Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de ©Klemens Fersch 24. August 2019 Inhaltsverzeichnis 1 Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt 2 1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Skalarprodukt - Fläche - Winkel 5 2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Vektor - Abstand - Mittelpunkt 9 3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit 13 4.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität 20 5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Gerade aus 2 Punkten 24 6.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7 Ebenengleichung aufstellen 26 7.1 3 Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.2 Punkt und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7.2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7.2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7.3 Parallele Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 8 Parameterform - Koordinatenform 38 8.1 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1 INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS 9 Koordinatenform - Hessesche Normalenform 53 9.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 10 Punkt - Gerade 55 10.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 10.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 11 Gerade - Gerade 63 11.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 12 Punkt - Ebene (Koordinatenform) 77 12.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 12.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 13 Gerade - Ebene (Koordinatenform) 82 13.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 13.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 14 Ebene - Ebene 85 14.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 14.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 2 https://fersch.de Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt 1 Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt 5 5 v⃗ 5 -2 4 v⃗ 4 3 A(-1/3b ) v⃗ 3 2 b M v⃗ 1 1 bB(4/1) v⃗ 2 −1 1 2 3 4 5 6 Vektor - Ortsvektor • Ve ktor⃗v!- Menge aller parallelgleicher Pfeile Ve(cid:18)ktoren:(cid:19)A⃗B =v⃗3 =v⃗4 =v⃗5 x 5 ⃗v = = −2 y (cid:18) (cid:19) • Ortsvektor ⃗v - Vektor zwischen einem Punkt und dem Ortsvektor: A⃗ =v⃗ = −1 1 3 (cid:18) (cid:19) Koordinatenursprung 4 Ortsvektor: B⃗ =v⃗ = A(xa/ya) ! 2 (cid:18) 1 (cid:19) x −5 A⃗ =O⃗A= a Gegenvektor zu v⃗5 = 2 y a • Gegenvektor ⃗v - gleiche Länge und Richtung aber entge- geng esetzte!Orientierung −x ⃗v = −y Vektor zwischen 2 Punkten 2 Punkt e: A(xa/ya)! B( xb/yb)! x −x x Punkte: A(−1/3) B(4/1) A⃗B = yb−ya = yc Vektor(cid:18)zwischen(cid:19)zwei(cid:18)Punkt(cid:19)en b a c 4+1 5 A⃗B = = 1−3 −2 Länge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten (cid:12) (cid:12) p (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) q (cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)= x2+y2 (cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)=(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)= 52+(−2)2 (cid:12)(cid:12)−−→(cid:12)(cid:12) p c c (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) √ (cid:12)AB(cid:12)= (x −x )2+(y −y )2) (cid:12)A⃗B(cid:12)= 29 b a b a (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A⃗B(cid:12)=5,39 Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 3 https://fersch.de Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Aufgaben Steigung der Graden AB ! x Steigng der Geraden AB A⃗B = −2 y m= 5 Steigung der Graden AB y m= x Winkel des Vektors mit der x-Achse tanα=m Mittelpunkt der Strecke AB (cid:16) (cid:17) M⃗ = 1 A⃗+B⃗ Mittelp(cid:16)unkt de(cid:17)r Strecke AB 2 ! !! M⃗ = 1 A⃗+B⃗ x x 2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19) M⃗ = 1 a + b −1 4 2 y y M⃗ = 1 + a b (cid:18)2 (cid:19)3 1 M(xa+2xb/ya+2yb) M⃗ = 112 2 M(11/2) 2 Vektorkette (cid:18) (cid:19) Punkt: A(xa/ ya) ! A(−1/3) ⃗v= 5 x (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)−2(cid:18) (cid:19) Vektor :⃗v = x −1 5 y B = + (cid:18) yB (cid:19) (cid:18) 3(cid:19) −2 O ⃗B =O!⃗A+ ⃗v !B⃗ = A⃗+⃗v! xB = 4 y 1 x x x B B A = + B(4/1) y y y B A 1.1 Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:Punkte:A(x /y ) B(x /y ) a a b b Gesucht:Vektor zwischen 2 Punkten Länge des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten - Mittelpunkt einer Strecke (1) Punkte: A(4/5) B(6/−2) (3) Punkte: A(2/− 1) B(23/21) 3 5 2 (2) Punkte: A(−2/1) B(−3/6) Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 4 https://fersch.de Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Lösungen 1.2 Lösungen Aufgabe (1) •Steigng der Geraden AB 5 m= =−5 −1 Punkte: A(4/5) B(6/−2) •Mittel(cid:16)punkt d(cid:17)er Strecke AB •Vekto(cid:18)r zwischen(cid:19)zwe(cid:18)i Punkt(cid:19)en M⃗ = 1 A⃗+B⃗ 6−4 2 2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19) A⃗B = −2−5 = −7 M⃗ = 1 −2 + −3 •(cid:12) Ab(cid:12)stanpd von 2 Punkten (Betrag des Vektors) (cid:18)2 1(cid:19) 6 (cid:12)(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)(cid:12)=qx2c +yc2 M⃗ = −32112 (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12)A⃗B(cid:12)= 22+(−7)2 M(−21/31) (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) √ 2 2 (cid:12)A⃗B(cid:12)= 53 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A⃗B(cid:12)=7,28 Aufgabe (3) •Steigng der Geraden AB −7 m= =−31 •Mitte2l(cid:16)punkt d2(cid:17)er Strecke AB Punkte: A(23/− 15) B(23/212) •Vekto(cid:18)r zwischen(cid:19)zwe(cid:18)i Punkte(cid:19)n M⃗ = 1 A⃗+B⃗ 23− 2 221 2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19) A⃗B = 3 = 3 4 6 21 + 1 2 7 M⃗ =(cid:18)12 5(cid:19) + −2 •(cid:12) Ab(cid:12)stanpd 2von52 Punkten (1B0etrag des Vektors) (cid:12) (cid:12) M⃗ = 151 (cid:12)(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)(cid:12)=qx(cid:0)2c +(cid:1)yc2 (cid:0) (cid:1) M(5/112)2 (cid:12)(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)(cid:12)=√ 2213 2+ 2170 2 (cid:12)A⃗B(cid:12)= 506 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A⃗B(cid:12)=22,5 Aufgabe (2) •Steigng der Geraden AB 2 7 Punkte: A(−2/1) B(−3/6) m= 10 =0,121 221 •Vekto(cid:18)r z−w3is+ch2en(cid:19)zwe(cid:18)i P−un1kt(cid:19)en •Mittel(cid:16)p3unkt d(cid:17)er Strecke AB A⃗B = 6−1 = 5 M⃗ = 1 A⃗+B⃗ 2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19) •(cid:12)(cid:12) Ab(cid:12)(cid:12)stanpd von 2 Punkten (Betrag des Vektors) M⃗ = 1 23 + 23 (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)AA⃗⃗BB(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)==qx(−2c1+)2y+c2 52 M⃗ =(cid:18)2 111356−(cid:19)15 221 (cid:12)(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)(cid:12)=√26 M(1165/122300) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A⃗B(cid:12)=5,1 Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 5 https://fersch.de Skalarprodukt - Fläche - Winkel 2 Skalarprodukt - Fläche - Winkel 4 ⃗b 3 2 ⃗a 1 1 2 3 4 5 ! ! (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) ⃗a= xa ⃗b= xb ⃗a= −31 ⃗b= 12 y y a b Steigung der Vektoren y y m = a m = b Steigung a x a x y −1 a b m = a = =−1 m =m ⇒Vektoren sind parallel s x 3 3 a b ya 2 m = b = =2 b x 1 b Skalarprodukt ! ! (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) ⃗a◦⃗b= xa ◦ xb =xa·xb+ya·yb ⃗a◦⃗b== −31 ◦ 12 =3·1+−1·2=1 y y a b Senkrechte Vektoren: ⃗a◦⃗b=0⇒⃗a⊥⃗b Fläche aus 2 Vektoren Fläch(cid:12)e des Par(cid:12)allelogramms aus⃗a,⃗b Fläch(cid:12)e des Par(cid:12)allelogramms aus⃗a,⃗b A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa xb (cid:12)(cid:12)(cid:12)=x ·y −y ·x A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) −31 12 (cid:12)(cid:12)(cid:12)=3·2−−1·1=7 (cid:12) (cid:12) a b a b ya yb Fläche(cid:12)des Dreie(cid:12)cks aus⃗a,⃗b Fläche(cid:12)(cid:12)des Dreie(cid:12)(cid:12)cks aus⃗a,⃗b A= 21(cid:12)(cid:12)(cid:12) −31 12 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 21(3·2−(−1)·1)=312 (cid:12) x x (cid:12) A= 1(cid:12) a b (cid:12)= 1(x ·y −y ·x ) 2(cid:12) y y (cid:12) 2 a b a b a b Winkel zwischen Vektoren ⃗a◦⃗b Schnittwinkel: (cid:12) (cid:12) cosα= (cid:12) (cid:12) ⃗a◦⃗b |⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12) cosα= (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) x ·x +y ·y |⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12) cosα= p a b pa b 3·1+−1·2 x2 +y2· x2+y2 cosα= q √ a a b b (cid:12) 32+(−1)(cid:12)2· 12+22 (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) cosα=(cid:12)3,16·2,24(cid:12) cosα=|0,141| α=81,9 Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 6 https://fersch.de Skalarprodukt - Fläche - Winkel Aufgaben 2.1 Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) x x Vektoren: A⃗ = a B⃗ = b y y a b Gesucht: Länge der Vektoren: Fläche des Parallelogramms Skalarprodukt (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) 2 6 3 22 (1) Vektor: A⃗ = B⃗ = (3) Vektor: A⃗ = 10 B⃗ = 5 (cid:18) 3 (cid:19) (cid:18)2 (cid:19) (cid:18) 115 (cid:19) (cid:18) 6 (cid:19) −3 3 12 4 (2) Vektor: A⃗ = B⃗ = (4) Vektor: A⃗ = B⃗ = 2 6 9 −1 Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 7 https://fersch.de Skalarprodukt - Fläche - Winkel Lösungen 2.2 Lösungen (cid:12) (cid:12) Aufgabe (1) A= 1(cid:12)(cid:12)(cid:12) −3 3 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 1(−3·6−2·3)=−12 2 2 6 2 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) •Schnittwinkel: Vektoren:⃗a= 2 ⃗b= 6 ⃗a◦(cid:12)⃗b(cid:12) 3 2 cosα= (cid:12) (cid:12) •Steigung |⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12) ms = xya = 32 =112 cosα= q −3·3+2√·6 ya 2 (−3)2+22· 32+62 m•Lbä=ngpxebbd=er6Ve=kt13or√en: cosα=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)3,613·6,71(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12)|⃗a(cid:12)(cid:12)|=px2a+ya2 =√22+32 =3,61 cosα=|0,124| (cid:12)⃗b(cid:12)= x2+y2 = 62+22 =6,32 α=82,9 b b •Skalarp(cid:18)roduk(cid:19)t: (cid:18) (cid:19) 2 6 ⃗a◦⃗b== ◦ =2·6+3·2=18 3 2 •Flä(cid:12)che des(cid:12)Parallelogramms aus⃗a,⃗b (cid:12) (cid:12) Aufgabe (3) A=(cid:12)(cid:12) 2 6 (cid:12)(cid:12)=2·2−3·6=−14 3 2 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Fläche(cid:12)(cid:12)des Dr(cid:12)(cid:12)eiecks aus⃗a,⃗b Vektoren:⃗a= 130 ⃗b= 252 A= 12(cid:12)(cid:12) 23 62 (cid:12)(cid:12)= 12(2·2−3·6)=−7 •Steigung 115 6 •Schnittwinkel: y 11 ⃗a◦(cid:12)⃗b(cid:12) ms = xa = 35 =4 cosα= (cid:12) (cid:12) a 10 |⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12) m = yb = 6 =21 cosα=(cid:12)√222+·362+·√3(cid:12)6·22+22 •Lbängpxebder2V25ektorqe2n(cid:0): (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:12)(cid:12) 18 (cid:12)(cid:12) |⃗a|= x2 +y2 = 3 2+ 11 2 =1,24 ccoossαα==(cid:12)|03,,76819·|6,32(cid:12) (cid:12)(cid:12)(cid:12)⃗b(cid:12)(cid:12)(cid:12)=pxa2b +yba2 =q(cid:0)21025(cid:1)2+625=6,46 α=37,9 •Skalarp(cid:18)rodukt(cid:19): (cid:18) (cid:19) 3 22 ⃗a◦⃗b== 10 ◦ 5 = 3 ·22 +11 ·6=723 11 6 10 5 5 25 5 •Flä(cid:12)che des Pa(cid:12)rallelogramms aus⃗a,⃗b Aufgabe (2) A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) 11301 2652 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 130 ·6−151 ·252 =−1225 5 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Fläche(cid:12)des Dreie(cid:12)cks aus⃗a,⃗b Vektoren:⃗a= −23 ⃗b= 36 A= 12(cid:12)(cid:12)(cid:12) 11301 2652 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 12(130 ·6−115 ·225)=−2570 •Steigung •Schnittw5inkel: y 2 ms = xyaa =6−3 =−23 cosα= |⃗a⃗a|◦·(cid:12)(cid:12)(cid:12)⃗b⃗b(cid:12)(cid:12)(cid:12) m = b = =2 b xb 3 3 ·22 +11 ·6 •Längpe der Vektorqen: cosα= q(cid:0) (cid:1) 10(cid:0) 5(cid:1) q5(cid:0) (cid:1) (cid:12)(cid:12)(cid:12)|⃗⃗ab(cid:12)(cid:12)(cid:12)|==pxx2a2b ++yyba22 ==√3(2−+3)622+=226,=713,61 cosα=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)1,21347022·3526,+46(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)115 2· 225 2+62 •Skalarp(cid:18)rodukt:(cid:19) (cid:18) (cid:19) cosα=|0,991| −3 3 ⃗a◦⃗b== ◦ =−3·3+2·6=3 α=7,77 2 6 •Flä(cid:12)che des P(cid:12)arallelogramms aus⃗a,⃗b A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) −3 3 (cid:12)(cid:12)(cid:12)=−3·6−2·3=−24 2 6 Fläche des Dreiecks aus⃗a,⃗b Aufgabe (4) Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 8 https://fersch.de Skalarprodukt - Fläche - Winkel Lösungen (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Fläche(cid:12)des Dreie(cid:12)cks aus⃗a,⃗b Vektoren:⃗a= 192 ⃗b= −41 A= 12(cid:12)(cid:12)(cid:12) 192 −41 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 21(12·−1−9·4)=−24 •Steigung •Schnittwinkel: m = ya = 9 = 3 ⃗a◦(cid:12)⃗b(cid:12) s x 12 4 cosα= (cid:12) (cid:12) ya −1 |⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12) m = b = =−1 b x 4 4 12·4+9·(−1) •Längpebder Vektor√en: cosα= √ q |(cid:12)(cid:12)(cid:12)⃗⃗ab(cid:12)(cid:12)(cid:12)|==pxx2a2++yya22 ==q14222++(9−21=)21=54,12 cosα=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) 12329+92(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)· 42+(−1)2 b b 15·4,12 •Skalarp(cid:18)rodukt(cid:19): (cid:18) (cid:19) cosα=|0,631| 12 4 ⃗a◦⃗b== ◦ =12·4+9·(−1)=39 α=50,9 9 −1 •Flä(cid:12)che des Pa(cid:12)rallelogramms aus⃗a,⃗b (cid:12) (cid:12) A=(cid:12)(cid:12) 192 −41 (cid:12)(cid:12)=12·−1−9·4=−48 Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 9 https://fersch.de Vektor - Abstand - Mittelpunkt 3 Vektor - Abstand - Mittelpunkt x 3 v⃗ B(2/-1/5) 5 v⃗ 4 v⃗ 3 v⃗ 2 A(-2/2/1) 5 v⃗ 1 1 -2 2 x 2 2 -1 x 1 Vektor - Ortsvektor • Ve0ktor⃗v1- Menge aller parallelgleicher Pfeile Ve0ktoren:1A⃗B =v⃗3 =v⃗4 x 4 B 1 C =@ −3 A ⃗v =@ x A 2 4 0 1 x3 −2 • Ortsvektor ⃗v - Vektor zwischen einem Punkt und dem Ortsvektor: A⃗ =v⃗ =@ 2 A 1 Koordinatenursprung 0 2 1 2 A(xa/ya) 0 1 Ortsvektor: B⃗ =v⃗ =@ −1 A 2 B a1 C 0 5 1 A⃗ =O⃗A=@ a A −4 2 @ A Gegenvektor zu v⃗ = 3 a 5 3 −4 • Gegenvektor ⃗v - gleiche Länge und Richtung aber entge- gengesetzte Orientierung 0 1 −x 1 B C ⃗v =@ −x A 2 −x 3 Vektor zwischen 2 Punkten 2 Punkte: A(a /a /a ) B(b /b /b ) 0 1 213 0 112 3 b −a c Punkte: A(−2/2/1) B(2/−1/5) 1 1 1 A⃗B =B@ b −a CA=B@ c CA Vektor0zwischen zw1ei P0unkten1 2 2 2 2+2 4 b3−a3 c3 A⃗B =@ −1−2 A=@ −3 A 5−1 4 Unterstützen Sie meine Arbeit durch eine Spende. 10 https://fersch.de
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