Analysis und mathematische Physik

451 Pages·1989·22.293 MB·German

by  Hans Triebel (auth.)

B
Hans T riebel
Analysis
und mathematische Physik
3., bearbeitete Auflage
1989 Springer Basel AG
Hans Triebel
Sektion Mathematik
Friedrich- Schiller-Universität
DDR - 6900 Jena
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Triebel, Hans:
Analysis und mathematische Physik / Hans Triebel. —3., bearb.
Aufl. — Basel ; Boston ; Berlin : Birkhäuser, 1989
Engl. Ausg. u. d. T.: Triebel, Hans: Analysis and mathematical physics
ISBN 978-3-7643-2250-2
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere des
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men.
© 1989 Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1989
Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 1989
ISBN 978-3-7643-2250-2 ISBN 978-3-0348-5265-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5265-4
Vorwort
Von 1974 bis 1979 hatte ich an der Friedrich-Schiller-Universitat in Jena die
sicherlich nicht alltagliche Gelegenheit, einen durchgehenden 10semestrigen Kurs
flir Mathematikstudenten zu lesen. Entsprechend dem Studienplan hatten diese
Vorlesungen verschiedene N amen (Differential- und Integralrechnung, gewohn
liche Differentialgleichungen usw.), Inhalt und Zielstellung werden aber wohl am
besten durch "Analysis und mathematische Physik" ausgedriickt. Das Buch ist
das erweiterte Skelett dieses Kurses. Skelett insofern, als auf Beweise weitgehend
verzichtet wurde (im Gegensatz zu groBen Teilen der Vorlesung). Andererseits
wurden die Kapitel 27, 32 und 33 nachtraglich eingefligt.
Das Ziel des Kurses ist klar, wenn man einen Blick in das Inhaltsverzeichnis
dieses Buches wirft: Einerseits hat die Mathematik groBartige, elegante, in sich
geschlossene Theorien entwickelt, die keiner weiteren Rechtfertigung bediirfen.
Andererseits sind es oft gerade die schonsten dieser Theorien, die zugleich das
Fundament bilden, auf dem klassische und moderne theoretische Physik ruhen.
Es war das Ziel, nicht nur diese Fundamente zu beschreiben, sondern auch einen
Eindruck von den Gebauden zu vermitteln, die iiber ihnen errichtet werden konnen.
Getreu dem Hilbertschen Ideal werden hierbei mathematische Theorien und ihre
physikalischen Interpretationen und Anwendungen sauberlich getrennt.
Das Buch wendet sich an Mathematiker, Physiker und Studenten der Mathema
tik und der Physik. Insbesondere die Mathematikkapitel sind so abgefaBt, daB
sie auch als Nachschlagewerk dienen konnen. Mathematiker finden die Darstellung
von Prinzipien der klassischen und modernen theoretischen Physik in einer ihnen
gelaufigen.Sprache. Durch die zusammenfassende Beschreibung einiger mathema
tischer Grundlagen klassischer und moderner theoretischer Physik hofft das Buch,
auch fiir Physiker niitzlich zu sein.
In jiingster Zeit hat eine Wiederannaherung zwischen theoretischer Physik
und Mathematik stattgefunden. Das Buch mochte fiir diesen Trend werben: bei
Mathematikern und Physikern, insbesondere aber bei den Studenten beider
Richtungen.
Nachdem gesagt wurde, was das Buch eventuellleisten kann, solI noch erwahnt
werden, wozu es nicht in der Lage ist. Es ist weder ein Lehrbuch, noch eine Samm
lung kurzer Monographien. Einem Mathematikstudenten bleibt es nicht erspart,
sich in entsprechenden Lehrbiichern Zeile fiir Zeile durch die Beweise jener Satze
zu kampfen, die hier nur formuliert und kommentiert werden. Manche Passagen
dieses Buches erfiillen ihren Zweck, wenn sie den Appetit anregen. Weiterfiihrende
Details und Beweise miissen in der angegebenen Litenitur nachgelesen werden.
Auf eine Eigenheit soIl noch hinge wiesen werden, die damit zusammenhangt,
daB auch ein 10semestriger Kurs methodische Riicksichten zu nehmen hat. (Die
Vorlesungen waren bis zum 5. Semester, dem entspricht Kap.19, obligatorisch
fiir aIle Studente n des betreffenden Studienjahres, spater nur noch fiir die Analysis
spezialisten. Der SchluB war fakultativ.) Manche Gegenstande erscheinen mehrfach
in sich steigernden Abstraktionsstufen. Hier ein Beispiel: Kap. 19 enthalt die klassi
schen Grundlagen der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, ohne Schnor
kel und modernes Beiwerk. Wer mehr wissen will, muB auch mehr investieren!
Nachdem die Theorie der Distributionen dargelegt wurde, werden auf dieser
6 Vorwort
Grundlage in Kap. 23 nochmals partielle Differentialgleichungen behandelt.
SchlieBlich wird die Wellengleichung in gekriimmten Raum-Zeiten in Kap.33
untersucht. Die Basis hierfur sind die vorangehenden Geometriekapitel 29 und 32.
Ein Blick in das Inhaltsverzeichnis zeigt, daB es weitere Ketten dieser Art giht,
so etwa die stufenweise Entwicklung des Integralbegriffs oder die Kapitel uber
Tensoren, Formen und Differentialgeometrie. Es war ein Prinzip dieses Kurses,
einerseits die dargestellten Gebiete der Mathematik exakt und (nach Moglichkeit)
liickenlos zu entwickeln, andererseits aber nur jenen Allgemeinheitsgrad anzu
streben, der zum Verstandnis der nachfolgenden Physikkapitel unbedingt not
wendig ist. Mitunter wird inhaltlichen (anschaulichen bi1dhaft-geometrischen)
Argumenten der Vorzug vor forma1-logischen Schliissen gegeben. Das ist nicht nur
eine Zeit- und Platzfrage, sondern auch eine Angelegenheit des personlichen Ge
schmacks.
Der Kurs uberstreicht ein re1ativ weites Feld, und es ist fast selbstverstandlich,
daB der Verfasser an vielen Stellen keine Darstellungen aus eigener Kraft hat geben
konnen, die Anspruch auf Orginalitat erheben konnten. Viele Kapitel sind die auf
bereitete Wiedergabe entsprechender Monographien. Das beginnt bereits mit den
Kapiteln 13 und 14, die in enger Anlehnung an P. R. Halmos ([15]) gelesen und
geschrieben wurden. Weitere Beispiele sind Kap.32/33 (F. G. Friedlander, [9]),
Kap. 34 (y.-c. Lu, [27]) und Kap. 28 ([43]).
Am Ende des Buches findet man Literaturangaben und Literaturhinweise. Sie
dienen als Quellenangaben, aber auch als Empfehlungen fUr weitere Vertiefungen.
Die Bucher ah Nummer [53]. und die diesbezuglichen Stellen im Text wurden erst
spater eingefiigt.
SchlieBlich mochte ich der Teubner VerlagsgeseIJschaft in Leipzig und ins
besondere Frau Ziegler fUr harmonische Zusammenarbeit danken.
J ena, Herbst 1979 Hans Triebel
Vo rwort zur dritten A uflage
Bereits in der zweiten Auflage wurde das Literaturverzeichnis um die Titel
[70]-[78] erweitert. Es handelt sich zumeist um weiterfuhrende Darstellungen.
In der vorliegenden dritten Auflage wurden erneut aIle bekannt gewordenen
Druckfehler berichtigt. Ferner wurden einige kleinere Korrekturen und An
merkungen eingefUgt. Der "Anhang" wurde erweitert. Andererseits konnten 1an
gere Zitate bedeutender Mathematiker und Physiker sowie diesbeziigliche An
merkungen aus drucktechnischen Grunden nicht in den Haupttext aufgenommen
werden. Diese Stellen wurden am Ende des Buches in den "Erganzungen" zu
sammengefaBt. 1m Haupttext weist ein Stern an den betreffenden Abschnitten
darauf hin, daB weitere relevante AusfUhrungen in den "Erganzungen" zu find en
sind. Insbesondere umfassen die Erganzungen die neu eingefUgtell Stellen der
englischen ttbersetzung der zweiten Auflage dieses Buches.
Jena, Winter 1987 Hans Triebel
Inhalt
1. Zahlen und Blume 22
1.1. Reelle Zahlen 22
1.1.1. Zahlsysteme 22
1.1.2. Abstand und V ollstandigkeitsaxiom 23
1.2. Komplexe Zahlen 23
1.2.1. Definitionen 23
1.2.2. Eigenschaften 24
1.2.3. Konjugierte Elemente, Subtraktion und Division 24
1.2.4. Normaldarstellung 25
1.S. Hn, en und metrische Riiume 26
1.3.1. Der n-dimensionale reelle Raum En 26
an
1.3.2. Der n-dimensionale komplexe Raum 26
1.3.3. Der metrische Raum 27
2. Konvergenz und Stetigkeit 28
2.1. Folgen 28
2.1.1. Infimum, Supremum und Limes 28
2.1.2. Eigenschaften konvergenter Folgen 29
2.1.3. Beispiele 29
2.2. Reihen 30
2.2.1. Konvergenz und Divergenz 30
2.2.2. Beispiele 31
2.2.3. Konvergenzkriterien 31
2.2.4. Umordnungen, Multiplikationen und Additionen 32
2.S. Reelle Funktionen im HI 33
2.3.1. Definition 33
2.3.2. Eigenschaften stetiger Funktionen 35
2.4. Stetige Abbildungen in metrischen Riiumen 36
2.4.1. Definition 36
2.4.2. Beispiele 36
2.4.3. Reelle stetige Funktionen im En 37
2.6. Vollstiindige metrische Riiume 38
2.5.1. Definitionen 38
a
2.5.2. Der Raum [a, b] 38
2.5.3. Der Banachsche Fixpunktsatz 39
3. Differential- und Integralrechnung im HI (Grundbegriffe) 40
S.l. Differentiation 40
3.1.1. Definitionen 40
3.1.2. Regeln 41
8 Inhalt
3.1.3. Beispiele (Rationale Funktionen) 41
3.1.4. Umkehrfunktionen 42
3.1.5. Mittelwertsatze 42
3.1.6. Ableitungen haherer Ordnung, Ableitungen komplexer Funktionen 43
3.2. Integration reeDer Fnnktionen 44
3.2.t. Definition des Riemannschen Integrals 44
3.2.2. Eigenschaften 45
3.2.3. Vertauschbarkeit von Limes und Integration 45
3.2.4. Beispiele und Gegenbeispiele integrierbarer Funktionen 46
3.2.5. Stammfunktionen 46
3.2.6. Integraloperatoren 47
4. Gewohnliehe DiHerentialgleiehungen (Existenz- und Unititssitze) 49
4.1. Anfangswertprobleme 49
4.1.1. Die Differentialgleichung j(n)(x) =0 49
4.1.2. Problemstellung 49
4.2. Existenz- nnd Unitiitssiitze 50
4.2.t. Systeme erster Ordnung 50
4.2.2. Differentialgleichungen n-ter Ordnung 50
4.2.3. Lokale Existenz- und Unitatssatze 51
o.
Elementare Funktionen und Potenzreihen 51
0.1. Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen (reeH) 51
5.1.t. Die Funktion eZ 51
5.1.2. Die Funktion log x 52
5.1.3. Die Zahl e 53
5.1.4. Die Funktionen aZ und loga x 53
5.1.5. Die Funktion x« 53
0.2. Trigonometrische Funktionen 54
5.2.1. Die Funktionen sin x und cos x 54
5.2.2. Die Funktionen tan x und cot x 55
5.2.3. Die Funktionen arcsin x und arctan x 55
5.2.4. Die Funktion eitp 56
0.3. Exponentialfunktionen nnd Potenzfunktionen (komplex) 57
5.3.t. Die Funktionen eZ und In z 57
5.3.2. Die Funktion zw, Riemannsche Flachen 58
5.3.3. Einheitswurzeln, Fundamentalsatz der Algebra 58
0.4. Potenzreihen 60
5.4.1. Konvergenzradius 60
5.4.2. Addition und MultipJikation von Potenzreihen 60
5.4.3. Differentiation von Funktionenfolgen und Potenzreihen 61
5.4.4. Taylorreihen 61
5.4.5. Beispiele und Gegenbeispiele fiir l'aylorreihen 62
5.4.6. Potenzreihe fUr eZ, analytische Funktionen 63
5.4.7. IrrationaJitat von e 63
6. Banaehraume 64
6.1. Definitionen nnd Beispiele 64
6.1.t. Definitionen 64
6.1.2. Beispiele 65
lnhalt 9
6.2. Riume vom Typ lp 65
6.2.1. Ungleichungen 65
6.2.2. Die Raume 1~,R' l~,c, lp,R und lp,c 65
7. Integralrechnung im HI (Fortsetzung) 67
7.1. Klassen integrierbarer Funktionen 67
7.1.1. Allgemeine Regeln (partielle Integration, Variablensubstitution) 67
7.1.2. Integration rationaler Funktionen, Partialbruchzeriegung 68
7.1.3. Integration von R(cos x, sin x) 69
7.1.4. Integration von R(eZ), R (x, Yx2-1) und R (x, Yx2+1) 70
7.1.5. Integration von R (x, Y1 -x2) 70
1
(;;:!t)
(x,
7.1.6. Integration von R 70
7.2. Uneigentliche Integrale 71
7.2.1. Typen uneigentlicher Integrale, Beispiele 71
7.2.2. Integralkriteri1].m fur Reihen, Euler-Mascheronische Zahl 72
7.2.3. Die r-Funktion 73
8. Differentialrechnung im Rn 73
8.1. Partielle Ableitungen 73
8.1.1. Definition 73
8.1.2. Vertauschbarkeit partieller Ableitungen 74
8.1.3. Taylorpolynome 75
8.1.4. n-dimensionale Potenzreihen 75
8.1.5. Kurven und Flachen im Rn. Kettenregel 76
8.1.6. Geometrische Interpretation des Taylorpolynoms 78
8.1.7. Richtungsableitung 78
8.2. Implizite Funktionen und Auflosungssitze 79
8.2.1. Problemstellung 79
8.2.2. Aufl6sungssatz, krummlinige Koordinaten 80
8.2.3. Parameterabhangiger Aufl6sungssatz 81
8.2.4. Implizite Funktionen 81
8.S. Extremwerte von Funktionen 82
8.3.1. Der eindimensionale Fall 82
8.3.2. Der n-dimensionale Fall 82
9. Integralrechnung im Rn 83
D.1. Definitionen und Eigenscharten 83
9.1.1. Q-Gebiete und I-Gebiete 83
9.1.2. Integrale in Q-Gebieten 84
9.1.3. Eigenschaften 85
9.1.4. Integrierbare Funktionen 85
9.1.5. Integrale in I-Gebieten 85
9.1.6. Iterationssatz fur n-dimensionale Integrale 86
D.2. Transformationsformeln, Volumenmessung, Flichenmessung 86
9.2.1. Volumenmessung 86
9.2.2. Transformationsformeln 87
10 Inhalt
9.2.3. Bogenlii.nge von Kurven 87
9.2.4. Flachenmessung 88
9.2.5. Flachenintegrale 89
(-i)
9.2.6. Die Einheitskugel, r 89
9.2.7. Uneigentliche Integrale 90
9.S. Integralsiitze 91
9.3.1. Der Gaullsche Satz 91
9.3.2. Die Greenschen Siitze 92
10. Gewohnliche Differentialgleichungen (Losungsmethoden) 93
10.1. Trennbare, homogene und exakte Differentialgleichungen 93
10.1.1. Problemstellung 93
10.1.2. Trennbare Differentialgleichungen 93
10.1.3. Homogene Differentialgleichungen 94
10.1.4. Exakte Differentialgleichungen 95
10.1.5. Der integrierende Faktor 96
10.2. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 96
10.2.1. Die Gleichung y' = f(x) y 96
10.2.2. Die inhomogene lineare Differentialgleichung 97
10.S. Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung 97
10.3.1. Fundamentalsysteme und Wronskideterminante 97
10.3.2. Inhomogene Differentialgleichungssysteme 99
10.3.3. Spezielle Differentialgleichungssysteme 99
10.3.4. Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 100
10.4. Lineare Differentialgleichungen hOherer Ordnung 100
10.4.1. Problemstellung 100
10.4.2. Fundamentalsysteme und Wronskideterminante 101
10.4.3. Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 102
10.0. Stetige Abhiingigkeit von Anfangsdaten 102
10.5.1. Differentialgleichungssysteme erster Ordnung 102
10.5.2. Differentialgleichungen n-ter Ordnung 103
10.5.3. Stetige Abhii.ngigkeit von der rechten Seite 103
11. Variationsrechnung 104
11.1. Die Grundgleichungen der Variationsrechnung 104
11.1.1. Problemstellung 104
11.1.2. Vorbereitungen 105
11.1.3. Die Eulerschen Gleichungen 105
11.2. Beispiele 106
11.2.1. Eine physikalische Vorb!lmerkung 106
11.2.2. Die Brachistocbrone 107
11.2.3. Das Problem von der Geraden als kiirzeste Verbindung zweier Punkte 108
11.2.4. Rotationssymmetrische Minimalflachen 109
12. Prinzipien der klassischen Mechanik 11 0
12.1. Modellbildung in der Physik 110
12.1.1. Zum Verhaltnis von Mathematik und Physik 110
12.1.2. Mathematische Modelle 111