ANALYSIS II

210 Pages·2015·1.07 MB·German

ANALYSIS II - SOMMERSEMESTER 2015
STEFAN FRIEDL
Inhaltsverzeichnis
Literatur 4
1. Metrische R(cid:127)aume 5
1.1. De(cid:12)nition von metrischen R(cid:127)aumen 5
1.2. Normierte Vektorr(cid:127)aume 6
1.3. Vektorr(cid:127)aume von Abbildungen 7
1.4. Offene und abgeschlossene Mengen in metrischen R(cid:127)aumen 9
1.5. Der Rand einer Teilmenge eines metrischen Raums ((cid:3)) 13
1.6. Topologische R(cid:127)aume 15
2. Konvergente Folgen und stetige Abbildungen 18
2.1. Konvergenz von Folgen 18
2.2. Stetige Abbildungen 21
2.3. Stetigkeit von linearen Abbildungen ((cid:3)) 26
3. Kompakte Mengen 27
3.1. De(cid:12)nition von kompakten Mengen 28
3.2. Der Satz von Heine{Borel 29
3.3. Eigenschaften von kompakten Mengen 34
3.4. Gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Stetigkeit von Abbildungen ((cid:3)) 38
4. Kurven in Rn 38
4.1. De(cid:12)nitionen und Beispiele 38
4.2. Rekti(cid:12)zierbare Kurven 40
4.3. Parametertransformationen ((cid:3)) 47
5. Partielle Ableitungen 48
6. Differenzierbarkeit 54
6.1. Grenzwerte von Abbildungen 54
6.2. Das Landau{Symbol o 54
6.3. Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen 55
6.4. Norm von Matrizen 61
6.5. Die Kettenregel 63
6.6. Der Gradient 66
6.7. Richtungsableitungen 69
6.8. Gradienten und Niveaulinien 70
7. Die Taylorformel und lokale Extrema 72
1
2 STEFAN FRIEDL
7.1. Die Taylorformel aus der Analysis I 72
7.2. Die Taylorformel im Rn 73
7.3. Beweis von Satz 7.3 75
7.4. Eine alternative De(cid:12)nition der Taylorpolynome ((cid:3)) 77
7.5. Das zweite Taylorpolynom und die Hessesche Matrix 79
7.6. Lokale Extrema I 82
7.7. De(cid:12)nite Matrizen und Eigenwerte 84
7.8. Lokale Extrema II 91
7.9. Globale Extrema 92
8. Die Norm von Matrizen und Absch(cid:127)atzungen von Integralen 95
9. Der Satz u(cid:127)ber die Umkehrfunktion und implizite Funktionen 99
9.1. Der Banachsche Fixpunktsatz 99
9.2. Der Satz u(cid:127)ber die Umkehrabbildung 104
9.3. Polarkoordinaten als Beispiel fu(cid:127)r eine lokale Umkehrabbildung 109
9.4. Umkehrabbildungen von Ck{Abbildungen ((cid:3)) 110
9.5. Satz u(cid:127)ber implizite Funktionen 112
10. Untermannigfaltigkeiten 117
10.1. Polarkoordinaten, zylindrische Koordinaten und sph(cid:127)arische Koordinaten 117
10.2. Immersionen und Einbettungen 121
10.3. Untermannigfaltigkeiten 125
10.4. Extrema fu(cid:127)r Funktionen auf Untermannigfaltigkeiten 128
11. Der Satz vom regul(cid:127)aren Wert und lokale Extrema mit Nebenbedingungen 131
11.1. Eine alternative De(cid:12)nition von Untermannigfaltigkeiten 131
11.2. Der Satz vom regul(cid:127)aren Wert 133
11.3. Tangentialvektoren zu Untermannigfaltigkeiten 139
11.4. Die Methode der Lagrangemultiplikatoren 146
12. Differentialgleichungen: De(cid:12)nition und Beispiele 148
12.1. De(cid:12)nition von Differentialgleichungen 148
12.2. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 150
12.3. Homogene lineare Differentialgleichungen 152
12.4. Inhomogene lineare Differentialgleichungen 153
13. Der Existenz{ und Eindeutigkeitssatz 155
13.1. Lipschitz{stetige Abbildungen 155
13.2. Der Existenzsatz von Picard{Lindel(cid:127)of 156
13.3. Das Picard-Lindel(cid:127)of Iterationsverfahren 161
13.4. Der Eindeutigkeitssatz 162
14. Differentialgleichungen h(cid:127)oherer Ordnung 165
15. Lineare Differentialgleichungen 169
15.1. Beweis von Satz 15.1 ((cid:3)) 170
15.2. Homogene lineare Differentialgleichungen 173
15.3. Inhomogene lineare Differentialgleichungen 175
16. Differentialgleichungen in Abh(cid:127)angigkeit vom Anfangspunkt 178
ANALYSIS II - SOMMERSEMESTER 2015 3
16.1. Volumen und Matrizen 180
16.2. Die Wronski{Determinante 181
16.3. Der Fluss eines autonomen Differentialgleichungssystems 186
16.4. Der Fluss eines autonomen Differentialgleichungssystems II ((cid:3)) 189
17. Homogene lineare autonome Differentialgleichungen 191
18. Homogene lineare autonome Differentialgleichungen in Dimension 2 195
18.1. Reelle 2(cid:2)2{Matrizen 195
18.2. Koordinatentransformationen 198
18.3. Der reell-diagonalisierbare Fall 199
18.4. Der komplex-diagonalisierbare Fall 201
18.5. Der nicht diagonalisierbare Fall 204
19. Homogene lineare autonome Differentialgleichungen in h(cid:127)oheren Dimensionen
((cid:3)) 206
4 STEFAN FRIEDL
Literatur
Zum Erlernen des Stoffes und zur Bearbeitung der U(cid:127)bungsaufgaben reicht das Skript.
Das Skript der Vorlesung orientiert sich zumeist an
Forster: Analysis II
Br(cid:127)ocker: Analysis II.
Es kann also hilfreich sein, diese beiden Bu(cid:127)cher begleitend zu studieren.
ANALYSIS II - SOMMERSEMESTER 2015 5
1. Metrische Ra(cid:127)ume
IndiesemSemesterwollenwirunshaupts(cid:127)achlichmitAbbildungenRn ! Rm besch(cid:127)aftigen.
Wir beginnen mit dem Studium der Stetigkeit von solchen Abbildungen.
Wir werden die Stetigkeit nicht nur fu(cid:127)r solche Abbildungen betrachten, sondern etwas
allgemeiner fu(cid:127)r Abbildungen zwischen metrischen R(cid:127)aume. Diese Verallgemeinerung wird
uns im weiteren Verlauf noch von Nutzen sein.
1.1. De(cid:12)nition von metrischen R(cid:127)aumen.
De(cid:12)nition. Ein metrischer Raum ist ein Paar (X;d) bestehend aus einer Menge X und
einer Metrik d auf X, d.h. einer Abbildung
X (cid:2)X ! R := fx 2 Rjx (cid:21) 0g;
(cid:21)0
(x;y) 7! d(x;y);
mit folgenden Eigenschaften:
(1) d(x;y) = 0 genau dann, wenn x = y,
(2) fu(cid:127)r alle x;y 2 X gilt
d(x;y) = d(y;x) (Symmetrie)
(3) fu(cid:127)r alle x;y;z 2 X gilt
d(x;z) (cid:20) d(x;y)+d(y;z) (Dreiecksungleichung):
Wir nennen d(x;y) manchmal den Abstand von x zu y.
Beispiel. Wir betrachten zuerst die Menge X = Rn. Wie man leicht nachrechnen kann, ist
die euklidische Metrik
√
∑
n
d((x ;:::;x );(y ;:::;y )) := (x (cid:0)y )2
1 n 1 n k k
k=1
in der Tat eine Metrik. Allerdings kann man auf X = Rn auch noch viele andere Metriken
betrachten. Beispielsweise de(cid:12)niert auch
∑
n
d((x ;:::;x );(y ;:::;y )) := jx (cid:0)y j:
1 n 1 n k k
k=1
eine Metrik. Diese wird manchmal die Manhattan-Metrik 1 genannt. Es gibt aber auch noch
ausgefallenere Metriken, beispielsweise ist
{ √ }
∑
n
d((x ;:::;x );(y ;:::;y )) := min 1; (x (cid:0)y )2
1 n 1 n k k
k=1
ebenfalls eine Metrik auf X = Rn.
1Warum? Wenn Sie zu Fuss von der Ecke ‘25th Street 6th Avenue’ zu ‘59th Street, 3rd Avenue’ gehen
wollen, wie messen Sie die Distanz bezu(cid:127)glich der Koordinaten (25;6) und (59;3)?
6 STEFAN FRIEDL
√
euklidischer Abstand (a (cid:0)b )2 +(a (cid:0)b )2
1 1 2 2
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(b1;b2) Ajab1s(cid:0)tabn1dj+injaM2a(cid:0)nhb2ajttan:
(a ;a )
1 2
Abbildung 1. Die euklidische Metrik und die Manhattanmetrik auf R2.
Beispiel. Es sei X eine beliebige Menge, beispielsweise X = f1;2;3;:::;kg, X = Rn oder
X = C. Dann kann man leicht u(cid:127)berpru(cid:127)fen, dass
{
0; falls x = y;
d(x;y) :=
1; falls x ̸= y:
eine Metrik auf X de(cid:12)niert.
1.2. NormierteVektorr(cid:127)aume. IndiesemKapitelfu(cid:127)hrenwirdienormiertenVektorr(cid:127)aume
ein. Diese werden uns besonders wichtige Beispiele von metrischen R(cid:127)aumen liefern.
De(cid:12)nition. Ein normierter Vektorraum ist ein Paar (V;∥ (cid:0) ∥) bestehend aus einem Vek-
torraum V u(cid:127)ber R und einer Norm auf V, d.h. einer Abbildung
∥(cid:0)∥: V ! R
(cid:21)0
x 7! ∥x∥
mit folgenden Eigenschaften:
(1) ∥x∥ = 0 genau dann, wenn x = 0;
(2) ∥(cid:21)x∥ = j(cid:21)j(cid:1)∥x∥ fu(cid:127)r alle (cid:21) 2 R und x 2 V (Homogenit(cid:127)at)
(3) ∥x+y∥ (cid:20) ∥x∥+∥y∥ fu(cid:127)r alle x;y 2 V (Dreiecksungleichung).
Beispiel. Wir betrachten zuerst den Vektorraum V = Rn. Auf diesem Vektorraum gibt es
insbesondere folgende Normen
√
∑
n
∥(x ;:::;x )∥ = x2 (Euklidische Norm), und
1 n eukl k
k=1
∥(x ;:::;x )∥ = maxfjx j;:::;jx jg (Maximumsnorm)
1 n max 1 k
In U(cid:127)bungsblatt 1 werden Sie folgendes Lemma beweisen.
Lemma 1.1. Fu(cid:127)r x = (x ;:::;x ) 2 Rn und jedes i 2 f1;:::;ng gilt
1 n
p
jx j (cid:20) ∥x∥ (cid:20) ∥x∥ (cid:20) n∥x∥ :
i max eukl max
ANALYSIS II - SOMMERSEMESTER 2015 7
Beispiel. Wir k(cid:127)onnen auch Normen auf anderen reellen Vektorr(cid:127)aumen betrachten. Bei-
spielsweise bildet
M(n(cid:2)m;R) = Vektorraum der m(cid:2)n{Matrizen
zusmmen mit { (cid:12) }
(cid:12)
∥(a )∥ = max ja j(cid:12)i 2 f1;:::;ng;j 2 f1;:::;mg
ij ij
einen normierten Vektorraum.2
Folgender Satz folgt sofort aus den De(cid:12)nitionen:
Satz 1.2. Es sei (V;∥(cid:0)∥) ein normierter Vektorraum. Dann ist
d(v;w) := ∥v (cid:0)w∥
eine Metrik auf V.
Im Folgenden betrachten wir Rn durchgehend als normierten Vektorraum bezu(cid:127)glich der
Euklidischen Norm, au(cid:25)er wir sagen explizit etwas anderes. Insbesondere betrachten wir
Rn als metrischen Raum bezu(cid:127)glich der Euklid√ischen Metrik. Dies wiederum bedeutet, dass
wir R durchgehend mit der Metrik d(x;y) = (x(cid:0)y)2 = jx(cid:0)yj betrachten.
1.3. Vektorr(cid:127)aume von Abbildungen. Es sei X eine Menge, beispielsweise eine nicht-
leere Teilmenge von Rn, dann ist
F(X;Rm) := alle Abbildungen X ! Rm
einVektorraum,3dennjezweiAbbildungen4kannmanaddieren,undjedeAbbildungkann
man mit einem Skalar multiplizieren. Man kann zudem leicht veri(cid:12)zieren, dass mit diesen
Verknu(cid:127)pfungen alle Axiome eines reellen Vektorraums erfu(cid:127)llt sind. Das Nullelement im
VektorraumF(X;Rm)isthierbeidieAbbildung,welchejedemPunktx 2 X denNullvektor
in Rm zuordnet.
Beispiel. Wir erinnern an die De(cid:12)nition von linearer Unabh(cid:127)angigkeit in einem Vektorraum.
Vektoren v ;:::;v in einem reellen Vektorraum V hei(cid:25)en linear unabh(cid:127)angig, wenn fu(cid:127)r
1 k
2Wenn man sich’s recht u(cid:127)berlegt, dann sieht man, dass dieser normierte Vektorraum isomorph ist zum
normierten Vektorraum (Rnm;∥(cid:0)∥ ).
max
3Wieschaut’sausmitdemFall,dassX dieleereMengeist?UmdieseFragezubeantwortenhilftessich
genauzuu(cid:127)berlegen,waseigentlicheineAbbildungist.EineAbbildungf: A!B zwischenzweiMengenist
perDe(cid:12)nitioneineTeilmengeD (cid:26)A(cid:2)B,mitderEigenschaft,dasseszujedema2Agenaueinb2B gibt,
so dass (a;b) 2 D. (In der naiven De(cid:12)nition einer Abbildung ist also f(a) 2 B das eindeutig bestimmte
Element mit (a;f(a)) 2 D.) Wenn A = ∅, dann ist auch A(cid:2)B = ∅, und die (einzige) Teilmenge D = ∅
besitzt die obige Eigenschaft. Wir haben also gezeigt, dass fu(cid:127)r A = ∅ und einer beliebigen Menge B die
Menge der Abbildungen A!B aus genau einem Element besteht. Insbesondere ist dies ein Vektorraum.
4Genauer gesagt, wenn φ; : X !Rm Abbildungen sind, dann de(cid:12)nieren wir φ+ als die Abbildung,
welche fu(cid:127)r x2X den Wert (φ+ )(x):=φ(x)+ (x) annimmt.
8 STEFAN FRIEDL
beliebige (cid:21) ;:::;(cid:21) 2 R gilt
1 k
(cid:21) v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(cid:21) v = 0 =) (cid:21) = (cid:1)(cid:1)(cid:1) = (cid:21) = 0:
1 1 k k 1 k
Eine Abbildung ist genau dann null im Vektorraum der Abbildungen, wenn sie an allen
Punkten den Wert null annimmt. Es folgt also, dass Abbildungen f ;:::;f : X ! Rm
1 k
genau dann linear unabh(cid:127)angig sind, wenn gilt:
(cid:21) f (x)+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(cid:21) f (x) = 0 fu(cid:127)r alle x 2 X =) (cid:21) = (cid:1)(cid:1)(cid:1) = (cid:21) = 0:
1 1 k k 1 k
Dies bedeutet nicht, dass fu(cid:127)r jedes einzelne x die Vektoren f (x);:::;f (x) linear un-
1 k
abh(cid:127)angig sind. Beispielsweise werden wir in U(cid:127)bungsblatt 1 sehen, dass die Funktionen
f(x) = sin(x), g(x) = 1+x2 und h(x) = 2(cid:0)x auf R linear unabh(cid:127)angig sind, obwohl fu(cid:127)r
jedes einzelne x die Vektoren f(x);g(x);h(x) 2 R1 = R linear abh(cid:127)angig sind.
Im folgenden Beispiel sehen wir auch, dass wir manchmal solche Vektorr(cid:127)aume von Ab-
bildungen als normierte Vektorr(cid:127)aume auffassen k(cid:127)onnen.
Beispiel. Es sei D (cid:26) R eine Teilmenge. Dann bildet 5
V = alle beschr(cid:127)ankten Funktionen D ! R;
zusammen mit der Supremumsnorm
{ (cid:12) }
(cid:12)
∥f∥ = sup jf(x)j (cid:12)x 2 D :
einen normierten Vektorraum.6
Beispiel. Es seien a;b 2 R;a < b, dann bilden
C([a;b]) := Menge aller stetigen Funktionen [a;b] ! R;
und die sogenannte L2-Norm
√
∫
∥f∥ = bf(x)2dx
a
einen normierten Vektorraum. Der Nachweis, dass dies ein normierter Vektorraum ist, ist
allerdings nicht ganz trivial. Die Aussage wird beispielsweise in Kapitel 18 von Forster:
Analysis I bewiesen.
5Eine Abbildung, welche Werte in R annimmt, wird normalerweise als Funktion bezeichnet.
6Wir haben diesen normierten Vektorraum schon am Ende von Analysis I kennengelernt. Es ist offen-
sichtlich,dass∥(cid:0)∥dieerstenbeidenEigenschafteneinerNormerfu(cid:127)llt.Wirmu(cid:127)ssennochzeigen,dass∥(cid:0)∥
die Dreiecksungleichung erfu(cid:127)llt. Es seien also f;g 2V, dann gilt
{ (cid:12) }
(cid:12)
∥f +g∥ = sup jf(x)+g(x)j(cid:12)x2D
{ (cid:12) }
(cid:12)
(cid:20) sup jf(x)j+jg(x)j(cid:12)x2D
{ (cid:12) } { (cid:12) }
(cid:12) (cid:12)
(cid:20) sup jf(x)j(cid:12)x2D +sup jg(x)j(cid:12)x2D = ∥f∥+∥g∥:
ANALYSIS II - SOMMERSEMESTER 2015 9
1.4. Offene und abgeschlossene Mengen in metrischen R(cid:127)aumen.
De(cid:12)nition. Sei (X;d) ein metrischer Raum.
(1) Es sei x 2 X und r > 0, dann hei(cid:25)t
B (x) := fy 2 Xjd(x;y) < rg
r
die offene Kugel um x mit Radius r.
(2) Eine Teilmenge A (cid:26) X hei(cid:25)t offen, wenn es zu jedem a 2 A ein r > 0 gibt, so dass
B (a) (cid:26) A:
r
Wir wollen zuerst ausfu(cid:127)hrlich den metrischen Raum X = R mit d(x;y) = jx (cid:0) yj be-
trachten. Fu(cid:127)r jedes x 2 R und r > 0 gilt dann B (x) = (x(cid:0)r;x+r). Das folgende Lemma
r
besagt, dass die Intervalle, welche wir in Analysis I als ‘offene Intervalle’ bezeichnet hatten,
auch offen im obigen Sinne sind.
Lemma 1.3. Es seien (cid:0)1 (cid:20) a < b (cid:20) 1. Dann ist das Intervall (a;b) eine offene
Teilmenge von R.
Beweis. Wir betrachten zuerst den Fall, dass a und b reelle Zahlen sind. Es sei nun x 2 R.
Dann gilt fu(cid:127)r r = minfx (cid:0) a;b (cid:0) xg, dass B (x) (cid:26) (a;b). Die anderen F(cid:127)alle des Lemmas
r
werden ganz (cid:127)ahnlich bewiesen. (cid:3)
Andererseits ist ein Intervall von der Form [a;b) nicht offen, weil es fu(cid:127)r x = a kein
geeignetes r > 0 gibt. Ganz analog sind auch Intervalle von der Form (a;b] und [a;b] nicht
offen.DieIntervalle,welcheoffenimobigenSinnesind,sindalsogenaudieIntervalle,welche
wir in Analysis I als offen bezeichnet hatten.
Folgendes Lemma folgt sofort aus den De(cid:12)nitionen.
Lemma 1.4. Es sei (X;d) ein metrischer Raum. Dann ist X eine offene Menge und die
leere Menge ist ebenfalls eine offene Menge.
Beweis. Die Teilmenge A := X ist offen, weil fu(cid:127)r jedes x 2 A = X der Radius r = 1 die
gewu(cid:127)nschte Eigenschaft besitzt.
DieleereMengebesitztperDe(cid:12)nitionkeineinzigesElement,alsogibtesbeiderOffenheit
auch nichts zu u(cid:127)berpru(cid:127)fen, d.h. die leere Menge ist offen. (cid:3)
Wir hatten B (x) als ‘offene Kugel’ bezeichnet. Das folgende Lemma besagt, dass dies
r
in der Tat eine korrekte Verwendung vom Adjektiv ‘offen’ ist.
Lemma 1.5. Es sei (X;d) ein metrischer Raum, x 2 X und r > 0. Dann ist B (x) (cid:26) X
r
eine offene Teilmenge.
Beweis. Es sei y 2 B (x). Wir setzen s := d(x;y). Per De(cid:12)nition von B (x) gilt s < r. Wir
r r
setzen nun t := r(cid:0)s. Nachdem t > 0 genu(cid:127)gt es folgende Behauptung zu beweisen:
Behauptung.
B (y) (cid:26) B (x):
t r
10 STEFAN FRIEDL
r B(y;t)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)x(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)s(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)=(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)zdy(cid:0)(cid:1)(2(cid:0)(cid:1)x(cid:0)(cid:1);Byt)t=(y)r(cid:0)s
B(x;r)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
Abbildung 2. Skizze fu(cid:127)r den Beweis von Lemma 1.5
Es sei also z 2 B (y). Mithilfe der Dreiecksungleichung erhalten wir
t
d(x;z) (cid:20) d(x;y)+d(y;z) < s+t = r:
Wir haben also gezeigt, dass wie gewu(cid:127)nscht, z 2 B (x). (cid:3)
r
Satz 1.6. Es sei X ein metrischer Raum. 7
(1) Wenn U ;:::;U offene Teilmengen von X sind, dann ist auch die Schnittmenge
1 k
U \U \(cid:1)(cid:1)(cid:1)\U offen.
1 2 k
(2) Es sei U ;i 2 I eine Familie 8 von offenen Teilmengen, dann ist die Vereinigungs-
i
menge [ U ebenfalls offen.
i2I i
Bemerkung.
(1) Anders ausgedru(cid:127)ckt, der Satz besagt, dass die Schnittmenge von endlich vielen
offenen Mengen wiederum offen ist, und dass die Vereinigung von beliebig vielen
offenen Mengen wieder offen ist.
(2) Die Schnittmenge von unendlich vielen offenen Mengen ist im Allgemeinen nicht
offen. Beispielsweise sind die Mengen U := ((cid:0)1; 1) (cid:26) R;n 2 N offen, aber die
n n n
Schnittmenge \1 U besteht nur aus f0g, aber f0g (cid:26) R ist nicht offen.
n=1 n
Beweis.
(1) Es sei x 2 U \U \(cid:1)(cid:1)(cid:1)\U . Nach Voraussetzung existiert fu(cid:127)r jedes i 2 f1;:::;kg
1 2 k
ein ϵ > 0, so dass B (x) (cid:26) U . Wir setzen ϵ := minfϵ ;:::;ϵ g. Dann gilt fu(cid:127)r jedes
i ϵi i 1 k
i 2 f1;:::;kg, dass B (x) (cid:26) B (x) (cid:26) U . Also folgt, dass
ϵ ϵi i
B (x) (cid:26) U \U \(cid:1)(cid:1)(cid:1)\U :
min(ϵ1;:::;ϵk) 1 2 k
7Wenn nichts anderes angegeben ist, dann wird die Metrik immer mit d bezeichnet, d.h. ‘sei X ein
metrischer Raum’ ist kurz fu(cid:127)r ‘sei (X;d) ein metrischer Raum’.
8Auf gut Deutsch hei(cid:25)t das Folgendes: I ist eine Menge (z.B. f1;:::;kg oder N, aber I kann auch z.B.
u(cid:127)berabz(cid:127)ahlbar sein), und jedem Element i2I ist eine Menge U zugeordnet. Siehe auch:
i
http://de.wikipedia.org/wiki/Familie_(Mathematik)