Analytische Geometrie

23 Pages·2010·0.27 MB·German

by  Otto Mutzbauer

ANALYTISCHE GEOMETRIE
OTTO MUTZBAUER
Date: 22. Januar 2008.
1
ANALYTISCHE GEOMETRIE 133
9. Analytische Geometrie
Die analytische Geometrie bzw. die a(cid:30)ne Geometrie eines Vektorrau-
mes isteineAnwendung derLinearenAlgebra, einalgebraisches Modell
der Geometrie.
9.1. A(cid:30)ne R(cid:228)ume.
Sei V ein K-Vektorraum mit Unterraum U. Eine Teilmenge A =
a + U V hei(cid:255)t Nebenklasse, und ein beliebiger Vektor aus A, also
(cid:26)
z.B. a hei(cid:255)t Repr(cid:228)sentant, vgl. die De(cid:28)nition des Faktorraumes. Hier
inderAnalytischen Geometriesagtmanstattdessen a(cid:30)ner Raum bzw.
a(cid:30)ner Unterraum A von V mit St(cid:252)tzvektor a. Falls A = U, also ein
Vektorraum,bzw.(cid:228)quivalenta U odera = 0, dannhei(cid:255)tAeinhomo-
2
gener Raum. Allgemeinhei(cid:255)t U der zu A = a+U geh(cid:246)rende homogene
Unterraum. Ist A = a + Ka0 eine Gerade, dann hei(cid:255)t a0 Richtungs-
vektor der Geraden. Wenn A0 = a0 + U0 A = a+U f(cid:252)r zwei a(cid:30)ne
(cid:26)
Unterr(cid:228)ume von V gilt, dann hei(cid:255)t A0 a(cid:30)ner Unterraum von A, hier
kurz Unterraum. Die Inklusion bezeichnet in diesem Kapitel in der
Regel a(cid:30)ne Unterr(cid:228)ume und schlie(cid:255)t die Gleichheit ein. Die Elemente
n
a(cid:30)ner R(cid:228)ume hei(cid:255)en Punkte. Der Punkt 0 K hei(cid:255)t Nullpunkt oder
2
Ursprung. Man vereinbart f(cid:252)r A = a+U = als Dimension dimA =
6 ;
dimU. Die leere Menge wird vereinbart als a(cid:30)ner Raum der Dimen-
sion dim = 1. A(cid:30)ne R(cid:228)ume der Dimensionen 0;1;2 hei(cid:255)en Punkt,
; (cid:0)
Gerade bzw. Ebene. Ein Unterraum A0 A mit dimA0 = dimA 1
(cid:26) (cid:0)
hei(cid:255)t Hyperebene von A. Jeder Vektor b = a+u A = a+U, u U,
2 2
eines a(cid:30)nen Raumes A ist o(cid:27)ensichtlich ein St(cid:252)tzvektor von A. Der
zugeh(cid:246)rige homogene Unterraum U ist durch A eindeutig bestimmt als
U = b c b;c A = b a b A :
f (cid:0) j 2 g f (cid:0) j 2 g
Die a(cid:30)nen Unterr(cid:228)ume A = a +U und A0 = a0 +U0 hei(cid:255)en parallel,
wenn entweder U U0 oder U0 U, Gleichheit eingeschlossen.
(cid:26) (cid:26)
Der Durchschnitt von a(cid:30)nen Unterr(cid:228)umen istwieder eina(cid:30)ner Raum,
und es gibt eindeutig bestimmte sog. Verbindungsr(cid:228)ume.
Proposition 9.1.1. (Durchschnitt und Verbindungsraum)
(1) Seien ai+Ui f(cid:252)r i I a(cid:30)ne Unterr(cid:228)ume. Falls ihr Durchschnitt
2
nicht leer ist, gilt mit a i I(ai +Ui)
2 2
T
(ai +Ui) = a+ Ui:
\i I \i I
2 2
134 ANALYTISCHE GEOMETRIE
(2) Der eindeutig bestimmte kleinste a(cid:30)ne Unterraum, der die a(cid:30)-
nen Unterr(cid:228)ume a1+U1 und a2+U2 enth(cid:228)lt, hei(cid:255)t Verbindungs-
raum:
(a1 +U1) (a2 +U2) = a1 + K(a2 a1)+U1 +U2 :
_ (cid:0)
(cid:0) (cid:1)
Beweis. (1) Ein Punkt a i I(ai + Ui) = ist ein gemeinsamer
2 2 6 ;
St(cid:252)tzvektor aller Unterr(cid:228)ume,Talso ist
(ai +Ui) = (a+Ui) = a+u u Ui f(cid:252)r alle i I = a+ Ui
f j 2 2 g
\i I \i I \i I
2 2 2
nach Satz 2.1.2 wieder ein a(cid:30)ner Raum.
(2)SeiB dera(cid:30)neRaumaufderrechtenSeite. Erenth(cid:228)lto(cid:27)ensichtlich
beide R(cid:228)ume. Sei umgekehrt X = a1 +W ein a(cid:30)ner Unterraum, der
beide R(cid:228)ume enth(cid:228)lt, dann gilt a2 a1 W und sowieso U1;U2 W.
(cid:0) 2 (cid:26)
Also B X, und B ist eindeutig bestimmt.
(cid:26)
Proposition 9.1.1 hat einige o(cid:27)ensichtliche Konsequenzen.
Korollar 9.1.2.
(1) Der Verbindungsraum
a1 a2 = a1 +K(a2 a1)
_ (cid:0)
zweier Punkte a1;a2 hei(cid:255)t Verbindungsgerade.
(2) F(cid:252)r A = a+U und b = A hat der Verbindungsraum
2
A b = a+ U +K(b a)
_ (cid:0)
(cid:0) (cid:1)
die Dimension dim(A b) = dimA+1.
_
(3) F(cid:252)r Unterr(cid:228)ume A1;A2 des a(cid:30)nen Raumes X ist A1 A2 X.
_ (cid:26)
(4) Sind die a(cid:30)nen R(cid:228)ume A1;A2 parallel und nicht disjunkt, dann
ist entweder A1 A2 oder A2 A1.
(cid:26) (cid:26)
Satz 9.1.3. Eine Gerade und eine Hyperebene, die nicht parallel sind,
schneiden sich in genau einem Punkt.
Beweis. Seien G = g+G0 und H = h+H0 Gerade und Hyperebene im
a(cid:30)nen Raum A = a+U. Da G;H nicht parallelsind, ist U = G0 H0.
(cid:8)
Da g;h A ist g h U, also g h = x+y mit x G0 und y H0.
2 (cid:0) 2 (cid:0) 2 2
Somit ist g x = h + y G H ein Schnittpunkt. Weil G und H
(cid:0) 2 \
nicht parallel sind enth(cid:228)lt G H keinen weiteren Punkt von G nach
\
Korollar 9.1.2 (4).
ANALYTISCHE GEOMETRIE 135
3
Beispiel. SeiimarithmetischenK-VektorraumK dieBasis(e1;e2;e3)
der Einheitsvektoren und die a(cid:30)ne Gerade G = e1 +Ke2 gegeben.
(1)F(cid:252)r die a(cid:30)ne Ebene, auch Hyperebene, H = 2e1 +Ke2 +Ke3 ist
G H = , als L(cid:246)sung der Gleichung e1+ae2 = 2e1+be2+ce3, d.h. G
\ ;
und H sind parallel.
(2) F(cid:252)r die a(cid:30)ne Ebene, auch Hyperebene, H0 = e2 + Ke1 +Ke3 ist
G H0 = e1 + e2 ein Punkt, als L(cid:246)sung der Gleichung e1 + ae2 =
\
e2 +be1 +ce3.
Der Dimensionssatz f(cid:252)r a(cid:30)ne R(cid:228)ume sieht anders aus als der Dimen-
sionssatz f(cid:252)r Unterr(cid:228)ume, weil z.B. auch die leere Menge ein a(cid:30)ner
Raum ist.
Satz 9.1.4. (Dimensionssatz) Seien A;B a(cid:30)ne Unterr(cid:228)ume endlicher
Dimension.
(1) F(cid:252)r A = oder B = oder A B = ist
; ; \ 6 ;
dimA+dimB = dim(A B)+dim(A B):
_ \
(2) F(cid:252)r A = a+A0 = und B = b+B0 = und A B = ist
6 ; 6 ; \ ;
dimA+dimB = dim(A B)+dim(A B)+dim(A0 B0):
_ \ \
Beweis. (1) A und B k(cid:246)nnen nicht beide leer sein. Sei also A = .
6 ;
F(cid:252)r B = , ist dim(A B) = 1, und es gilt die Formel. Sei also
; \ (cid:0)
A B = . Nach Proposition 9.1.1 gilt dann A B = a + A0 + B0
\ 6 ; _
und A B = a + A0 B0 mit einem gemeinsamen St(cid:252)tzvektor. Mit
\ \
Satz 2.3.2 folgt nun die Formel.
(2) Nach Proposition 9.1.1 ist dim(A B) = dim(A0 +B0)+1. Also
_
folgt die Formel mit dim(A B) = 1 und Satz 2.3.2.
\ (cid:0)
De(cid:28)nition. Zwei a(cid:30)ne R(cid:228)ume A = a+A0 und B = b +b0 hei(cid:255)en
windschief, wenn A B = und A0 B0 = 0. Z.B. sind die beiden
\ ; \ 3
Geraden G1 = e1 + Ke2 und G2 = e2 + Ke3 windschief im K . In
einer Ebene gibt es nur Geraden, die sich entweder schneiden oder par-
4
allel sind, also keine windschiefen Geraden. Im K gibt es eine Ebene
5
und eine Gerade, die windschief sind, im K gibt es zwei windschiefe
Ebenen, ihre jeweiligen Verbindungsr(cid:228)ume sind der ganze Raum.
9.2. Darstellungen a(cid:30)ner R(cid:228)ume.
Sei Ax = b ein l(cid:246)sbares lineares Gleichungssystem, d.h. es ist rangA =
rang(A;b) f(cid:252)r die Matrix A und den Vektor b. Die Gesamtl(cid:246)sung B =
x0 +kerA ist ein a(cid:30)ner Raum mit St(cid:252)tzvektor x0, d.h. Ax0 = b, und
zugeh(cid:246)rigem homogenen Raum kerA. Der a(cid:30)ne Raum B ist genau
136 ANALYTISCHE GEOMETRIE
dann homogen, wenn b = 0. Das lineare Gleichungssystem Ax = b
hei(cid:255)t Gleichungsdarstellung des Raumes B = x0 +kerA.
Sei B = x0+U ein a(cid:30)ner Raum, und sei (u1;::: ;uk) eine Basis von U,
dann hei(cid:255)t
B = x0+Ku1+ +Kuk = x0+c1u1+ +ckuk c1;::: ;ck K
(cid:1)(cid:1)(cid:1) f (cid:1)(cid:1)(cid:1) j 2 g
eine Parameterdarstellung des Raumes B. Weder die Gleichungsdar-
stellung noch die Parameterdarstellung eines a(cid:30)nen Raumes sind ein-
deutig bestimmt.
Umrechnungen der Darstellungen (cid:252)ber R
Die verschiedenen Darstellungen a(cid:30)ner R(cid:228)ume haben je nach Aufga-
benstellung Vor- und Nachteile. Deshalb rechnet man die Darstellun-
gen oft bedarfsgerecht um.
Selbstverst(cid:228)ndlichkannmandieverschiedenenDarstellungenauch(cid:252)ber
beliebigen K(cid:246)rpern ineinander umrechnen, allerdings nicht mit dem
sp(cid:228)ter verwendeten Orthomormierungsverfahren von Gram-Schmidt,
vgl. Satz 7.4.1. Das Orthonormierungsverfahren wurde nur f(cid:252)r euklidi-
sche und unit(cid:228)re Vektorr(cid:228)ume eingef(cid:252)hrt, und es m(cid:252)sste f(cid:252)r allgemei-
nere K(cid:246)rper modi(cid:28)ziert werden. Deshalb beschr(cid:228)nken wir uns hier auf
euklidische Vektorr(cid:228)ume.
n
(1) F(cid:252)r einen a(cid:30)nen Raum B R in Gleichungsdarstellung, Ax = b,
(cid:26)
mit reeller m n Matrix A und reellem Spaltenvektor b der L(cid:228)nge m,
ist die Parame(cid:2)terdarstellung B = x0 +R u1 + +R uk gesucht.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Der St(cid:252)tzvektor x0 ist eine spezielle L(cid:246)sung, also Ax0 = b. Eine Basis
desKernsvonAbildendielinearunabh(cid:228)ngigeL(cid:246)sungenu1;::: ;uk von
Ax = 0. Nach demDimensionssatzf(cid:252)rAbbildungenistk = n rangA.
(cid:0)
n
(2) F(cid:252)r einen a(cid:30)nen Raum B = x0+R u1+ +R uk = x0+U R
(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:26)
in Parameterdarstellung mit St(cid:252)tzvektor x0 der L(cid:228)nge n und einer
Basis (u1;::: ;uk) von Spaltenvektoren der L(cid:228)nge n von U ist eine
Gleichungsdarstellung, Ax = b, gesucht mit einer m n Matrix A und
(cid:2)
einem Spaltenvektor b der L(cid:228)nge m derart, dass kerA = U ist, also die
Basis (u1;::: ;uk) besitzt und dass Ax0 = b ist.
n
DasorthogonaleKomplementU?vonU imeuklidischenVektorraumR
mitStandardskalarprodukthatdieDimensionm = n k undeineBasis
(cid:0)
(v1;::: ;vm). Die Zeilenvektoren (v1;::: ;vm), untereinander geschrie-
ben, bilden eine m n Matrix A, f(cid:252)r die giltAui = 0 f(cid:252)r alle 1 i k,
(cid:2) (cid:20) (cid:20)
d.h. U ist der Kern von A. Weiter setzt man b = Ax0 und erh(cid:228)lt die
gew(cid:252)nschte Gleichungsdarstellung Ax = b von B.
ANALYTISCHE GEOMETRIE 137
Es gibt zwei M(cid:246)glichkeiten eine Basis (v1;::: ;vm) von U?, also die
Matrix A, zu bestimmen. Sei M die n k Matrix mit den Spalten-
(cid:2)
vektoren (u1;::: ;uk). Dann ist (v1;::: ;vm) eine Basis des L(cid:246)sungs-
raumes des homogenen linearen Gleichungssystems vM = 0, mit Zei-
lenvektor v der L(cid:228)nge n. Alternativ kann man die Menge (u1;::: ;uk)
von Spaltenvektoren der L(cid:228)nge n beliebig zu einer Basis des eukli-
n
dischen Vektorraumes R fortsetzen und das Gram-Schmidtsche Or-
thonormierungsverfahren darauf anwenden. Man erh(cid:228)lt die Orthonor-
n
malbasis (w1;::: ;wn) des R . Transponiert man die Spaltenvektoren
(wk+1;::: ;wn) so erh(cid:228)lt man passende Zeilenvektoren (v1;::: ;vm).
Beispiel. (1) Sei x1 +x2 +x3 = 1 die Gleichungsdarstellung, Ax = b,
3
einer a(cid:30)nen Ebene B im R , d.h. A = (1;1;1) und b = (1). Der Kern
T T
von A hat die Dimension 2 und die Basis (1; 1;0) ;(0; 1;1) .
f (cid:0) (cid:0) g
Eine spezielle L(cid:246)sung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist x0 =
T
(1;0;0) . Also ist
T T T
B = (1;0;0) +R(1; 1;0) +R(0; 1;1)
(cid:0) (cid:0)
eine Parameterdarstellung von B.
Sei umgekehrt die Ebene B wie oben in Parameterdarstellung gegeben.
T T
Dann ist (1; 1;0) ;(0; 1;1) eine Basis des Kerns der 1 3 Matrix
f (cid:0) T(cid:0) g T (cid:2)
A = (1;1;1), da (1;1;1) kerA ist. Wegen A(1;0;0) = 1, ergibtsich
?
die Gleichungsdarstellung x1 +x2 +x3 = 1 f(cid:252)r B, wie oben.
(2) Sei
x1 x2 = 1; x3 x2 = 0
(cid:0) (cid:0) 3
die Gleichungsdarstellung, Ax = b, einer a(cid:30)nen Geraden G im R ,
1 (cid:0)1 0 1
d.h. A = und b = . Der Kern von A hat die Dimensi-
(cid:18)0 (cid:0)1 1(cid:19) (cid:18)0(cid:19)
T
on 1 und den Basisvektor (1;1;1) . Eine spezielle L(cid:246)sung des linearen
T
Gleichungssystems Ax = b ist x0 = (1;0;0) . Also ist
T T
G = (1;0;0) +R(1;1;1)
eine Parameterdarstellung von G.
SeiumgekehrtdieGeradeGwieobeninParameterdarstellunggegeben.
T
Dann ist (1;1;1) ein Basisvektor des Kerns der 2 3 Matrix A =
(cid:2)
1 (cid:0)1 0 T T T
, da (1; 1;0) und (0; 1;1) senkrecht zu (1;1;1) sind.
(cid:18)0 (cid:0)1 1(cid:19) (cid:0) (cid:0)
T T
Wegen A(1;0;0) = (1;0) , ergibtsichdieobigeGleichungsdarstellung
f(cid:252)r G.
(3) Seien die Ebene B und die Gerade G wie oben. Die Gleichungs-
darstellung des Schnittraumes B G erh(cid:228)lt man ohne Rechnung sofort
\
138 ANALYTISCHE GEOMETRIE
aus den Gleichungsdarstellungen von B und G, n(cid:228)mlich
x1 +x2 +x3 = 1; x1 x2 = 1; x3 x2 = 0;
(cid:0) (cid:0)
T
also berechnet man B G = (1;0;0) .
\
Sind B und G in Parameterdarstellung gegeben, dann bestimmt man
c;c1;c2 R f(cid:252)r den Schnittpunkt B G = (x;y;z)T aus
2 \
T T T T T T
(x;y;z) = (1;0;0) +c(1;1;1) = (1;0;0) +c1(1; 1;0) +c2(0; 1;1) ;
(cid:0) (cid:0)
T
also c = c1 = c2 = 0 und B G = (1;0;0) .
\
9.3. A(cid:30)ne Abbildungen.
F(cid:252)r die a(cid:30)nen R(cid:228)ume A = a+A0 und B = b+B0 (cid:252)ber dem K(cid:246)rper K
hei(cid:255)t F : A B eine a(cid:30)ne Abbildung, wenn es a A, b B und
(cid:0)! 2 2
eine lineare Abbildung F0 : A0 B0 gibt mit
(cid:0)!
(9.1) F(a+v) = b+F0(v);
f(cid:252)r alle v A0. O(cid:27)ensichtlich ist hierbei F(a) = b, und die lineare
2
Abbildung F0 legt die a(cid:30)ne Abbildung F v(cid:246)llig fest. Es gilt F(A) =
b+F0(A0). Insbesondere sind lineare Abbildungen a(cid:30)n.
Umgekehrt legt auch die a(cid:30)ne Abbildung F nach dem folgenden Lem-
ma die lineare Abbildung F0 fest, und man sagt, dass F0 die zugeh(cid:246)rige
lineare Abbildung ist.
Lemma 9.3.1. Die a(cid:30)ne Abbildung F legt die zugeh(cid:246)rige lineare Ab-
bildung F0 v(cid:246)llig fest.
Insbesondereist einea(cid:30)ne Abbildung genau dannbijektiv, wenndie zu-
geh(cid:246)rige lineare Abbildung bijektiv ist, und die Umkehrabbildung einer
1
bijektiven a(cid:30)nen Abbildung ist a(cid:30)n, F0 und F0(cid:0) sind die zugeh(cid:246)rigen
linearen Abbildungen. Weiter sind Bilder und Urbilder a(cid:30)ner R(cid:228)ume
unter a(cid:30)nen Abbildungen wieder a(cid:30)ne R(cid:228)ume.
Beweis. Seien a1 = a + u1; a2 = a + u2 A = a + U, also F(ai) =
2
b+F0(ui). Damit ist
(9.2) F0(a1 a2) = F0(u1) F0(u2) = F(a1) F(a2):
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Da a1 a2 alle Vektoren von U durchl(cid:228)uft, ist F0 durch F v(cid:246)lligfestge-
(cid:0)
legt. Nach (9.2) sind beide Abbildungen gemeinsam entweder bijektiv
oder nicht. F(cid:252)r eine bijektive a(cid:30)ne Abbildung F wie in (9.1) ist die
1 1
Umkehrabbildungo(cid:27)ensichtlichgegebendurchF(cid:0) (b+v) = a+F0(cid:0) (v),
also eine a(cid:30)ne Abbildung.
ANALYTISCHE GEOMETRIE 139
Weiter sind laut De(cid:28)nition (9.1) Bilder a(cid:30)ner R(cid:228)ume unter a(cid:30)nen
Abbildungenwieder a(cid:30)ne R(cid:228)ume, weilBildervon Vektorr(cid:228)umen unter
linearen Abbildungen, nach Satz 3.2.2, wieder Vektorr(cid:228)ume sind.
Sei F(cid:0)(b + U) = a + M das volle Urbild des a(cid:30)nen Raumes b + U
unter der a(cid:30)nen Abbildung F mit zugeh(cid:246)riger linearer Abbildung F0
und F(a) = b, also ist M = F0(cid:0)(U) das volle Urbild des Vektorrau-
mes U unter der linearen Abbildung F0, und nach Satz 3.2.2 wieder ein
Vektorraum, d.h. a+M ist ein a(cid:30)ner Raum.
Die Hintereinanderausf(cid:252)hrung a(cid:30)ner Abbildungen ist wieder eine af-
(cid:28)ne Abbildung. Bijektive a(cid:30)ne Abbildungen hei(cid:255)en a(cid:30)ne Isomor-
phismen oder A(cid:30)nit(cid:228)ten. Die A(cid:30)nit(cid:228)ten F : A A eines a(cid:30)nen
(cid:0)!
Raumes A bilden eine Gruppe. Isomorphe a(cid:30)ne R(cid:228)ume haben glei-
che Dimension und umgekehrt sind a(cid:30)ne R(cid:228)ume gleicher Dimension
isomorph.
Drei Punkte eines a(cid:30)nen Raumes hei(cid:255)en kollinear, wenn sie auf einer
Geraden liegen.
Satz 9.3.2. Bilder und Urbilder paralleler a(cid:30)ner R(cid:228)ume unter a(cid:30)nen
Abbildungen sind parallel. Bilder kollinearer Punkte sind kollinear.
Beweis. Sei F eine a(cid:30)ne Abbildung mit zugeh(cid:246)riger linearer Abbil-
dung F0. Seien A = a + A0 und B = b + B0 mit A0 B0 parallele
(cid:26)
a(cid:30)ne Unterr(cid:228)ume, also F0(A0) F0(B0) und F(A) = F(a)+F0(A0)
(cid:26)
und F(B) = F(b)+F0(B0) sind parallel, analog f(cid:252)r Urbilder.
F(cid:252)r verschiedene kollineare Punkte a;b;c ist G = a b c = a +
_ _
G0 eine Gerade, also dimG0 1, und F(G) = F(a) + F0(G0) mit
(cid:20)
dim F0(G0) 1, d.h. F(a);F(b);F(c) sind wieder kollinear.
(cid:20)
(cid:0) (cid:1)
Ein geordnetes (n+1)-Tupel (a0;a1;::: ;an) von Punkten eines a(cid:30)nen
Raumes A = a0+A0 hei(cid:255)t a(cid:30)nes Koordinatensystem von A, wenn die
Vektoren (a1 a0;::: ;an a0) eine Basis von A0 bilden.
(cid:0) (cid:0)
Lemma 9.3.3. Die Punkte (a0;a1;::: ;an) bilden genau dann ein Ko-
ordinatensystem des a(cid:30)nen Raumes A, wenn A = a0 a1 an,
_ _(cid:1)(cid:1)(cid:1)_
und kein Punkt darf weggelassen werden.
Beweis. Es gilt a0 a1 an = a0 + K(a1 a0)+ +K(an
_ _(cid:1)(cid:1)(cid:1)_ (cid:0) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)
a0) A mit Gleichheit genau dann, wen(cid:0)n (a1 a0;::: ;an a0) ein
(cid:26) (cid:0) (cid:0)
Erz(cid:1)eugendensystem von A0 ist. Dieses Erzeugendensystem ist genau
dann minimal, d.h. kein Punkt darf weggelassen werden, wenn es eine
Basis von A0 ist.
140 ANALYTISCHE GEOMETRIE
A(cid:30)ne Abbildungen lassen sich mit wenigen Bildvorgaben festlegen.
Satz 9.3.4. Seien = A und B a(cid:30)ne R(cid:228)ume. Sei S ein Koordina-
; 6
tensystem von A. Ordnet man jedem a S ein (beliebiges) ba B zu,
2 2
dann existiert genau eine a(cid:30)ne Abbildung F : A B mit F(a) = ba
(cid:0)!
f(cid:252)r alle a S.
2
Beweis. Sei (a0;a1;::: ;an) ein Koordinatensystem von A = a0 + A0.
Dann ist (a1 a0;::: ;an a0) eine Basis von A0. Nach Satz 3.2.1
(cid:0) (cid:0)
gibt es f(cid:252)r eine beliebige Vorgabe von Vektoren F0(ai a0) genau eine
(cid:0)
lineare Abbildung F0. F(cid:252)r ein beliebiges b B gibt es zu dieser linea-
2
ren Abbildung F0 genau eine a(cid:30)ne Abbildung F mit F(a0) = b und
F(ai) = b+F(ai a0) f(cid:252)r alle i.
(cid:0)
Wichtige lineare und a(cid:30)ne Abbildungen sind die sog. Parallelprojek-
tionen f(cid:252)r Vektorr(cid:228)ume bzw, a(cid:30)ne R(cid:228)ume.
Sei V = U W eine nicht-triviale direkte Zerlegung des Vektorrau-
(cid:8)
mesV. Jeder Vektor v V hateineeindeutigeDarstellungv = uv+wv
2
mit uv U und wv W. Die durch
2 2
V U; v uv
(cid:0)! 7!
de(cid:28)nierte surjektive lineare Abbildung hei(cid:255)t Parallelprojektion von V
auf U l(cid:228)ngs W.
Seien A = a+A0 und B = b +B0 a(cid:30)ne Unterr(cid:228)ume des Vektorrau-
mes V. SeiV = B0 W. Dann hat jeder Vektor v A0 eine eindeutige
(cid:8) 2
Darstellung v = bv +wv mit bv B0 und wv W. Durch F0(v) = bv
2 2
ist die Parallelprojektion F0 : A0 B0 eindeutig festgelegt. Durch
(cid:0)!
F(a) = b und F(a + v) = b + F0(v) ist genau eine a(cid:30)ne Abbildung
F : A B de(cid:28)niert. Diese Abbildung hei(cid:255)t a(cid:30)ne Parallelprojektion
(cid:0)!
von A auf B l(cid:228)ngs W. Sie ist induziert von der Parallelprojektion F0.
Beispiel. (1) Durch (x;y;z) (x;y;0) wird eine Parallelprojektion
von R3 auf die reelle Ebene R27!l(cid:228)ngs der z-Achse de(cid:28)niert. Man sagt
auch Grundriss. Der Kern dieser Parallelprojektion ist die z-Achse.
(2)SeiG = (1;0;1)+R(1;1;2) = (e1+e3)+R(e1+e2+2e3)eineGerade.
Die Parallelprojektion (x;y;z) (x;y;0), wie unter (1), induziert eine
7!
a(cid:30)ne Parallelprojektion. Die Gerade G wird auf die Gerade G0 =
(1;0;0)+R(1;1;0) = e1+R(e1+e2)projiziert,wiederl(cid:228)ngsderz-Achse.
Diesea(cid:30)neParallelprojektionistbijektiv,weilR(1;1;2) R(0;0;1) = 0
\
ist.
ANALYTISCHE GEOMETRIE 141
9.4. Normalvektor, Hessesche Normalform.
n
V = R seidereuklidischeVektorraummitStandardskalarproduktx y,
(cid:1)
f(cid:252)r x;y V, wie (cid:252)blich. Eine a(cid:30)ne Hyperebene in V ist von der Form
2
H = h+H0, mit dimH0 = m 1. Der normierte Vektor n V, d.h.
(cid:0) 2
n = pn n = 1, hei(cid:255)t Normalvektor der Hyperebene H, wenn n H0.
Ijnjsbesond(cid:1)ere ist dann V = R n H0. Wie man den Normalvektor?einer
(cid:8)
Hyperebene bestimmt, h(cid:228)ngt von ihrer Darstellung ab.
m
F(cid:252)r die Hyperebene H R in Gleichungsdarstellung c1x1 + +
(cid:26) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
cmxm = d ist der Normalvektor n, wegen n H0, gleich
?
1
(cid:0)
2 2
n = c1 + +cm (c1;::: ;cm):
(cid:18)q (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:19)
Sei die Hyperebene H = h+R v1 + +R vm 1 in Parameterdarstel-
(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)
lung gegeben, mit einem St(cid:252)tzvektor h und einer Basis v1;::: ;vm 1
(cid:0)
von H0. Der Normalvektor n von H ist also eine Basis des orthogo-
nalen Komplement von H0 in V und muss berechnet werden. Diese
Aufgabe trat auch schon bei der Umrechnung der Parameterdarstel-
lung in die Gleichungsdarstellung eines a(cid:30)nen Raumes auf. Es gibt
zwei Verfahren.
Man w(cid:228)hlt irgendeinen Vektor vm V H0, z.B. einen geeigneten
2 n
Einheitsvektor, oder den St(cid:252)tzvektor h, falls h = H0. Man wendet
2
das Gram-Schmidtsche Orthonormierungsverfahren, Satz 7.4.1, auf die
Basis (v1;::: ;vm) an und erh(cid:228)lt die Orthonormalbasis (e1;::: ;em).
DerVektorn = em istdanndergesuchte NormalvektorvonH,daH0 =
v1;::: ;vm 1 = e1;::: ;em 1 , also em H0. Wenn (v1;::: ;vm 1)
h (cid:0) i h (cid:0) i ? (cid:0)
bereitseine Orthonormalbasisvon H0 ist, danngiltf(cid:252)reinenbeliebigen
Vektor v V H0:
2 n
m 1
v i=(cid:0)1 (v vi)vi
n = (cid:0) m 1 (cid:1) :
v Pi=(cid:0)1 (v vi)vi
(cid:0) (cid:1)
(cid:12) P (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Alternativ schreibt man die Koordinatenvektoren v1;::: ;vm 1 als Zei-
(cid:0)
lentupel und ordnet sie zu einer (m 1) m Matrix A. Diese Matrix A
(cid:0) (cid:2)
hat den Rang m 1 und ihr Kern, d.h. die L(cid:246)sung des linearen Glei-
(cid:0)
chungssystems Ax = 0, hat deshalb die Dimension 1. Mit einer L(cid:246)sung
1
v = 0, also Av = 0 erh(cid:228)lt man den Normalvektor n = v (cid:0) v von H0
6 j j
als Spaltenvektor, weil mit dem Standardskalarprodukt v H0 gilt.
?
Die Bestimmung des Normalvektors ist weitgehend (cid:228)quivalent zur Be-
stimmung des Abstandes a(cid:30)ner R(cid:228)ume, weil eine k(cid:252)rzeste Verbin-
dungsstrecke senkrecht auf beiden R(cid:228)umen steht.