Analysis I [Lecture notes]

195 Pages·2008·1.317 MB·German

by  Dirk Ferus

Analysis I
Prof. Dr. Dirk Ferus
Wintersemester 2006/07
Version vom 10.04.2008

Inhaltsverzeichnis
0 Literatur 5
1 Die reellen Zahlen 7
1.1 Die K¨orperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Die Anordnungsaxiome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Natu¨rliche Zahlen und vollst¨andige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Die komplexen Zahlen 21
3 Mengen und Abbildungen 24
4 Elementares u¨ber Funktionen 29
4.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Eine Buckelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Zwei wichtige Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Zahlenfolgen und Konvergenz 38
5.1 Konvergenz und Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Rechenregeln fu¨r konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Noch einmal Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Konvergenz in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 Stetigkeit 59
6.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Drei bedeutende S¨atze u¨ber stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7 Differentiation 72
7.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 Hyperbelfunktionen, Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.5 Die Regel von Bernoulli - de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.6 Die Stetigkeit der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 H¨ohere Ableitungen 97
8.1 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 Die Taylorapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.3 Lokale Extrema, Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.5 Arcus-Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.6 Die Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9 Integration 118
9.1 Das Regelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.2 Regelfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.4 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.5 Integrationsregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.6 Erg¨anzungen zur Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.6.1 Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.6.2 Integration komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.6.3 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.7 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10 Unendliche Reihen 152
10.1 Konvergenz von Reihen, geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2 Konvergenzkriterien fu¨r unendliche Reihen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.3 Konvergenzkriterien fu¨r unendliche Reihen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.4 Die Segnungen absoluter Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.5 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.6 Differentiation von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.7 Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.8 Die Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.9 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11 Ein Ausblick auf die Fourierreihen 182
Anhang 1: Darstellung reeller Zahlen 187
Anhang 2: Subtileres u¨ber die Stetigkeit 190
Anhang 3: Nullstellen von C∞-Funktionen 192
Anhang 4: Differentiation von Reihen 194
Anhang 5: Eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion 195
0 Literatur
Zur Analysis
M. Barner/F. Flohr: Analysis I. Walter de Gruyter.
O. Forster: Analysis I. Differential und Integralrechnung in einer Variablen. Vieweg.
H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. Teubner.
S. Hildebrandt: Analysis I, Springer 2002.
S. Lang: Analysis I, Addison-Wesley, 1968.
W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill 1964
Zum Aufbau des Zahlsystems aus den natu¨rlichen Zahlen
E. Landau: Grundlagen der Analysis, Leipzig 1930
Zur Geschichte der Mathematik (und der Analysis)
M. Cantor: Vorlesungen u¨ber die Geschichte der Mathematik, 4 B¨ande, um 1900
N. Bourbaki: Elements of the History of Mathematics, Springer
M. Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford Univ. Pres 1972
Die historische Entwicklung der Analysis wird in der heute u¨blichen (und auch in diesem
Skriptumgebotenen)Darstellungnurdannreflektiert,wennman“reflektieren”w¨ortlichals
“spiegeln”versteht.EinLehrbuchderAnalysismitderhistorischenReihenfolgeistdassehr
lesenswerte
E.Hairer/G.Wanner:AnalysisbyItsHistory,UndergraduateTextsinMathematics,Sprin-
ger 1995
Zur Integration durch elementare Funktionen
R. Risch: The problem of integration in finite terms. Trans. AMS 139 (1969), 167-189
M. Rosenlicht: Integration in finite terms. American Math. Monthly 9 (1972), 963-972
Das Griechische Alphabet
α A Alpha ι I Iota ρ P Rho
P
β B Beta κ K Kappa σ Sigma
γ Γ Gamma λ Λ Lambda τ T Tau
δ ∆ Delta µ M My υ Y Ypsilon
(cid:15),ε E Epsilon ν N Ny φ,ϕ Φ Phi
ζ Z Zeta ξ Ξ Xi χ X Chi
η H Eta o O Omikron ψ Ψ Psi
θ,ϑ Θ Theta π Π Pi ω Ω Omega

1 Die reellen Zahlen
Wir setzen die reellen Zahlen als gegeben voraus und schreiben zun¨achst auf, welche ihrer
Eigenschaften wir (ausschließlich) benutzen werden. Wir tun das in Form von Axiomen“,
”
die wir in drei Gruppen zusammenfassen:
1. Die Rechenregeln fu¨r Addition und Multiplikation (K¨orperaxiome).
2. Die Rechenregeln fu¨r Ungleichungen (Anordnungsaxiome).
3. DieVollst¨andigkeit.DieseGruppeenth¨altnureinAxiom,daswirbiszumAbschnitt5.1
zuru¨ckstellen. Es unterscheidet die reellen von den rationalen Zahlen und wird n¨otig,
wenn wir u¨ber Grenzwerte sprechen wollen.
Man kann auf einem sehr viel niedrigeren Niveau ansetzen, mit den sogenannten Peano-
Axiomen fu¨r die natu¨rlichen Zahlen und aus diesen die ganzen, rationalen und reellen Zah-
len konstruieren und ihre Eigenschaften beweisen; aber das kostet mehr Zeit, als wir zur
Verfu¨gung haben. Vergleichen Sie dazu das hu¨bsche Bu¨chlein von Edmund Landau.
7
1.1 Die K¨orperaxiome
Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen mit R. Wir setzen voraus, dass darin eine
Addition und eine Multiplikation gegeben sind, die je zwei reellen Zahlen a,b∈R eine neue
reelle Zahl a+b bzw. ab zuordnen und folgende Eigenschaften haben:
1. Axiome fu¨r die Addition
(A1) Fu¨r alle a,b,c∈R gilt
a+(b+c)=(a+b)+c. (Assoziativgesetz)
(A2) Es gibt eine eindeutig bestimmte Zahl 0∈R, so dass fu¨r alle a∈R gilt:
(i) a+0=a. (Neutrales Element der Addition)
(ii) Es gibt genau ein b∈R mit a+b=0. (Additives Inverses)
(A3) Fu¨r alle a,b∈R ist
a+b=b+a. (Kommutativgesetz)
2. Axiome fu¨r die Multiplikation
(M1) Fu¨r alle a,b,c∈R gilt
a(bc)=(ab)c. (Assoziativgesetz)
(M2) Es gibt eine eindeutig bestimmte Zahl 1∈R\{0}, so dass fu¨r alle a∈R gilt:
(i) a1=a. (Neutrales Element der Multiplikation)
(ii) Falls a6=0, gibt genau ein b∈R mit ab=1. (Multiplikatives Inverses)
(M3) Fu¨r alle a,b∈R ist
ab=ba. (Kommutativgesetz)
3. Distributivgesetz
(D) Fu¨r alle a,b,c∈R gilt
(a+b)c=ac+bc.
Das additive Inverse von a bezeichnen wir mit −a, das multiplikative Inverse mit 1 oder
a
a−1. Beachten Sie, dass nur fu¨r a 6= 0 ein multiplikatives Inverses existiert, so dass 1 nicht
0
erkl¨art ist.
StattderMengederreellenZahlenh¨attenwirzumBeispielauchdieMengeQderrationalen
Zahlen oder die Menge C der komplexen Zahlen nehmen k¨onnen, auch dafu¨r gelten die
vorstehenden Axiome. Allgemein nennt man eine Menge, in der eine Addition“ und eine
”
Multiplikation“ mit den obigen Axiomen erkl¨art sind, einen K¨orper.
”
Aus diesen Axiomen folgen die Ihnen vertrauten Rechenregeln fu¨r die beiden Grundrechen-
arten. Wir geben zwei Beispiele
Beispiel 1. Zun¨achst gilt
0c = (0+0)c=0c+0c. (1)
A2.i D
8
Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten 0c ab“.
”
0 = 0c+(−(0c)) = (0c+0c)+(−(0c)) = 0c+(0c+(−(0c))) = 0c+0 = 0c
A2.ii (1) A1 A2.ii A2.i
Also haben wir bewiesen, dass fu¨r alle c∈R
0c=0. (2)
Beispiel 2.
ab+(−a)b=(a+(−a))b = 0b = 0.
D A2.ii (2)
Andrerseits ist
ab+(−(ab)) = 0.
A2.ii
Aus der Eindeutigkeit im Axiom A2.ii folgt daher fu¨r alle a,b∈R
(−a)b=−(ab).
Weiter kann man beweisen, dass die Gleichung
ax=b
fu¨r a6=0 und beliebiges b genau eine L¨osung x hat, n¨amlich x=b(a−1), wofu¨r wir auch b
a
schreiben.
Ebenso schreiben wir a−b fu¨r a+(−b).
Weitere Beispiele fu¨r Rechenregeln, die aus den Axiomen folgen:
−(−a)=a,
a c ad+bc
+ = ,
b d bd
ab=0 =⇒ a=0 oder b=0,
(−a)+(−b)=−(a+b).
9
1.2 Die Anordnungsaxiome
Die Anordnungsaxiome regeln das Rechnen mit Ungleichungen. Wir setzen voraus, dass fu¨r
je zwei reelle Zahlen a,b ∈ R die Aussage a ist kleiner als b“, geschrieben a < b entweder
”
wahr oder falsch ist, und dass die folgenden Axiome gelten:
Anordnungsaxiome
(O1) Fu¨r alle a,b∈R ist genau eine der folgenden Aussagen wahr:
a<b, b<a, a=b. (Trichotomie)
(O2) Fu¨r alle a,b,c∈R gilt
a<b und b<c =⇒ a<c. (Transitivit¨at)
(O3) Fu¨r alle a,b,c∈R gilt
a<b =⇒ a+c<b+c. (Additive Monotonie)
(O4) Fu¨r alle a,b,c∈R mit 0<c gilt
a<b =⇒ ac<bc. (Multiplikative Monotonie)
Reelle Zahlen a mit 0<a heißen positiv, solche mit a<0 negativ.
Statt a<b schreibt man auch b>a und sagt b ist gr¨oßer als a“.
”
Man schreibt a≤b, gelesen a kleiner (oder) gleich b“, falls a<b oder a=b. Entsprechend
”
ist a≥b erkl¨art.
Wieder folgt aus diesen Axiomen eine Fu¨lle weiterer mehr oder weniger bekannter Regeln.
Beispiel 3. Wir zeigen
a>0 =⇒ −a<0.
Nach (O3) folgt n¨amlich aus der Voraussetzung 0<a, dass
0+(−a)<a+(−a),
also −a<0. Ebenso zeigt man
a<0 =⇒ −a>0.
Beispiel 4. Bei Multiplikation mit negativen Zahlen kehren Ungleichungen sich um:
x<y und a<0 =⇒ ax>ay.
Nach dem letzten Beispiel ist −a>0 und daher nach (O4)
(−a)x<(−a)y, d.h. −ax<−ay.
Nach (O3) k¨onnen wir dazu ax+ay addieren und erhalten
−ax+ax+ay <−ay+ax+ay,
also ay <ax wie behauptet.
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