Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2

121 Pages·1962·1.28 MB·German

by  Ina Kersten

Dieser Universitätsdruck ist die Fortsetzung des 2005 er- Ina Kersten
schienenen Titels „Analytische Geometrie und Lineare Algebra
1“. Er wendet sich an Studierende des zweiten Semesters, die Analytische Geometrie und
einen Studienabschluss in Mathematik, Physik oder in einem
Zwei-Fächer-Bachelorstudiengang mit Mathematik als einem
Lineare Algebra 2
der beiden Fächer anstreben. Es werden einige Grundbegriffe
der Algebra bereitgestellt, und es wird in die affi ne und projek-
LAT X-Bearbeitung von Stefan Wiedmann
tive Geometrie eingeführt. E
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ISBN 3-938616-44-X Universitätsdrucke Göttingen Universitätsdrucke Göttingen

Ina Kersten
Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2

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erschienen in der Reihe der
Universitätsdrucke Göttingen 2006
Ina Kersten
Analytische Geometrie und
Lineare Algebra 2
LATEX-Bearbeitung von
Stefan Wiedmann

Universitätsverlag Göttingen
2006
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Anschrift der Autorin
Prof. Dr. Ina Kersten
Bunsenstraße 3–5
37073 Göttingen
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Satz und Layout: Stefan Wiedmann
Graphiken: Ben Müller
Titelabbildung: Modellsammlung Mathematisches Institut, Universität
Göttingen
Fotos: Jan-Philipp Hoffmann
Bildbearbeitung: Claudia Gabler und Christian Herrmann
Umschlaggestaltung. Margo Bargheer, Maren Büttner

© Universitätsverlag Göttingen 2006
ISBN 10: 3-938616-45-8
ISBN 13: 978-3-938616-44-4
5
Vorwort
DieserUniversit¨atsdruckenth¨altdenTeil2derVorlesungAnalytischeGeo-
metrieundLineareAlgebra(AGLA).Teil1istzumWintersemester2005/06
als G¨ottinger Universit¨atsdruck erschienen und umfasst 10 Kapitel sowie
68 U¨bungsaufgaben. Folgerichtig starten wir hier mit Kapitel 11 und der
Aufgabe 69. Auf S¨atze und Aufgaben aus fru¨heren Kapiteln kann einfach
verwiesenwerden,ohnedassdieBandnummerextraerw¨ahntwerdenmuss.
Im Sommersemester 2006 wird das AGLA-Reformprojekt 05/06 mit der
Vorlesung AGLA II fortgesetzt. Der Schwerpunkt in der Lehre wird wei-
terhin in dem Lernerfolg bei den Studierenden gesehen. Es gibt auch im
Sommersemester 2006 in den Vorlesungsstunden eine von Ben Mu¨ller
vorbereitete elektronische Pr¨asentation des Lernstoffs, und dieser Univer-
sit¨atsdruck dient als Begleittext zum Vor- und Nacharbeiten. Auch der
ELAN Pool mit den U¨bungsgaben und der M¨oglichkeit, nach und nach
L¨osungshinweise bis hin zu und L¨osungen abzurufen, wird wieder von Ben
Mu¨ller erarbeitet.
Danken m¨ochte ich an die Stelle allen Personen, den ich im Teil 1 schon
gedankt habe, sowie den studentischen Hilfskr¨aften und dem Assistenten
PaulMitchener,dieimWS2005/06dasAGLA-Reformprojektmitgroßem
Einsatz begleitet haben.
April 2006 Ina Kersten
Ein Beispiel
Abbildung 1: Endliche affine Ebene
AnalytischeGeometrieundLineareAlgebraII,Universita¨tGo¨ttingen2006
6
Schreibweisen und Bezeichnungen
Abku¨rzende Schreibweisen
A:=B A ist definitionsgem¨aß gleich B
∃ es gibt
∀ fu¨r alle
=⇒ folgt
⇐⇒ genau dann, wenn
\ ohne
(cid:3) Ende des Beweises
|M| Anzahl der Elemente einer Menge M
m∈M m ist Element der Menge M
M ⊂N M ist Teilmenge von N (d.h. m∈M =⇒ m∈N)
a6b a ist kleiner oder gleich b
a<b a ist kleiner als b
Standardbezeichnungen
N:={1,2,3,...} Menge der natu¨rlichen Zahlen
Z:={0,±1,±2,±,...} Ring der ganzen Zahlen
Q K¨orper der rationalen Zahlen
R K¨orper der reellen Zahlen
C K¨orper der komplexen Zahlen
∅ Leere Menge (besitzt kein Element)
K bezeichne einen beliebigen K¨orper (sofern nichts anderes gesagt wird)
Das griechische Alphabet
A α Alpha, B β Beta, Γ γ Gamma, ∆ δ Delta, E ε Epsilon, Z ζ Zeta, H η
Eta, Θ θ Theta, I ι Jota, K κ Kappa, Λ λ Lambda, M µ My, N ν Ny, Ξ ξ
Xi, O o Omikron, Π π Pi, P % Rho, Σ σ ς Sigma, T τ Tau, Υ υ Ypsilon, Φ
ϕ Phi, X χ Chi, Ψ ψ Psi, Ω ω Omega
AnalytischeGeometrieundLineareAlgebraII,Universita¨tGo¨ttingen2006
Inhaltsverzeichnis 7
Inhaltsverzeichnis
11 Einige Grundbegriffe der Algebra 10
11.1 A¨quivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11.2 Quotientenvektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.3 Die kanonische Abbildung von V auf V/U . . . . . . . . . 12
11.4 Beispiele fu¨r Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
11.5 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
11.6 Homomorphismus von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 17
11.7 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11.8 Abz¨ahlformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11.9 Die Ordnung von Gruppenelementen . . . . . . . . . . . . 20
11.10 Die von einem Element erzeugte Untergruppe . . . . . . . 21
11.11 Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11.12 Erzeugung von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11.13 Klassifikation der zyklischen Gruppen . . . . . . . . . . . 23
11.14 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11.15 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11.16 Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11.17 Der Begriff des Ringes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.18 Der Begriff einer K-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.19 Operationen von Gruppen auf Mengen . . . . . . . . . . . 27
11.20 Affiner Raum (additives Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . 27
11.21 Bahn und Stabilisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
11.22 Bahnformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.23 U¨bungsaufgaben 69 – 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
12 Euklidische R¨aume und Bewegungen 32
12.1 Euklidische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.2 Bewegungsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
12.3 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
12.4 Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
12.5 Orientierung und Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
12.6 Die Bewegungsgruppe von R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 37
12.7 Geometrische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
12.8 Symmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
12.9 Endliche Untergruppen von O ’O (R) . . . . . . . . . . . 40
2
12.10 Endliche Untergruppen der Bewegungsgruppe von R2 . . . 41
12.11 Endliche Untergruppen der Drehgruppe von R3 . . . . . . 42
12.12 U¨bungsaufgaben 76 – 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
AnalytischeGeometrieundLineareAlgebraII,Universita¨tGo¨ttingen2006
8 Inhaltsverzeichnis
13 Bilinearformen 48
13.1 Symmetrische Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.2 Schiefsymmetrische Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . 49
13.3 Orthogonale Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
13.4 Das Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.5 Bestimmung des Ranges von M (s) . . . . . . . . . . . . . 52
B
13.6 Dualit¨atssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.7 Ein Gegenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
13.8 Hyperbolische Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
13.9 Symplektische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.10 Normalform schiefsymmetrischer Matrizen . . . . . . . . . 60
13.11 Orthogonalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13.12 Folgerung fu¨r symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . 63
13.13 Tr¨agheitssatz von Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
13.14 U¨bungsaufgaben 84 – 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
14 Normalformen von Matrizen 68
14.1 Satz u¨ber die Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . 69
14.2 Teilbarkeitseigenschaft des charakteristischen Polynoms . 70
14.3 Satz von Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
14.4 Verallgemeinerte Eigenr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . 71
14.5 Normalform nilpotenter Endomorphismen . . . . . . . . . 73
14.6 Anwendungen der Jordanschen Normalform . . . . . . . . 75
14.7 U¨bungsaufgaben 89 – 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
15 Affine Unterr¨aume und Abbildungen 78
15.1 Affine Unterr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
15.2 Beispiele fu¨r affine Unterr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . 78
15.3 Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
15.4 Beispiele fu¨r affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 80
15.5 Parallelprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
15.6 Der Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
15.7 Affine Unterr¨aume und Schwerpunkte . . . . . . . . . . . 82
15.8 Zum Hauptsatz der affinen Geometrie . . . . . . . . . . . 83
15.9 U¨bungsaufgaben 92 – 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
16 Projektive R¨aume und Projektivit¨aten 84
16.1 Der projektive Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
16.2 Homogene Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
16.3 Beispiele zur Homogenisierung. . . . . . . . . . . . . . . . 85
16.4 Projektive Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
AnalytischeGeometrieundLineareAlgebraII,Universita¨tGo¨ttingen2006