Analysis III [Lecture notes]

196 Pages·2008·1.461 MB·German

by  Dirk Ferus

Analysis III
Prof. Dr. Dirk Ferus
Wintersemester 2007/8
W(h(q),(1+e)r)
h
q
W(q,r)
W(h(q),(1-e)r)
Version vom 02.07.2008

Inhaltsverzeichnis
1 Definition des Lebesgueintegrals 7
1.1 IntervalleundMaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Treppenfunktionen.Nullmengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 DasIntegralaufL1(φ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
+
1.4 DasIntegralaufL1(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Die Konvergenzs¨atze 27
2.1 DerKonvergenzsatzvonBeppoLevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 DerKonvergenzsatzvonLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Messbare Funktionen 38
4 Sukzessive Integration: Fubini und Tonelli 42
5 Messbare und integrierbare Mengen 46
6 Der Transformationssatz 53
6.1 NullmengenundVerzerrungdurchlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 VerzerrungdurchC1-Diffeomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 DerTransformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4 DasLemmavonSard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7 R¨aume integrierbarer Funktionen 70
7.1 DieLp-R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 DieVollst¨andigkeitderLp-R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 Fourierreihen 78
8.1 LineareAlgebraundGeometrieimHilbertraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 OrthonormalsystemeundFourierreihenimL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3 PunktweiseKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.4 Ces`aro-Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.5 Ru¨ckblickaufdasLebesgueintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9 Der Satz von Stokes 101
9.1 AlternierendemultilineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.1.1 A¨ußeresProdukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3 DieCartanscheoder¨außereAbleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.4 PotentialevonDifferentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.5 IntegrationvonDifferentialformenu¨berKetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.6 DerSatzvonStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.7 BeispieleundAnwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3
9.7.1 Hn−1(Rn\{0})undderFixpunktsatzvonBrouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.2 DerCauchyscheIntegralsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10Anhang 152
10.1 Sternf¨ormigeMengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2 HomotopieundHomologievonWegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3 KlassischeIntegrals¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.3.1 DerHodge-∗-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.3.2 KlassischeDifferentialoperatorenundIntegrals¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.3.3 HarmonischeFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.4 DerSatzvonStokesaufMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.4.1 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.4.2 ZerlegungderEins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.4.3 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.4.4 Integrationu¨berMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.4.5 DerSatzvonStokesaufMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.4.6 DerAbbildungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.4.7 DerAntipodensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.4.8 DerSatzvonHolditch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4
5
Literatur
Zur Analysis insgesamt
Barner/Flohr:AnalysisII.WalterdeGruyter,Euro30.-
TheodorBr¨ocker:AnalysisII.SpektrumAkademischerVerlag,Euro20.-
Gelbaum/Olmsted:CounterexamplesinAnalysis,Holden-Day1964
Zum Lebesgueintegral
AlanJ.Weir,LebesgueIntegrationandMeasure,Cambridge1973,Euro37.-
FriedrichHirzebruch/WinfriedScharlau,Funktionalanalysis,SpektrumVerlag,Euro15.-(Steilkurs)
F. Riesz, B. Sz.-Nagy, Vorlesungen u¨ber Funktionalanalysis, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin
1956
Zu den Differentialformen
MichaelSpivak,CalculusonManifolds,HarperCollins,Euro48.-
Raoul Bott, Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer Graduate Texts 1982, Euro
60.-
IlkaAgricola/ThomasFriedrich,GlobaleAnalysis,Vieweg2001,Euro30.-
Zur Geschichte der Mathematik (und Analysis)
MoritzCantor,Vorlesungenu¨berdieGeschichtederMathematik,4B¨ande,um1900
FelixKlein,Vorlesungenu¨berdieEntwicklungderMathematikim19.Jahrhundert,Springer-Verlag
N.Bourbaki,ElementsoftheHistoryofMathematics,Springer
Zur Geschichte des Satzes von Stokes
VictorJ.Katz,ThehistoryofStokes’Theorem,MathematicsMagazine52(1979),p146-156
Das griechische Alphabet
Alpha α A Iota ι I Rho ρ,% P
Beta β B Kappa κ K Sigma σ Σ
Gamma γ Γ Lambda λ Λ Tau τ T
Delta δ ∆ My µ M Ypsilon υ Y
Epsilon (cid:15) E Ny ν N Phi φ,ϕ Φ
Zeta ζ Z Xi ξ Ξ Chi χ X
Eta η H Omikron o O Psi ψ Ψ
Theta θ,ϑ Θ Pi π Π Omega ω Ω
6
1 Definition des Lebesgueintegrals
Wir haben in der Analysis I das Regelintegral fu¨r reell- (oder komplex-)wertige Funktionen
auf einem Intervall kennen gelernt. Es diente unter anderem zur Fl¨achenberechnung. Will
man auch Volumina berechnen, so scheint eine Erweiterung der Integration auf Funktionen
vonmehrerenVariablenwu¨nschenswert.DaswerdenwirjetztinAngriffnehmen,gleichzeitig
aber das Regelintegral verallgemeinern.
Es gibt verschiedene Integralbegriffe,
• eben das Regelintegral, welches Sie im ersten Semester kennengelernt haben,
• das Riemannsche Integral, das lange Zeit in den Lehrbu¨chern der Analysis Standard
war, und
• das Lebesguesche Integral, das wir in diesem Semester betrachten wollen.
Fu¨r Treppenfunktionen, ja fu¨r alle anst¨andigen“ Funktionen, liefern diese Integrale densel-
”
benWert.SieunterscheidensichaberhinsichtlichderjeweiligenMengeder integrierbaren“
”
Funktionen; diese Menge vergr¨oßert sich bei den obigen drei Integralbegriffen in der ange-
gebenen Reihenfolge.
AberesistnichtdasZiel,m¨oglichst exotische“ Funktionenauchnochintegrierenzuk¨onnen,
”
esgehtumandereVorteile:InvielenAnwendungenderAnalysism¨ochtemanGrenzwertpro-
zesse in Funktionenr¨aumen, zum Beispiel im Raum der integrierbaren Funktionen, durch-
fu¨hren. Ein Beispiel aus der Theorie der Differentialgleichungen haben Sie im letzten Seme-
ster beim Beweis des Satzes von Picard-Lindel¨of gesehen, andere Beispiele im Zusammen-
hang mit der Fourier-Entwicklung von Funktionen gaben Lebesgue (um 1900) den Anlass
zur Entwicklung seiner Integrationstheorie. Ziel ist, dass unter m¨oglichst allgemeinen Vor-
aussetzungen
Z Z
lim f = lim f
n n
n→∞ n→∞
gilt, und hier gewinnt das Lebesgueintegral um L¨angen!
Der wesentliche Unterschied in den Definitionen kommt (jedenfalls bei unserem Zugang)
folgendermaßen zustande:
Zun¨achst definiert man das Integral fu¨r Treppenfunktionen auf die offensichtliche Weise.
Dann erweitert man es auf Funktionen, die sich durch Treppenfunktionen gut approximie-
”
ren“ lassen. Der Unterschied liegt in der Definition von gut approximieren“.
”
• Bei den Regelfunktionen betrachtet man Grenzwerte von Folgen von Treppenfunktio-
nen im Sinne gleichm¨aßiger Konvergenz.
• In der Riemannschen Theorie betrachtet man Funktionen, die sich zwischen zwei
Treppenfunktionen mit beliebig klein vorgegebener Integraldifferenz einsperren lassen
(Sandwiching).
• In der Lebesgueschen Theorie schließlich betrachtet man Grenzwerte von monotonen
Folgen von Treppenfunktionen.
Es gibt verschiedene Zug¨ange zum Lebesgueintegral. Der hier gew¨ahlte basierend auf Hir-
zebruch/Scharlau und Weir geht zuru¨ck auf Riesz-Nagy (vgl. Literaturliste). Er zielt direkt
auf das Integral im Rn und stellt die Monotonie in den Vordergrund. Das ist jedenfalls fu¨r
die Analysis angemessen und nach meiner Meinung verst¨andlicher als der (sehr elegante)
Zugang u¨ber eine axiomatische Maßtheorie.
7
1.1 Intervalle und Maße
• WirlerneneinAxiomensystemfu¨rMaßeaufderMengeallerIntervalledesRn kennen.
Diese Definition hat allerdings nur provisorischen Charakter. Sp¨ater werden wir den
Maßbegriff auf eine viel gr¨oßere Familie von Teilmengen des Rn erweitern.
• Schon im eindimensionalen Fall war die Definition des Integrals fu¨r Treppenfunktio-
nen nicht ganz einfach, weil man die Unabh¨angigkeit von der Darstellung der Trep-
penfunktion zeigen musste. Den Beweis haben wir damals nur skizziert. In h¨oheren
Dimensionen ist das noch viel komplizierter. Wir formulieren und beweisen mit dem
Zerlegungslemma ein fundamentales Hilfsmittel fu¨r solche Probleme.
Wirbeschr¨ankenunsnichtaufFl¨achen-oderVolumenberechnung,sondernbetrachtenallge-
meinereMaße.StellenSiesichetwavor,dassSiefu¨reinenK¨orperimR3 nichtdasVolumen,
sondern durch Integration einer Dichte seine Masse ermitteln m¨ochte.
Definition 1.
(i) Wir bezeichnen mit
I(Rn):=(cid:8)I ⊂Rn (cid:12)(cid:12)I =I1×...×In, Ik beschr¨anktes Intervall in R(cid:9)
die Menge der beschr¨ankten Intervalle im Rn. Dabei lassen wir auch leere Intervall zu.
Bemerkung:DerDurchschnittzweierbeschr¨ankterIntervalleistwiedereinbeschr¨anktes
Intervall.
(ii) Eine Abbildung φ : I(Rn) → R heißt ein Maß, wenn sie additiv, monoton und regul¨ar
ist, d.h. folgende drei Eigenschaften besitzt:
• Additivit¨at: Fu¨r alle I,I ,I ∈I(Rn) gilt
1 2
·
I =I ∪I =⇒ φ(I)=φ(I )+φ(I ).
1 2 1 2
·
Dabei bezeichnet ∪ die disjunkte Vereinigung.
• Monotonie: Fu¨r alle I,J ∈I(Rn) gilt
I ⊂J =⇒ φ(I)≤φ(J).
• Regularit¨at1:
∀I∈I(Rn)∀(cid:15)>0∃J∈I(Rn)(J offen) ∧ (I ⊂J) ∧ (φ(J)≤φ(I)+(cid:15)).
Aus der Additivit¨at folgt φ(∅)=0 und mit der Monotonie dann φ≥0.
Beispiel 2 (Lebesguemaß). Das Lebesguemaß auf R ist definiert durch
(
0 fu¨r I =∅,
µ :I(R) → R, I 7→µ (I):= .
1 1
sup(I)−inf(I) fu¨r I 6=∅
Jedem Intervall wird also seine L¨ange“ zugeordnet.
”
1Der Begriff der Regularit¨at stellt eine Verbindung zur Topologie des Rn her, der fu¨r die Analysis sehr
bedeutsam,inderabstrakterenMaßtheorieabernichterwu¨nschtistunddortdeshalbnichtauftritt.
8
Beispiel 3 (Produktmaß). Sind φ ,φ Maße auf Rp und Rq, so definiert
1 2
φ(I ×I ):=φ (I )φ (I )
1 2 1 1 2 2
fu¨r I ×I ∈I(Rp+q)=I(Rp)×I(Rq) ein Maß, das Produktmaß φ=φ ×φ .
1 2 1 2
Insbesondereerh¨altmandasn-dimensionaleLebesguemaßµ rekursivdurchµ =µ ×µ .
n n n−1 1
Beweis der Maßeigenschaften. Wir zeigen nur die Additivit¨at, die beiden anderen Eigen-
schaften sind sehr einfach.
SeiI =J∪˙ K mitI =I ×I undentsprechendfu¨rJ,K.Wirsetzenvoraus,dassJ 6=∅=6 K.
1 2
Dann gilt insbesondere
J ∪K =I q =1,2. (1)
q q q
1. Fall: Sei J ∩K 6=∅. Wir zeigen zun¨achst, dass dann
1 1
J =K . (2)
1 1
Aus Symmetriegru¨nden genu¨gt der Nachweis, dass J ⊂ K . Sei also x ∈ J ⊂ I . Nach
1 1 1 1 1
Voraussetzunggibtesy ∈J ∩K ,unddazueiny ∈K ⊂I ,sodassalso(y ,y )∈K ⊂I.
1 1 1 2 2 2 1 2
Nun ist (x ,y ) ∈ I = J∪˙K. W¨are (x ,y ) ∈ J, so also y ∈ J und (y ,y ) ∈ J im
1 2 1 2 2 2 1 2
Widerspruch zu J ∩K =∅. Also ist (x ,y )∈K und daher x ∈K und (2) bewiesen.
1 2 1 1
Nun folgt wegen J ∩K =∅, dass J ∩K =∅. Damit ist
2 2
φ(I)=φ (I )φ (I )=φ (I )(φ (J )+φ (K ))
1 1 2 2 1 1 2 2 2 2
=φ (J )φ (J )+φ (K )φ (K )=φ(J)+φ(K).
1 1 2 2 1 1 2 2
2. Fall: J ∩K 6=∅. Beweist man wie den ersten Fall.
2 2
3. Fall: J ∩K =∅=J ∩K . Seien x ∈J ,y ∈K .
1 1 2 2 1 1 2 2
Nach (1) ist dann (x ,y ) ∈ I, also z.B. (x ,y ) ∈ J. Dann ist aber y ∈ J . Widerspruch!
1 2 1 2 2 2
Dieser Fall kommt nicht vor.
Beispiel 4 (Diracmaß). Sei M ⊂ Rn eine diskrete Teilmenge, d.h. #(M ∩K) < ∞ fu¨r
jedes kompakte K ⊂Rn. Dann definiert
δ (I):=#(M ∩I)
M
ein Maß. Fu¨r M ={0} heißt δ :=δ das Diracmaß in 0.
M
Satz 5 (Additivit¨atssatz fu¨r Intervalle). Seien I,I ,...,I ∈ I(Rn) und I ,...,I
1 k 1 k
paarweise disjunkt. Dann gilt:
·
[ X
I = I =⇒ φ(I)= φ(I ).
j j
j=1,...,k j=1,...,k
Das Problem beim Beweis verdeutlicht die folgende Vereinigung von 5(!) Intervallen:
9
Keine zwei dieser Intervalle bilden vereinigt ein Intervall. Deshalb kann man nicht einfach
das Additivit¨atsaxiom mehrfach anwenden.
Die L¨osung bietet eine Zerlegung in
Erst (cid:159)ber der linken unteren Ecke,
kleinere atomare“ disjunkte Interval-
”
le, in der Abbildung die vier Ecken, die
vieroffenenSeitenunddieoffeneRecht-
eck߬ache. Daraus kann man erst ver- dann (cid:159)ber dem offenen mittleren Intervall,
tikale Spalten“ und daraus dann das
”
ganze Intervall so aufbauen, dass man
jedesmaldasAdditivit¨atsaxiomanwen- dann (cid:159)ber der rechten unteren Ecke einen "Turm" aufbauen.
den kann. Das Maß des ganzen Inter-
valls, aber auch das Maß jedes der obi-
Schlie§lich die T(cid:159)rme zusammensetzen.
gen fu¨nf Teilintervalle ist jeweils die
Summe der Maße der beteiligten Ato-
”
me“.
Wir nennen eine Familie (J ) von paarweise disjunkten Intervallen aus I(Rn) eine
ρ 1≤ρ≤m
Intervallkette, wenn
r
[
J
ρ
ρ=1
fu¨r jedes r ∈ {1,...,m} ein Intervall ist. Nach vollst¨andiger Induktion ist dann fu¨r jedes
Maß φ
m m
[ X
φ( J )= φ(J ).
ρ ρ
ρ=1 ρ=1
Der Beweis des obigen Satzes wird im wesentlichen reduziert auf das folgende
Lemma 6 (Zerlegungslemma). Seien I1,...,Im ∈I(Rn). Dann gibt es eine Familie
(J )
ρ1...ρn 1≤ρi≤4m−1
von(4m−1)n (zumTeilvielleichtleeren)IntervalleninI(Rn)mitfolgendenEigenschaften:
(i) Die J sind paarweise disjunkt.
ρ1...ρn
(ii) Fu¨r alle q ist
[
Iq = J .
ρ1...ρn
Iq∩Jρ1...ρn6=∅
10