Analysis für Fachoberschulen: Lösungsheft (gültig ab 4. Auflage 1998)

63 Pages·1999·3.98 MB·German

by  Karl-Heinz Pfeffer (auth.)

Karl-Heinz Pfeffer
Analysis
für Fachoberschulen
Lösungsheft (gültig ab 4. Auflage 1998)
7., vollständig überarbeitete Auflage
aI
vleweg
Friedr. Vieweg & Sohn, BraunschweigjWiesbaden
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Pfeffer, Karl-Heinz:
Analysis für Fachoberschulen: ein Lehr-und Arbeitsbuch zur modernen
Mathematik/ Karl-Heinz Pfeffer. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg
(Viewegs Fachbücher der Technik)
Lösungsh. [ab 4. Auf!.]. - 7., vollst. überarb. Auf!. - 1999
ISBN 978-3-528-64241-9 ISBN 978-3-322-91898-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91898-7
1. Auflage 1983
2 Nachdrucke
2., durchgesehene Auflage 1985
3., durchgesehene Auflage 1986
4., durchgesehene Auflage 1987
5., durchgesehene Auflage 1988
6., durchgesehene Auflage 1989
4 Nachdrucke
7., vollständig überarbeitete Auflage 1999
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1999
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ISBN 978-3-528-64241-9
1 Die reellen Zahlen
1.1 a) A = {1,2,3} b) 3 = f3,4,5} c) C = {1,2,3}
d)D={o,9} e)E={J f)F={O}
1.2 M-:'J={xI10~X<12}]lT; N-r={xI7~x<9}N
1.3 a) M:F'T={1,2,3,4~ b) N=[xI20<xhr
1.4 Lenge der ungeraden Zahlen: IJ ={ulu = 2n-1 ...... n€]lr}
3
r'enge der genrad en Zahlen: t; ={glg = 2nATI€JN
1.5 a) {o3 b) c) JN d)Lo}
n
e) {oi f) g) JI! h) 0
1.6 3) A={-2,-1,0,1,2] b) B={-5,-4,-3,-2,-1,0)
c)C={-17} d)D=[}
1.7 a) {-1,-2,-31 b) [xI1~X~3JJN
-z.*
1.8 a) {ol b) {23 c) d) {O)
e) JN f) {03 g) {03 h) {oi
[z.B. +s4-Z-J
1.9 "iinus n:3l minus gleich plus" (-2X-3)=
z+
1.10 3) {ol b) c) @ d) {o} e):JN f)Z-
1.11 3) ~ b) 2~ c)~ d) ?:r e ) 1161 f):±222
'eSr ) n293007 h) l2 i) 130336 J' ) 120011 k) 143 1) :!f
n
1.12 a) b)Gn c) d) JI e) {o} f) {oJ
t
g) I~ h) i) JN j) o} k) {oj 1) fol
1.13 Konstruktion mittels PYTHAGOR.~S
a) ( -(5) 2 = 22 + 12 b) (l/1Q)2 = 32 + 12
c) (-(i7)2 = 42 + 12 d) (V'18)2 = 42 + ('1/2)2
e) ("fi9)2 = 42 + (13)2 f) (-(2ö)2 = 42 + 22
g) (123)2 = 52 - (lf2)2 h) ('"1./3'2)2 = 62 _ 22
(Anm.: Für g) und h) muß mit dem f2,tLESKREIS gearbeitet
werden.)
1.14 a) halboffen b) offen c) halboffen
d) geschlossen e) halboffen f) halboffen
3
K.-H. Pfeffer, Analysis für Fachoberschulen
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999
1.15 a) Cl;~ b) [o;~ c )[-4-; ~
d)]-3;0[ e) ]0;3[ f)]-GI';+Q)[
g) [0;3 [ h) r-5;~ i) [2;5[
]-co;-3]Ur
1.16 ~i':m = ;2]U~;+(X)[
1.17 zum Beispiel ]4-;6[, J4-,5;5,6[ , ]4-,8;5,1[
1.18 a)J-2;0[ b)]-1,5;-0,5[ C)]-1 ,1 ;-0,9[ d)]-1 ,01 ;-0,99[
1.19 a) +7 b) +12 c) +4- d) +8
e) +1,75 f) +1 g) 3a (aE:ffi~) h) ~ (aem~)
- 3a (a Em-) - 2 (a Em-)
1.20 a) -1 b) 4- c) 2 d) 4-a e) 4-a f) 0
1.21 a) o für aE"m+, -2a für aem-
b) 2a .für a €:ffi~, 0 für a€:ffi-
c) o bzw. 2a
(Anm. : Fallunterscheidungen wie gehabt)
d) -2a bzw. 0
1.22 a) 10 b) 3 c) 3,25 d) ~
1.23 x=avx=-a; .für a,,1 ist x=1vx·-1.
1.24 a) a3 -3a2b+3ab2 _b3 b) a4-_4-a3b+6a2b2 _4-ab3 + b4-
c) a6 + 6a5b + 15a4-b2 + 20a3b3 + 15a2b4- + 6ab5 + b6
d) a7 - 7a6b + 21a5b2 _ 35a4-b3 + 35a3b4- _ 21a2b5 + 7ab6 _ b7
1.25 a) a3 +6a2 +12a+8 b) a3 _ 9a2 + 27a - 27
c) a 4-- 2a 3+, 22a .-22"1a+ 116 d) a 4- + 8a3 + 24-a2 + 32a + 16
e) 8a3 - 36a2 + 54-a - 27 f) i1j a 3 + 14 a 2 ... 61 a + 217
g) a4-+4-V2a3+12a2+8V2a+4- h) a4-_4-V2a3+12a2_8V2a + 4-
4:iä
1.26 a) a 4-- 4-a 2 + 6 -""""42-" + 41 ; b)a 5 -5a . a+1oa 4--1oa 3' iäa+ 5a 3 -a2· fäa
c) a 5 + 5a 3 Va + 1 aoa 2 + a1 0'Va + .2 + a - .22
3 6 2 _fa -l -3
d) a - a + 15a - 20 + 15a - 6a + a
1.27 a) 4-55 b) 120 c) 56 d) 21 e) 15
f) 4- g) 1 h) 2 i) 1 j) 1
1.28 a) 1 b) n c) n d) 1 e) n+1
1.29 a) (~)a7bO + (~)a6b 1 + (~)a5b2 + ••• + (~)a 1b6 +(~)aOb7
= a7 + 7aob + 21a5b2 + 35a4-b3 + 35a3b4-+ 21a2b5 + 7ab6+b7
4
b) e~)a 9bo _ e~)a8b 1 + e~)a 7b2 _ + ••• + (§)a1 b8 _ (§)aOb 9
= a9_9a8b+36a7b2_84a6b3+126a5b4_126a4b5+_ ••• +9ab8-b9
c) 64a6+192a5b+240a4b2+160a3b3+60a2b4+12ab5+b6
d) 11'ba4 -1b~a1 :>+1ba 2b 2-n2ab3 + 1ä14b
e) a4 + 4i2a3b + 12a2b2 + 8Y2ab3 + 4b4
f) a5 _ ;12a4b + 5 a3b2 - ~Y2a2b3 + iab4 - ~f2b5
1.30 a) x6 + 6x5 + 1 5x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1
b) -x11+11x10-55x9+165x8_330x7+462x6_462x5+330x4_+ •••
155 4 ,2352,2
c) 32 x + 1'b x + 4 x + 2 x + 2 x + 1
8 6 4 2 56 28 8 1
d) x -8x +28x -56x +70 -"2 + '4 - b + --S
x x x x
e) x 6 + 6x3 + 1 5 + 320 + b1 5 + ::6:g + 112
x x x x
f) x5 -1 ox4 ·VX + 45x4 - 120x3.Yx + 21 ox3 - 252x2:yX + 210x2
-120xYx + 45x - 10l'X +1
1.31 a) 84a3b6 b) 10626a4b20 c) -3240a7b3
d) 495a4b8 e)-10,5 a6 f) 7920 b4
1.32 a) 56 b) 45 c) 80 d) 216
1.33 a) n gerade: 212n + (~)an-2b2 + e~)an-4b4 + ••• + e~)aObn]
nungerade: 2 [ a n + e2n ) a n-2 b 2 +. •• + ( n-n1 ) a 1 b n-1J1
b ) n gerade: 2 r~; e1n ) a n-1 b 1 + e3n ) a n-3 b 3 + ••• + ( nn-1 ) a 1 b n-1]
nungerade: 2 rL.e; 1n ) a n-1 b 1 + (n3 ) a n-3 b 3 + ••• + (nn ) a 0 b nJl
1.34 a) ~ABC"'.6ABC (Reflexivität)
~ ABCI'VADEF ~ .,6DEF'" ~ABC e Syr.:rr.etrie)
A ABC"'~DEF und .6D:C:F"'~GHI=9AA:SC'" ~GHI (-rransiti=
vität)
; T2 = PP2v1 V2'1 r 1 b) a = -v-tv-o
RJ.2 RH'l
c ) f--b~+g d) R1 --R~2 - .rt ' rt2 = r=1 -R
1.36 a) x = 1 b) x,. 2 c) x = -3
1.37 a) D = E'{-1, o~ ; L={-5J b) D = :R'{-1, ;); L=bl
c) D=:R'{-1,+1}; L = {2\ d) D = JR'{o, 1}; L ={-1~
;,0,
e) D= 1R'{-~' ~}; L = (1~ f) D = :IR'{- ~J; L ={1J
5
1.38 a) x = 2, Y = 1 b)x=2,y=1 c)x=o,5;y=o,5
d)x=3,y=4 e) unterbestiJ:lIT.t 1') leere ('lenge
1.39 a) (2;3;4)1) b) (2;-3;-4) d) (S;4;-3)
1.40 a) x < 2 b) x< -2 , S c) x > -1 d) x >2
e) x>1,S 1') x >2 g) x>-3
1.41 a) D=JR""; L= E,(o;1J b) D=JRlI.; L=Jo;~[
c) D = JR'Io; L'" E'!:-1;0] d) D = JR,t1}; L = 11'\[1 ;2J
e) D=JR'(21; L= JR'[1;2] 1') D=E\t-~J; L= lR't3;-~]
1.42 a) D=JR,to,+41; L={xlx<-2V'0<x<4~
b) D= E't-1, o~; L={Xlx<-;::v-1<x<0}
c) D '" E'\0,+1~; L =(xlo <x <13
d) D=B'~-1,+13; L=(xlx<-?v-1<x<1}
e) D=B\{-1, ol; L={xlx<-1v-o,S<x<03
f) D = E'{-3, o~; L ={ xl-3 <: x< 0 }
1.43 a) {-5, +sj b) 1-2,+4} c) {.-1 ,-S~
d) \-2, +6~ e) {+2,-6) f) {+1,+7)
g) {o , ~ J h) l + 3, + 0 , S~ i) {+6, +1 ,2 j
1.44 3) -2<x<4 b) 2,S<x<3,S c) -7<x<+3
d) JR'[:l; 2J e) JR~-2,5;+1 ,5[ f) JR"j-1 ;+4[
1.45 3) JR't-1,5;+1,5] b) E'E-4;+2] c) :8'[-1;+5J
d) txl ~<x<; AX 13} e) {x 1-2<X<1Ax,!4j f) {x 1-3<X<1I\xl-1J
1.46 a) x<1 b) x<-0,5 c) JR't-1; oJ
d) (JR\.{1})'\.[-1;~] e) x >1 f) (JR'~1J)'-[0;~]
b) x1=-2, x2=3 c) x1=-1,5; x2=1
e) x1,2 = 3 f) x1 , 2 ~ JR
1.48 a) x(x-2) = 0 b) (X-1) (x-2) '" 0 c) (x+2) (x+3) = 0
d) (x+3)(x+3) = 0 e) (x-~XX+2)=0 1') (x-~Xx-~),.o
1.49 a) x2 - 8x + 1 5 '" 0 b ~ x2 + 9x + 2c '" 0 c) x2 - §3 x - 1 = °
d) x2 - 4)( ,. 0 e) x2 +4x+4 =0 f) x2_2ax+a2_b2 =0
, 1 1 1
1.50 a)c<1,c=1,c>1 b; c<ij:' c,. 4' c>ij:
c) c<*,c=*, c>* d) c>-3, c'" -3, c<-3
6
1.51 a) D,z E't2j; L=\-1o,+4} b) D .. E'\{-1 t +1~; L .. {-2, ~l
j,
c) n .. E'-{-2,01; L = {- 2\ d) D = E'{-1 ,0,+2~; L,.{-~,+1J
1.52 a) x=2 b) x=4 c) x .. 3
d) x,z ovx =-4 e) x .. 4 f) X = 5
1.53 a) -2<x<+2 b) 0<x<3 c) -1<x<+1
d) -3<x<+1 e) -3<x<-1 f) ~<x<2
1.54 a) JR b) JR'{-1, 03 c) JR'{- 21
d) JR'{-3; +~ e) E'~;~ f) JR'[2; E8
1.55 a) 2<x<3 b) JR'\[-1;2]
c) E'[1 ;2J; D= JR'{1 ,2~ d) {xlx>1V-3<x<-2J;D .. E'{-3,-2]
J
1.56 a) {xl x<-6vx;> 6v-1 <x<11JR b) {x 1- 2< x< +2 JR
c) JR'E-6; -~ d) ]2; 4(U]8;10[
1.57 a) 4 b) 4 c) 3 d) 1
e) -1 f) -3 g) -3 h) -2
1 j: " 1
i) 2I k) 2 1) 0
51 1 1 1
m) -2 n) -3 0) -2" p) :3
q) 1 r) ° s) m t) nI
1 1
1.58 a) x=1 b) x=-2" c) x=-2
d) x=34' e) x =-4 f) x,.1
1
g) x=6 h) x1 =-1, x2=3 i) x1=2' x2=5
1.59 a) x~1 ,72 b) x~1 ,36 c) x~1 ,59
d) x-;:::7,84 e) x~6,4 f) x::=:1 ,74
1.60 a) x .. -1 b) x=2 c) x=1 d) x .. 0
1.61 0) x1 = 0, x2 " 1 b) x1 .. 2, x2~ JR
c) x1 .. 0, x2 " 4 d) x1 .. -1 ,x2 .. 2
7
2 Funktionenlehre
2.1 a) !':xN = f (0; 3) , ( 0; 4) , (1 ; 3) , (1 ; 4 ) , (2; 3), (2; 4)}
N.x f'j = {(3 ; 0) , (3 ; 1 ) , (3 ; 2) , ( 4 ; 0) , ( 4 ; 1), ( 4 ; 2 )J
b) f.xN = {(3;1), (3 ;2),(3 ;3)}
NxfJl = {(1 ;3), (2;3), (3; 3)}
c) f'iICN = Nxl'; ={(1;1),(1;2),(1;3),(1;4), ••• , (4;3),(4;4)!
n
d)
2.2 AxB = {(-2;1) ,(-2;2) ,(-1 ;1) ,(-1 ;2) ,(0;1), ••• ,(1;1),(1 ;2)}
2.3 a) 12 b) 1 u. 16, 2 u. 8, 4 u. 4 c) IMXNI= IMI'INI
2.4 Graph v. fixN Graph v. NxM
y Y, - ..
11
3 * " ..
.1, .",. ~.. ..I.P
.,
0 :I 3 'tEN
2.5 a) b) c)
y Y Y<r
3 It ... .* *' ,.. * 11 "* ,) .
2 11 11 •• *
" It • .. ,".. "* 11 1~1 ftL. of
,. ..
0 • ". )C -2 ..., L 3 )( X
..!f lI- 14 11 11 -i
~ '" ".. ~ It -~
-s 11 It It
y ..
d) e) >' -
2.
-~ -1 _< f ~ 3 X s K
-1
A -L
-l
(t-iinweis: Das Symbol c steht für
L ü c k e n im Graphen)
2.6 ;:';s ergibt sich eine =techteckfläche
2.7 a)'fE'I ~ 11 11 l' ~ b) analog a), jedoch ~rweiterung auf
,.. I' 11- .I.f .,... positive x-~chse ~nd den 4. lU3=
" dranten. .
~ l'
* " " " c) analog a), jedoch ~rweiteruns auf
" It XEH pos. y-~chse u. 2. Juadranten.
8
K.-H. Pfeffer, Analysis für Fachoberschulen
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999
d) analog a), jedoch ~rweiterung auf beide Koordinaten=
achsen sOl"ie 2., 3. und 4. ·~uadranten.
e) Parallelen zur Y-ichse einschließlich dieser
f) Parallelen zur x-,\chse einschließlich dieser
;::;) 1ie Gescuntheit aller Punkte der x,Y - Ebene
I
i)
r~f
h)
2.8 a) Fkt.-Graphen: (a),(h),(d),(f),(P:),(i),(k),(l)
b) (a) IR (unecht), (b){1) (echt), (e) IR (echt)
(0) TR;(echt), (e) IR (unp.cht),(f) IN (unecht)
(~) IN 1 (echt), (h) IR (echt), (i) IR:(echt)
[0;1]
(j)[-1;+'!J(echt), (k) (echt),(!) wie (k)
2.9 a) JR'\1} b) R,H) - c) R'(-1,+1} d) R
e) E'~-1,+1) f) E'{-1,+2J g) JR'{-1,+4~ h) E
i) R* j) E'{-4,+~ k) JR"
2.10 a) :R-JR b) E ~ JR+ c) :R-t-2 ;o:>[
o
d) R_{-1,+13 e) :R_]-co;+"!l f) E"-JR"
g) E_JR+ h) E--E-1; +1] i) wie h)
2.11 a) \xlx~13JR b) txlx!: 1!JR c) !xlx!!i-1\JR
d) {xlx~1~JR e) E f) E'-[-1;2]
>21
g) {XIX::>'1}JR h) {xIx > ~JJR 1) (xllx( JR
2.12 a) {xlx>21JR b) \xlx>-1JR
d) {x\x21JJR e) E+'{1~
2.13 V = 0 (sowie negative :Jerte); der Druck p würde unendJ:ich
("über alle ~]aßen") groß werden
;2.14 ol..= 11'+. Würde cJ.. = 0 angestrebt, träten unendlich große
Seilkräfte auf: das Seil würde reißen!
b) Kein Körper kann sich mit Licht=
geschwindigkeit fortbewegen; sei~e
l'iasse würde "über alle I'jaßen" an=
wachsen.
9
2.16 siehe Abbildung
y y
2.17 a) 71, 6 ~
26,60
36,9
0
53,1
b) x-Achse
c) ';)0°"'0-"::: 180°
(tanv.c::: 0)
2.18 a) 135° b) 116,6° c) 126,9° d) 168,7
Der Graph v. f 5 wird 2. Winkelhalbierende genannt.
°
2.19 a) Y=22. x b) Y=-31' x (0"'=161,6)
f
c) tan 30° = ~V3, somit Gerade gEY = x; P.P. mit rt!
2.20 a) 26,6° b) 8,13° c) 8,13° d) 90°
2.21 a) 45° b) 153,4° c) 128,'7°
1
2.22 a) Y=3'x-2
b) Y=-tx + 2
1
c) y=-6x - 2"
2.23 5 c
a) Parallelität b) Y '" 4"x + ij:
Graph von f: x _ ~ x - ~ mit eing;eschränktem Defini ti=
onSbereiC;y+ h: ~
2.24 a) < ....-: .. b) 1
2.25
2.26
10