Analysis II

151 Pages·03.162 MB·151\151

by  Christiane Tretter

Mathematik Kompakt
Christiane Tretter
Analysis II
Birkhauser
MathematikKompakt
Herausgegebenvon:
MartinBrokate
Karl-HeinzHoffmann
GötzKersting
OtmarScherzer
GernotStroth
EmoWelzl
Die neu konzipierte Lehrbuchreihe Mathematik
KompaktisteineReaktionaufdieUmstellungder
Diplomstudiengänge in Mathematik zu Bachelor-
und Masterabschlüssen. Ähnlich wie die neu-
en Studiengänge selbst ist die Reihe modular
aufgebaut und als Unterstützung der Dozieren-
den sowie als Material zum Selbststudium für
Studierende gedacht. Der Umfang eines Bandes
orientiert sich an der möglichen Stofffülle einer
Vorlesung von zwei Semesterwochenstunden.
Der Inhalt greift neue Entwicklungen des Faches
auf und bezieht auch die Möglichkeiten der neu-
en Medien mit ein. Viele anwendungsrelevante
Beispiele geben den Benutzern Übungsmöglich-
keiten. Zusätzlich betont die Reihe Bezüge der
Einzeldisziplinenuntereinander.
MitMathematikKompaktentstehteineReihe,die
die neuen Studienstrukturen berücksichtigt und
fürDozierendeundStudierendeeinbreitesSpek-
trumanWahlmöglichkeitenbereitstellt.
Analysis II
ChristianeTretter
Birkhauser
ChristianeTretter
UniversitätBern
MathematischesInstitut
Bern,Schweiz
ISBN978-3-0348-0475-2 ISBN978-3-0348-0476-9 (eBook)
DOI10.1007/978-3-0348-0476-9
BibliografischeInformationderDeutschenBibliothek
DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüber<http://dnb.ddb.de>abrufbar.
2010MathematicalSubjectClassification:97Ixx
©SpringerBaselAG2013
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desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,der
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SpeicherunginDatenverarbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwertung,
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Einbandentwurf:deblik,Berlin
GedrucktaufsäurefreiemPapier.
SpringerBaselAGistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia
www.birkhauser-science.com
Vorwort
ManmussdasUnmöglicheversuchen,
umdasMöglichezuerreichen.
H.Hesse
Dieses Buch ist der zweite Band einer Einführung in die Analysis,die ein möglichst
breites,aber dennoch kompaktes Fundament für weiterführendeVorlesungen bieten
soll und den kanonischen Stoff einer zweisemestrigen Analysis-Vorlesung abdeckt.
Den erstenundschwierigstenSchritt beim Bau diesesFundaments haben Siebereits
geschafft,alsSiesichinder„AnalysisI“indiezuAnfangungewohntemathematische
Denk-undSprechweiseeingearbeitethaben!
Indiesem zweitenBandbauen wirnunauf dasFundament des erstenSemesters
auf und festigen dieses gleichzeitig. Viele Definitionen und Sätze aus „Analysis II“
haben wir in Spezialfällen schon in„Analysis I“ [32] kennengelernt. Das Buch gibt
jeweilsHinweiseaufdieseZusammenhänge,diezurRückschaueinladenundzueinem
besserenVerständnisauchdesStoffsder„AnalysisI“helfen.
WieschonderersteBand,sollauchdasvorliegendeBuchStudierendenundDozie-
rendenunterdenverändertenStudienbedingungendesBachelorsystems einedirekte
VorlesungsvorlagezurVerfügungstellen.Soumfasstauchdie„AnalysisII“nichtmehr
undnichtwenigeralsdenStoff,derineinervierstündigenVorlesungbeieinerSeme-
sterdauer von 14 Wochen an der Tafel vorgetragen werden kann. Praktisch erprobt
wurde diesin insgesamt vierVorlesungen„AnalysisII“ (mit doppelt so vielen Klau-
suren) innerhalb von zehn Jahren, davon eine an der Universität Bremen und drei
an der Universität Bern, mit Hörern aus Mathematik (mit den unterschiedlichsten
Nebenfächern),PhysikundInformatik.
NeuindiesemzweitenBandisteinkurzerAbschnittmitTippszurPrüfungsvor-
bereitung,dieichauf derGrundlage meinerlangjährigen Erfahrung alsPrüferin mit
ganz verschiedenen Studierenden sowie meiner eigenen Erfahrungen als Studentin
zusammengestellt habe. Unabhängig davon ist auch das Buch von E.Emmrich und
C. Trunk [9] mit dem Titel„Gut vorbereitet in die erste Mathematikklausur“ sehr zu
empfehlen, das viele Beispiele von typischenKlausuraufgaben und Musterklausuren
mitLösungenenthält.
Eswürdemichfreuen,wenndiesesBuchIhnennichtnurhelfenwürde,daszweite
Semester und die anstehendenPrüfungen erfolgreich zu bestehen,sondern auch Ihr
InteressefürmehrAnalysisweckenwürde.SowieichalsAutorinkönnenauchSievon
dervielfältigenAuswahlanAnalysis-BüchernunddenfastunbegrenztenSuchmöglich-
keiten im Internetprofitieren.Aneinigen Stellen werdenkonkrete Literaturhinweise
gegeben, ansonstenfindensich,wie bei einem Lehrbuch hoffentlich erlaubt, alle be-
vi
Vorwort
nutzten Materialien global im Literaturverzeichnis. Die historischen Fußnoten sind,
wie schon im ersten Band, mit Informationen aus der Online-Datenbank [24] und
demBuchvonT.Sonar[30]entstanden.
Parallel und weiterführend zu diesem Buch sinddie Bücher von O.Forster [13],
K.Königsberger [23],H.AmannundJ.Escher [2],H.Heuser [16],W.Kaballo [20],
W.Walter[34]undD.Werner[35]zuempfehlen;einzelneThemenwiez.B.Fourier-
reihen finden sich auch in den ersten Bänden von O. Forster [12], W. Kaballo [19]
undK.Königsberger [22].FürStudierende,diesichschwermitdemAbstraktentun,
hatsichdasBuchvonH.Neunzertetal.[27]bewährt.FürNeugierige oderfürspäter
eignetsich,außerdenschonimerstenBandempfohlenen fortgeschrittenenBüchern
vonW.Rudin[28]undG.Shilov[29],auchdasvonE.HewittundK.Stromberg[18].
Für Studierende der Physik sind die Bücher H.Fischer und H.Kaul [11] sowie von
K.MeybergundP.Vachenauer [25,26]eineguteErgänzung,dasieverschiedene Ge-
biete der Mathematik gleichzeitig präsentieren und auch fortgeschrittenere Themen
wiepartielleDifferentialgleichungenoderFouriertransformationbehandeln.
ErwähnenmöchteichauchdasmitneunBänden[8]wohlumfassendsteWerküber
AnalysisvonJ.Dieudonne´1,überdasJ.Kellyschrieb„Inbrief,itisabeautifultext“.
Auch dieser zweite Band hätte nicht entstehen können ohne die großartige und
fortwährende Unterstützung meiner jeweiligen Mitarbeiter und Studenten: Parallel
zur Vorlesung in Bremen hat Dr. Dipl.Psych. Ingo Fründ (damals Hörer der Vorle-
sung) dieVorlesungsaufzeichnungen in Latex gesetzt.Mein damaliger Doktorand in
Bremen,Dr.MarkusWagenhofer,hatdasSkriptredigiertundweiterausgefeilt.InBern
hat meine Postdoktorandin Dr.Monika Winklmeier das Skript stetig in eine immer
endgültigereFormgebracht.BeidendankeichnebenihremgroßenEngagementauch
fürvieleprofessionelleAbbildungen,diedenStoffhoffentlichverständlichermachen.
FürdieMithilfebeiKapitel11überDifferentialgleichungengehtmeinDankanmeinen
damaligenDoktorandenDr.ChristianWyss.Darüber hinaushabendieStudierenden
ausBremenundBernmitdiversenListenvonTippfehlerngeholfen,selbigeaufeinhof-
fentlich kleines Maßzureduzieren(ganzwirdeswohlniegelingen!).Schließlich hat
meinederzeitigePostdoktorandinDr.AgnesRadldiesesBuchmanuskriptmitgroßem
SachverstandKorrekturgelesen.BeiallenBeteiligtenbedankeichmichauchfürwert-
volleinhaltlicheDiskussionen!
MeinganzbesondererDankgiltauchdemHerausgebergremiumderReihe„Mathe-
matikKompakt“undBirkhäuser/SpringerBasel,vorallemFrauDr.BarbaraHellriegel
undHerrnDr.ThomasHempfling,fürdasVertrauen,dasSiealleinmichgesetzthaben,
undfürdieprofessionelle verlegerische Unterstützung!
Bern,07.Juni2012 ChristianeTretter
1JeanDieudonne´,∗1.Juli1906inLille,†29.November1992inParis,französischerMathematiker,
deraußerinAnalysisauchinAlgebraischerGeometrie,TopologieundGruppentheoriearbeiteteunddie
GruppeBourbakimitbegründete.
Inhaltsverzeichnis
I TopologischeGrundbegriffe 1
1 Topologie metrischerRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II DifferentialrechnunginRn 25
4 StetigelineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 PartielleAbleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 MittelwertsatzundSatzvonTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9 LokaleExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III DerSatzüberimpliziteFunktionen 65
10 DieAbleitungderUmkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
11 DerSatzüberimpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
12 ParameterabhängigeIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
IV GewöhnlicheDifferentialgleichungen 89
13 BeispieleundEinführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
14 Existenz-undEindeutigkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
15 ElementareLösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
16 LineareDifferentialgleichungssystememitkonstantenKoeffizienten . 111
17 LineareDifferentialgleichungenzweiterOrdnung
mitkonstantenKoeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
18 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
19 AnwendungaufdieWellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
V TippszurPrüfungsvorbereitung 137
Literaturverzeichnis 141
Index 145
I
Topologische Grundbegriffe
Die Konvergenz von Folgen und die Stetigkeit von Funktionen benutzt man zuerst
meistnurinRoderCmitdemAbsolutbetrag alsAbstand.Tatsächlichkönnensiein
sehr allgemeinen, sog.topologischen Räumen definiertwerden.Indiesem Abschnitt
beschränkenwirunsaufRäume,derenTopologie durcheineMetrikerzeugtwird.
(cid:2) 1
Topologie metrischer Räume
Metrische Räume, die wir bereits in Analysis I kennengelernt haben, sind Mengen
miteinerAbstandsfunktion.DerVollständigkeitwegenwiederholenwirdieDefinition
(vgl.[32,DefinitionIV.1]).
EsseiX einenichtleereMenge.EineMetrikaufX isteineAbbildungd:X×X → DefinitionI.1
[0,∞)mitfolgendenEigenschaften:
(i) d(x,y)=0 ⇐⇒ x =y, x,y ∈X,
(ii) d(x,y)=d(y,x), x,y ∈X, (Symmetrie)
(iii) d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y), x,y,z ∈X; (Dreiecksungleichung)
(X,d)heißtmetrischerRaumundd(x,y)Abstandvonxundybzgl.derMetrikd.
Aus AnalysisI und Linearer Algebra 1 sind uns die Räume R oder C mit der durch
denAbsolutbetrag induziertenMetrikd(x,y) = |x−y|oderRn mitdereuklidischen
Metrik vertraut.Auf Rn gibt esaber nochandereArten,Abständezumessen,undes
gibtauchganzandersartigemetrischeRäume:
(i) Rn :=R×R×···×R(n-mal)mitdereuklidischenMetrik: BeispieleI.2
(cid:2)n
d(x,y):= (x −y)2, x =(x)n , y =(y)n ∈Rn;
i i i i=1 i i=1
i=1
2
I TopologischeGrundbegriffe
(ii) Rn :=R×R×···×R(n-mal)mitder„Manhattan“-Metrik:
(cid:2)n
d(x,y):= |x −y|, x =(x)n , y =(y)n ∈Rn;
i i i i=1 i i=1
i=1
(cid:3)
0, x =y,
(iii) eineMengeX mitderdiskretenMetrik d(x,y):=
1, x (cid:9)=y.
InverschiedenenSituationenkönnenunterschiedlicheMetrikenpraktischsein.Stellen
Siesichvor,SiebewegensichinderEbene,einmalauffreiemFeldundeinmalineiner
Stadt mit rechwinklig angelegten Straßen. Im ersten Fall können Sie die euklidische
Metrik(„Luftlinie“)verwenden,imzweitenFallistsievölligungeeignet!
VonunsererVorstellunginR2oderR3geleitetdenkenwirunsKugelnautomatisch
rund.Kugelnkannmanauchinallgemeinen metrischenRäumendefinieren,abersie
könnendannganzandereFormenhaben:
Bezeichnung. Sind(X,d)einmetrischerRaum,x ∈X undr >0,sodefiniere
0
B (x ):={x ∈X: d(x,a)<r},
r 0
K (x ):={x ∈X: d(x,a)≤r}.
r 0
ÜberlegenSiesich,wiedieMengenB (x )undK (x )fürdieverschiedenenMetriken
r 0 r 0
inBeispielI.2aussehen,undzeichnenSiesieauf(AufgabeI.1)!
ImWeiterenseinunimmer(X,d)einmetrischer Raum.Dergrundlegendste Be-
griff inderTopologieistdereineroffenenTeilmenge:
DefinitionI.3 Sind(X,d)metrischerRaum,A,U ⊂X unda∈X,soheißt
(i) U UmgebungvonainX :⇐⇒ ∃" >0: B"(a)⊂U,
(ii) ainnererPunktvonAinX :⇐⇒ ∃ UmgebungU vonainX: U ⊂A,
(iii) AoffeninX :⇐⇒ jedesa∈AistinnererPunktvonAinX.
a
a
B" (a)
B" (a)
A
U
U
Abb.1.1: UmgebungeinesPunktesundinnererPunkteinerMenge