Analysis II: eine praxisorientierte Einführung für Mathematiker und Physiker mit über 400 gerechneten Beispielen

386 Pages·2013·53.711 MB·German

by  Thomas C.T. Michaels

Analvsis II
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Eine praxisorientiere Einführung für
l\/Iathematiker und Physiker mit
über 400 gerechneten Beispielen
Thomas C. T. 1\!Iichaels
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Vorwort
.Jedes Buch muss einen Beginn haben und dieses Buch will ich mit einigen einführenden
\!Vorten beginnen.
\:Vie viele andere Studenten der :Mathematik und Physik. die sich im ersten Jahr zum
ersten Mal mit der Analysis-Vorlesung konfrontiert sehen, hatte ich immer nach einem
Buch gesucht, das den Mathematik-Stoff einfach und mit vielen Beispielen erklärt. Das ist
natürlich leichter gesagt als getan. Auf der einen Seite findet man so genannte Jngcn'ieur-
bücher, welche praktisch sind, viele Beispiele enthalten aber der Inhalt ist oft zu einfach
im Vergleich zum Stoff, der in einer typischen Ana.lysis-Vorlesung für l\lathematiker und
Physiker vorkommt. In diesen Ingenieurbüchern findet man also viele Beispiele zur Inte-
gralredumng, aber keine Beispiele über UntermannigfoJtigkciten oder 'Ibpologie. Auf der
anderen Seite behandeln die typischen Lehrbücher für Mathematiker den Stoff auf dem
richtigen Niveau, aber diese sind für einen Studenten im ersten .Jahr oft zu abstrakt. Also
Satz, Beweis, Lemma, Beweis, Satz, Beweis etc. und die (wenigen) Beispiele sind oft neue
Theoreme mit Beweisen, die den Studenten nicht helfen, die Konzepte zu verstehen. Aber
wo ist der Mittelweg? Betrübt kein geeignetes Buch gefunden zu haben, entschloss ich mich
dazu, mir selbst Aufgaben zu steJlen. Hier und dort habe ich Aufgaben gesucht und gesam-
melt und ausführliche Lösungsv,:ege für mich geschrieben. So hatte ich schlussendlich auf
ein Blatt 60 Beispiele zu Reihen geschrieben, von denen man die Konvergenz bestimmen
sollte. Ich habe auch eine Liste von Mengen erstellt, bei denen ich entscheiden sollte,
ob sie offen, abgeschlossen, kompakt oder zusammenhängend waren. Dieses Nlaterial habe
ich dann in den späteren Jahren \vieder gebraucht, als ich Hilf:':lassistent in Analysis im
lVIathematik-Departement der ETH Zürich vvar. In meinen Übungsstunden habe ich immer
eine Zusannnenfassung der Vorlesung gegeben und die wichtigsten Punkte anhand von vie-
len Beispielen erklärt. Anstatt Tipps zu den einzelnen A ufga.ben der Serie zu geben, habe
ich mir immer neue, ähnliche Beispiele ausgedacht, wie die in der Serie vorkommenden,
und diese vor den Studenten gelöst. So konnte ich Schritt für Schritt alles erklären, was
die Studierenden wissen sollten. um die Aufgaben zu Iösen: vVie wendet man dieses Theo-
rem in konkreten Situationen an? vVozu dient dieser Satz? usw. Oft ist es genau das, was
die Studenten wissen wollen. Dieses Prinzip hat sich bewährt. Am Anfang waren nur 13
Studierende in meiner Übungsstunde da, und ich hatte Grenzwerte wiederholt. Die Übung
dauerte nur eine Stunde, aber die Leute fanden es so gut, dass ich am Ende der Stunde
einen Applaus bekommen habe. In der nächsten Übungsstunde 'Naren dann 20 Leute in der
3
Übungsgruppe, dann 40, dann 50 usw. Später sind noch mehr Leute gekommen ... am Ende
des Semesters waren es 150. Das war ein riesiger Erfolg für mich, den ich mir nie erwartet
hätte. In meinem letzten Jahr an der ETH bin ich, zusammen mit Beatrix I\liihlmann,
auf die Idee gekommen, das ganze lVIaterial allen zukünftigen Studenten in der Form eines
Buches zur Verfügung zu stellen. Am Ende sind, mit der Hilfe von Beatrix, zwei Bücher
entstanden: Analysis I und Analysis II.
vViis k:ann rrum :sich also von den Büchern erwarten? In dieser Reihe von zwei Büchern
befinden sich insgesamt mehr als 1200 Beispiele, alle ausführlich gelöst. Alle Schritte wer-
den durchgerechnet und es gibt kein "trivial" oder "man sieht leicht". Dieses Buch eignet
sich perfekt, um zu verstehen, was konkret hinter den abstrakten Definitionen und Sätzen
der Analysis II steckt und ist damit das ideale Begleitbuch für jeden Studenten. Ich denke,
dass ein formal orientierter Schreibstil häufig die Studenten abschreckt. Im Buch habe ich
also die klassische Struktur von Definition, Satz und Beweis aufgegeben und diese mit einer
neuen Struktur ersetzt: Die fundamentale Theorie, also wichtige Definitionen und Sätze,
werden kurz und einfach zusammengefasst und diese Theorie ist anhand von ausführlich
gerechneten Musterbeispielen erklärt. Ich denke, dass Analysis so viele Anwendungen hat
und so viele Tricks kennt, dass der einzige vVeg, den Stoff effektiv zu lernen, viele Bei-
spiele sind. Das Buch kommt dieser Aufgabe bestens nach. Ein Buch kann aber nicht alle
Bedürfnisse gleichzeitig erfüllen: Es wird somit nicht auf Exaktheit und Beweisvollstän-
digkeit verzichtet. Ich habe überall dort, wo es mir inhaltlich richtig erschien, Beweise in
Form von Beispielen vollständig priisenticrt, aber für technische Beweise, welche nur lange
Schreibarbeit erfordern, aber keinen grossen Beitrag zum Verständnis beitragen, verweise
ich auf die entsprechende Literatur. Die Bücher behandeln ungefähr den Teil der Analysis,
den ein Student in der 1!fathematik und Physik im ersten Jahr beherrschen sollte. 1V1it
diesen Büchern wird der Student langsam (Beispiel nach Beispiel) von den ganz elemen-
taren Konzepten bis zu einer Stufo gebracht) wo er auch mit komplizierten Aufgaben der
mehrdimensionalen Differenzial- und Integralrechnung zurecht kommt.
Ich will das Buch jetzt nicht weiter beschreiben: Sie haben es ja vor sich. Also viel
Vergnügen beim Lesen und hoffentlich nehmen diese Bücher a.llen Lesern den Schrecken,
den sie vor Analysis haben.
Cambridge und Zürich, im Jahr 2013 Thomas Michaels
4
Inhaltsverzeichnis
I Differenzialrechnung im IRC1 9
1 Funktionen von mehreren Variablen und partielle Ableitungen 11
1.1 Funktionen von mehreren Variablen . 11
1.2 Partielle Ableitungen . 15
1.3 Der Satz von Schwarz 19
1 .4 Vektorwertige Funktionen 24
2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit im IFtn 27
2.1 Stetigkeit im IFtn
2.2 Difforenzierba.rkeit
2.2.l Partielie Differenzierbarkeit und totale Diffcrcnzierbarkeit
2.2.2 Funktionen von der Klasse er.:
2.2.:3 Zusammenhang der Begriffe
2.2.4 Beispiele . 35
3 Ableitungsregeln 49
3.1 Die Kettenregel 49
3.2 Der Umkehrsatz. 53
4 Taylorentwicklung für Funktionen mehrerer Variablen 67
4.1 Funktionen zweier Variablen . . 67
4.2 Funktionen mehrerer Variablen 69
5 Kurven 73
5.1 Differenzierbare Kurven 73
5.2 Regulä.re Kurven .... 77
5.() Der Tangentialvektor an einer Kurve 79
5.4 Die Länge einer l\urve . . . . . . . . 80
5.5 Einfach zusammenhängende Mengen 84
5.5.1 Homotopien ......... . 84
5.5.2 Einfach zusammenhängende J\fongen 86
5
INHALTSVERZEICHNIS
6 Kritische und reguläre Punkte 89
6.1 Der Fall f : IRn --+ IR . . . . . 89
6.2 Der allgemeine Fall f : IR11 --+ IR111 92
7 Extremwertaufgaben in mehreren Dimensionen 97
7.1 Extremwertaufgaben in IR11 ohne Nebenbedingungen 97
7.1.1 Exkursus: positiv und negativ definite Matrizen 99
7.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . 102
7.2 Extrema mit Nebenbedingungen 109
7.2.1 Einschub: ein Existenzsatz für Extrema 110
7.2.2 Beispiele ............... . 111
7.:3 Allgemeine Betrachtung von Extrema in IRn 122
8 Der Satz iiber implizite Funktionen 127
8.1 Einleitung 127
8.2 Der Satz 128
8.3 Beispiele 1:30
9 U ntermannigfaltigkeiten von IR11 139
9.1 Untermannigfaltigkeiten von IR11 139
9.1.1 Lie-Gruppen 145
H.2 Der Tangentialra.um 150
9.2.1 Lie-Algebren 152
Der Normalraum 154
10 Parameterintegrale 157
10.1 Paranieterintegrale mit konstanten Grenzen 158
10.2 Parameterintegrale mit variablen Grenzen 1G2
10.3 Uneigerrtliche Parameterintegrale ..... 166
II Integralrechnung im }Rn 175
11 Integration auf Quadern und der Satz von Fubini 177
11.1 Integration auf Quadern in 177
11.2 Integration auf Quadern in IR11 183
12 Integration auf Normalbereichen 189
12. l Normalbereiche in 189
12.2 Normalbereiche in IRn 196
Der Skalierungstrick . 200
G
INHALTSVERZEICHNIS
13 Die Substitutionsregel 207
13.1 Die Substitutionsrege1 in IR.2 207
13.2 Die Substitutionsregel in IR.11 215
1:3.3 \Vichtige Koordinatentransformationen 218
1:3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
14 Anwendung: :Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment 231
14.1 Masse, Sdrwerpunkt und Trägheitsmoment. 231
14.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Oberflächenintegrale 241
15.1 Flächen in 241
15.2 Oberflächenmass 24i3
15.3 Oberflächenintegrale 24 7
15.4 Oberflächenintegral über den Graphen einer Funktion von zwei Variablen 248
III Vektoranalysis 253
16 Grundbegriffe der Vektoranalysis 255
16.1 SkaJarfclder und Vektorfelder 255
16. l .1 Skalarfelder . 255
16.1.2 Vektorfelder . 256
16.2 Differenzialoperntoren 257
16.2.1 Der Gradient . 258
16.2.2 Richtungsableitung 260
16.2.3 Die Divergenz . . . 262
16.2.4 Die Rotation . . . 264
lG.2.5 Der Laplace-Operator 267
16.3 Rechenregeln für Differenzialoperatoren 268
1 7 Krummlinige Koordinaten 273
17 .1 Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . .
17.2 Differenzialoperatoren in anderen Koordinaten . 277
17.2.1 Transformation von Skalar- und Vektorfeldern . 277
17.2.2 Transformation von Differenzialoperatoren . . . 279
17.2.3 Allgemeine .Formeln für Differenzialoperatoren in allgemeinen ortho-
gonalen krummlinigen Koordinaten 284
18 Wegintegrale 289
18.1 Definition und erste Beispiele 289
18.1.1 Definition . . . . . . . 289
18.1.2 Kochrezept und Beispiele 290
7
INHALTSVERZEICHNIS
18.2 Potenzialfelder ....... . 297
18.2.1 Motivierendes Beispiel 298
18.2.2 Potenzialfelder und Potenziale . 300
18.2.3 Konservative Vektorfelder :301
18.2.4 Zusammenfassung 301
18.2.5 Beispiele ..... . :302
19 Flussintegrale und der Satz von Gauss 313
rn.1 Der Orientierungsbegriff :n:3
19.2 Der Flussbegriff . 315
19.2.1 Beispiele . 316
rn.3 Satz von Gauss . :321
19.4 Weitere Beispiele 329
19.5 Berechnung von Volumina mit dem Satz von Gauss :343
19.6 Der Satz von Gauss in der Ebene .... 345
19.6.1 Der Fluss durch eine Kurve in IR.2 345
19.G.2 Der Satz von Gauss in der Ebene :345
20 Der Satz von Stokes und der Satz von Green in der Ebene 355
20.1 Der Satz von Stokes ...... . 355
20.2 Der Satz von Green in der Ebene
20.2.l Berechnung von Flächeninhalten mit dem Satz von Green
8
Teil I
Differenzialrechnung iin ffi.n
9