Analytische Geometrie

87 Pages·2017·0.28 MB·German

by  Klemens Fersch

Analytische Geometrie
Aufgaben und Lösungen
http://www.fersch.de
©Klemens Fersch
24. August 2019
Inhaltsverzeichnis
1 Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt 2
1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Skalarprodukt - Fläche - Winkel 5
2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Vektor - Abstand - Mittelpunkt 9
3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit 13
4.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität 20
5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Gerade aus 2 Punkten 24
6.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Ebenengleichung aufstellen 26
7.1 3 Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Punkt und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.3 Parallele Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8 Parameterform - Koordinatenform 38
8.1 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.1.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.2 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.2.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS
9 Koordinatenform - Hessesche Normalenform 53
9.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10 Punkt - Gerade 55
10.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11 Gerade - Gerade 63
11.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
12 Punkt - Ebene (Koordinatenform) 77
12.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
12.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13 Gerade - Ebene (Koordinatenform) 82
13.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
13.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
14 Ebene - Ebene 85
14.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
14.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
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Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt
1 Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt
5
5
v⃗
5
-2
4
v⃗
4
3
A(-1/3b )
v⃗
3
2
b
M
v⃗
1
1
bB(4/1)
v⃗
2
−1 1 2 3 4 5 6
Vektor - Ortsvektor
• Ve ktor⃗v!- Menge aller parallelgleicher Pfeile Ve(cid:18)ktoren:(cid:19)A⃗B =v⃗3 =v⃗4 =v⃗5
x 5
⃗v = = −2
y (cid:18) (cid:19)
• Ortsvektor ⃗v - Vektor zwischen einem Punkt und dem Ortsvektor: A⃗ =v⃗ = −1
1 3
(cid:18) (cid:19)
Koordinatenursprung
4
Ortsvektor: B⃗ =v⃗ =
A(xa/ya) ! 2 (cid:18) 1 (cid:19)
x −5
A⃗ =O⃗A= a Gegenvektor zu v⃗5 = 2
y
a
• Gegenvektor ⃗v - gleiche Länge und Richtung aber entge-
geng esetzte!Orientierung
−x
⃗v =
−y
Vektor zwischen 2 Punkten
2 Punkt e: A(xa/ya)! B( xb/yb)!
x −x x Punkte: A(−1/3) B(4/1)
A⃗B = yb−ya = yc Vektor(cid:18)zwischen(cid:19)zwei(cid:18)Punkt(cid:19)en
b a c 4+1 5
A⃗B = =
1−3 −2
Länge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten
(cid:12) (cid:12) p (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) q
(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)= x2+y2 (cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)=(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)= 52+(−2)2
(cid:12)(cid:12)−−→(cid:12)(cid:12) p c c (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) √
(cid:12)AB(cid:12)= (x −x )2+(y −y )2) (cid:12)A⃗B(cid:12)= 29
b a b a (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)A⃗B(cid:12)=5,39
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Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Aufgaben
Steigung der Graden AB
!
x Steigng der Geraden AB
A⃗B = −2
y m=
5
Steigung der Graden AB
y
m=
x
Winkel des Vektors mit der x-Achse
tanα=m
Mittelpunkt der Strecke AB
(cid:16) (cid:17)
M⃗ = 1 A⃗+B⃗ Mittelp(cid:16)unkt de(cid:17)r Strecke AB
2 ! !! M⃗ = 1 A⃗+B⃗
x x 2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19)
M⃗ = 1 a + b −1 4
2 y y M⃗ = 1 +
a b (cid:18)2 (cid:19)3 1
M(xa+2xb/ya+2yb) M⃗ = 112
2
M(11/2)
2
Vektorkette
(cid:18) (cid:19)
Punkt: A(xa/ ya) ! A(−1/3) ⃗v= 5
x (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)−2(cid:18) (cid:19)
Vektor :⃗v = x −1 5
y B = +
(cid:18) yB (cid:19) (cid:18) 3(cid:19) −2
O ⃗B =O!⃗A+ ⃗v !B⃗ = A⃗+⃗v! xB = 4
y 1
x x x B
B A
= + B(4/1)
y y y
B A
1.1 Aufgaben
Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung
Gegeben:Punkte:A(x /y ) B(x /y )
a a b b
Gesucht:Vektor zwischen 2 Punkten
Länge des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten - Mittelpunkt einer Strecke
(1) Punkte: A(4/5) B(6/−2) (3) Punkte: A(2/− 1) B(23/21)
3 5 2
(2) Punkte: A(−2/1) B(−3/6)
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Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Lösungen
1.2 Lösungen
Aufgabe (1) •Steigng der Geraden AB
5
m= =−5
−1
Punkte: A(4/5) B(6/−2) •Mittel(cid:16)punkt d(cid:17)er Strecke AB
•Vekto(cid:18)r zwischen(cid:19)zwe(cid:18)i Punkt(cid:19)en M⃗ = 1 A⃗+B⃗
6−4 2 2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19)
A⃗B = −2−5 = −7 M⃗ = 1 −2 + −3
•(cid:12) Ab(cid:12)stanpd von 2 Punkten (Betrag des Vektors) (cid:18)2 1(cid:19) 6
(cid:12)(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)(cid:12)=qx2c +yc2 M⃗ = −32112
(cid:12) (cid:12) 2
(cid:12)A⃗B(cid:12)= 22+(−7)2 M(−21/31)
(cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12) √ 2 2
(cid:12)A⃗B(cid:12)= 53
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)A⃗B(cid:12)=7,28
Aufgabe (3)
•Steigng der Geraden AB
−7
m= =−31
•Mitte2l(cid:16)punkt d2(cid:17)er Strecke AB Punkte: A(23/− 15) B(23/212)
•Vekto(cid:18)r zwischen(cid:19)zwe(cid:18)i Punkte(cid:19)n
M⃗ = 1 A⃗+B⃗ 23− 2 221
2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19) A⃗B = 3 = 3
4 6 21 + 1 2 7
M⃗ =(cid:18)12 5(cid:19) + −2 •(cid:12) Ab(cid:12)stanpd 2von52 Punkten (1B0etrag des Vektors)
(cid:12) (cid:12)
M⃗ = 151 (cid:12)(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)(cid:12)=qx(cid:0)2c +(cid:1)yc2 (cid:0) (cid:1)
M(5/112)2 (cid:12)(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)(cid:12)=√ 2213 2+ 2170 2
(cid:12)A⃗B(cid:12)= 506
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)A⃗B(cid:12)=22,5
Aufgabe (2)
•Steigng der Geraden AB
2 7
Punkte: A(−2/1) B(−3/6) m= 10 =0,121
221
•Vekto(cid:18)r z−w3is+ch2en(cid:19)zwe(cid:18)i P−un1kt(cid:19)en •Mittel(cid:16)p3unkt d(cid:17)er Strecke AB
A⃗B = 6−1 = 5 M⃗ = 1 A⃗+B⃗
2(cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:19)
•(cid:12)(cid:12) Ab(cid:12)(cid:12)stanpd von 2 Punkten (Betrag des Vektors) M⃗ = 1 23 + 23
(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)AA⃗⃗BB(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)==qx(−2c1+)2y+c2 52 M⃗ =(cid:18)2 111356−(cid:19)15 221
(cid:12)(cid:12)(cid:12)A⃗B(cid:12)(cid:12)(cid:12)=√26 M(1165/122300)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)A⃗B(cid:12)=5,1
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Skalarprodukt - Fläche - Winkel
2 Skalarprodukt - Fläche - Winkel
4
⃗b
3
2
⃗a
1
1 2 3 4 5
! ! (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
⃗a= xa ⃗b= xb ⃗a= −31 ⃗b= 12
y y
a b
Steigung der Vektoren
y y
m = a m = b Steigung
a x a x y −1
a b m = a = =−1
m =m ⇒Vektoren sind parallel s x 3 3
a b ya 2
m = b = =2
b x 1
b
Skalarprodukt
! ! (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
⃗a◦⃗b= xa ◦ xb =xa·xb+ya·yb ⃗a◦⃗b== −31 ◦ 12 =3·1+−1·2=1
y y
a b
Senkrechte Vektoren:
⃗a◦⃗b=0⇒⃗a⊥⃗b
Fläche aus 2 Vektoren
Fläch(cid:12)e des Par(cid:12)allelogramms aus⃗a,⃗b Fläch(cid:12)e des Par(cid:12)allelogramms aus⃗a,⃗b
A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) xa xb (cid:12)(cid:12)(cid:12)=x ·y −y ·x A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) −31 12 (cid:12)(cid:12)(cid:12)=3·2−−1·1=7
(cid:12) (cid:12) a b a b
ya yb Fläche(cid:12)des Dreie(cid:12)cks aus⃗a,⃗b
Fläche(cid:12)(cid:12)des Dreie(cid:12)(cid:12)cks aus⃗a,⃗b A= 21(cid:12)(cid:12)(cid:12) −31 12 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 21(3·2−(−1)·1)=312
(cid:12) x x (cid:12)
A= 1(cid:12) a b (cid:12)= 1(x ·y −y ·x )
2(cid:12) y y (cid:12) 2 a b a b
a b
Winkel zwischen Vektoren
⃗a◦⃗b Schnittwinkel:
(cid:12) (cid:12)
cosα= (cid:12) (cid:12) ⃗a◦⃗b
|⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12) cosα= (cid:12)(cid:12) (cid:12)(cid:12)
x ·x +y ·y |⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12)
cosα= p a b pa b 3·1+−1·2
x2 +y2· x2+y2 cosα= q √
a a b b (cid:12) 32+(−1)(cid:12)2· 12+22
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 (cid:12)
cosα=(cid:12)3,16·2,24(cid:12)
cosα=|0,141|
α=81,9
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Skalarprodukt - Fläche - Winkel Aufgaben
2.1 Aufgaben
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Gegeben: (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
x x
Vektoren: A⃗ = a B⃗ = b
y y
a b
Gesucht:
Länge der Vektoren:
Fläche des Parallelogramms
Skalarprodukt
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
2 6 3 22
(1) Vektor: A⃗ = B⃗ = (3) Vektor: A⃗ = 10 B⃗ = 5
(cid:18) 3 (cid:19) (cid:18)2 (cid:19) (cid:18) 115 (cid:19) (cid:18) 6 (cid:19)
−3 3 12 4
(2) Vektor: A⃗ = B⃗ = (4) Vektor: A⃗ = B⃗ =
2 6 9 −1
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Skalarprodukt - Fläche - Winkel Lösungen
2.2 Lösungen
(cid:12) (cid:12)
Aufgabe (1) A= 1(cid:12)(cid:12)(cid:12) −3 3 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 1(−3·6−2·3)=−12
2 2 6 2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) •Schnittwinkel:
Vektoren:⃗a= 2 ⃗b= 6 ⃗a◦(cid:12)⃗b(cid:12)
3 2 cosα= (cid:12) (cid:12)
•Steigung |⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12)
ms = xya = 32 =112 cosα= q −3·3+2√·6
ya 2 (−3)2+22· 32+62
m•Lbä=ngpxebbd=er6Ve=kt13or√en: cosα=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)3,613·6,71(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12)(cid:12)|⃗a(cid:12)(cid:12)|=px2a+ya2 =√22+32 =3,61 cosα=|0,124|
(cid:12)⃗b(cid:12)= x2+y2 = 62+22 =6,32 α=82,9
b b
•Skalarp(cid:18)roduk(cid:19)t: (cid:18) (cid:19)
2 6
⃗a◦⃗b== ◦ =2·6+3·2=18
3 2
•Flä(cid:12)che des(cid:12)Parallelogramms aus⃗a,⃗b
(cid:12) (cid:12) Aufgabe (3)
A=(cid:12)(cid:12) 2 6 (cid:12)(cid:12)=2·2−3·6=−14
3 2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Fläche(cid:12)(cid:12)des Dr(cid:12)(cid:12)eiecks aus⃗a,⃗b Vektoren:⃗a= 130 ⃗b= 252
A= 12(cid:12)(cid:12) 23 62 (cid:12)(cid:12)= 12(2·2−3·6)=−7 •Steigung 115 6
•Schnittwinkel: y 11
⃗a◦(cid:12)⃗b(cid:12) ms = xa = 35 =4
cosα= (cid:12) (cid:12) a 10
|⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12) m = yb = 6 =21
cosα=(cid:12)√222+·362+·√3(cid:12)6·22+22 •Lbängpxebder2V25ektorqe2n(cid:0): (cid:1) (cid:0) (cid:1)
(cid:12)(cid:12) 18 (cid:12)(cid:12) |⃗a|= x2 +y2 = 3 2+ 11 2 =1,24
ccoossαα==(cid:12)|03,,76819·|6,32(cid:12) (cid:12)(cid:12)(cid:12)⃗b(cid:12)(cid:12)(cid:12)=pxa2b +yba2 =q(cid:0)21025(cid:1)2+625=6,46
α=37,9 •Skalarp(cid:18)rodukt(cid:19): (cid:18) (cid:19)
3 22
⃗a◦⃗b== 10 ◦ 5 = 3 ·22 +11 ·6=723
11 6 10 5 5 25
5
•Flä(cid:12)che des Pa(cid:12)rallelogramms aus⃗a,⃗b
Aufgabe (2) A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) 11301 2652 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 130 ·6−151 ·252 =−1225
5
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Fläche(cid:12)des Dreie(cid:12)cks aus⃗a,⃗b
Vektoren:⃗a= −23 ⃗b= 36 A= 12(cid:12)(cid:12)(cid:12) 11301 2652 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 12(130 ·6−115 ·225)=−2570
•Steigung •Schnittw5inkel:
y 2
ms = xyaa =6−3 =−23 cosα= |⃗a⃗a|◦·(cid:12)(cid:12)(cid:12)⃗b⃗b(cid:12)(cid:12)(cid:12)
m = b = =2
b xb 3 3 ·22 +11 ·6
•Längpe der Vektorqen: cosα= q(cid:0) (cid:1) 10(cid:0) 5(cid:1) q5(cid:0) (cid:1)
(cid:12)(cid:12)(cid:12)|⃗⃗ab(cid:12)(cid:12)(cid:12)|==pxx2a2b ++yyba22 ==√3(2−+3)622+=226,=713,61 cosα=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)1,21347022·3526,+46(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)115 2· 225 2+62
•Skalarp(cid:18)rodukt:(cid:19) (cid:18) (cid:19) cosα=|0,991|
−3 3
⃗a◦⃗b== ◦ =−3·3+2·6=3 α=7,77
2 6
•Flä(cid:12)che des P(cid:12)arallelogramms aus⃗a,⃗b
A=(cid:12)(cid:12)(cid:12) −3 3 (cid:12)(cid:12)(cid:12)=−3·6−2·3=−24
2 6
Fläche des Dreiecks aus⃗a,⃗b Aufgabe (4)
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Skalarprodukt - Fläche - Winkel Lösungen
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Fläche(cid:12)des Dreie(cid:12)cks aus⃗a,⃗b
Vektoren:⃗a= 192 ⃗b= −41 A= 12(cid:12)(cid:12)(cid:12) 192 −41 (cid:12)(cid:12)(cid:12)= 21(12·−1−9·4)=−24
•Steigung •Schnittwinkel:
m = ya = 9 = 3 ⃗a◦(cid:12)⃗b(cid:12)
s x 12 4 cosα= (cid:12) (cid:12)
ya −1 |⃗a|·(cid:12)⃗b(cid:12)
m = b = =−1
b x 4 4 12·4+9·(−1)
•Längpebder Vektor√en: cosα= √ q
|(cid:12)(cid:12)(cid:12)⃗⃗ab(cid:12)(cid:12)(cid:12)|==pxx2a2++yya22 ==q14222++(9−21=)21=54,12 cosα=(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) 12329+92(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)· 42+(−1)2
b b 15·4,12
•Skalarp(cid:18)rodukt(cid:19): (cid:18) (cid:19) cosα=|0,631|
12 4
⃗a◦⃗b== ◦ =12·4+9·(−1)=39 α=50,9
9 −1
•Flä(cid:12)che des Pa(cid:12)rallelogramms aus⃗a,⃗b
(cid:12) (cid:12)
A=(cid:12)(cid:12) 192 −41 (cid:12)(cid:12)=12·−1−9·4=−48
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Vektor - Abstand - Mittelpunkt
3 Vektor - Abstand - Mittelpunkt
x
3
v⃗
B(2/-1/5) 5
v⃗
4
v⃗
3
v⃗
2 A(-2/2/1)
5 v⃗
1
1
-2 2
x
2
2
-1
x
1
Vektor - Ortsvektor
• Ve0ktor⃗v1- Menge aller parallelgleicher Pfeile Ve0ktoren:1A⃗B =v⃗3 =v⃗4
x 4
B 1 C =@ −3 A
⃗v =@ x A
2 4
0 1
x3 −2
• Ortsvektor ⃗v - Vektor zwischen einem Punkt und dem Ortsvektor: A⃗ =v⃗ =@ 2 A
1
Koordinatenursprung 0 2 1
2
A(xa/ya) 0 1 Ortsvektor: B⃗ =v⃗ =@ −1 A
2
B a1 C 0 5 1
A⃗ =O⃗A=@ a A −4
2
@ A
Gegenvektor zu v⃗ = 3
a 5
3 −4
• Gegenvektor ⃗v - gleiche Länge und Richtung aber entge-
gengesetzte Orientierung
0 1
−x
1
B C
⃗v =@ −x A
2
−x
3
Vektor zwischen 2 Punkten
2 Punkte: A(a /a /a ) B(b /b /b )
0 1 213 0 112 3
b −a c Punkte: A(−2/2/1) B(2/−1/5)
1 1 1
A⃗B =B@ b −a CA=B@ c CA Vektor0zwischen zw1ei P0unkten1
2 2 2 2+2 4
b3−a3 c3 A⃗B =@ −1−2 A=@ −3 A
5−1 4
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