Analyticite des applications CR

6 Pages·0.14 MB·English

by  B. Coupet

Analyticit´e des applications CR
Bernard COUPET a, Sergey PINCHUK b et Alexandre SUKHOV c
9
9
9 a et c: LATP, CNRS/ UMR n◦ 6632, CMI, Universit´e de Provence, 39, rue Joliot
1 Curie, 13453 Marseille cedex 13.
b: Departement of Mathematics, Indiana University, Bloomington, Indiana, 47,
n
a USA. NSF grant DMS 96 225 94.
J

4
————————————————————————————–

V] R´esum´e. Nous´etablissonsdesconditionssuffisantespourl’analyticit´ed’uneapplicationCRlisseentre
deux vari´et´es analytiques r´eelles.
C
.
h
t Analyticity of CR maps
a
m
Abstract. We establish sufficient conditions for the analyticity of a smooth CR mapping between two
[
real analytic manifolds.

1
v
————————————————————————————-
8
0
0
1 Abriged English Version
0
9
In this note we establish two results giving sufficient conditions for the analyticity of a smooth
9
CR map between two real analytic manifolds in complex affine spaces of different dimensions.
/
h Let X ⊂CIn be a real analytic hypersurface in a neighborhood of a point p ∈ X, defined by a
at real analytic function ρ such that ∂ρ (p)6=0. The Cauchy - Riemann operators on X are defined
m by L = ∂ρ ∂ − ∂ρ ∂ , j = 1∂,z.n..n−1. For every α ∈ INn−1, Lα denotes the composition
v: Lα =j Lα1∂..z.nL∂αznj−1. ∂Lzejt∂zXn′ ⊂ CIn′ be a real analytic set in a neighborhood of a point p′ ∈ X′
1 n−1
Xi defined by X′ = {z′ ∈CIn′ : ρ′(z′,z′) = 0,k = 1,...,d} where every ρ′ is a real analytic function.
k k
r SupposethatX isminimalatp. ConsideraC∞ smoothCRmapf :X −→X′ withf(p)=p′. For
a any z′ in a neighborhood of p′ inCIn′ and k = 1,...,d the function z 7→ρ′(z′,f(z)) is C∞ smooth
k
in a neighborhood of p in X. Consider the function Hkα : z′ 7→ (Lαρ′k(z′,f(z)))|z=p, holomorphic
in a neighborhood of p′. We introduce the notion of the characteristic variety of f at p which
is by definition the germ of complex analytic variety in a neighborhood of p′ inCIn′ defined by
Vp(f)={z′ :Hα(z′)=0,α∈INn−1,k =1,...,d}. Our first result is the following
k
THEOREM A. If dimVp(f)=0, f is real analytic in a neighborhood of p on X.
This statement generalizes severalknown results on the analyticity of CR mappings.
Oursecondresultconcernsthe analyticity ofa smoothCRmapatgenericpoints. We use here
thenotionofthetranscendencedegreetr.deg (f)ofasmoothCRmapf whichmeasuresthedegree
p
of”non-analyticity”ofthemap. LetV (f)denotesthe intersectionof(germsof)complexanalytic
p
varietiesthrough(p,f(p))inCIn×CIn′ containedthe graphoff. Thentr.deg (f):=dimV (f)−n.
p p
We also make use of the notion of (r,m)-flateness of a real analytic set X′ which means that X′
1
contains a real analytic submanifold of dimension r biholomorphic to the cartesianproduct of the
unit ball inCIm and a real analytic submanifold inCIn′−m.
THEOREM B.- Suppose that tr.deg (f) is constant and equal to m in a neighborhood of p in
z
X and that r denotes the maximal rang of f on this neighborhood. Then every neighborhood of
p′ = f(p) contains points where X′ is (r,m)-flat. In particular, if X′ does not contain complex
subvarieties of positive dimension, f is real analytic on an open dense subset in X.
————————————————————————————–
1. Introduction et r´esultats.
Dans cette note, nous ´etablissons deux r´esultats qui donnent les conditions suffisantes pour
l’analyticit´e d’une application CR lisse entre deux vari´et´es analytiques r´eelles dans les espaces
complexes lin´eaires de dimensions diff´erentes.
Soit X ⊂CIn une hypersurface analytique r´eelle au voisinage d’un point p∈X d´efinie par une
fonction analytique r´eelle ρ telle que ∂ρ (p) 6= 0. Supposons que X est minimal en p, c’est - `a
∂zn
-dire ne contientpasde germed’une hypersurfacecomplexe. Les op´erateursde Cauchy- Riemann
sur X sont d´efinis par L = ∂ρ ∂ − ∂ρ ∂ , j = 1,...n−1. Pour tout α ∈ INn−1, Lα d´esigne
j ∂zn∂zj ∂zj ∂zn
l’op´erateur Lα =Lα1...Lαn−1. Soit X′ ⊂CIn′ un ensemble analytique r´eel au voisinage d’un point
1 n−1
p′ ∈ X′ d´efini par X′ = {z′ ∈CIn′ : ρ′(z′,z′) = 0,k = 1,...,d} ou` chaque ρ′ est une fonction
k k
analytique r´eelle. Une application f :X −→CIn′ est dite de Cauchy-Riemann (CR) si elle est C∞
et si ses composantes sontannul´ees par les op´erateursde Cauchy-Riemann. Nous consid´eronsune
applicationCRf :X −→X′ telle quef(p)=p′. Pourz′ auvoisinagede p′ dansCIn′ etk =1,...,d
lafonctionz 7→ρ′(z′,f(z))´etantdeclasseC∞auvoisinagedepsurX,nousconsid´eronslafonction
k
Hkα : z′ 7→ Lαρ′k(z′,f(z))|z=p, holomorphe au voisinage de p′. Nous introduisons une notion de
vari´et´e caract´eristique de f en p qui , par d´efinition est le germe d’ensemble analytique complexe
au voisinage de p′ dansCIn′ d´efini par Vp(f) = {z′ : Hα(z′) = 0,α ∈ INn−1,k = 1,...,d}. Faisons
k
remarquer que p′ appartient `a Vp(f) car pour tout z ∈ X nous avons ρ′(f(z),f(z)) = 0 et f est
k
CR avec f(p)=p′.
Avec les notations ci-dessus, notre premier r´esultat est:
THE´ORE`ME A.- Si dimVp(f)=0, f est analytique r´eelle au voisinage de p sur X.
Nousdonnonsquelquessituationsou` ladimensiondelavari´et´ecaract´eristiqueest´egale`az´ero,
cequiassurel’analyticit´e: (a)X′ estunehypersurfaceLevi-nond´eg´ener´eedansCIn etf :X −→X′
est un diff´eomorphisme [7, 8]; (b) X′ est une hypersurface de type essentiellement fini dansCIn
et f : X −→ X′ est un diff´eomorphisme [2]; (c) X′ est une hypersurface de type essentiellement
fini dansCIn et f : X −→ X′ est de multiplicit´e finie [3, 5]. (d) D’apr`es le lemme de Hopf, les
conditions de l’exemple (c) sont v´erifi´ees si X et X′ sont des hypersurfaces pseudoconvexes dans
CIn sans courbe holomorphe et f est non-constante [3, 5].
L’´evaluation de la dimension de la vari´et´e caract´eristique dans les exemples (a)- (d) repose
sur des calculs directs pour des s´eries formelles (voir par exemple [3], p.495 -496); le th´eor`eme A
apparait comme un principe g´en´eral qui r´eduit le probl`eme d’analyticit´e `a des calculs de nature
alg´ebrique. Signalons que les conditions du th´eor`eme A sont aussi v´erifi´ees dans les cas qui ne
sont pas consid´er´es dans des travaux mentionn´es ci-dessus; l’´enonc´e semble aussi nouveau dans le
cas ´equidimensionnel. Notre d´emarche s’apparente `a une g´en´eralisation du principe de r´eflexion
de [7, 8]. Nous utilisons ´egalement des id´ees de notre travail r´ecent [4].
2
Le th´eor`eme A donne une condition suffisante pour l’analyticit´e de f au point fix´e p. En re-
vanche, si la dimension de la vari´et´e caract´eristique est positive, nous pouvons seulement obtenir
l’analyticit´e en des points g´en´eriques. D´esignons par V (f) le germe d’ensemble complexe an-
p
alytique au point (p,f(p)) de CIn ×CIn′ qui est l’intersection de tous les ensembles analytiques
complexescontenantlegraphedef auvoisinagede(p,f(p)). Le degr´e de transcendancetr.deg (f)
p
de f en p est par d´efinition la diff´erence dimV (f) − n. L’application f est analytique r´eelle
p
en p si et seulement si tr.deg (f) = 0 [1]; d’autre part, tr.deg (f) est une fonction semicontinue
p p
sup´erieurement sur X. Cette semicontinuit´e du degr´e de transcendance implique l’existence d’un
ferm´e d’int´erieur vide Σ⊂ X tel que X\Σ soit une r´eunion finie d’ouverts sur lesquels tr.deg (f)
z
est constant. L’ensemble X′ est dit (r,m)-plat en p′ s’il existe une sous - vari´et´e analytique r´eelle
M ⊂ X′, contenant p′, de dimension r et biholomorphe au produit cart´esien Γ×D ou` D est un
domaine deCIm et Γ est une vari´et´e analytique r´eelle.
Notre second r´esultat est:
THE´ORE`MEB.-Supposons que tr.deg (f) est constant et´egal a` m sur un voisinage de p dans
z
X et que r d´esigne le rang maximal de f sur ce voisinage. Alors, tout voisinage de f(p) contient
des points en lesquels X′ est (r,m)-plat. En particulier, si X′ ne contient pas de vari´et´e complexe
de dimension positive, f est analytique r´eelle sur un ensemble ouvert dense de X.
Danslecasparticulierou`X etX′sontdeshypersurfacesstrictementpseudoconvexes,l’analyticit´e
de f en points g´en´eriquesa ´et´e´etabli dans [6].
2. Extension m´eromorphe.
Notons par C∞(X) l’anneau des germes de fonctions de classe C∞ au voisinage de p sur X
p
et par C∞ (X) le sous-anneau de C∞ form´e par des germes de fonctions CR. Notons ´egalement
p CR
par O(X)(resp. M(X))l’anneaudes germesde fonctionsholomorphes(resp. m´eromorphes)au
p p
voisinagede psurX. Pourm∈INnous disonsqu’une fonctionh∈ C∞(X)appartient`a Am(X)
p p
siilexisteg ∈( C∞ (X))m etunefonctionH(z,ζ,w),holomorpheauvoisinagedupoint(p,p,g(p))
p CR
dansCIn(z)×CIn(ζ)×CIm(w) telle que h(z)=H(z,z,g(z)) pour z ∈X. pA(X):=∪m∈INpAm(X)
est un sous - anneau de C∞(X) avec la graduation naturelle A(X) ֒→ A1(X) ֒→ ... et tout
p p p
op´erateur L : A(X)−→ A(X) d´efinit une d´erivation de A(X).
j p p p
Utilisons la notation z = (′z,z ), ′z ∈CIn−1. Notons par ∆ (a,r) le polydisque dansCIk de
n k
centre a ∈ CIk et de rayon r > 0. Pour r1,r2 > 0 et t ∈ CIn−1 consid´erons le disque lin´eaire
dt ={t}×∆1(pn,r2)etlafamille{dt}t,t∈∆n−1(′p,r1). SoitU unvoisinagedepdansCIn;notons
parU+ (resp. U−)l’ensemble{z ∈U :ρ(z)>0}(resp. {z ∈U :ρ(z)<0}). D’apr`eslaminimalit´e
de X, nous pouvons supposer qu’il existe une base {U } de voisinagesde p telle que pour chaque
j j
j, toute fonction holomorphe sur U+ se prolonge holomorphiquement sur U−. Par cons´equent,
j j
toute fonction de A(X) d´efinie sur X ∩U se prolonge comme une fonction analytique r´eelle sur
p
U− etantiholomorphesurtoutdisqued ∩U−. Celaconduitimm´ediatementauprincipe d’unicit´e
t
suivantpourτ ∈ A(X). Si,pourtoutvoisinageV depl’ensembleΣ={z ∈X∩V :τ(z)=0}est
p
d’int´erieur non-vide, τ ≡0 au voisinage de p sur X. En particulier, A(X) est un anneau int`egre.
p
LEMME 1.- Les propri´et´es suivants sont v´erifi´ees:
(i) Soient ϕ,ψ 6= 0,τ 6= 0 ∈ A(X) et {z ∈ X : ψ(z) = 0} ⊂ Σ := {z ∈ X : τ(z) = 0}.
p
Supposons que h=ϕ/ψ est de CR sur X\Σ. Alors, il existe h˜ ∈ M(X) tel que h˜|(X\Σ)=
p
h|(X\Σ).
3
(ii) Tout ´el´ement de C∞ (X), alg´ebrique sur le corps quotient A˜ de l’anneau int`egre A(X)
p CR p
appartient a` O(X).
p
D´emonstration.- (i) D’apr`es le principe de r´eflexion de Schwarz toute fonction continue dans
U− ∪X et antiholomorphe dans U− se prolonge dans U+ comme une fonction analytique r´eelle
et holomorphe sur l’intersection de U+ avec chaque disque de la famille {d } . Cela implique
t t
que ϕ et ψ se prolongent comme fonctions analytiques r´eelles ϕ+ et ψ+ sur U+, holomorphes sur
tout disque. Consid´erons l’ensemble Σ′ ⊂CIn−1 des t tels que l’intersection d ∩Σ soit de mesure
t
lin´eaire strictement positive. D’apr`es le th´eor`eme d’unicit´e (d ∩X) ⊂ Σ pour tout t ∈ Σ′ et Σ′
t
est un ferm´e d’int´erieur vide. Fixons un point (′a,a ) ∈ U+\(Σ′×CI) et un point (′a,b) ∈ X\Σ;
n
la fonction h se prolonge holomorphiquement au voisinage V de (′a,b) d’un coˆt´e de X. Fixons
un point (′a,c) ∈ V tel que h est holomorphe sur un polydisque ∆ ((′a,c),δ) pour un δ > 0
n
suffisamment petit. Il existe un domaine simplement connexe D ⊂CI contenant les points c et a
n
et tel que la fonction h+ := ϕ+/ψ+ est m´eromorphe par rapport `a zn sur ∆n−1(′a,δ)×D. On
peut supposerqu’elle estholomorphesur∆ ((′a,c),δ). Leth´eor`emed’uniformisationde Riemann
n
etle th´eor`emede Rothstein [9]impliquent queh+ estune fonctionm´eromorpheauvoisinagedea,
doncsurl’ensembleU+\(Σ′×CI)quiestunouvertdensedansU+. Fixonsmaintenantunpointde
U+∩(Σ′×CI); on peut supposer apr`es un changement lin´eaire de coordonn´ees qu’il coincide avec
0 etqu’ilexiste 0<r <R, unpolydisque ∆ (q,r)⊂U+\(Σ′×CI) avecq =(′q,q ), ′q =0tels que
n n
h+ est holomorphe sur ∆n(q,r) et ∆n−1(′q,r)×∆1(qn,R) contient 0. Pour tout w ∈∆n−1(′q,r)
la fonction h+ se prolonge m´eromorphiquement sur {w}×∆1(qn,R) (car elle est holomorphe au
voisinagedeq etcoincideavecunquotientdedeuxfonctionsanalytiquesr´eellesdansledisque). h+
n
estdoncm´eromorphesurU+ d’apr`esleth´eor`emedeRothstein. Commetoutefonctionholomorphe
sur U+ se prolonge holomorphiquement sur U, h+ se prolonge m´eromorphiquement au voisinage
de p (voir, par exemple, [9]).
(ii) Soit h ∈ C∞ (X) et P = Pd−1a xj +xd, a ∈ A˜ un polynˆome unitaire de degr´e d ≥ 1
p CR j=0 j j
minimal tel que P(h) = 0 sur X en dehors de l’ensemble Σ des z´eros des d´enominateurs de ses
coefficients. Appliquons les op´erateurs de Cauchy-Riemann L `a l’´egalit´e P(h) = 0. Comme P
j
est minimal, L (a ) = 0 sur X\Σ pout tout s et chaque a est m´eromorphe au voisinage de p
j s s
d’apr`es la partie (a). Il s’ensuit que h est alg´ebrique sur M(X) et le graphe de h est inclus dans
p
un ensemble analytique complexe de dimension pure n au voisinage de (p,h(p)) dansCIn+1. Alors
h∈ O(X) d’apr`es [1].
p
Pour la d´emonstrationdu th´eor`eme B nous avons besoin de l’´enonc´e suivant:
LEMME 2.- Soit h∈( C∞ (X))k v´erifiant au moins une des conditions suivantes :
p CR
(i) Il existe m∈IN, g ∈( C∞ (X))m et unefonction H(z,ζ,ω,w) , holomorphe au voisinage du
a CR
point (a,a,g(a),h(a)) dansCIn(z)×CIn(ζ)×CIm(ω)×CIk(w) et telle que H(z,z,g(z),h(z))=0
au voisinage de a sur X et H(z,z,g(z),w) ne s’annule pas identiqument sur X ×CIk;
(ii) Il existe une fonction H(z,ζ,ω,w), holomorphe au voisinage du point (a,a,h(a),h(a)) telle
que H(z,z,h(z),h(z)) = 0 au voisinage de a sur X et H(z,z,ω,w) ne s’annule pas iden-
tiquement sur X ×CIk(ω)×CIk(w).
Alors, dans tout voisinage de p, il existe un point q ∈ X et une fonction G non identiquement
q
nulle, holomorphe au voisinage de (q,h(q)) telle que G (z,h(z))=0 au voisinage de q sur X.
q
D´emonstration.- (i) Nous proc´edons par r´ecurrence sur l’entier k. Pour k = 1, consid´erons la
fonction H(z,z,g(z),w) comme une s´erie par rapport `a w ∈CI `a coefficients dans A(X); il existe
p
4
un ouvert dense S au voisinage de p sur X tel qu’en chaque point q ∈ S l’un des coefficients ne
s’annule pas. Onpeut supposerque q =0, g(q)=0, h(q)=0. D’apr`esle th´eor`emede pr´eparation
deWeierstrass,ilexisteunpolynˆomeunitaireP(z,ζ,ω)(w)enw avecdescoefficientsholomorphes
au voisinage de 0 tel que P(z,z,g(z))(h(z)) = 0. Le lemme 1 (ii) implique que h est holomorphe
au voisinage de 0.
Danslecasg´en´eral,nousappliquonsl’hypoth`eseder´ecurrenceetleth´eor`emedepr´eparationde
Weierstrassetobtenonsl’´equationhd(z)+Pdj=−01aj(z,z,g(z),h1,...,hk−1)hjk(z)=0ou`lesfonctions
aj(z,ζ,ω,w1,..,wk−1) sont holomorphes au voisinage de 0 et d≥1. Appliquons les op´erateurs Ls
`a cette ´equation. Nous avons deux cas: (a) pour tout j et s on a L (a ) = 0 au voisinage de
s j
0 et (b) il existe un point t (arbitrairement proche vers 0) tel qu’au voisinage de t h v´erifie une
´equation du degr´e d′ : 1 ≤ d′ < d. R´ep´etant cet argument si n´ecessaire, nous pouvons toujours
se ramener au cas (a); nous consid´erons donc seulement ce cas. Nous pouvons supposer qu’il
existe jo tel que aj0(z,z,g(z),w1,...,wk−1) ne s’annule pas identiquement sur X ×CIk−1. Soit
aj0 = PIαI(z,z,g(z))hI ou` I = (i1,...,ik−1,0). Si Ls(αI) = 0 au voisinage de 0 pour tout s et
I, d’apr`es le lemme 1 (i) chaque α est holomorphe et h est holomorphiquement d´ependante. Si
I
Ls0(αI0)ne s’annulepas identiquementpour certains0 etI0 , nouspouvonsappliquer l’hypoth`ese
de r´ecurrence `a P L (α )hI pour conclure.
I s0 I
(ii) Consid´eronsH(z,z,h(z),h(z)) comme une s´erie enti`ere P α (z,z,h(z))hI(z) par rapport
I I
`ah(z). Siundescoefficientsnes’annulepasidentiquementsurX,nouspouvonsappliquerlapartie
(i). Si chaque coefficient s’annule identiquement, nous fixons I tel que α (z,ζ,ω) ne s’annule pas
I
identiquement et nous appliquons la partie (i) `a l’´equation α (z,z,h(z))=0.
I
3. R´esolution des ´equations analytiques.
Pour tout m∈IN et toute application g ∈( C∞ (X))m, d´efinissons Am(X) : une fonction h,
p CR p g
d´efinieauvoisinagede(p,p′)surX×CIn′,appartient`a Am(X)siilexisteunefonctionH(z,ζ,ω,z′)
p g
holomorpheauvoisinagede(p,p,g(p),p′)dansCIn(z)×CIn(ζ)×CIm(ω)×CIn′(z′)telle queh(z,z′)=
H(z,z,g(z),z′). Soit H={h }J ⊂ Am(X) une famille finie telle que h (p,p′)=0, j =1,...,J.
j j=1 p g j
Consid´erons le syst`eme d’´equations analytiques (∗) : h (z,f(z)) = 0,j = 1,...,J ou` les fonctions
j
inconnues f = (f1,...,fn′) v´erifient les conditions: f ∈ (pCC∞R(X))n′, f(p) = p′. Consid´erons
´egalement les germes d’ensembles analytiques complexes au voisinage de p′ dansCIn′ d´efinis par
U(H) = {z′ ∈CIn′ : hj(p,z′) = 0,j = 1,...,J} et par V(H) = {z′ ∈CIn′ : Lαhj(z,z′)|z=p = 0,α ∈
INn−1,j =1,...,J}.
PROPOSITION 3.- Si dimV(H) = 0, toute solution f ∈ C∞ (X), f(p) = p′ de (*) est
p CR
analytique r´eelle au voisinage de p sur X.
D´emonstration.- (a) Supposons d’abord que dimU(H) = 0. Soit h (z,z′) = H (z,z,g(z),z′);
j j
on peut supposer que p = 0, g(p) = 0, p′ = 0. Consid´erons le syst`eme d’´equations holomorphes
H (z,ζ,w,z′) = 0,j = 1,...,J. D’apr`es le th´eor`eme fondamental sur la description locale des
j
vari´et´escomplexesanalytiques,ilexistelespolynˆomesQ (z,ζ,w)(x)=Pkj q (z,ζ,w)xs,q ≡
j ν=0 js jkj
1 , k ≥1 `a coefficients holomorphes au voisinagede 0 dansCIn(z)×CIn(ζ)×CIm(w) et tels que les
j
solutions de ce syst`eme v´erifient au voisinage de 0 les ´equations Q (z,ζ,w)(z′) = 0, j = 1,...,n′.
j j
Par cons´equent, les solutions de (*) v´erifient les ´equations Q (z,z,g(z))(f (z)) = 0 pour z ∈ X,
j j
j =1,...,n′ et le lemme 1 (ii) s’applique.
(b)SoitdimV(H)=0. Ilexistek ∈INtelqueV(H)estd´efiniparles´equationsLαhj(z,z′)|z=p =
0, |α| ≤ k, j = 1,...,J. Pour m′ ∈ IN suffisamment grand, consid´erons l’application g′ ∈
5
( C∞ (X))m′ dont les composantes sont ∂|β|gj , |β| ≤ k. Soient hα := Lαh ∈ Am′(X)
p CR ∂z1β1...∂znβn j j p g′
et H′ = {hα} . Comme hα(z,f(z)) = 0 et V(H) = U(H′), la partie (a) permet de
j |α|≤k,j=1,...,J j
conclure.
4. D´emonstrations des th´eor`emes.
D´emonstration du th´eor`eme A.- Soient hj(z,z′) = ρ′j(z′,f(z)), g := f, H = {hj}j=1,...d. La
vari´et´e caract´eristique Vp(f) coincide avec V(H) et la proposition 3 permet de conclure.
D´emonstrationduth´eor`emeB.-IlexisteunensembleouvertdensedansunvoisinagedepsurX
telquepourtoutpointsadecetensemble(a,f(a))estunpointr´egulierdeV (f). Soitz′ =(′z,′′z)
p
avec ′z ∈ CIm. D’apr`es le th´eor`eme des fonctions implicites, au voisinage de (a,f(a)) on peut
repr´esenterV (f) dans la forme ′′z =G(z,′z) ou` G est une fonction holomorphe. Par cons´equent,
p
l’intersection V (f)∩(X ×X′) est donn´ee par les ´equations analytiques r´eelles R (z,z,′z,′z) :=
p j
ρ′(G(z,′z),G(z,′z))=0, z ∈X, j =1,...,det contientle graphede f. Comme tr.deg (f)est´egal
j z
`a m au voisinagede p, le lemme 2 (ii) implique que R ≡0 par rapport`a z ∈X au voisinage de a
j
pour tout ′z fix´e.
Consid´erons les projections canoniques π :CIn×CIn′ −→CIn et π′ :CIn×CIn′ −→CIn′ et posons
V (f|X) := π−1(X)∩V (f). D’apr`es ce qui pr´ec´ede π′(V (f|X)) ⊂ X′. Le rang de la restriction
p p p
π′|V (f|X) est sup´erieur `a r car V (f|X) contient le graphe de f; de plus π′ est biholomorphe
p p
sur chaque fibre de π. D’apr`es le th´eor`eme du rang il existe une sous-vari´et´e N ⊂ X analytique
r´eelle telle que la restriction π′ : π−1(M)∩V (f) −→ M := π′(V (f|X) est un diff´eomorphisme.
p p
L’holomorphie de π′ implique l’´enonc´e.
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