Analysis II (Sommersemester 2000)

122 Pages·1.865 MB·German

by  Wulf-Dieter Geyer

Analysis II
Seite
n
VII. Topologie des R 3
28. Die Topologie eines metrischen Raumes 3
28.a. Beispiele metrischer R(cid:127)aume 3
28.b. Beispiele normierter R(cid:127)aume 5
28.c. Kugeln in einem metrischen Raum 6
28.d. O(cid:11)ene Mengen in einem metrischen Raum 7
29. Grundbegri(cid:11)e der Topologie 9
29.a. Umgebungen 9
29.b. Beru(cid:127)hrpunkte und abgeschlosseneMengen 10
29.c. Innere und (cid:127)au(cid:25)ere Punkte, o(cid:11)ener Kern und abgeschlosseneHu(cid:127)lle 12
29.d. R(cid:127)ander 13
29.e. Zusammenhang 14
30. Grenzwerte und Stetigkeit 16
30.a. Grenzwerte bei Funktionen 16
30.b. Stetigkeit 18
30.c. Stetigkeit und Zusammenhang 20
30.d. Kartesische Produkte 22
30.e. Vollst(cid:127)andige metrische R(cid:127)aume 26
30.f. Normen linearer Abbildungen 31
31. Kompaktheit 33
31.a. Kompakte topologische R(cid:127)aume 33
31.b. Stetige Abbildungen und kompakte R(cid:127)aume 37
31.c. Kompakte metrische R(cid:127)aume 42
31.d. Abbildungsr(cid:127)aume 45
n
VIII. Di(cid:11)erentialrechnung im R 49
32. Kurven 49
32.a. Wege 49
32.b. Exotische Kurven 59
32.c. Tangentialvektoren 62
32.d. Bogenl(cid:127)ange 64
32.e. Elliptische Integrale 69
32.f. Parametertransformation 79
32.g. Kru(cid:127)mmung 82
32.h. Kru(cid:127)mmungskreise 86
32.i. Evoluten 88
Prof. Dr. Wulf-Dieter Geyer: Analysis II, SS 2000
33. Di(cid:11)erenzierbarkeit 91
33.a. Funktionen von mehreren Ver(cid:127)anderlichen 91
33.b. Di(cid:11)erenzierbarkeit von Funktionen einer Variablen 100
33.c. Partielle Ableitungen 100
33.d. (Totale) Ableitung von Funktionen mehrerer Variablen 104
33.e. Ableitungskalku(cid:127)l 111
33.f. Mittelwertsatz und Schrankensatz 114
33.g. Vertauschbarkeitvon Di(cid:11)erentiation mit Grenzu(cid:127)bergang 119
33.h. Vertauschbarkeitvon partiellen Ableitungenn 120
33.i. Lineare Di(cid:11)erentialoperatoren 123
34. Taylorsche Formel und lokale Extrema 125
34.a. Taylorsche Formel
34.b. Station(cid:127)are Punkte und lokale Extrema
35. Implizite Funktionen
35.a. Vorbereitungen
35.b. Der Satz u(cid:127)ber implizite Funktionen
35.c. Lokale Umkehrung di(cid:11)erenzierbarer Funktionen
35.d. Der Rangsatz
36. Integrale, die von einem Parameterabh(cid:127)angen
36.a. Integrale als stetige/di(cid:11)erenzierbare Funktionen von Parametern
36.b. Anwendungen und Doppelintegrale
36.c. Wegintegrale und Integration von Vektorfeldern
Prof. Dr. Wulf-Dieter Geyer: Analysis II, SS 2000
28. Die Topologie eines metrischenRaumes 3
n
VII. Topologie des R
Grundbegri(cid:11)e der Analysis wie Konvergenz und Stetigkeit hatten wir in 7.c und 13.a und auch danach
(mit der einzigen Ausnahme von 25.a.) im Kontext der metrischen R(cid:127)aume de(cid:12)niert, Standardbeispiele
waren bisher IR und C; in x25 hatten wir auch Vektorr(cid:127)aume von Funktionen mit verschiedenen Kon-
n
vergenzbegri(cid:11)en betrachtet. Der euklidische Raum IR ist ein metrischer Raum, und so k(cid:127)onnten wir
1
einfach die alten Begri(cid:11)e auf die neue n-dimensionale Situation anwenden. Doch w(cid:127)ahrend auf dem IR
die Abstandsmessung gewisserma(cid:25)en kanonisch ist (auch der U(cid:127)bergang zur Geometrie, zur Konvergenz
von Punkten auf einer Geraden, beruht auf einer bis auf einen Eichfaktor bestimmten Metrik), ist die
n
Abstandsmessungim IR au(cid:25)erhalbdereuklidischenGeometrie(woderAbstandbisaufeinenEichfaktor
(cid:12)xiert ist) durchaus nicht festgelegt. Der euklidische Abstand wird oft ersetzt durch Abst(cid:127)ande, die auf
n
anderenNormen des IR beruhen und der Situation besser angepa(cid:25)t sind oder die schneller berechenbar
n
sind. Es zeigt sich nun, da(cid:25) viele Grundbegri(cid:11)e der Analysis des IR gegen einen solchen Metrikwechsel
n
invariant sind. Was ist das gemeinsame an den verschiedenen Normen auf IR ?
DiegemeinsameunterliegendeStrukturhei(cid:25)tdieTopologiedesmetrischenRaumes X. Technischgesehen
de(cid:12)niertmansiealsdieMengeT dero(cid:11)enenMengenimmetrischenRaumX. WenneinRaumX vorliegt
mit einem Teilmengensystem T , das wesentliche Eigenschaften der o(cid:11)enen Mengen in einem metrischen
Raum hat, also ein topologischer Raum\ vorliegt, kann man von Konvergenz,Stetigkeit, Kompaktheit,
"
Zusammenhangetc.sprechen. AuchdiepunktweiseKonvergenzvonFunktionen,dienichtindasSchema
eines metrischen Raumes pa(cid:25)t, (cid:12)ndet in diesem Rahmen einen gleichwertigen Platz.
28. Die Topologie eines metrischen Raumes
Definition 1: Sei (X;d) ein metrischerRaum,vgl.De(cid:12)nition7.c.3,alsoeineMenge X miteinerreellen
Funktion (genannt Metrik) d: X (cid:2)X !IR, die fu(cid:127)r x;y;z 2X die Eigenschaften
d(x;y)=0 () x=y (1)
d(x;y)+d(x;z) (cid:21)d(y;z) (2)
hat.
28.a. Beispiele metrischer R(cid:127)aume
1. Auf jeder Menge X hat man die triviale Metrik
n
0 falls x=y
d(x;y)=
1 sonst.
Man nennt (X;d) einen diskreten metrischen Raum.
1) n
2. In der Codierungs-Theorie betrachtet man in dem endlichen Raum IF2 der f0;1g-Folgen der
L(cid:127)ange n den Hamming-Abstand
x=(x1;:::;xn) ; y =(y1;:::;yn) =) d(x;y)=#f1(cid:20)i(cid:20)n; xi 6=yig ;
1)
DiesemathematischeTheoriebefa(cid:25)tsichmitredundanterVerschlu(cid:127)sselungvonNachrichten,etwaHinzufu(cid:127)genvon
Pru(cid:127)fbits,dieu(cid:127)berverrauschteKan(cid:127)ale geschicktwerden unddabeiverf(cid:127)alschtwerdenk(cid:127)onnen.DieVerschlu(cid:127)sselung
soll so sein, da(cid:25) bei nicht zu schlimmer Ver(cid:127)anderung der Daten die Ausgangsnachricht wieder hergestellt, also
Fehler korrigiert werden k(cid:127)onnen, ohne da(cid:25) die verschlu(cid:127)sselte Nachricht zu lang im Vergleich zum eigentlichen
Inhalt wird. Angewandt wird dies z.B. bei der U(cid:127)bertragung von Bildern der Mars- oder Jupiterober(cid:13)(cid:127)ache durch
ausgeschickteSonden,beiTelefongespr(cid:127)achenu(cid:127)berSatellitenoderbeidenaufeinerCDgespeichertenMusikdaten,
die auch nach leichten Kratzern im Gegensatz zu den Schallplatten einwandfrei lesbar sein sollen, so da(cid:25) die
akustische Umsetzungnichtleidet.
n
4 VII. Topologie des IR
der die Zahl der Stellen z(cid:127)ahlt, an denen beide Folgen verschieden sind. Der maximale Abstand
zweierFolgenist n,zujederFolge x gibtesgenaueineFolge y mitAbstand n,n(cid:127)amlich y =1(cid:0)x,
wenn 1 die konstante Folge aus Einsen ist.
3. Sei f : IR! ]0;1[ eine positive stetige reelle Funktion. Dann liefert
(cid:12)Zy (cid:12)
(cid:12) dt (cid:12)
d(x;y)=(cid:12) (cid:12) (x;y 2IR)
(cid:12) (cid:12)
f(t)
x
eineMetrikauf IR. Istz.B. IR dasModelleinesinhomogenenLeitersund f(t) dieSignalgeschwin-
digkeit an der Stelle t, so ist d(x;y) die Zeit, die ein Signal von x nach y ben(cid:127)otigt.
4. Sei P die IR-Algebra der fu(cid:127)r irgendein x6=0 konvergenten reellen Potenzreihen
X1
n
f(x)= anx :
n=0
(cid:3)
Als Abstand zweier verschiedener Potenzreihen f und f de(cid:12)nieren wir
(cid:3) (cid:0)m (cid:3)
d(f;f )=2 () m=minfn2IN0; an 6=ang ;
soda(cid:25)dernegativeLogarithmusdesAbstandesderersteIndex n ist,andemsichdieKoe(cid:14)zienten
n (cid:3)
von x in f und f unterscheiden. Mit d(f;f) = 0 wird auch das eine Metrik, wobei die
Eigenschaft (2) zur ultrametrischen Ungleichung
0
d(y;z)(cid:20)maxfd(x;y);d(x;z)g (2)
0
versch(cid:127)arftwird. Metriken mit (2) hei(cid:25)en Ultrametriken.
5. Der reelle Vektorraum V sei versehen mit einer Norm, d.h. einer Abbildung v 7!kvk, die jedem
Vektor v 2 V eine L(cid:127)ange oder Norm kvk 2 IR zuordnet, so da(cid:25) fu(cid:127)r x;y 2 V und (cid:21) 2 IR die
Bedingungen
kxk(cid:21)0 ; kxk=0 () x=0 (3)
k(cid:21)(cid:1)xk =j(cid:21)j(cid:1)kxk (4)
kx+yk (cid:20)kxk+kyk (5)
(genannt positiv de(cid:12)nit, positiv homogen, subadditiv) erfu(cid:127)llt sind. Dann hei(cid:25)t (V;k k) ein
normierter Vektorraum. Die Norm induziert den Abstand
d(x;y)=kx(cid:0)yk ;
deru(cid:127)berdiegenanntenEigenschaften(1)und(2)hinausnochdiebeiden folgendenEigenschaften
2)
hat:
(cid:15) Bei einer Translation x7!x+v bleiben die Abst(cid:127)ande unge(cid:127)andert.
(cid:15) Bei einerStreckungmit Zentrum 0, also x7!(cid:21)x, werden alleAbst(cid:127)ande mit einem konstanten
Faktor j(cid:21)j multipliziert.
Die meisten der in der Analysis auftretenden Metriken sind auf Vektorr(cid:127)aumen de(cid:12)niert und
erfu(cid:127)llen die beiden vorstehenden Eigenschaften; sie sind daher von Normen abgeleitet.
2)
dieersteEigenschafthabenauchdieBeispiele1,2und4,w(cid:127)ahrendeineStreckungumdenFaktor (cid:21)6=0 inBeispiel
4 den Abstandinvariantl(cid:127)a(cid:25)t.
28. Die Topologie eines metrischenRaumes 5
28.b. Beispiele normierter R(cid:127)aume
n
5. Auf dem IR haben wir gelegentlich schon folgende (fu(cid:127)r n = 1 zusammmenfallende) Normen
betrachtet:
a) Die Maximumsnorm k k1:
k(x1;:::;xn)k1 := max jxij
1(cid:20)i(cid:20)n
b) Die 1-Norm k k1:
Xn
k(x1;:::;xn)k1 := jxij
i=1
c) Die euklidische 2-Norm k k2:
v
uuXn
k(x1;:::;xn)k2 :=t x2i
i=1
d) Allgemeiner fu(cid:127)r jedes p(cid:21)1 die p-Norm k kp:
(cid:16)Xn (cid:17)1=p
p
k(x1;:::;xn)kp := jxij
i=1
6. Analoghaben wirauf dem Vektorraum V =C(I;IR) derstetigen reellen Funktionen f auf einem
kompakten Intervall I folgende Normen:
a) Die Maximumsnorm k k1:
kfk1 :=maxf(I)
b) Die 1-Norm k k1:
Z
kfk1 := jf(t)jdt
I
c) Die 2-Norm k k2:
v
uZ
kfk2 :=ut f(t)2dt
I
d) Allgemeiner fu(cid:127)r jedes p(cid:21)1 die p-Norm k kp:
(cid:18)Z (cid:19)1=p
p
kfkp := jf(t)j dt
I
7. In Verallgemeinerung des Beispiels 6 kann man fu(cid:127)r jede integrierbare (Gewichts-)Funktion g :
I ! ]0;1[ eine verallgemeinerte p-Norm fu(cid:127)r p(cid:21)1 auf V =C(I;IR) de(cid:12)nieren als
(cid:18)Z (cid:19)1=p
p
kfk:= jf(t)j g(t)dt :
I
n
6 VII. Topologie des IR
28.c. Kugeln in einem metrischen Raum
Definition 2: In 7.c. hatten wir in einem metrischen Raum (X;d) zu x 2 X und " > 0 als o(cid:11)ene
"-Kugel mit Mittelpunkt x oder "-Umgebung des Punktes x die Menge
U"(x)=fy2X; d(x;y)<"g
bezeichnet. Wir erg(cid:127)anzen diese Bezeichnung, indem wir
K"(x)=fy2X; d(x;y)(cid:20)"g
als abgeschlossene Kugel um x vom Radius " bezeichnen. Bei etwas merkwu(cid:127)rdigen Metriken (z.B.
Beispiel 4 und allgemeiner allen Ultrametriken) ist der Mittelpunkt x einer Kugel U"(x) bzw. K"(x)
nicht durch diese bestimmt.
Beispiele:
0
1. In der trivialen Metrik gilt
(cid:26) (cid:26)
fxg falls "(cid:20)1 fxg falls "<1
U"(x)= ; K"(x)=
X sonst. X sonst.
0 n
2. Beim Hamming-Abstand auf IF2 gilt
U"(x)=fxg () "(cid:20)1 :
0
4. Beim Ring P der konvergenten Potenzreihen aus Beispiel 4 gilt fu(cid:127)r jedes " > 0 und je zwei
Potenzreihen f;g2P
d(f;g)<" =) U"(f)=U"(g) ;
d.h. jedes f 2U"(g) ist Mittelpunkt von U"(g).
50. Versieht man den dreidimensionalen Raum Drei Kreise\ in IR2
"
3
X = IR mit der Maximumsnorm, der eu-
bbbNkenleeeuitiiidlslikkkppscrukkkehnc121ekh::nt:eeeNnieiindnnioneereOnm(uWK(cid:6)kKkuotlu(cid:127)1uiagddr;geeef(cid:6)ideelrsllce1ndhr;meev(cid:6)mrirot11miB)td-NeedRsnoe:canrhadmrciseuh,eistcbsho1uEsnscuiEgknm:ecdnkddeenine (cid:15)(cid:15)(cid:15).........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(cid:15)(cid:15)(cid:15)..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................k...........................................................................................................................k.......................................................................................1............................................k................................................................................................................................k................................................................................................2....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(cid:15)(cid:15)(cid:15)..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................kk1
((cid:6)1;0;0); (0;(cid:6)1;0); (0;0;(cid:6)1) :
Sei X ein reeller Vektorraum. Kommt die Metrik von einer Norm, soist sie translationsinvariant,es gilt
also
U"(x)=x+U"(0) ; K"(x)=x+K"(0) (x2X;">0)
und wegen der positiven Homogenit(cid:127)at
U"(0)="(cid:1)U1(0) ; K"(0)="(cid:1)K1(0) :
Also sind alle Kugeln (und damit die Norm) durch die eine Kugel U1(0) bzw. K1(0), den Eichk(cid:127)oper
der Norm, bestimmt. Alle Kugeln einer Norm sind konvex, d.h. enthalten mit je zwei Punkten die
Verbindungsstrecke.
28. Die Topologie eines metrischenRaumes 7
n
In X =IR hat der Eichk(cid:127)orper einer Norm noch die folgenden Eigenschaften (Beweis sp(cid:127)ater):
K1(0) ist symmetrisch: (cid:0)K1(0)=K1(0) (6)
K1(0) ist beschr(cid:127)ankt und abgeschlossen (7)
K1(0) enth(cid:127)alt eine kleine euklidische Kugel um 0 (8)
n
Hat man umgekehrt eine symmetrische, beschr(cid:127)ankte, abgeschlossene, konvexe Teilmenge K des IR
gegeben, die nicht schon in einem echten Teilraum liegt, so ist K der Eichk(cid:127)orper einer Norm, n(cid:127)amlich
von
kxk:=minf(cid:21)(cid:21)0; x2(cid:21)Kg :
n
Das zeigt, welche Vielfalt an Normen es im IR gibt.
Lemma 1: Sei (X;d) ein metrischer Raum, seien x;y;z 2X und (cid:14);">0.
a) Ist z 2U(cid:14)(x)\U"(y) und (cid:26)=minf"(cid:0)d(x;z);(cid:14)(cid:0)d(y;z)g, so gilt
U(cid:26)(z)(cid:18)U(cid:14)(x)\U"(y) :
b) Enth(cid:127)alt eine o(cid:11)ene Kugel einen Punkt z, so auch eine o(cid:11)ene Kugel mit Mittelpunkt z.
c) Ist x6=y und 2"<d(x;y), so gilt U"(x)\U"(y)=?.
Beweis zu a): Ist u2U(cid:26)(z), so ist
d(u;x)(cid:20)d(u;z)+d(z;x)<(cid:26)+d(z;x)(cid:20)"
nach De(cid:12)nition von (cid:26). Also ist u2U"(x). Ebenso sieht man u2U(cid:14)(y).
b) ist der Spezialfall (cid:14) =" und x=y von a).
c) folgt aus der Dreiecksungleichung (2).
28.d. O(cid:11)ene Mengen in einem metrischen Raum
Definition 3: Sei (X;d) einmetrischerRaum. EineMenge U (cid:18)X hei(cid:25)t o(cid:11)en,wenneszujedem u2U
ein " > 0 mit U"(u) (cid:18) U gibt. Man kann wegen Lemma 1.b auch sagen, da(cid:25) o(cid:11)ene Mengen genau die
Vereinigungen von Familien o(cid:11)ener Kugeln sind.
Beispiele:
8. Ein o(cid:11)enes Intervall in IR ist o(cid:11)en.
9. Eine o(cid:11)ene Kugel U"(x) ist o(cid:11)en.
n Pn
10. Ein durch eine lineare Ungleichung beschriebener a(cid:14)ner Halbraum fx 2 IR ; i=1aixi > a0g
n
ist o(cid:11)en im euklidischen IR .
Satz 2: Das System der o(cid:11)enen Mengen eines metrischen Raumes (X;d) hat folgende Eigenschaften:
a) Die leere Menge ? und der ganze Raum X sind o(cid:11)en.
b) Jede Vereinigung eines Systems o(cid:11)ener Mengen ist o(cid:11)en.
c) Jeder Durchschnitt zweier o(cid:11)ener Mengen ist o(cid:11)en.
d) Zu je zwei verschiedenen Punkten x 6= y in X gibt es disjunkte o(cid:11)ene Mengen, die x bzw. y
enthalten.
e) Zu jedem Punkt x2X gibt es eine Folge Un o(cid:11)ener Mengen, die x enthalten, so da(cid:25)jede o(cid:11)ene
Menge, die x enth(cid:127)alt, eine der Mengen Un enth(cid:127)alt.
Beweis: a)undb)sindklarnachDe(cid:12)nition,c)folgtausLemma1.a,d)folgtausLemma1.c. ZumBeweis
von e) setze Un =U1=n(x).
n
8 VII. Topologie des IR
Bemerkungen:
n
1. Im euklidischen IR kann man die Eigenschaft e) noch versch(cid:127)arfen: Die o(cid:11)enen Kugeln U1=r(q) mit
n
r 2 IN und Mittelpunkten q 2 Q bilden ein abz(cid:127)ahlbares System, so da(cid:25) jede o(cid:11)ene Menge eine
Vereinigung von gewissen dieser rationalen\ Kugeln ist. Insbesondere hat das System der o(cid:11)enen
"
n
MengendieM(cid:127)achtigkeitdesKontinuums,w(cid:127)ahrenddasSystemallerTeilmengen von IR einegr(cid:127)o(cid:25)ere
M(cid:127)achtigkeit hat.
2. In den Beispielen 1. und 2. ist jede Teilmenge von X o(cid:11)en.
Definition 4:
a) Ist (X;d) ein metrischer Raum, so hei(cid:25)t das System
T =fU (cid:18)X; U ist o(cid:11)eng
die Topologievon X. Einfu(cid:127)rmetrischeR(cid:127)aume de(cid:12)nierterBegri(cid:11)hei(cid:25)t topologisch,wenn ernurvon
der Topologie abh(cid:127)angt.
b) Ist auf einer Menge X ein System T mit den Eigenschaften
(T1) X 2T
S
(T2) S (cid:18)T =) S 2T
(T3) U;V 2T =) U \V 2T
gegeben, so hei(cid:25)t T eine Topologie auf X und (X;T) ein topologischerRaum.
c) Gilt zudem
(T4) x;y 2X; x6=y =) 9U;V 2T : x2U; y 2V; U \V =? ;
3)
so hei(cid:25)t die Topologie hausdor(cid:11)sch und (X;T) ein Hausdor(cid:11)-Raum . Die Analysis hat es nur mit
Hausdor(cid:11)-R(cid:127)aumen zu tun, in der Algebraischen Geometrie werden aber auch andere Topologien von
zentraler Bedeutung.
Beispiele:
n
8. Jezwei Normenauf IR erzeugendieselbeTopologie(Beweisin x31). Fu(cid:127)r dieNormen k k1, k k2
2 3
und k k1 im IR oder IR folgt das geometrisch aus der Beschreibung ihrer Eichk(cid:127)orper: Jeder
Wu(cid:127)rfel um 0 enth(cid:127)alt eine Kugel um 0 und umgekehrt, gleiches gilt fu(cid:127)r Oktaeder.
9. Gleiches gilt nicht fu(cid:127)r die Normen von V =C(I;IR) aus Beispiel 6. So ist die o(cid:11)ene Menge
U1(0)=ff 2V ; 9"<1: x2I ) jf(x)j(cid:20)"g
in der k k1-Norm nicht o(cid:11)en in der k k1-.Norm: Sei etwa I =[0;1]. Fu(cid:127)r jedes n2IN w(cid:127)ahle die
Funktion
3
fn(x)=max(0;n(cid:0)n x) :
1
Dann ist kfnk1 = 2n und kfnk1 = n, d.h. jede k k1-Kugel um 0 enth(cid:127)alt Funktionen, die nicht
in U1(0) liegen, also ist U1(0) nicht o(cid:11)en in der k k1-Norm.
10. DerBegri(cid:11)dergleichm(cid:127)a(cid:25)igenStetigkeiteinerFunktion f : IR!IR istnichttopologisch,sondern
2
von der Metrik abh(cid:127)angig: Die Funktion f(x) = x ist nicht gleichm(cid:127)a(cid:25)ig stetig in der Standard-
Metrik. Gibt man IR aber die (dieselbe Topologie erzeugende) Metrik
d(x;y):=jarctan(x)(cid:0)arctan(y)j ;
3)
nachFelixHausdor(cid:11),VerfasserdeserstenbedeutendenLehrbuchsderMengenlehreunddermengentheoretischen
Topologie imJahr 1914, vielseitiger MathematikerundSchriftsteller, Professor inBonn, 1935 als Jude entlassen,
1942 Freitod mitFrauund Schw(cid:127)agerin vor Internierungund Deportation ins KZ.
28. Die Topologie eines metrischenRaumes 9
wird f gleichm(cid:127)a(cid:25)igstetig. GenauerzeigtderverallgemeinerteMittelwertsatzderDi(cid:11)erentialrech-
nung, da(cid:25) f Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten
2 0
arctan(x )
2=max
x2IR arctan(x)0
in der neuen Metrik ist.
11. DerDurchschnittunendlichvielero(cid:11)enerMengenmu(cid:25)nichto(cid:11)ensein. Sogiltinjedemmetrischen
Raum X fu(cid:127)r jeden Punkt x
\
U1=n(x)=fxg
n2IN
aber in der Regel (z.B. in IR) wird eine einelementige Menge nicht o(cid:11)en sein.
Satz 3: Sei (X;T) ein topologischerRaum und Y (cid:18)X eine Teilmenge.
a) Dann ist das System
TY :=Y \T =fY \U; U 2Tg
eine Topologie auf Y . Man nennt diese Topologie die auf der Teilmenge Y von X induzierte
Relativtopologie,dieMengen Y \U hei(cid:25)enauch relativo(cid:11)enin Y. SowerdenwirjedeTeilmenge
eines topologischen Raumes wieder als einen topologischen Raum ansehen.
b) Mit X ist auch jeder Teilraum hausdor(cid:11)sch.
c) Stammt die Topologie von X von einer Metrik d, so stammt die auf Y induzierte Topologie von
der induzierten Metrik djY(cid:2)Y auf Y.
Beweis zu a): Der Schnitt mit Y erh(cid:127)alt die de(cid:12)nierenden Eigenschaften (T1) bis (T3) einer Topologie
wegen
[ [
Y \ Ui = (Y \Ui) und Y \(U1\U2)=(Y \U1)\(Y \U2)
i2I i2I
zu b): Man schneide die disjunkten o(cid:11)enen Mengen, die x;y enthalten, mit Y.
c)folgtausderTatsache,da(cid:25)fu(cid:127)r y 2Y derSchnittdero(cid:11)enenKugelU"(y)in X mit Y dieentsprechende
o(cid:11)ene Kugel U"(y) in Y liefert.
29. Grundbegri(cid:11)e der Topologie
Die folgenden topologischen Grundbegri(cid:11)e werden in erster Linie auf normierte Vektorr(cid:127)aume und Teil-
mengen angewandt, so da(cid:25) man sich die topologischen R(cid:127)aume so vorstellen kann; schon die Vorstellung
n
der Teilmengen des IR ist reichhaltig genug, um alle Begri(cid:11)e ausgiebig zu testen. Um aber auch an-
dere Situationen zu erfassen und um Unwesentliches fu(cid:127)r diese Begri(cid:11)e auszuklammern, wird im Kontext
topologischerR(cid:127)aume geredet. Im folgenden sei (X;T) ein topologischer Raum.
29.a. Umgebungen
Definition 1: Sei x2X. Eine Menge U (cid:18)X hei(cid:25)t eine Umgebung von x, wenn es eine o(cid:11)ene Menge
V 2T mit x2V (cid:18)U gibt.
Bemerkungen:
1. Eine o(cid:11)ene Menge ist Umgebung jedes ihrer Punkte.
2. In einem metrischen Raum sind insbesondere die "-Umgebungen eines Punktes Umgebungen dieses
Punktes.
n
10 VII. Topologie des IR
Lemma 1: Sei X ein topologischer Raum und x2X, sei Ux die Menge der Umgebungen von x. Dann
gilt
a) Jede Umgebung von x enth(cid:127)alt x:
U 2Ux =) x2U
b) Mit U ist auch jede Obermenge eine Umgebung von x:
U 2Ux; U (cid:18)V =) V 2Ux
c) Der Durchschnitt zweier Umgebungen von x ist wieder eine Umgebung:
U;V 2Ux =) U \V 2Ux
Definition 2: EinTeilsystem B(cid:18)Ux vonUmgebungendesPunktes x2X hei(cid:25)teine Umgebungsbasis,
wenn zu jeder Umgebung U 2Ux eine Basisumgebung B 2B von x existiert mit B (cid:18)U.
Beispiele:
1. In einem metrischen Raum (X;d) bilden die o(cid:11)enen Kugeln U1=n(x) eine abz(cid:127)ahlbare Basis der
Umgebungen von x.
2. In einem diskreten Raum, wo alle Mengen o(cid:11)en sind, also T = PX die volle Potenzmenge von
X ist, ist fxg eine einelementige Umgebungsbasis des Punktes x. Beispiele hierfu(cid:127)r sind endliche
Hausdor(cid:11)-R(cid:127)aume oder der Teilraum Z von IR.
3. Allgemeiner hei(cid:25)t ein Punkt x, fu(cid:127)r den die einelementige Menge fxg eine Umgebungsbasis, also
1 1
eine o(cid:11)ene Menge ist, ein isolierter Punkt von X. So sind in der Menge f + ; n;m 2 INg
n m
genau die Nichtstammbru(cid:127)che isolierte Punkte.
4. In jedem topologischen Raum bilden die o(cid:11)enen Umgebungen von x eine Umgebungsbasis.
29.b. Beru(cid:127)hrpunkte und abgeschlossene Mengen
Wir verallgemeinern jetzt Begri(cid:11)e aus 12.e.
Definition 3: Sei A eine Teilmenge des topologischen Raumes X.
a) Ein Punkt x 2 X hei(cid:25)t Beru(cid:127)hrpunkt von A, wenn jede Umgebung von x die Menge A schneidet.
Man kann sich dabei auf Basisumgebungen beschr(cid:127)anken.
b) Die Menge A hei(cid:25)t abgeschlossen, wenn sie alle Beru(cid:127)hrpunkte enth(cid:127)alt.
Satz 2: Eine Teilmenge A des topologischen Raumes X ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Kom-
plement XnA o(cid:11)en ist.
Beweis: Enth(cid:127)alt A alle Beru(cid:127)hrpunkte und ist x2XnA, so ist x kein Beru(cid:127)hrpunkt von A. Also gibt es
S
eine o(cid:11)ene Umgebung Ux von x mit Ux\A=?, d.h. Ux (cid:18)XnA. Damit ist XnA= Ux o(cid:11)en.
Ist umgekehrt U =XnA o(cid:11)en und x 2 U, so ist U eine zu A disjunkte Umgebung von x, also x kein
Beru(cid:127)hrpunkt von A. Daher enth(cid:127)alt A alle Beru(cid:127)hrpunkte, ist also abgeschlossen.
Beispiele:
5. Jedes abgeschlosseneIntervall ist abgeschlossenin IR.
6. Jede abgeschlosseneKugel K"(x) in einem metrischen Raum ist abgeschlossen.
7. Die Menge aller Dezimalbru(cid:127)che im Intervall I = [0;1], die man mit den Zi(cid:11)ern 0, 1, 2, 3, 4, 5
bilden kann, ist abgeschlossen, analogdie Cantorsche Staubmenge (oder Diskontinuum)
nX1 o
(cid:0)n
C = in3 ; in 2f0;2g fu(cid:127)r alle n2IN :
n=1