton-Verfahren und Regula Falsi),
Interpolationskurven, Funktionen mit mehreren Variablen, partielle Ableitungen, Fehlerrechnung,
Ausgleichsrechnung.
(cid:120) Integralrechnung: unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral, Integrationsmethoden, uneigentliches
Integral erster und zweiter Art, numerische Integration (Mittelpunkts- und Trapezregel, Kepler- und
Simpsonregel), Berechnung der Bogenlänge, Flächenberechnung (ebene Flächen und Mantelflächen von
Rotationskörpern), Volumsberechnung, Schwerpunktsberechnung, Trägheitsmomente, Biegelinien,
Arbeitsintegrale, hydromechanische Berechnungen, Mittelwerte, Mehrfachintegrale.
Spezielle Hinweise
Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu
können. Ein recht umfangreicher Zeichensatz ist die Unicode-Schriftart "Arial". Eine neue Mathematik-
schriftart (Unicode-Schriftart "Mathcad UniMath") von Mathcad erweitert die verfügbaren
mathematischen Symbole (wie z. B. griechische Buchstaben, mathematische Operatoren, Symbole
und Pfeile) beträchtlich. Einige Sonderzeichen aus der Unicode-Schriftart "Arial" stehen auch im
"Ressourcen-Menü" von Mathcad zur Verfügung (QuickSheets-Gesonderte Rechensymbole).
Spezielle Zeichen finden sich auch in anderen Zeichensätzen wie z. B. Bookshelf Symbol 2, Bookshelf
Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT, Castellar und CommercialScript BT.
Empfohlen wird aber der Einsatz von reinen Unicode-Schriftarten.
Zum Einfügen verschiedener Zeichen aus verschiedenen Zeichensätzen ist das Programm
Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm finden Sie unter Zubehör-Zeichentabelle in
Microsoft-Betriebssystemen.Es gibt aber auch andere nützliche Zeichentabellen-Programme.
Viele Zeichen können aber auch mithilfe des ASCII-Codes (siehe Zeichentabelle) eingefügt werden (Eingabe
mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur).
Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt.
Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden
können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen
wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet.
Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende
symbolischeBerechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden
diese einfach redefiniert (z. B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht.
Danksagung
Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss
für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche
Korrekturen.
Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen.
Linz, im Februar 2008 Josef Trölß
Inhaltsverzeichnis
1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 1 ... 34
1.1 Folgen 1
1.1.1 Arithmetische Folgen 9
1.1.2 Geometrische Folgen 13
1.2 Reihen 20
1.2.1 Arithmetische endliche Reihen 20
1.2.2 Geometrische endliche Reihen 22
1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen 26
1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen 29
2. Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit 35 ... 62
2.1 Grenzwerte einer reellen Funktion 35
2.2 Stetigkeit von reellen Funktionen 40
2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen 44
2.2.2 Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen 46
3. Differentialrechnung 63 ... 252
3.1 Die Steigung der Tangente -Der Differentialquotient 63
3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten 69
3.2 Ableitungsregeln für reelle Funktionen 73
3.2.1 Ableitung der linearen Funktion 73
3.2.2 Potenzregel 73
3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel 76
3.2.4 Produktregel 78
3.2.5 Quotientenregel 79
3.2.6 Kettenregel 81
3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung 85
3.2.8 Ableitung der Exponential-und Logarithmusfunktion 90
3.2.9 Ableitung von Kreis-und Arkusfunktionen 99
3.2.10 Ableitung von Hyperbel-und Areafunktionen 105
3.2.11 Höhere Ableitungen 111
3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung 114
3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung 123
3.2.14 Krümmung ebener Kurven 128
3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken 134
Inhaltsverzeichnis
3.3 Kurvenuntersuchungen 138
3.4 Extremwertaufgaben 177
3.5 Das Differential einer Funktion 190
3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung 191
3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung 194
3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 198
3.6.1 Das Newton-Verfahren 198
3.6.2 Das Sekantenverfahren 203
3.7 Interpolationskurven 207
3.8 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 217
3.8.1 Allgemeines 217
3.8.2 Partielle Ableitungen 222
3.9 Fehlerrechnung 236
3.10 Ausgleichsrechnung 242
4. Integralrechnung 253 ... 414
4.1 Das unbestimmte Integral 253
4.2 Das bestimmte Integral 256
4.3 Integrationsmethoden 264
4.3.1 Grundintegrale 264
4.3.2 Integration durch Substitution 272
4.3.3 Partielle Integration 277
4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung 280
4.4 Uneigentliche Integrale 287
4.4.1 Uneigentliche Integrale 1.Art 287
4.4.2 Uneigentliche Integrale 2.Art 291
4.5 Numerische Integration 294
4.5.1 Mittelpunkts-und Trapezregel 294
4.5.2 Kepler-und Simpsonregel 298
4.6 Anwendungen der Integralrechnung 306
4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve 306
4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten 315
4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve 315
4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven 322
4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern 329
4.6.3 Volumsberechnung 334
Inhaltsverzeichnis
4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten 342
4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes 343
4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche 345
4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche 352
4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers 353
4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten 356
4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment 356
4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment 361
4.6.6 Berechnung von Biegelinien 366
4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen 379
4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik 388
4.6.9 Berechnung von Mittelwerten 391
4.7 Mehrfachintegrale 403
4.7.1 Doppelintegrale 403
4.7.2 Dreifachintegrale 409
Anhang 415... 487
Übungsbeispiele 415
Literaturverzeichnis 480
Sachwortverzeichnis 482
Folgen, Reihen und Grenzwerte
1. Folgen, Reihen und Grenzwerte
1.1 Folgen
Reelle Zahlenfolgen heißen solche Funktionen, bei denen die Definitionsmenge D eine Menge
natürlicher Zahlen ( D (cid:142)(cid:3)(cid:178) bzw. D (cid:142)(cid:3)(cid:178) ) und der Wertebereich W eine Menge reeller Zahlen ist.
(cid:19)
f: D (cid:127)(cid:127)(cid:127)(cid:111) W (cid:141) (cid:22) (1-1)
n |(cid:127)(cid:127)(cid:111)(cid:3)f(n) = a
n
Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Zahlenfolge. Die Glieder, also die Zahlen
a , a , a ,... , bzw. a , a , a ,... , sind die zu den Platzhaltern 1, 2, 3, ... (Indizes) gehörigen
0 1 2 1 2 3
Funktionswerte.
Bezeichnungen:
f(n) = a Funktionsgleichung
n
a allgemeines Glied der reellen Folge (Termdarstellung)
n
a bzw. a 1. Glied der Folge oder Anfangsglied
0 1
a k-tes Glied der Folge
k
(cid:31)(cid:3)a (cid:33)(cid:3)= (cid:31)(cid:3)a , a , a , ... , a (cid:33) (cid:3)bzw. (cid:31)(cid:3)a (cid:33)(cid:3)= (cid:31)(cid:3)a , a , a , ... , a (cid:33) endliche Folge
n 0 1 2 n n 1 2 3 n
(cid:31)(cid:3)a (cid:33)(cid:3)= (cid:31)(cid:3)a , a , a , a , ... (cid:33) (cid:3)bzw. (cid:31)(cid:3)a (cid:33)(cid:3)= (cid:31)(cid:3)a , a , a , ... , a , ...(cid:33) unendliche Folge
n 0 1 2 3 n 1 2 3 n

Beispiel 1.1.1:
n (cid:143) { 1, 2, 3, ..., 10 } Definitionsmenge
(cid:31)(cid:3)a (cid:33)(cid:3)=(cid:31)(cid:3)1/n (cid:33)(cid:3)= (cid:3)(cid:31)(cid:3)1; 1/2; 1/3; ... ; 1/10 > endliche Folge
n
ORIGIN(cid:29)(cid:32) 1 ORIGIN festlegen
n(cid:29)(cid:32) 1(cid:17)(cid:17)10 Bereichsvariable
1 Folgeglieder in einem
an(cid:29)(cid:32) Vektor gespeichert
n
Vektorausgabe in Tabellenform: Verschiedene Ausgabeformen der Folgeglieder:
an (cid:32) a (cid:32) T (cid:167) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cid:183) symbolische
a (cid:111) (cid:168)1 (cid:184) Ausgabe in
1 1
(cid:169) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (cid:185) Vektorform
1 1 1 1/1
2 0.5 2 1/2 1 1
a2 (cid:111) a2 (cid:32) 0.5 a2 (cid:32) symbolische
3 0.333 3 1/3 2 2 und numerische
4 0.25 4 1/4 Ausgabe der
1 1
5 0.2 5 1/5 a10(cid:111) a10(cid:32) 0.1 a10(cid:32) Folgeglieder
10 10
6 0.167 6 1/6
7 0.143 7 1/7
8 0.125 8 1/8
9 0.111 9 1/9
10 0.1 10 1/10
Seite 1
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Eigenschaften von Folgen:
Eine Folge (cid:31)(cid:3)a (cid:33) heißt
k
1. streng monoton steigend, wenn für alle k (cid:143)(cid:3)D gilt: a < a (1-2)
k k+1
2. monoton steigend, wenn für alle k (cid:143)(cid:3)D gilt: a (cid:100) a (1-3)
k k+1
3. streng monoton fallend, wenn für alle k (cid:143)(cid:3)D gilt: a > a (1-4)
k k+1
4. monoton fallend, wenn für alle k (cid:143)(cid:3)D gilt: a (cid:116) a (1-5)
k k+1
5. konstant, wenn für alle k (cid:143)(cid:3)D gilt: a = a (1-6)
k k+1
6. nach oben beschränkt, wenn für alle k (cid:143)(cid:3)D gilt: a (cid:100) K (1-7)
k o
K heißt obere Schranke von (cid:31)(cid:3)a (cid:33)
o k
7. nach unten beschränkt, wenn für alle k (cid:143)(cid:3)D gilt: a (cid:116) K (1-8)
k u
K heißt untere Schranke von (cid:31)(cid:3)a (cid:33)
u k
8. beschränkt, wenn für alle k (cid:143)(cid:3)D gilt: |a | (cid:100) M (1-9)
k
M heißt Schranke von (cid:31)(cid:3)a (cid:33)
k
K , K , M (cid:143)(cid:3)(cid:22)
o u
Beispiel 1.1.2:
Geg.: a = 1/10 ( n2 -1)
n
Ges.: Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0)
und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.
ORIGIN(cid:29)(cid:32) 1 ORIGIN festlegen
n(cid:29)(cid:32) 1(cid:17)(cid:17)10 Bereichsvariable
1 (cid:11) 2 (cid:12)
an(cid:29)(cid:32) (cid:152) n (cid:16) 1 allgemeines Folgeglied
10
T (cid:167) 3 4 3 12 7 24 63 99 (cid:183)
a (cid:111) (cid:168)0 8 (cid:184) symbolische Ausgabe in Vektorform
(cid:169) 10 5 2 5 2 5 10 10 (cid:185)
3 4 3 12 7 99
a1 (cid:111) 0 a2 (cid:111) a3 (cid:111) a4 (cid:111) a5 (cid:111) a6 (cid:111) a10(cid:111)
10 5 2 5 2 10
1
11
10 1 0
9
2 3/10
8
7 3 4/5
6 4 3/2 numerische
an 5 a(cid:32) 5 12/5 Ausgabe in
4
Vektorform
3 6 7/2
2
7 24/5
1
8 63/10
(cid:16)1(cid:16)10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9 8/1
10 99/10
n
Abb. 1.1.1
Seite 2