Analysis Band 2: Ein Lernbuch

386 Pages·2004·10.537 MB·German

by  Prof. Dr. Ehrhard Behrends (auth.)

Ehrhard Behrends
Analysis
Band 2

Ehrhard Behrends
Analysis
Band 2
Ein Lernbuch
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vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Ehrhard Behrends
Fachbereich Mathematik und Informatik
Freie Universität Berlin
Arnimallee 2 -6
14195 Berlin
E-Mail: [email protected]
1. Auflage April 2004
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn VerlaglGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004
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In diesem Buch sind eine Reihe von Bildern von Mathematikern enthalten. Autor und Verlag
gehen davon aus, dass die Rechte frei verfügbar sind.
UmschlaggestaItung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
ISBN 978-3-528-03200-5 ISBN 978-3-322-91577-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91577-1
Timm Rometzki Ehrhard Behrends Tina Scherer
Jörg Beyer Vivian Rometzki
Sonja Lange Martin Götze
Vorwort
In diesem zweiten Band der Analysis soll die Welt der Grenzwerte, Ablei
tungen und Integrale weiter untersucht werden. Im Unterschied zum ersten Teil
können wir uns nun ganz auf die analytischen Konzepte und Tatsachen kon
zentrieren, denn die allgemeinen mathematischen Fragen (" Wie schreibt man
einen Beweis auf?", "Was bedeuten die logischen Symbole?", ... ) wurden schon
behandelt.
Das Buch besteht aus weiteren vier Kapiteln. Am Ende sollten Sie alles
kennen gelernt haben, was heute nach allgemeiner Überzeugung zu den grund
legenden Ideen der Analysis gehört und in Vorlesungen höherer Semester vor
ausgesetzt wird. In Kurzfassung geht es um die folgenden Themen:
• Funktionenräume: Was bedeutet es, wenn eine Funktion eine andere ap
proximiert? Welche Eigenschaften bleiben bei Approximationen erhalten?
• JIn:t egration: Wie kann das (den meisten aus der Schule bekannte) Integral
f (x) dx mathematisch streng definiert werden?
Ausgehend von der Frage, wie man krummlinig begrenzte Flächen messen
kann, wird die Integrationstheorie in Kapitel 6 systematisch entwickelt. In
Kapitel 7 wird dann gezeigt, dass sich damit viele interessante Folgerungen
ergeben. Auch für Fragen, die mit Flächenmessung nichts zu tun haben.
• Mehrere Veränderliche: Wie modelliert man Situationen, in denen eine
Größe von mehreren Eingangsgrößen abhängt? Wie kann man wieder mit
Erfolg "im Kleinen" einfache lineare Approximationen verwenden?
Neben den Standardthemen werden auch Fragen behandelt, die man in anderen
Analysisbüchern nicht findet. Warum ist es zum Beispiel auch für die intelligen
testen Mathematiker nicht möglich, gewisse Integrale geschlossen auszuwerten?
Das Konzept von Band 1 ist beibehalten worden: Neue Begriffe werden
ausführlich motiviert, vor komplizierten Beweisen wird die Struktur erläutert,
und man findet im Text und nach jedem Kapitel zahlreiche Verständnisfragen,
in denen auf die wichtigsten Punkte noch einmal eingegangen wird.
Auch gab es wieder eine produktive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von
Studierenden, für die das erste Kennenlernen der Analysis noch nicht lange
zurückliegt. Durch das Einarbeiten ihrer Erfahrungen sollten alle Anfänger
schwierigkeiten berücksichtigt sein.
Ehrhard Behrends, Berlin (Frühjahr 2004)
Einleitung
Im Laufe der Zeit hat sich herausgestellt, welche grundlegenden Tatsachen
in fast allen Teilbereichen der Mathematik eine Rolle spielen, rund um unseren
Globus sind die Anfängervorlesungen daher sehr ähnlich strukturiert. Insbeson
dere gibt es Standards für die Analysis: Von allen Mathematikern dieser Welt
wird die Kenntnis der wichtigsten Ideen rund um Limites, Differentiation und
Integration vorausgesetzt. Auf die Themen, die in Band 1 noch nicht besprochen
wurden, wird hier in vier Kapiteln eingegangen werden. Der Inhalt des vorlie
genden zweiten Bandes der Analysis kann wie folgt zusammengefasst werden.
Zunächst behandeln wir in Kapitel 5 noch einmal Funktionen. Diesmal geht
es aber nicht darum, einzelne Funktionen zu definieren oder zu untersuchen. Es
soll vielmehr präzisiert werden, was es bedeuten könnte, dass eine Funktionen
folge gegen eine Funktion konvergiert. Es gibt dafür eine Reihe von sinnvollen
Möglichkeiten, wir kümmern uns hauptsächlich um punktweise Konvergenz und
gleichmäßige Konvergenz. In den Anwendungen wird dabei häufig die Frage
wichtig, welche analytischen Eigenschaften dabei erhalten bleiben. Wir werden
(unter anderem) beweisen, dass gleichmäßige Limites stetiger Funktionen wieder
stetig sind.
Gleichmäßige Konvergenz kann als Konvergenz in einem geeigneten normier
ten Raum interpretiert werden, dabei ergibt sich im Fall stetiger Funktionen
sogar ein vollständiger Raum. Da die Tragweite von Kompaktheitsschlüssen
schon in Band 1 hinreichend deutlich geworden sein sollte, ist die Frage nahe
liegend, wie man kompakte Teilmengen derartiger Funktionenräume charakte
risieren kann. Das ist auf überraschend einfache Weise möglich: Der Satz von
ARZELA-AscOLI besagt, dass die Charakterisierung beinahe genauso ist wie im
endlich-dimensionalen Fall.
Im letzten Abschnitt des Kapitels werden dann einige berühmte Resultate
bewiesen, die sich auf vollständige metrische Räume beziehen: Der Banachsche
Fixpunktsatz, der Cantorsche Durchschnittssatz und der Bairesche Kategorien
satz. Diese Resultate in Kombination mit der Vollständigkeit der wichtigsten
Funktionenräume lassen überraschende und tief liegende Folgerungen zu, einige
werden dann auch in späteren Kapiteln bewiesen werden.
Kapitel 6 ist der Integration gewidmet, sie wird hier aus dem Problem der
Flächenmessung entwickelt. Naiv könnte man meinen, dass der Begriff "Fläche"
intuitiv klar ist. Das Problem ist jedoch komplizierter, wir werden auf die
Schwierigkeiten hinweisen und dann die Theorie des Riemann-Integrals syste
matisch entwickeln.
Im ersten Anlauf wird das Problem zwar theoretisch gelöst werden, es ist
damit jedoch noch nicht möglich, für konkret gegebene Funktionen das Inte
gral auch wirklich auszurechnen. Diese Schwierigkeit wird durch den Hauptsatz
der Differential- und Integralrechnung ausgeräumt, danach ist Integrieren so et
was wie die Umkehrung des Differenzierens. Folglich können alle Ergebnisse zur
Differentiation hier nutzbar gemacht werden.
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Einige führen zu sehr wirkungsvollen Verfahren, etwa zur partiellen Integra
tion und zur Integration durch Substitution.
In den nächsten Abschnitten von Kapitel 6 wird der Integralbegriff erweitert,
auch werden Funktionen näher untersucht, die durch Integrale definiert sind.
Das Kapitel schließt mit der Diskussion eines tief liegenden Ergebnisses, durch
das die Grenzen unserer theoretischen Möglichkeiten beim Integrieren aufgezeigt
werden. Es wird bewiesen werden, dass man für gewisse - sogar recht einfache
- Funktionen auch mit den ausgefeiltesten Methoden keine Stammfunktion ex
plizit angeben kann. Ein berühmtes Beispiel, das wir auch behandeln werden,
ist die Funktion ex2•
Integration war über das Problem eingeführt worden, gewisse Flächen zu
messen. Tatsächlich macht diese Frage nur einen Bruchteil der Bereiche aus,
in denen Integration eine wichtige Rolle spielt. Das soll in Kapitel 7 deutlich
werden. Wir diskutieren eine Reihe von Fragestellungen aus verschiedenen Teil
gebieten der Mathematik, bei denen Eigenschaften des Integrals eine Schlüssel
rolle beim Auffinden der Lösung spielen. Wir behandeln Approximationen von
beliebigen Funktionen durch solche mit speziellen Eigenschaften, eine weitere
Formel für das Restglied in der Taylorformel sowie das Problem, die Länge von
Kurven zu bestimmen. In späteren Abschnitten geht es um Zahlentheorie (unter
anderem wird dort gezeigt, dass e transzendent und 1f irrational ist), um das
Lösen von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplacetransformation und um
grundlegende Existenzsätze für Lösungen von Differentialgleichungen.
Im letzten Kapitel wird die Theorie der Funktionen in mehreren Veränder
lichen behandelt. Solche Funktionen spielen immer dann eine Rolle, wenn eine
Größe nicht nur von einem Parameter, sondern von mehreren Eingangsgrößen
abhängt: Denken Sie etwa an die Wurfweite eines geworfenen Balles als Funk
tion der Abwurfgeschwindigkeit und des Abwurfwinkels. Diese Theorie nutzt
ganz wesentlich Methoden der Linearen Algebra aus. Das, was man darüber
wissen muss, wird im ersten Abschnitt zusammengestellt. Wir behandeln die
Hauptsätze der Theorie, am Ende des Kapitels kann man Extremwertaufgaben
in mehreren Veränderlichen lösen (auch mit Nebenbedingungen), kann mit dem
Satz von der inversen Abbildung die Ableitung inverser Funktionen berechnen
und Funktionen untersuchen, die implizit definiert sind.
Soweit der Inhalt in Kurzfassung. Unterschiede zu anderen Analysis-Büchern
gibt es in den folgenden Punkten:
• Das Buch ist in enger Zusammenarbeit mit Studierenden entstanden, die
ihre Analysisausbildung noch in lebhafter Erinnerung haben. Folglich wur
de besonderer Wert darauf gelegt, auf die Schwierigkeiten einzugehen, die
üblicherweise beim ersten Kennenlernen auftreten. Deswegen gibt es auch
sehr ausführliche Motivationen, und kompliziertere Beweise sind so aufge
schrieben, dass die Struktur auch für Anfänger durchschaubar sein sollte .
• Um das Verständnis und das Lernen im Zusammenhang mit späteren
Prüfungsvorbereitungen zu erleichtern, sind für jedes Kapitel wieder Ver-
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ständnisfragen aufgenommen worden: Was sollte man wissen, was sollte
man können? Wer die meistert, kann Vordiplom- und Zwischenprüfung
gelassen entgegensehen.
Als Unterstützung des Verstehens beim Durcharbeiten sind auch wieder
eine Reihe von direkten Fragen an die Leser in den Text eingearbeitet.
Sie sind durch ein,,?" am Rand markiert, die Antworten sind am Ende ?
des Buches zusammengestellt.
Es gibt auch Übungsaufgaben: Allen ist dringend ans Herz gelegt, sich mit
ihnen auseinander zu setzen. Mit der Mathematik ist es nämlich wie beim
Klavierspielen, Reiten und Skifahren: Man lernt es nicht durch das Lesen
von Büchern, sondern durch die selbstständige Auseinandersetzung mit
den auftretenden Problemen.
• Die Antworten auf die Verständnisfragen und die Lösungen zu den Übungs
aufgaben findet man auf der Internetseite
http://www.math.fu-berlin.de/-behrends/analysis.
Dort können Sie auch Fragen stellen (falls trotz aller Bemühungen etwas
unklar geblieben sein sollte), Anregungen für die nächste Auflage geben
usw.
• fuhaltlich ist alles enthalten, was man von einem Analysisbuch erwar
ten darf. Es gibt aber wesentlich mehr, Sie werden viele Informationen
finden, die erst in späteren Semestern wichtig werden oder einfach nur in
teressant sind: Feinheiten zur punktweisen Konvergenz, Existenzsätze für
vollständige metrische Räume, Laplacetransformation, Ergebnisse aus der
Zahlentheorie (u.a.: die Eulersche Zahl e ist transzendent), Englisch für
Mathematiker, ...
Um allen Lesern den Unterschied zwischen "Pflicht" und "Kür" deutlich
zu machen, sind die Themen, deren genaues Studium man sich für später
°
aufsparen kann, durch das Zeichen ,,0" markiert.
An dieser Stelle möchte ich allen herzlich danken, die mich beim Schreiben
der Analysis 1 und der Analysis 2 unterstützt haben. Ganz besonders gilt das
für Jörg Beyer, Martin Götze, Sonja Lange, Timm und Vivian Rometzki und
Tina Scherer. Sie haben die jeweils erste Fassung mit den Augen eines Studien
anfängers gelesen. Dadurch konnten viele Erläuterungen und Übungsmöglich
keiten zusätzlich aufgenommen werden, um die ersten Schritte zu erleichtern.
Mein Dank geht auch an Dirk Werner: Er war immer ein geduldiger und
kompetenter Ansprechpartner, ich denke auch gern an die Zusammenarbeit beim
Schreiben des Beitrags "Englisch für Mathematiker" zurück.
Ehrhard Behrends, Berlin (Frühjahr 2004)
Inhaltsverzeichnis
5 Funktionenräume 1
5.1 Funktionenräume 2
Algebraische und Ordnungsstrukturen auf Funktionenräumen, Räume stetiger und
differenzierbarer Funktionen.
5.2 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . .. 4
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Beispiele, Eigenschaften, die im Limes
erhalten bleiben, Satz von DINI, punktweise Konvergenz ist nicht metrisierbar",
Topologie der punktweisen Konvergenz".
5.3 Der Raum CK ................... . 22
Supremumsnorm, CK ist vollständig, gleichgradige Stetigkeit, Satz von Arzela
Ascoli.
5.4 Vollständigkeit: Folgerungen 37
Banachscher Fixpunktsatz, Cantorscher Durchschnittssatz" , Mengen erster und
zweiter Kategorie", Bairescher Kategoriensatz" , "fast alle" stetigen Funktionen
sind nirgendwo differenzierbar".
5.5 Verständnisfragen . 47
5.6 Übungsaufgaben 50
6 Integration 53
6.1 Definition des Integrals. 58
Integration als Problem der Flächenmessung, Treppenfunktionen und ihr Integral,
Riemann-Integral, Eigenschaften des Riemann-Integrals, Mehrfach-Integrale.
6.2 Die Berechnung von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93
Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung, partielle Integration, Integration
durch Substitution, Integration durch Partialbruchzerlegung.
6.3 Erweiterungen der Integraldefinition . . . . . . . . ... 114
Das Integral für komplexwertige Funktionen, uneigentliche Integrale, Gamma
Funktion" , Cauchyscher Hauptwert" .
6.4 Parameterabhängige Integrale . . . . . . . . . . . . ... 126
Partielle Ableitungen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit parameterabhängiger In
tegrale, Differentiation unter dem Integral, gebrochene Ableitungen".
6.5 LP-Normen".............................. 140
LI-Norm, Halbnormen, LP-Normen, Höldersche Ungleichung, Minkowskische Un
gleichung.