Analysis und Approximation der Cahn-Hilliard Gleichung mit Hindernispotential Diplomarbeit im

111 Pages·2008·1.72 MB·German

Analysis und Approximation der Cahn-Hilliard Gleichung
mit Hindernispotential
Carsten Gra¨ser
Diplomarbeit im Fach Mathematik
eingereicht am
Fachbereich Mathematikund Informatik
der
Freien Universita¨tBerlin
August2004
2
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 5
1 PhysikalischeMotivationderCahn-HilliardGleichung 7
1.1 DieGinzburg-Landau Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 DieCahn-HilliardGleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 FunktionalanalytischerHintergrund 11
2.1 SchwacheKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 KonvexeAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 MaximalmonotoneOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Gelfand’sche Dreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Sobolevra¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Funktionenra¨ume fu¨rEvolutionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Die Cahn-HilliardGleichung 34
3.1 DieCahn-HilliardGleichung alsVariationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 ExistenzundEindeutigkeit vonLo¨sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Beweisskizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Galerkin-Approximation vonH1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Eindifferenzierbares Energiefunktional . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.4 Regularisierung derVariationsungleichung . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.5 Lo¨sungen desregularisierten Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.6 Lo¨sungen derVariationsungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.7 Regularita¨t derLo¨sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Eine DiskretisierungderCahn-HilliardGleichung 53
4.1 DieMethodederfinitenElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Diesemi-implizite Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 ExistenzundEindeutigkeit vonLo¨sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Lo¨sungderdiskretenProbleme 69
5.1 Diealgebraische Darstellung derdiskreten Cahn-Hilliard Gleichung . . . . . . 69
5.2 DerSplitting-Algorithmus vonLions-Mercier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.1 DerLions-Mercier Algorithmus fu¨rmaximalmonotone Operatoren . . 71
5.2.2 DieCahn-Hilliard Gleichung alsOperator-Inklusion . . . . . . . . . . 72
5.2.3 DieAuswertung derOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.4 Implementierung desAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 DasGauß-SeidelVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.1 DasGauß-SeidelVerfahrenfu¨rlineareProbleme . . . . . . . . . . . . 78
5.3.2 DasGauß-SeidelVerfahrenfu¨rVariationsungleichungen . . . . . . . . 79
5.3.3 EinGauß-Seidel Verfahrenfu¨rdiediskrete Cahn-Hilliard Gleichung . . 81
3
5.3.4 Implementierung desAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 DieCahn-HilliardGleichung alsMinimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . 85
5.4.1 Aufstellen einesEnergiefunktionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.2 DasMinimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.3 DasSattelpunktproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5 DerUzawaAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.1 DerUzawaAlgorithmus fu¨rMinimierungsprobleme . . . . . . . . . . 91
5.5.2 DieTeilprobleme imUzawaAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5.3 ErzwingenvonMassenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5.4 DerUzawaAlgorithmus fu¨rdiediskrete Cahn-HilliardGleichung . . . 95
5.5.5 Implementierung desAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 NumerischeExperimente 99
6.1 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4 Ergebnisse dernumerischen Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.1 DieLo¨sungin1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.2 DieLo¨sungin2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4.3 VerlaufderIterationin1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.4 VerlaufderIterationin2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4.5 AnzahlderIterationsschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A Notation 107
Literatur 109
4
Einleitung
Die Methoden der Mathematik werden vielfach eingesetzt, um komplexe Vorga¨nge physikali-
scher, chemischer, biologischer oder volkswirtschaftlicher Natur zu modellieren und zu simu-
lieren. Zur Beschreibung physikalischer Prozesse haben sich insbesondere partielle Differen-
tialgleichungen als hilfreich erwiesen. Sie gestatten es, Erhaltungssa¨tze sowie Zustands- und
Materialgesetze elegantzuformulierenunddamitModellezurBeschreibung dieserProzessezu
entwickeln.
In der Materialwissenschaft kommt Phasenu¨bergangs- und Phasenseparationsprozessen beson-
dere Bedeutung zu. Diese beschreiben, wie sich verschiedene Phasen ineinander umwandeln,
wie es bei Schmelz- oder Reaktionsvorga¨ngen der Fall ist, oder sich entmischen. Die Entmi-
schungvonLegierungenalsBeispielfu¨rPhasenseparation isteinEffekt,derdieHaltbarkeitvon
Materialien und Werkstu¨cken deutlich beeinflussen kann. Deshalb ist man an einer Simulation
derdabeiauftretendenProzesseinteressiert.ZurModellierungsolcherVorga¨ngewerdendieGe-
setze der Thermodynamik angewandt. Das Resultat sind Phasenfeldmodelle, die auf partiellen
Differentialgleichungen beruhen und verschiedene Aspekte des jeweiligen Vorgangs beschrei-
ben.Eineinfaches Modellfu¨rSeparationsprozesse istdieCahn-Hilliard Gleichung.
ImRahmendieserArbeitsolleinEinblickindieStrukturderCahn-HilliardGleichungmitHin-
dernispotential und ein U¨berblick u¨ber die Techniken zu ihrer numerischen Lo¨sung mit dem
Computer gegeben werden. Dazu wirdinKapitel 1eine kurze physikalische Motivation entwi-
ckelt,umeinVersta¨ndnis fu¨rdieBedeutungderGleichungzuschaffen.
InKapitel 2werdendiemathematischen Hilfsmittel, diezuranalytischen undnumerischen Be-
handlung der Gleichung beno¨tigt werden, eingefu¨hrt. Neben Begriffen aus der linearen Funk-
tionalanalysis sind dies insbesondere solche aus der nichtlinearen Funktionalanalysis und der
konvexen Analysis. Sie ermo¨glichen es, auch nichtlineare und nicht glatte Probleme wie die
Cahn-Hilliard GleichungmitHindernispotential elegantzubehandeln.
Die kontinuierliche Cahn-Hilliard Gleichung wird in Kapitel 3 analytisch behandelt. In diesem
Rahmenwerdenmitdeneingefu¨hrten Techniken undBegriffenExistenz-undEindeutigkeitsre-
sultate gezeigt. Grundlage der Untersuchungen ist dabei eine Formulierung der Gleichung als
Variationsproblem ineinemSobolevraum.
Kapitel 4 untersucht eine Diskretisierung der Gleichung mittels finiter Element Techniken. Es
wirddieExistenzundEindeutigkeitvondiskretenLo¨sungengezeigtundeinKonvergenzresultat
zitiert.DiedaringegebeneFehlerabscha¨tzungstelltdenZusammenhangzwischendenLo¨sungen
derkontinuierlichen undderdiskreten Gleichungher.
Die Lo¨sung der dabei entstehenden diskreten Probleme ist Thema von Kapitel 5. Da die u¨bli-
chen Verfahren zur Lo¨sung linearer Probleme nicht anwendbar sind, werden nichtlineare Lo¨ser
betrachtet.EswirdderOperator-SplittingAlgorithmusvonLionsundMercierundeinevonBar-
rett vorgeschlagene nichtlineare Block-Gauß-Seidel Iteration pra¨sentiert. Da die Geschwindig-
keitdieserAlgorithmenunbefriedigend ist,wirdeineFormulierungderdiskreten Cahn-Hilliard
Gleichung als Minimierungs- und Sattelpunktproblem entwickelt. Ziel ist dabei die Anwend-
5
barkeit schneller Mehrgitterverfahren. Es wird jedoch eine zusa¨tzliche Nebenbendingung ein-
gefu¨hrt, diedieAnwendungdesebenfalls langsamenUzawaAlgorithmusnotwendig macht.
DerGauß-Seidel undderUzawaAlgorithmus werdenschließlich inKapitel6anhand exempla-
rischer Rechnungen fu¨r ein- und zweidimensionale Probleme verglichen. Eswirdinsbesondere
auf die Entwicklung der Geschwindigkeit der Algorithmen bei wachsender Anzahl von Unbe-
kannten eingegangen.
Fu¨rdieinderArbeitangeschnittenen Themenkomplexe derMathematik werdenReferenzen zu
detaillierteren Darstellungen gegeben. Die pra¨sentierten Sa¨tze werden entweder bewiesen oder
eswerden,fallsdieBeweisedenRahmenderArbeitsprengenwu¨rden,ReferenzenaufArbeiten
oderBu¨chergegeben,indenensiezufindensind.InwenigenFa¨llenwirdeinekurzeBeweisskiz-
zegegeben, umaufeinzelne Aspektehinzuweisen, ohnedengesamtenBeweisauszufu¨hren.
An dieser Stelle mo¨chte ich herzlich Prof. Ralf Kornhuber fu¨r seine engagierte, geduldige und
allzeithilfsbereite BetreuungbeiderBearbeitung desThemasdanken.
Berlin,August2004 CarstenGra¨ser
6
1 Physikalische Motivation der Cahn-Hilliard Gleichung
Die Cahn-Hilliard Gleichung beruht als Phasenfeldmodell auf den Gesetzen der Thermodyna-
mik.SiebeschreibtdabeidieSeparationzweierSpezies.EineEinfu¨hrungindieThermodynamik
undeinedetailliertethermodynamischeFundierungvonPhasenfeldmodellenkannundsollaller-
dingsimRahmendieserArbeitnichterfolgen. Zielistesvielmehr,durcheinekurzeMotivation
einen Eindruck von den physikalischen Prozessen zu vermitteln, die die Gleichung beschrei-
ben soll. Eine detaillierterer Einblick in die Modellierung von Phasenseparationsprozessen ist
beispielsweise bei[BS96]zufinden.
1.1 Die Ginzburg-Landau Energie
Die Cahn-Hilliard Gleichung beschreibt die Separation eines Gemisches oder einer Legierung
zweier Spezies A und B in einem beschra¨nkten ra¨umlichen Gebiet Ω. Fu¨r solche Legierungen
la¨sst sich beobachten, dass sie oberhalb einer kritischen Temperatur T stabil sind, das heißt es
c
findetkeine Entmischung statt. Indiesem Zustand ko¨nnen dieSpezies uniform u¨ber dasGebiet
verteiltsein.WirddieTemperaturT jedochunterdiekritischeTemperaturT gesenkt,sosetzen
c
Entmischungsprozesse ein. Einen guten U¨berblick u¨ber diese Thematik verschafft der Artikel
[Ell89].
Zuna¨chstwerdenjedochstationa¨reGleichgewichtszusta¨nde beschrieben. Hierzubetrachtetman
im einfachsten Fall eine lokale freie Energie ψ(u,T) fu¨r jeden Punkt x im Gebiet, wobei u
den Zustand im Punkt x beschreibt. Es ist jedoch zu beobachten, dass der Separationsprozess
inra¨umlichgetrennten Punktennichtunabha¨ngig voneinander stattfindet. EsbildensichRegio-
nen aus, in denen nur jeweils eine Phase vorliegt, wassich durch Oberfla¨chenenergien erkla¨ren
la¨sst.DieGrenzezwischendiesenRegionenwirdalsInterfacebezeichnet. UmnundenZustand
des Systemszubeschreiben, wirdeinOrdnungsparameter ueingefu¨hrt. Fu¨reine Legierung be-
schreibt dabei u(x) die Konzentration der Spezies im Punkt x. Dabei entspricht u(x) = 1 dem
reinen Vorliegen von Spezies Aund u(x) = −1dem reinen Vorliegen von Spezies B imPunkt
x.Liegen beide Spezies gemischt vor, nimmtu(x) Wertein (0;1) an. Wird von einer nur lokal
definierten freienEnergieausgegangen, sola¨sstsichdieGesamtenergie desSystemsmit
E(u) = ψ(u(x),T)dx
Z
Ω
beschreiben. VordemHintergrunddieserSystemenergiewirdψ(u(x),T)auchalsEnergiedich-
te bezeichnet. Um auch die Oberfla¨chenenergie am Interface zu modellieren, haben Cahn und
Hilliardin[CH58]denTerm 1γ|∇u|2 eingefu¨hrt undzuψ(u,T)addiert. Diesfu¨hrtzu
2
1
Ψ(u(x),T) = ψ(u(x),T)+ γ|∇u(x)|2
2
undzurGesamtenergie
1
E (u) = ψ(u(x),T)+ γ|∇u(x)|2dx.
γ
2
Z
Ω
7
Ein solches Energiefunktional wird als Ginzburg-Landau Energiefunktional bezeichnet. Dabei
la¨sst sich zeigen, dass γ > 0 proportional zur Dicke des Interfaces im Gleichgewichtszustand
ist.Fu¨reinenGleichgewichtszustand istauchzuerwarten,dassderOrdnungsparameter udieses
Funktional minimiert. Esgibtprinzipiell zweiArtenvonPhasenfeldmodellen: Modellemitund
Modelle ohne Massenerhaltung. DieSeparation istder klassische FallmitMassenerhaltung, da
sich die Spezies nur trennen und nicht ineinander umwandeln. Deshalb ist im Gleichgewichts-
zustand zusa¨tzlich nochdieMassenerhaltung
u(x)dx = u |Ω|
m
Z
Ω
zu fordern. Soll nun die Dynamik des Systems modelliert werden, so ist u auch von der Zeit
abha¨ngig zu betrachten, also als u(x,t). Fu¨rSysteme ohne Massenerhaltung nimmt man meis-
tensan,dassdieDynamiksichinRichtungderMinimierungvonE entwickelt,alsoinRichtung
γ
dernegativenFunktionalableitung vonE nachu.Diesfu¨hrtaufdieEvolutionsgleichung
γ
∂u ∂
= − E (u).
γ
∂t ∂u
1.2 Die Cahn-Hilliard Gleichung
ImFallderMassenerhaltung wirddieFunktionalableitung
hw,vi = E′(u),v = (ψ′(u),v)+γ(∇u,∇v) (1.2.1)
γ
alschemisches Potential bezeichn(cid:10)et undals(cid:11)einethermodynamische Kraftinterpretiert. Fu¨rden
MassenflussJ wirdnunJ = −M∇wgefordert. DabeiistM einMobilita¨tsfaktor. Damitgilt
∂u
= div(M∇w). (1.2.2)
∂t
Die dadurch gegebene Gleichung wird als Cahn-Hilliard Gleichung bezeichnet. Durch Einset-
zen der Beziehungen (1.2.1) und (1.2.2) ergibt sich die partielle Differentialgleichung vierter
Ordnung
∂u
= div(M∇(ψ′(u)−γ△u)) x∈ Ω,t > 0.
∂t
Fallsessichumeinabgeschlossenes Systemhandelt, existiertkeinFlussu¨berdenRand.Damit
ergibtsichdieRandbedingung
M(∇w)·ν = 0 auf∂Ω.
Fu¨r u werden natu¨rliche Randbedingungen gewa¨hlt, die sich fu¨r die Variationsformulierung
(1.2.2)ergeben:
γ(∇u)·ν auf∂Ω.
8
DesWeiterenistfu¨reinEvolutionsproblem einAnfangswertvorzugeben. Diesgeschieht durch
u (x) = u(x,0) x∈ Ω.
0
Die Frage ist nun, wie die Funktion ψ aussieht. Da uniforme Zusta¨nde fu¨r T > T stabil sind,
c
nimmtdieFunktionihrMinimumimInnerendesIntervalls (−1,1)an.
T<<TC
T<TC
T>TC
−1 0 1
Abbildung 1.2.1:DieFunktionψ fu¨rverschiedene T
Eineoftverwendete Wahlfu¨rψ istdieFunktion
1 1
ψ(u) = ψ(0,T)+ KT u2+ KT [(1−u)log (1−u)+(1+u)(log) (1+u)],
2 c 2 e e
mit
1
ψ(0,T) = KT −kT log 2,
2 c e
wobeiK dieBoltzmannkonstante ist.SiebesitztdieEigenschaft, fu¨rT > T in(−1;1)konvex
c
zu sein. Somit sind uniforme Zusta¨nde energiearm. Fu¨r T < T besitzt ψ zwei Minima −1 <
c
a < 0 < b < 1. Diese fu¨hren zu Separationsprozessen, da der Zustand u = 0 nicht mehr
minimaleEnergie besitzt. Fu¨rkleiner werdendes T ru¨cken dieMinimaimmerna¨her an−1und
1.Fu¨ru→ ±1giltjedoch immerψ(u) → ∞.Damitistsichergestellt, dassunichtgro¨ßeroder
kleinerals1wird,wasderInterpretation alsKonzentration widerspra¨che. DerGrenzfall,indem
T sehr klein gegenu¨ber T wird und gegen 0 geht, ist Themadieser Arbeit. Beim so genannten
c
deep-quench-limit wird davon ausgegangen, dass das System in einem uniformen Zustand bei
T > T mit
c
u (x) = u +ξ(x)
0 m
fu¨r|ξ(x)| ≪ 1und ξ(x)dx = 0ist.NunwirddieTemperatursprunghaft rapidegesenkt,was
Ω
T ≪ T entspricht. Damitwirdausdemdifferenzierbaren dasnichtdifferenzierbare Funktional
c
R
1(1−u2) fu¨r|u| ≤ 1
ψ(u) = 2 .
∞ fu¨r|u| > 1
(cid:26)
9
Umu ∈ [−1;1]sicherzustellen nimmtψnunaußerhalb diesesIntervallsdenWert∞an,womit
sich die Bezeichnung Hindernispotential fu¨r ψ erkla¨rt. In der Formulierung der Cahn-Hilliard
Gleichung tritt die Ableitung von ψ auf, die sich nun nicht mehr bilden la¨sst. Deshalb wird
auf den Begriffdes Subdifferentials zuru¨ckgegriffen (siehe Abschnitt 2.2). Damitla¨sst sich das
chemische Potentialdarstellen durch
w+γ△u+u ∈∂I
[−1;1]
womitdieCahn-Hilliard Gleichungzufolgendem Systemwird:
∂u
= △w, (1.2.3)
∂t
(|u|−1)(−γ△u−u−w) = 0, (1.2.4)
(γ△u+u+w)signu≥ 0, (1.2.5)
|u| ≤ 1. (1.2.6)
Dabeifolgtfu¨r|u(x)| < 1aus(1.2.4)wiedergenaudieDifferentialgleichung
−γ△u−u−w = 0.
Multipliziert mandiesemitη−u,wobei|η(x)| ≤ 1gilt,soergibt sich
(η−u)(−γ△u−u−w) = 0.
Fu¨rdenFallu= 1giltη−u≤ 0,womitaus(1.2.5)
(η−u)(−γ△u−u−w) ≥ 0
folgt.DieselbeUngleichung folgtauchausu = −1undη−u≤ 0.Damitgiltfu¨ralledreiFa¨lle
dieseUngleichung. Integration u¨berΩundAnwendenpartieller Integration fu¨hrtschließlich zu
γ ∇u(x)·∇(η(x)−u(x))dx− u(x)(η(x)−u(x))dx ≥ w(x)(η(x)−u(x))dx.
Z Z Z
Ω Ω Ω
InKapitel3wirddieseGleichungalsexaktformuliertes Variationsproblem betrachtet.
10