Analytische Zahlentheorie 001

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Analytische Zahlentheorie
Vorlesung Wintersemester 2004/05
Peter Mu(cid:127)ller
12. Oktober 2004
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu(cid:127)hrung 1
2 Arithmetische Funktionen 3
3 Dirichlet-Reihen 5
4 Erste Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion 11
5 Der Primzahlsatz 14
6 Charaktere abelscher Gruppen 20
7 Der Dirichletsche Primzahlsatz 22
8 Die Gammafunktion 26
9 Mehr zur Riemannschen Zetafunktion 29
10 Das gro(cid:25)e Sieb der Zahlentheorie 35
11 Zwei Anwendungen des gro(cid:25)en Siebs 41
1 Einfu(cid:127)hrung
Die analytische Zahlentheorie befasst sich in erster Linie mit der Vertei-
lung vonPrimzahlen und anderen arithmetischenDichtefragen.Die bis heute
st(cid:127)arksten Methoden kommen aus der Funktionentheorie. In diesem Zusam-
menhang ist die Riemannsche Vermutung (siehe Abschnitt 9) von gro(cid:25)er
1
Bedeutung; diese Vermutung ist wohl die wichtigste o(cid:11)ene Frage in der Ma-
thematik1.
Die Menge der Primzahlen bezeichnen wir mit P. Meist bezeichnet p eine
Primzahl. Die Primfaktorzerlegung von n schreiben wir als n = pei.
i
Das vielleicht fru(cid:127)heste Resultat der analytischen Zahlentheorie ist
Q
Satz 1.1 (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis. Seien p ;p ;:::;p P verschieden. Dann ist 1 + p p :::p > 1
1 2 r 1 2 r
2
durch kein p , i = 1;2;:::;r, teilbar, liefert also einen neuen Primteiler p .
i r+1
Setze das Verfahren unbeschr(cid:127)ankt fort.
Fu(cid:127)rreellesxsei(cid:25)(x)dieAnzahlderPrimzahlen x.ObigerBeweisliefert
(cid:20)
eine sehr schwache untere Absch(cid:127)atzung von (cid:25)(x). Eine bessere Absch(cid:127)atzung
(und erneuten Beweis fu(cid:127)r Euklids Satz) liefert das folgende elegante Argu-
ment von Erd(cid:127)os.
Satz 1.2. Es gilt (cid:25)(n) logn fu(cid:127)r alle n N.
(cid:21) log4 2
Beweis. Schreibe jedes m 1;2;:::;n eindeutig in der Form m = a2b mit
2 f g
a;b N und b quadratfrei. Fu(cid:127)r a gibt es pn M(cid:127)oglichkeiten, und fu(cid:127)r b gibt
2 (cid:20)
es h(cid:127)ochstens 2(cid:25)(n) M(cid:127)oglichkeiten. Es folgt n pn2(cid:25)(n), und daraus folgt die
(cid:20)
Behauptung.
Unsere ersten Ziele in der Vorlesung sind der Beweis des Primzahlsatzes
(Abschnitt 5)
(cid:25)(n)
lim = 1
n n=logn
!1
und des Dirichletschen Primzahlsatzes (siehe Abschnitt 7), n(cid:127)amlich dass in
jeder arithmetischen Folge aN+b mit teilerfremden a;b N unendlich viele
2
Primzahlen liegen.
Aufgaben. Die folgenden Aufgaben behandeln weitere einfache Zug(cid:127)ange zu
Primzahlabsch(cid:127)atzungen.
1. (Polya) Zeige, dass die Zahlen 22m +1, m = 0;1;2;:::, paarweise tei-
lerfremd sind. Welche untere Schranke fu(cid:127)r (cid:25)(n) folgt daraus?
1Siehe http://www.claymath.org/Millennium Prize Problems/ fu(cid:127)r weitere Infor-
mationen, und wie man 1 Million $ verdienen kann...
2
2. Der folgende Beweis von Euler fu(cid:127)r die Unendlichkeit der Primzahlmen-
ge ist wesentlich konzeptioneller, und kann als Startpunkt und Motiva-
tionfu(cid:127)rdiefolgendenzweiAbschnittegesehenwerden.Fu(cid:127)lledieDetails
in folgendem Argument aus:
1 1 1 1
= (1+ + + +:::)
1 1 p p2 p3
p n (cid:0) p p n
Y(cid:20) Y(cid:20)
1 1 1 1
1+ + + + +
(cid:21) 2 3 4 (cid:1)(cid:1)(cid:1) n
> logn
3. Diese Aufgabe enth(cid:127)alt einfache, aber wichtige Absch(cid:127)atzungen der Fa-
kult(cid:127)atsfunktion. Zeige
n n
e( )n < n! < en( )n
e e
fu(cid:127)r alle n N. Tipp: Zeige mittels Riemann-Summen log(n 1)! <
n 2 (cid:0)
logtdt < logn!, und verwende n! = n(n 1)!.
1 (cid:0)
4. FRu(cid:127)r x R sei [x] die gr(cid:127)o(cid:25)te ganze Zahl x. Sei pe die h(cid:127)ochste Potenz
2 (cid:20)
von p P, die n! teilt. Zeige e = 1 [ n ]. Dies benutzte Tchebychev,
2 k=1 pk
um elementare Absch(cid:127)atzungen zur Primzahlverteilung zu erzielen. Zei-
P
ge zum Beispiel
logp
logn 1:
p 1 (cid:21) (cid:0)
p n (cid:0)
X(cid:20)
5. Sei 2 p N. Zeige, dass der Binomialkoe(cid:14)zient p fu(cid:127)r alle 1 k
(cid:20) 2 k (cid:20) (cid:20)
p 1durchpteilbaristgenaudann, wennpeinePrimzahlist.(Hinweis:
(cid:0) (cid:0) (cid:1)
Sei p nicht prim, und q ein Primteiler von p. Sei qk die h(cid:127)ochste Potenz,
die p teilt. Zeige, dass qk kein Teiler von p ist.)
q
(cid:0) (cid:1)
2 Arithmetische Funktionen
Sei die Menge der Funktionen N C. Die Funktion f hei(cid:25)t multi-
A ! 2 A
plikativ, wenn f(mn) = f(m)f(n) fu(cid:127)r alle teilerfremde m;n gilt, und es ein
n N gibt mit f(n) = 0. Gilt f(mn) = f(m)f(n) sogar fu(cid:127)r alle m;n N,
2 6 2
so hei(cid:25)t f vollst(cid:127)andig multiplikativ.
Ist d ein Teiler von n, so schreiben wir d n.
j
Neben der gew(cid:127)ohnlichen Addition auf de(cid:12)nieren wir ein Produkt ?, die
A
Faltung durch
n
(f ?g)(n) := f(d)g( ):
d
dn
Xj
3
Lemma 2.1. Sind f;g multiplikativ, dann auch f ?g.
2 A
Beweis. U(cid:127)bung.
Satz 2.2. ( ;+;?) ist ein kommutativer Ring mit Einselement (cid:17), mit (cid:17)(1) =
A
1 und (cid:17)(n) = 0 fu(cid:127)r n > 1. Ferner gilt: f ist eine Einheit genau dann,
2 A
wenn f(1) = 0.
6
Beweis. Der einfache Nachweis der Ringaxiome sei als U(cid:127)bung u(cid:127)berlassen.
Sei f eine Einheit, es gibt also g mit f ?g = (cid:17). Es folgt 1 = (cid:17)(1) =
2 A
f(1)g(1), also f(1) = 0.
6
Sei nun f mit f(1) = 0. Setze g(1) = 1=f(1), und fu(cid:127)r n > 1 de(cid:12)niere
2 A 6
g(n) rekursiv durch
n
0 = (cid:17)(n) = (f ?g)(n) = f(1)g(n)+ f(d)g( ):
d
1<dn
Xj
Satz 2.3. Sei f multiplikativ. Dann gilt f(1) = 1, und f 1 ist ebenfalls
(cid:0)
2 A
multiplikativ.
Beweis. Sei n N mit f(n) = 0. Aus f(n) = f(n 1) = f(n)f(1) folgt
2 6 (cid:1)
f(1) = 1. Nach Satz 2.2 hat f eine Inverse g , also f ? g = (cid:17). Fu(cid:127)r
2 A
n = pei de(cid:12)niere h(n) = g(pei). Nach De(cid:12)nition ist h multiplikativ, und
i i
es gilt h = g auf Primpotenzen. Auf Primpotenzen gilt f ?h = (cid:17), ferner ist
Q Q
f ?h nach Lemma 2.1 multiplikativ, somit gilt f ?h = (cid:17) auf N, also g = h,
und die Behauptung folgt.
De(cid:12)nition. Sei (cid:15) de(cid:12)niert durch (cid:15)(n) = 1 fu(cid:127)r alle n N. Dann hei(cid:25)t
2 A 2
(cid:22) := (cid:15) 1 die M(cid:127)obiusfunktion.
(cid:0)
Satz 2.4. Sei (cid:22) die M(cid:127)obiusfunktion. Dann gilt
1 falls n = 1,
(cid:22)(n) = 0 falls n > 1 nicht quadratfrei,
8
><( 1)r falls n = p p :::p mit p P verschieden.
1 2 r i
(cid:0) 2
>
Beweis. (cid:22)istm:ultiplikativnachSatz2.3,dahergilt(cid:22)(1) = 1,undwirmu(cid:127)ssen
nur den Fall n = pe betrachten.
Es gilt 0 = ((cid:15) ? (cid:22))(p) = (cid:22)(1) + (cid:22)(p), also (cid:22)(p) = 1. Sei nun e 2.
(cid:0) (cid:21)
Aus 0 = ((cid:15) ?(cid:22))(pe) = (cid:22)(d) = e (cid:22)(pi) = e (cid:22)(pi) folgt induktiv
dpe i=0 i=2
(cid:22)(pe) = 0. j
P P P
4
Als Folge des bisherigen notieren wir die klassische M(cid:127)obiussche Umkehr-
formel.
Korollar 2.5. Sei
F(n) = f(d)
dn
Xj
fu(cid:127)r alle n N. Dann gilt
2
n
f(n) = (cid:22)(d)F( ):
d
dn
Xj
Beweis. Aus F = (cid:15)?f folgt (cid:22)?F = (cid:22)?((cid:15)?f) = ((cid:22)?(cid:15))?f = (cid:17)?f = f.
Sind f;g , so ordnen wir diesen Funktionen formale Dirichlet-Reihen
2 A
1 f(n) 1 g(n)
F(s) = ; G(s) =
ns ns
n=1 n=1
X X
zu. Formales Ausmultiplizieren von F(s)G(s) liefert
1 (f ?g)(n)
F(s)G(s) = :
ns
n=1
X
Somit steht die Faltung zu Dirichlet-Reihen im analogen Verh(cid:127)altnis wie das
wohlvertrauteCauchy-Produkt n f(i)g(n i)zudenPotenzreihen.Dieser
i=0 (cid:0)
Zusammenhang ist der Grund fu(cid:127)r die Bedeutung der Dirichlet-Reihen in der
P
Zahlentheorie.
Aufgaben. 1. Vervollst(cid:127)andige die Beweise von Lemma 2.1 und Satz 2.2.
2. Gilt Lemma 2.1 auch dann, wenn multiplikativ durch vollstandig mul-
tiplikativ ersetzt wird?
3. Seiid(n) = nfu(cid:127)rallen N.WelcheInterpretationhaben(cid:15)?(cid:15)und(cid:15)?id?
2
Gib einen direkten Beweis fu(cid:127)r die Multiplikativit(cid:127)at dieser Funktionen.
3 Dirichlet-Reihen
Die Produkte im folgenden Satz hei(cid:25)en Euler-Produkte.
5
Satz 3.1. Sei f multiplikativ, und 1 f(n) absolut konvergent fu(cid:127)r
2 A n=1 ns
s C. Dann gilt
2 P
1 f(n) 1 f(pk)
= :
ns psk
n=1 p P k=0
X Y2 X
Ist f sogar vollst(cid:127)andig multiplikativ, so gilt
1 f(n) 1
= :
ns 1 f(p)
Xn=1 Yp2P (cid:0) ps
Beweis. Sei F = 1 f(n). Sei (cid:15) > 0, und N N mit f(n) < (cid:15). Setze
n=1 ns 2 n>Nj ns j
P = p P p N , und sei M die Menge der natu(cid:127)rlichen Zahlen die nur
f 2 j (cid:20)Pg P
Primfaktoren aus P enthalten. Es gilt
1 f(pk) 1 f(n)
= :
psk ns
p P k=0 n M
Y2 X X2
Aus 1;2;:::;N M folgt daher
f g (cid:18)
1 f(pk) f(n)
F < (cid:15):
j (cid:0) psk j (cid:20) ns
p P k=0 n>N
Y2 X X
Ist f vollst(cid:127)andig multiplikativ, so gilt
1 f(pk) 1 f(p) 1
= ( )k = :
psk ps 1 f(p)
Xk=0 Xk=0 (cid:0) ps
Beispiele. 1. Sei f = (cid:15) 1 und s > 1. Wir erhalten die Riemannsche
(cid:17)
Zetafunktion
1 1 1
(cid:16)(s) = = :
ns 1 1
n=1 p P (cid:0) ps
X Y2
Hier sieht man sch(cid:127)on, wie die harmlos aussehende linke Seite mit den
Primzahlen verbunden wird.
2. Wieder sei s > 1. Setze F(s) = 1 (cid:22)(n). Aus (cid:15) ? (cid:22) = (cid:17) folgt
n=1 ns
(cid:16)(s)F(s) = 1, also
P
1 1 (cid:22)(n) 1
= = (1 ):
(cid:16)(s) ns (cid:0) ps
n=1 p P
X Y2
6
Bemerkung. Vertauschung von Summation und Grenzu(cid:127)bergang l(cid:127)a(cid:25)t sich
vielfach nur mit gro(cid:25)em Aufwand rechtfertigen. Die Argumente sind meist
sehr trickreichund kompliziert,und keineswegslangweiligeRoutine, wie man
das von der Analysis oft kennt. Diese Vertauschungen sind oft (cid:127)aquivalent zu
tiefen zahlentheoretischen Aussagen, und sind deshalb ein Hauptthema der
analytischen Zahlentheorie. Man kann zum Beispiel elementar ohne gro(cid:25)en
Aufwand zeigen, dass der Primzahlsatz folgt, sobald man die Konvergenz der
Reihe 1 (cid:22)(n) kennt. Auch sehen wir in Ku(cid:127)rze ohne gro(cid:25)en Aufwand, dass
n=1 n
lim 1 = 0 gilt. Aber daraus folgt nicht ohne weiteres die Konvergenz
s!1P(cid:16)(s)
der Reihe.
Fu(cid:127)r s C bezeichnen (s) und (s) den Realteil bzw. Imagin(cid:127)arteil von
2 R I
s.
Satz 3.2. Sei a 2 A, s0 2 C, und 1n=1 an(sn0) konvergiere (nicht notwendig
absolut). Dann ist fu(cid:127)r alle (cid:14) > 0 die Reihe 1 a(n) gleichm(cid:127)a(cid:25)ig konvergent
P n=1 ns
in G(cid:14) := fs 2 Cj jarg(s(cid:0)s0)j (cid:20) (cid:25)2 (cid:0)(cid:14)g. InPsbesondere ist F(s) = 1n=1 an(ns)
holomorph in (s) > (s ).
0
R R P
(s)
I
(cid:14)
s
s
0
(cid:14) (s)
R
Beweis. Setztmana = a ns0,sosiehtman,dassmans = 0annehmendarf.
n 0n 0
Der Beweis benutzt die wichtige Technik der partiellen Summation. Dieses
diskrete Analogon der partiellen Integration wird uns noch oft begegnen.
7
Seien M;N N mit M N. Fu(cid:127)r z R setze
2 (cid:20) 2
A(z) = a(n):
M n z
X(cid:20) (cid:20)
Dann gilt
a(n) 1
= (A(n) A(n 1))
ns (cid:0) (cid:0) ns
M n N M n N
X(cid:20) (cid:20) X(cid:20) (cid:20)
N N 1
A(n) (cid:0) A(n)
=
ns (cid:0) (n+1)s
n=M n=M 1
X X(cid:0)
N 1
(cid:0) 1 1 A(N) A(M 1)
= A(n)( )+ (cid:0) :
ns (cid:0) (n+1)s Ns (cid:0) Ms
n=M
X
=0
| {z }
Schreibe2 s = (cid:27) +it mit (cid:27);t R.
2
Es gilt
1 1 n+1
= s z s 1dz
(cid:0) (cid:0)
jns (cid:0) (n+1)sj j j
Zn
n+1
s z (cid:27) 1dz
(cid:0) (cid:0)
(cid:20) j j
Zn
s 1 1
= j j( ):
(cid:27) n(cid:27) (cid:0) (n+1)(cid:27)
Seinun(cid:15) > 0beliebig.W(cid:127)ahleM((cid:15)),sodass A(z) < (cid:15)fu(cid:127)ralleM((cid:15)) < M z
j j (cid:20)
gilt.
Aus den bisherigen Absch(cid:127)atzungen folgt
N 1
a(n) (cid:0) s 1 1 (cid:15)
(cid:15)j j( )+
j ns j (cid:20) (cid:27) n(cid:27) (cid:0) (n+1)(cid:27) N(cid:27)
M n N n=M
X(cid:20) (cid:20) X
s 1 1 (cid:15)
= (cid:15)j j( )+ :
(cid:27) M(cid:27) (cid:0) N(cid:27) N(cid:27)
2
Die etwas merkwu(cid:127)rdige Mischung aus lateinischen und griechischen Buchstaben fu(cid:127)r
die Komponenten einer komplexen Zahl ist traditionell in der analytischen Zahlentheorie,
wir folgen auch hier dieser Notation.
8
Wegen (cid:27) = sin(cid:14) und 0 1 1 ; 1 1 gilt weiter
s (cid:20) M(cid:27) (cid:0) N(cid:27) N(cid:27) (cid:20)
j j
a(n) (cid:15) 1 1 (cid:15)
( )+
j ns j (cid:20) sin(cid:14) M(cid:27) (cid:0) N(cid:27) N(cid:27)
M n N
X(cid:20) (cid:20)
(cid:15)
+(cid:15)
(cid:20) sin(cid:14)
1
= (cid:15)(1+ ):
sin(cid:14)
Hieraus folgt die Behauptung.
Korollar 3.3. In Satz 3.2 gilt limss!Gs0(cid:14) F(s) = 1n=1 an(sn0):
2
Beweis. Wegengleichm(cid:127)a(cid:25)igerKonvergenzinGPvertauschenSummationund
(cid:14)
Grenzwertbildung.
Bemerkung. Nach Satz 3.2 existiert genau ein (cid:11) R , so dass
2 [ f(cid:6)1g
die Reihe a(n) fu(cid:127)r (s) > (cid:11) konvergiert, und fu(cid:127)r (s) < (cid:11) divergiert.
ns R R
Man nennt (cid:11) deshalb die Konvergenzabszisse. Vorsicht: Fu(cid:127)r (s) > (cid:11) muss
P R
im allgemeinen keine absolute Konvergenz vorliegen. Obwohl die Konver-
genzabszisse dem Konvergenzradius von Potenzreihen entspricht, ist hier die
Situation also komplizierter.
Wenn der Summationsbereich fu(cid:127)r eine Dirichlet-Reihe von 1 bis ist,
1
dann schreiben wir ab jetzt h(cid:127)au(cid:12)g ohne Angabe der Summationsgrenzen.
Die folgende Aussage ist eine Art Identit(cid:127)atssatz fu(cid:127)r Dirichlet-Reihen.
P
Satz 3.4. Seien F(s) = an und G(s) = bn fu(cid:127)r (s) > (cid:11) konvergent.
ns ns R
Es gelte F((cid:27)) = G((cid:27)) fu(cid:127)r alle hinreichend gro(cid:25)en (cid:27). Dann gilt a = b fu(cid:127)r
n n
P P
alle n N.
2
Beweis. Wirdu(cid:127)rfenb = 0annehmen(betrachte an bn).SeialsoF((cid:27)) = 0
n n(cid:0)s
fu(cid:127)r alle hinreichend gro(cid:25)en (cid:27). Sei m minimal mit a = 0. Wir erhalten
m
P 6
0 = F((cid:27))m(cid:27) = a + a (m)(cid:27). Von dieser letzten Summe zeigen wir,
m n>m n n
dass sie fu(cid:127)r (cid:27) gegen 0 konvergiert. Sei (cid:12) > (cid:11). Wegen der Konvergenz
! 1 P
von an gibt es C R mit a n(cid:12) fu(cid:127)r alle n N. Fu(cid:127)r (cid:27) > (cid:12) +1 liefert
n(cid:12) 2 j nj (cid:20) 2
ein Vergleich mit Riemann-Summen
P
m 1 1
a ( )(cid:27) C m(cid:27)
j n n j (cid:20) (cid:1) n(cid:27) (cid:12)
(cid:0)
n>m n=m+1
X X
C m(cid:27) 1z(cid:12) (cid:27)dz
(cid:0)
(cid:20) (cid:1)
Zm
m(cid:12)+1
= C ;
(cid:1) (cid:27) (cid:12) 1
(cid:0) (cid:0)
und der letzte Teil konvergiert o(cid:11)ensichtlich fu(cid:127)r (cid:27) gegen 0.
! 1
9
Ist s C und h(s) meromorph in C, so ist der Konvergenzkreis um
0
2
s gerade so gro(cid:25), dass er die erste Singularit(cid:127)at von h tri(cid:11)t. Eine analoge
0
Aussage gilt fu(cid:127)r Dirichlet-Reihen nicht. Ein in vielen F(cid:127)allen wichtiger Ersatz
ist aber die Folgende Aussage von Landau.
Satz 3.5. Sei an eine Dirichlet-Reihe mit Konvergenzabszisse (cid:11). Ferner
ns
sei 0 a R fu(cid:127)r alle n N. Dann l(cid:127)asst sich die fu(cid:127)r (s) > (cid:11) holomorphe
n
(cid:20) 2 P 2 R
Funktion f(s) = an nicht holomorph nach (cid:11) fortsetzen.
ns
P
Beweis. Ohne Einschr(cid:127)ankung k(cid:127)onnen wir (cid:11) = 0 annehmen. Wir nehmen an,
dass sich f(s) auf einen Kreis um 0 holomorph fortsetzen l(cid:127)asst. Dann ist f(s)
holomorph in einem o(cid:11)enen Kreis um 1 mit einem Radius 1 + 2(cid:15) > 1. Die
Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 1 ist
1 f(k)(1)
f(s) = (s 1)k:
k! (cid:0)
k=0
X
Diese Reihe konvergiertalso auch fu(cid:127)r s = (cid:15). Die Reihe an konvergiertfu(cid:127)r
(cid:0) ns
s > 0gleichm(cid:127)a(cid:25)ig,daherkonvergierenauchalleAbleitungen( 1)k an(logn)k
P (cid:0) ns
gleichm(cid:127)a(cid:25)ig. Wegen a 0 konvergiert die folgende Doppelsumme absolut,
n
(cid:21) P
was die Vertauschung der Summation rechtfertigt. Die folgende erste Zeile
konvergiert, daraus erhalten wir wegen
1 f(k)(1) 1 ((cid:15)+1)k 1 a (logn)k
( (cid:15) 1)k = n
k! (cid:0) (cid:0) k! n
k=0 k=0 n=1
X X X
1 a 1 ((cid:15)+1)k(logn)k
n
=
n k!
n=1 k=0
X X
1 a
= ne((cid:15)+1)logn
n
n=1
X
1 a
n
=
n (cid:15)
(cid:0)
n=1
X
die Konvergenz der Dirichlet-Reihe an fu(cid:127)r s = (cid:15) < 0, im Widerspruch
ns (cid:0)
dazu, dass die Konvergenzabszisse 0 ist.
P
Aufgaben. 1. Sei (cid:21)(n) die Anzahl der Primteiler von n, mit Vielfachheit
gez(cid:127)ahlt. Zeige (cid:16)(2s) = (cid:21)(n).
(cid:16)(s) ns
P
10