Angewandte Mathematik: Ein Lehrbuch für Lehramtsstudierende

224 Pages·2018·2.408 MB·German

by  Sascha Kurz, Michael Stoll, Karl Worthmann

Angewandte Mathematik
(cid:2) (cid:2)
Sascha Kurz Michael Stoll
Karl Worthmann
Angewandte Mathematik
Ein Lehrbuch für Lehramtsstudierende
SaschaKurz KarlWorthmann
FakultätfürMathematik,Physikund InstitutfürMathematik
Informatik TechnischeUniversitätIlmenau
UniversitätBayreuth Ilmenau,Deutschland
Bayreuth,Deutschland
MichaelStoll
FakultätfürMathematik,Physikund
Informatik
UniversitätBayreuth
Bayreuth,Deutschland
ISBN978-3-662-56704-3 ISBN978-3-662-56705-0(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56705-0
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FürdieLehramtsstudentinnenund-studenten
der Universität Bayreuth
Für Annika, Paula, Antonund Oskar
Für Edith,Robin und Justin
Für Yvonneund Milena
Vorwort
DiesesLehrbuchentstandauseinemSkriptzurVorlesung„AngewandteMathema-
tik für Lehramt Gymnasium“, die vor einigen Jahren an der Universität Bayreuth
konzipiert wurde. Der Hintergrund dafür war, dass in der Lehramtsprüfungsord-
nung I (LPO I), die in Bayern die Ausbildung der Lehrer an staatlichen Schulen
regelt, für das Lehramtan Gymnasien im Fach Mathematik acht Leistungspunkte
„aus einem Gebiet der Angewandten Mathematik“ vorgesehen sind. Als Gebiete
werdenbeispielhaftComputeralgebra,AlgorithmischeGeometrie,DiskreteMathe-
matik,OptimierungundNumerikgenannt.AbgesehenvonachtweiterenLeistungs-
punkten für Stochastik sind keine weiteren Veranstaltungen aus dem Bereich der
AngewandtenMathematikvorgesehenundkönnenauchnichtzusätzlicheingebaut
werden, da die in der LPO I nicht festgelegten Leistungspunkte für die Vermitt-
lung des Stoffes benötigt werden, der für das erfolgreiche Ablegen der Staatsex-
amensklausuren beherrscht werden muss. (In Bayern liegt der Schwerpunkt der
Ausbildung im Lehramt traditionell auf den Grundlagen der Reinen Mathematik.
Sowohl„angewandte“ThemenalsauchaufdenGrundlagenaufbauendevertiefen-
demathematischeKenntnissekommenausunsererSichtdabeietwaszukurz.)
Hinzu kommt,dassim LehramtsstudiumderMathematik imGegensatzzuden
FachstudiengängenderMathematikinderRegelkeineProgrammierkenntnisseer-
worben werden (müssen). Insofern ist der Besuch der Vorlesungen „Einführung
in die Numerische Mathematik“, „Einführung in die Optimierung“ oder „Einfüh-
rung in die Computeralgebra“, die für die Fachstudiengänge angeboten werden
undProgrammierkenntnissevoraussetzen,fürStudierendedesLehramtsnichtoh-
ne Weiteres möglich. Daher wurdedie neue Vorlesung „Angewandte Mathematik
fürLehramtGymnasium“geschaffen,diespeziellaufdieBedürfnissezukünftiger
GymnasiallehrerundGymnasiallehrerinnenzugeschnittenist.
MitdieserVorlesungversuchenwirinBayreuth,dasBesteausdenvonderLPO
vorgegebenen Möglichkeiten zu machen, indem wir unseren Studierenden einen
EinblickindreiverschiedeneBereichederAngewandtenMathematikgeben,näm-
lich Numerik, Optimierung und Computeralgebra. Dabei wird nicht an der Tiefe
gespart,wohlaber(notwendigerweise)anderBreite:Eswirdjeweilseinetypische
FragestellungimDetailbehandelt.
VII
VIII Vorwort
DazukommenindiesemBuchjeweilsnochweitereThemen,dieergänzendge-
lesen oder unterrichtet werden können. Die entsprechenden Abschn. 1.7, 2.5, 2.6
und3.5sinddurcheinenSterngekennzeichnet.MiteinergeeignetenAuswahllässt
sicheineVorlesungimUmfangvondreiSemesterwochenstundenwieinBayreuth
gut abdecken. Wenn man alle optionalen Abschnitte mit aufnimmt, sollte das für
eine vierstündige Vorlesung reichen. Für eine zweistündige Vorlesung bietet es
sich an, sich auf zwei der drei Gebiete Numerik, Optimierung und Computeral-
gebrazubeschränken.Dabeiistzubeachten,dassfürdieComputeralgebragewisse
Vorkenntnisse in Algebra nötig sind. Wir hoffen, dass sich dieses Buch so auch
an anderen Orten als Basis für eine Vorlesung nutzen lässt. Es ist aber auch für
Lehrerinnen und Lehrer gedacht, die ihre Kenntnisse auffrischen oder sich einen
ÜberblickübereinigeFragestellungenundMethodenderAngewandtenMathema-
tikverschaffenwollen.
Mathematik anzuwenden bedeutet häufig, dass man sie in Verfahren umsetzt,
dievonComputernabgearbeitetwerdenkönnen.AngewandteMathematikhatalso
einestarkealgorithmischeKomponenteundbeinhaltetdasSchreibenvonCompu-
terprogrammen. Bevor man also ernsthaft (zum Beispiel) Numerik, Optimierung
oder Computeralgebra betreiben kann, sind einige Grundkenntnisse im Program-
mieren erforderlich. In Bayreuth werden die ersten Übungsstunden dazu genutzt,
die notwendigen Grundlagen bereitzustellen. Im weiteren Verlauf der Vorlesung
wirddanneinwenigPraxisanhandvonProgrammieraufgabenvermittelt.Auchin
diesemBuchwerdenSieeinigeProgrammieraufgabenfinden.ImAnhangB.1wird
knapp erklärt, wie man Algorithmen in ein Computerprogramm (hier in der Pro-
grammiersprache von Matlab) umsetzt. Wie immer in der Mathematik gilt auch
hier,dassmannurdurchAusprobierenundÜbungzumZielkommt.
Die unmittelbare Vorlage für dieses Buch ist ein Skript von Michael Stoll aus
dem Wintersemester 2015/16, das wiederum in Teilen auf früheren Skripten der
beidenanderenAutorenunddemSkript„NumerischeMathematikI“vonLarsGrü-
ne [10] basierte. Während der Vorlesung im Wintersemester 2015/16 wurde für
jeden gemeldetenFehler im SkripteinekleineBelohnungausgesetzt; dieEndver-
sion hatte daher hoffentlich nicht mehr allzu viele Fehler. Wir hoffen, dass beim
Erstellen der Version für dieses Buch keine weiteren hinzugekommensind. Wenn
SiedennochFehlerfindensollten,dannsindwirIhnenfüreineentsprechendeMel-
dungdankbar.
Wir danken Franziska May und Marco Neubauer für das aufmerksame Lesen
desVorlesungsskripts. Weiterer Dankgehtan Edith Geigantundan unsereKolle-
gen Lars Grüne und Anton Schiela für einige nützliche Kommentare zu unserem
Manuskript.AlleverbleibendenFehlergehenaufunserKonto.
BayreuthundIlmenau, SaschaKurz
Januar2018 MichaelStoll
KarlWorthmann
Einführung
In diesem Buch gehtes im Wesentlichen darum,wie man gewisse Arten von ma-
thematischenProblemenmöglichsteffizientmiteinemComputerlösenkann.Dazu
muss man die Mathematik so umsetzen, dass sie für einen Computer verdaulich
ist.DasgeschiehtzunächstaufeinerabstraktenEbene,indemmaneinenAlgorith-
musformuliert,derdasjeweiligeProblemlöst.IneinemzweitenSchrittwirddieser
Algorithmusdannin einer Programmierspracheimplementiert unddamitaufdem
ComputerzumLaufengebracht.IndiesemBuchwerdenwirunshauptsächlichauf
denerstenSchrittkonzentrieren.AberSiemüssenauchlernen,denzweitenSchritt
zutun,damitSiedieAlgorithmendannauchausprobierenkönnenundeinGefühl
dafürbekommen,wasgutfunktioniertundwasehernichtundwarum.ImAnhangB
wirderklärt,wiemanAlgorithmen,wieSiesiezumBeispielindiesemBuchfinden,
inMatlabimplementierenkann.
WasistnuneinAlgorithmus?Wirbleibenetwasinformellundsagen,einAlgo-
rithmusist ein„Rezept“,daseineAbfolgevonRechenoperationenbeschreibt,die
zugegebenenEingabedateninendlichvielenSchrittendiegewünschtenAusgabe-
datenbestimmt.
Vertiefung:FormalisierungdesAlgorithmusbegriffs
Die Beschreibung eines Algorithmus als Rechen-„Rezept“ ist normalerwei-
segutgenug,umeingegebenesVerfahrenalsAlgorithmuszuerkennen.Eine
formaleDefinitionistdannnotwendig,wennmanzeigenwill,dasseingewis-
sesProblemnichtalgorithmischlösbarist.SolcheProblemegibtesdurchaus:
ZumBeispielgibteskeinenAlgorithmus,derentscheidenkann,obeingege-
benesPolynomf 2ZŒx ;x ;:::;x (cid:2)(fürbeliebigesn)eineNullstelleinZn
1 2 n
hat. Die Aufforderung,ein solches Verfahren zu finden, war Nummer 10 in
derberühmtenListevon23Problemen,dieDavidHilbertaufdemInternatio-
nalenMathematikerkongressinParisimJahr1900vorstellte.Esdauerteeine
Weile,bisdieMöglichkeitderUnmöglichkeitinBetrachtgezogenwurde;die
LösungdesProblemserfordertedieFormalisierungdesAlgorithmusbegriffs
IX
X Einführung
(in den 1930er-Jahren) und wurde 1970 durch Matiyasevich abgeschlossen.
NäheresdazukannmanaufderWikipedia-SeitezudenHilbertschenProble-
menunterdemStichwort„HilbertszehntesProblem“nachlesen;dortgibtes
auchLiteraturhinweise.
EinensolchenAlgorithmuskennenSieausderelementarenZahlentheorie,näm-
lichdenEuklidischenAlgorithmuszurBerechnungdesgrößtengemeinsamenTei-
lersvon zwei natürlichenZahlen durchsukzessiveDivision mit Rest. (Sieheauch
Abschn.A.4imAnhang.)ErlässtsichzumBeispielwiefolgtformulieren:
Algorithmus0.1(ggT)
input: a;b 2Z
(cid:2)0
output: ggT.a;b/
whileb ¤0do
bestimmeq;r 2ZmitaDqbCr und0(cid:3)r <b
.a;b/WD.b;r/
endwhile
returna
WasSiehiersehen,istsogenannterPseudocode.ErdientzurFormulierungeines
AlgorithmusaufeinermittlerenAbstraktionsebene,dieeinerseitsformalgenugist,
um deutlich zu machen, dass es sich um einen Algorithmushandelt, und anderer-
seitsvondenEigenheitenkonkreterProgrammiersprachenunabhängigist.Erkann
auchAnweisungenenthalten, diesich nichtunmittelbar ineineProgrammierspra-
che umsetzen lassen, wie zum Beispiel die Anweisung „bestimme q;r 2 Z ...“.
In den meisten Programmiersprachen gilt das auch für die folgende Anweisung
„.a;b/WD .b;r/“,diemanmeistensinzweiZuweisungen„a WD b“und„b WD r“
zerlegenmuss.
! DabeiistdieReihenfolgewichtig–waspassiert,wennmanstattdessen„b WDr;
aWDb“verwendet?
Die meisten Programmiersprachen verwenden * als Symbol für Multiplikatio-
nen. Da Pseudocode aber nicht primär für Maschinen, sondern für Menschen gut
lesbarseinsoll,werdenwirdieüblichemathematischeSchreibweiseqb oderq(cid:4)b
stattq(cid:5)bverwenden.
Der Beispielalgorithmus zeigt bereits einige wichtige Strukturelemente des
Pseudocodes:
Einführung XI
(cid:6) ZuBeginnstehteineSpezifikation.Siegibtan,welcheEingabedatenderAlgo-
rithmusverarbeitet,hier
input:a;b 2Z ,
(cid:2)0
undwasdasErgebnisist,hier
output:ggT.a;b/.
(cid:6) Die EingabedatenwerdeninsogenanntenVariablengespeichert, diedurchNa-
men (hier a und b) bezeichnetwerden. Es können auch weitere Variablen ver-
wendet werden (wie q und r). Der Wert, der einer Variablen zugewiesen ist,
kanndurcheine(erneute)Zuweisunggeändertwerden.Zuweisungenwerdenoft
inderForma WDwnotiert(invielenProgrammiersprachenaucheinfach„D“),
wobei a der Name der Variablen und w der zugewiesene Wert ist. Im Beispiel
ist„.a;b/WD.b;r/“eineparalleleZuweisunganzweiVariablen.
(cid:6) DergrößteTeildesAlgorithmusbestehtauseinerwhile-Schleife.Dasbedeutet,
dass dieAnweisungen zwischen do und end while wiederholtausgeführtwer-
den, solange die Bedingung (hier „b ¤ 0“) zwischen while und do erfüllt ist.
EineBedingungisteineAussage,diedenWerttruefür„wahr“(dannistsieer-
füllt)oderfalsefür„falsch“ergebenkann.IstdieBedingungschonamAnfang
nicht erfüllt, werden die Anweisungen der Schleife übersprungen und es geht
nachdemendwhileweiter.
(cid:6) Schließlichwirddurchdiereturn-AnweisungdasErgebniszurückgegeben.Der
Algorithmusistdamitbeendet.
Pseudocodeistnichtnormiert;esgibtvieleVarianten,diesichinDetailsunter-
scheiden,aberindenGrundstrukturensehrähnlichsind.WeiteredieserStrukturen
sind
(cid:6) dieFallunterscheidung,diewirals
ifBedingungthenAnweisungenendif
oder
ifBedingungthenAnweisungenelseAnweisungenendif
schreibenwerden.IstdieBedingungerfüllt,dannwerdendieAnweisungennach
thenausgeführt,sonstdieAnweisungennachelse(sofernsievorhandensind;in
der ersten Form der if-Anweisung wird die Ausführung in diesem Fall direkt
nachdemendiffortgesetzt),
(cid:6) diefor-Schleife
fori D1tondoAnweisungenendfor:
In ihr werden die Anweisungen wiederholt ausgeführt, wobei die Schleifenva-
riable i (die natürlich auch anders heißen kann) nacheinander die Werte 1, 2,