Analytische Funktionen

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2
Analytische Funktionen
2.1 Ableitung nach einer komplexen Variablen
Wir stossen nun zum Kern der komplexen Analysis vor: Es geht ums Dif-
ferenzieren \im Komplexen". In der reellen Analysis ist die Ableitung einer
Funktion f: R y R an der Stelle t0 dom(f) erkl˜art als Grenzwert von
2
Difierenzenquotienten:
f(t) f(t ) f(t +¢t) f(t )
0 0 0
f0(t0) := lim ¡ = lim ¡ :
t!t0 t¡t0 ¢t!0 ¢t
Die angeschriebenen Quotienten lassen sich fu˜r t = t bzw. ¢t = 0 ohne
0
6 6
weiteres bilden, da R ein K˜orper ist.
Nun ist aber auch C ein K˜orper, so dass wir rein formal fu˜r Funktionen
f: C y C genau gleich deflnieren k˜onnen: Die Funktion f heisst an der
Stelle z komplex difierenzierbar, wenn f in einer ganzen Umgebung von z
0 0
deflniert ist und wenn der Grenzwert
f(z) f(z ) f(z +¢z) f(z )
0 0 0
lim ¡ = lim ¡ (1)
z!z0 z¡z0 ¢z!0 ¢z
existiert. DieserGrenzwert,einekomplexeZahl,heisst(komplexe)Ableitung
von f an der Stelle z und wird natu˜rlich mit
0
df df
f (z ); (z );
0 0 0
dz dz
flz=z0
fl
oder ˜ahnlich bezeichnet. fl
fl
34 2 AnalytischeFunktionen
Es wird nun darum gehen, diese formale Deflnition mit lebendigem Inhalt zu
erfu˜llen. Dabei verwenden wir gelegentlich die Abku˜rzung
¢f := f(z +¢z) f(z )
0 0
¡
und betrachten diesen Wertzuwachs ¢f (Fig. 2.1.1) als eine Funktion der
Variablen ¢z; der Punkt z ist im Augenblick fest.
0
f(z +¢z)
0
o(¢z)
z +¢z ¢f
0 f
¢z f (z )¢z
0 0
z
0
w =f(z )
0 0
C.z C.w
Fig.2.1.1
Zun˜achst einmal muss man sich vergegenw˜artigen, dass in (1) das variable
Inkrement ¢z \aus allen Richtungen kommend gegen 0 geht": Komplexe
Difierenzierbarkeit impliziert
f(z +¢z) f(z )
0 0
¡ f0(z0) < " (2)
¢z ¡
fl fl
fl fl
fl fl
fu˜rallehinreichendkflleinenInkremente¢z,unabh˜aflngigvon arg¢z. \Hinrei-
chend klein" bedeutet: ¢z < –, wobei – von der Toleranz " in (2) abh˜angt.
j j
Wir wollen diesen Sachverhalt nennerfrei formulieren. Hierzu geben wir der
in (2) betrachteten \Difierenz zwischen Sekanten- und Tangentensteigung"
einen Namen:
f(z +¢z) f(z )
0 0
”(¢z) := ¡ f0(z0) (¢z = 0) : (3)
¢z ¡ 6
Nach Deflnition von f (z ) gilt
0 0
lim ”(¢z) = 0 :
¢z 0
!
2.1 AbleitungnacheinerkomplexenVariablen 35
Setzen wir also ”(0) := 0, so ist ”( ) in einer vollen Umgebung von ¢z = 0
¢
deflniert und im Nullpunkt stetig. Aus (3) folgt durch Heraufmultiplizieren
und Umordnen
f(z +¢z) f(z ) = f (z )¢z+”(¢z)¢z;
0 0 0 0
¡
und zwar gilt dies trivialerweise auch fu˜r ¢z = 0. Zusammenfassend k˜onnen
wir daher folgendes sagen:
(2.1) Ist die Funktion f: C y C an der Stelle z0 komplex difierenzierbar,
so besitzt ¢f eine Darstellung der Form
f(z +¢z) f(z ) = f (z )+”(¢z) ¢z; lim ”(¢z) = 0 (4)
0 0 0 0
¡ ¢z 0
!
¡ ¢
bzw.
¢f = f (z )¢z+o(¢z) (¢z 0);
0 0
!
in Worten: Der Wertzuwachs von f ist \in erster N˜aherung" ein konstantes
komplexes Vielfaches des komplexen Inkrements ¢z.
In (4) strebt die rechte Seite mit ¢z 0 gegen 0, ergo auch die linke Seite.
!
Daraus ziehen wir noch den folgenden Schluss: Ist f an der Stelle z difieren-
0
zierbar, so ist f dort erst recht stetig.
Fu˜r die komplexe Ableitung gelten dieselben Rechenregeln wie im Reellen,
denn zu deren Herleitung wurden nur K˜orper- und Stetigkeitseigenschaften
benutzt, die sowohl in R wie in C vorhanden sind. Es handelt sich um die
folgenden Regeln (wir schreiben z anstelle von z ):
0
(2.2) (a) Linearit˜at: Fu˜r beliebige ‚, „ C gilt
2
(‚f +„g) (z) = ‚f (z)+„g (z) :
0 0 0
(b) Produkt- und Quotientenregel:
(f g) (z) = f (z)g(z)+f(z)g (z);
0 0 0
f (z)g(z) f(z)g (z)
0 0
(f=g)0(z) = ¡ g(z) = 0 :
g2(z) 6
¡ ¢
36 2 AnalytischeFunktionen
(c) Kettenregel: Ist f komplex difierenzierbar an der Stelle z und g an der
Stelle w := f(z), so ist g f difierenzierbar an der Stelle z, und es gilt
–
d
g f(z) = g f(z) f (z) :
0 0
dz
¡ ¢ ¡ ¢
(c) Wir bezeichnen die unabh˜angige Zuwachsvariable wieder mit ¢z und
benu˜tzen die Abku˜rzung f(z + ¢z) f(z) =: ¢w, dann ist f(z + ¢z) =
¡
w+¢w. Mit zweimaliger Benu˜tzung von (4) ergibt sich jetzt
(g f)(z+¢z) (g f)(z) = g w+¢w g(w)
– ¡ – ¡
= g (w)+” (¢w) ¢w
¡0 g¢
= g (w)+” (¢w) f (z)+” (¢z) ¢z
¡ 0 g ¢ 0 f
¡ ¢¡ ¢
und folglich
(g f)(z+¢z) (g f)(z)
– ¡ – = g0(w)+”g(¢w) f0(z)+”f(¢z) :
¢z
¡ ¢¡ ¢
Da mit ¢z 0 auch ¢w gegen 0 konvergiert, strebt hier die rechte Seite fu˜r
!
¢z 0 gegen g (w)f (z), wie behauptet.
0 0
!
2.2 Begrifi der analytischen Funktion
Essei› CeinGebiet. DieFunktionf : › Cheisst(komplex)analytisch
‰ !
oder auch holomorph auf ›, wenn sie an jeder Stelle z › komplex difieren-
2
zierbar und die Ableitung f0: › C stetig ist. (Nach einem beru˜hmten
!
Satz von E. Goursat ist f von selbst stetig. Wir machen es uns hier ein-
0
facher und nehmen die Stetigkeit von f in die Deflnition auf.) Die Menge
0
aller analytischen Funktionen f :› C bezeichnen wir mit (›).
! O
Analytizit˜at ist eine lokale Eigenschaft: Besitzt jeder Punkt z › eine
2
Umgebung U(z), in der f analytisch ist, so ist f (›). Eine Funktion, die
2 O
auf ganz C analytisch ist, heisst eine ganz-analytische oder kurz eine ganze
Funktion.
2.2 BegrifideranalytischenFunktion 37
Mit (2.2) folgt: Summe und Produkt von analytischen Funktionen f, g sind
wiederanalytisch, einQuotientf=g nur, wenng auf›nirgendsverschwindet.
Natu˜rlich sind konstante Funktionen sowie die Funktion f(z) : z ganz-
·
analytisch. Hieraus folgt sofort mit (2.2): Beliebige Polynomfunktionen
p(z) := a zn+a zn 1+:::+a
n n 1 ¡ 0
¡
mit komplexen Koe–zienten sind ganz-analytisch, und es gelten fu˜r sie die
bekannten Difierentiationsregeln. Die Funktion z 1=z ist analytisch in der
7!
punktierten Ebene C⁄; allgemein ist eine rationale Funktion
p(z)
R(z) := ; p; q Polynome; q 0;
q(z) 6·
analytisch auf der Menge C z q(z) = 0 .
nf j g
Aus der Kettenregel (2.2)(d) ergibt sich unmittelbar das folgende Prinzip:
Sind f : › C und g: ›0 C analytisch und gilt f(›) ›0, so ist auch
! ! ‰
die Zusammensetzung h(z) := g f(z) analytisch auf ›.
Die Exponentialfunktion ist ein¡e gan¢ze Funktion, und es gilt wie erwartet
exp0 = exp: Fu˜r beliebiges z C ergibt sich mit Hilfe der Funktionalglei-
2
chung und eines Standardgrenzwerts
exp(z+¢z) expz exp¢z 1
¡ = expz ¡ expz 1 (¢z 0) :
¢z ¢z ! ¢ !
Damit sind zum Beispiel auch die ins Komplexe fortgesetzten trigonome-
trischen Funktionen
eiz +e iz eiz e iz
¡ ¡
cosz := ; sinz := ¡
2 2i
ganz-analytisch, ebenso fu˜r festes a C¡⁄ die allgemeine Potenz z pvaz.
2 7!
Mit diesem Material k˜onnen wir schon eine ganze Menge von \analytischen
Ausdru˜cken" bilden, die auf ihrem Deflnitionsbereich analytische Funktio-
nen repr˜asentieren. Log und pvpn werden wir uns im folgenden Abschnitt
¢
vornehmen; diesealsUmkehrfunktionenerkl˜artenFunktionensindvonselbst
analytisch auf ihrem Deflnitionsbereich C¡⁄.
Wirben˜otigenabernocheinallgemeinesPrinzip,dasunsgestattet,sozusagen
\beliebige" analytische Funktionen herzustellen. Dieses Prinzip ist der fol-
gende Satz von Weierstrass, den wir allerdings erst in Abschnitt 3.3 beweisen
werden:
38 2 AnalytischeFunktionen
(2.3) Es seien fk: › C (k = 0;1;:::) gegebene analytische Funktionen;
!
dabei gelte
1
f (z) c (z ›); c < : (1)
k k k
j j • 2 1
k=0
X
Dann stellt die Reihe s(z) := 1k=0fk(z) eine auf › analytische Funktion
dar, und es gilt
P
1
s (z) = f (z) (z ›) :
0 k0 2
k=0
X
Die wichtigste Anwendung dieses Satzes bezieht sich auf Potenzreihen:
(2.4) Es sei
1
f(z) := a zk (2)
k
k=0
X
eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ‰ > 0. Dann ist f auf der Kreis-
scheibe D‰ := z C z < ‰ analytisch, und es gilt
2 j j
' fl “
fl
1
f (z) = ka zk 1 (z D ) :
0 k ¡ ‰
2
k=1
X
Eine Garantie der Form (1), also
1
a zk c (z D ); c < ;
k k ‰ k
j j • 2 1
k=0
X
kann im allgemeinen nicht gegeben werden, da die meisten Reihen (2) immer
schlechter konvergieren, je mehr man sich dem Rand von D n˜ahert. Wir
‰
k˜onnen aber (auch in anderen, ˜ahnlich gelagerten F˜allen) folgendermassen
argumentieren: Fu˜r jedes ‰ < ‰ ist die Reihe c mit c := a ‰k kon-
0 k k k j kj 0
vergent, und es gilt
P
a zk c (z D ) :
k k ‰
j j • 2 0
Satz(2.4)istsomitanwendbar, undf istanalytischaufD . DajederPunkt
‰
0
z D von einem geeigneten D umgeben wird, ist folglich f (D ).
‰ ‰ ‰
2 0 2 O
2.3 DieCR-Difierentialgleichungen 39
1 Die Binomialreihe
(cid:176)
1 fi fi(fi 1)
b (z) := zk = 1+fiz+ ¡ z2+:::
fi
k 2
k=0(cid:181) ¶
X
(siehe die Analysis I) besitzt fu˜r jedes feste fi C N den Konvergenzradius
2 n
1 (und fu˜r fi N trivialerweise den Konvergenzradius ). Somit ist bfi(z)
2 1
eine auf D analytische Funktion. In der Analysis I haben wir gesehen, dass
b der Difierentialgleichung
fi
(1+x)b (x) = fib (x) ( 1 < x < 1) (3)
0fi fi ¡
genu˜gt, und hieraus hergeleitet, dass in Wirklichkeit
b (x) = (1+x)fi ( 1 < x < 1)
fi
¡
gilt. Dieselbe Rechnung beweist natu˜rlich
(1+z)b (z) = fib (z) (z D);
0fi fi 2
und sobald wir Log zur Verfu˜gung haben, werden wir veriflzieren k˜onnen,
0
dass auch die Identit˜at
b (z) = pv(1+z)fi (z D) (4)
fi
2
richtig ist.
(cid:176)
2.3 Die CR-Difierentialgleichungen
Bis dahin sind analytische Funktionen immer als \analytische Ausdru˜cke in
der Variablen z" in Erscheinung getreten. Wir wollen nun untersuchen, was
sich u˜ber Real- und Imagin˜arteil einer analytischen Funktion f : › C
!
sagen l˜asst. Es geht also um die Zerlegung
f(x+iy) = u(x;y)+iv(x;y) x+iy › : (1)
2
¡ ¢
40 2 AnalytischeFunktionen
Wir halten einen Punkt z = x +iy › bis auf weiteres fest und schreiben
0 0 0
2
f (z ) =: A+iB :
0 0
Es sei jetzt ¢z = ¢x+i¢y ein variabler von z = x +iy aus gemessener
0 0 0
Zuwachs, siehe die Fig. 2.3.1. Mit den Abku˜rzungen
¢f := f(z +¢z) f(z );
0 0
¡
¢u := u(x +¢x;y +¢y) u(x ;y ); (2)
0 0 0 0
¡
¢v := v(x +¢x;y +¢y) v(x ;y )
0 0 0 0
¡
folgt aus (1) die fu˜r alle hinreichend kleinen ¢z gu˜ltige Zerlegung
¢f = ¢u+i¢v :
y v
f(z +¢z)
0
z +¢z
0
¢f
¢z f i¢v
i¢y
z0 w0 = f(z0) ¢u
¢x
x u
C.z C.w
Fig.2.3.1
Tragen wir dies in die fundamentale Beziehung (2.1) ein, so ergibt sich
¢u+i¢v = (A+iB)(¢x+i¢y)+o(¢z);
und Trennung von Real- und Imagin˜arteil liefert
¢u = A¢x B¢y+o(¢z);
¡ (¢z 0) : (3)
¢v = B¢x+A¢y+o(¢z) ) !
Wir betrachten jetzt ein reelles ¢z := ¢x = 0. Dann folgt aus der ersten
6
Formel (3) die Relation
¢u
= A+o(1) (¢x 0) :
¢x !
2.3 DieCR-Difierentialgleichungen 41
Fu˜hren wir hier den Grenzu˜bergang ¢x 0 tats˜achlich durch, so erscheint
!
auf der linken Seite die partielle Ableitung
u(x +¢x;y ) u(x ;y )
0 0 0 0
lim ¡ =: u (x ;y );
x 0 0
¢x 0 ¢x
!
womitwiru (x ;y ) = Abewiesenhaben. Analogergibtsichausderzweiten
x 0 0
Formel (3) die partielle Ableitung v (x ;y ) = B, und die Betrachtung eines
x 0 0
rein imagin˜aren ¢z = i¢y liefert die weiteren Formeln u (x ;y ) = B und
y 0 0
¡
v (x ;y ) = A. Damit haben wir insgesamt
y 0 0
u (x ;y ) = v (x ;y ) = A; u (x ;y ) = v (x ;y ) = B : (4)
x 0 0 y 0 0 y 0 0 x 0 0
¡
Fu˜r eine analytische Funktion f :› C ergibt sich daher der folgende Satz:
!
(2.5.) Die Funktion f = u + iv sei analytisch in dem Gebiet ›. Dann
besitzen u, v: › R stetige partielle Ableitungen nach x und nach y, und
!
diese partiellen Ableitungen sind miteinander verknu˜pft durch die Cauchy-
Riemannschen Difierentialgleichungen
u (x;y) = v (x;y); u (x;y) = v (x;y) (x+iy ›) : (CR)
x y y x
¡ 2
Ferner gelten die Formeln
f = u +iv = f ; f = v iu = if (5)
0 x x x 0 y y y
¡ ¡
und weitere dieser Art.
Eine Bemerkung noch zu (5): Die komplexwertige Funktion f = u + iv
hat natu˜rlich auch komplexwertige partielle Ableitungen nach x und nach y;
dabeiistf = u +iv . DieGleichung(5)dru˜cktu.a.aus,wiediesepartiellen
x x x
Ableitungen f , f mit der komplexen Ableitung f verknu˜pft sind.
x y 0
Das Bestehen der Cauchy-Riemannschen Difierentialgleichungen ist fu˜r die
Analytizit˜ateinerFunktionf = u+ivnotwendigundhinreichend. Inanderen
Worten, von (2.5) gilt auch die Umkehrung:
42 2 AnalytischeFunktionen
(2.6) Besitzen die beiden Funktionen u, v: › R stetige partielle Ablei-
!
tungen nach x und nach y und gelten die Cauchy-Riemannschen Difierential-
gleichungen (CR), so ist die komplexe Funktion
f(x+iy) := u(x;y)+iv(x;y)
auf › analytisch, und es gelten die Formeln (5).
Wir betrachten wieder einen festen Punkt z = x + iy ›. Wir
0 0 0
2
schreiben zur Abku˜rzung u (x ;y ) =: u und analog fu˜r die u˜brigen drei.
x 0 0 x
Nach Voraussetzung u˜ber u und v gilt dann
u = v =: A; v = u =: B :
x y x y
¡
U˜berdieZuw˜achse(2)wirdinderreellenDifierentialrechnungmehrererVari-
ablen das folgende bewiesen: Sind u und v im Punkt (x ;y ) stetig difieren-
0 0
zierbar, so gilt
¢u = u ¢x+u ¢y+o ¢z ;
x y
j j (¢z 0) :
¢v = vx¢x+vy¢y+o¡¢z ¢ ) !
j j
¡ ¢
Damit ergibt sich
¢u+i¢v = A¢x B¢y+i(B¢x+A¢y)+o(¢z)
¡
= (A+iB)(¢x+i¢y)+o(¢z)
und folglich
¢f = (A+iB)¢z+o(¢z) (¢z 0) :
!
Die letzte Formel l˜asst sich lesen als
¢f
lim = A+iB;
¢z 0 ¢z
!
somit ist f im Punkt z komplex difierenzierbar, und es gilt
0
f (z ) = u (x ;y )+iv (x ;y ) :
0 0 x 0 0 x 0 0
Da der Punkt z › beliebig war und u , v nach Voraussetzung stetig sind,
0 x x
2
ist damit alles bewiesen.