Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni Von Studenten mitentwickelt

374 Pages·2011·52.164 MB·German

by  Prof. Dr. Ehrhard Behrends (auth.)

Ehrhard Behrends
Analysis Band1

Ehrhard Behrends
Analysis
Band 1
Ein Lernbuch für den sanften Wechsel
von der Schule zur Uni
Von Studenten mitentwickelt
5., überarbeitete und erweiterte Auflage
STUDIUM
11
VIEWEG+
TEUBNER
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Prof.Dr.EhrhardBehrends
Fachbereich Mathematikund Informatik
FreieUniversitätBerlin
Arnimallee 2-6
14195Berlin
[email protected]
Online-Service: www.math.fu-berlin.de/-behrends/analysis
1. Auflage 2003
2.,verbesserteAuflage 2004
3.,verbesserte Auflage2007
4.,aktualisierte Auflage2009
5.,überarbeitete underweiterteAuflage2011
AlleRechtevorbehalten
©Vieweg+TeubnerVerlag ISpringer FachmedienWiesbadenGmbH2011
Lektorat: UlrikeSchmickler-Hirzebruch IBarbaraGerlach
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www.viewegteubner.de
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Umschlaggestaltung:KünkelLopkaMedienentwicklung, Heidelberg
Umschlagmotiv: EhrhardBehrends
Druck undbuchbinderischeVerarbeitung: AlDruck und Datentechnik GmbH,Berlin
Gedrucktaufsäurefreiem undchlorfrei gebleichtem Papier
Printed inGermany
ISBN978-3-8348-1713-6
Vorwort
Zunächst:Herzlichen Glückwunsch zuIhremEntschluss,Mathematikzustu
dieren.Siehaben sichein Fach ausgesucht, das Sieein ganzes Leben lang faszi
nieren kann und das gleichzeitig interessanteund gut bezahlte Berufsperspekti
ven eröffnet.
Zu Beginn des Studiums stehen zwei Bereiche im Vordergrund, einmal die
Analysis,inder esumFragenimZusammenhangmit Grenzwerten,Differential
und Integralrechnung geht, und dann die Lineare Algebra,in der Sie Grundle
gendes über Vektorräume und die Verbindungen zur analytischen Geometrie
und dem Lösen von Gleichungssystemen lernen.
Beides zusammen ist soetwas wiedas Alphabet, das alle kennen müssen, die
sich ernsthaft mit Mathematik auseinandersetzen wollen.
Im vorliegenden Buch geht es um die Analysis, es ist aus einem Skript ent
standen, das schon mehrfach die Grundlagefür Vorlesungen an der Freien Uni
versität Berlin gewesen ist. Bei der Ausarbeitung spielte die engagierte Mit
wirkungeiner Gruppe von Studierenden eine ganz wesentliche Rolle. Durch sie
wurden zahlreiche Anregungen zusätzlich aufgenommen, damit das im Unterti
tel anvisierte Ziel,der "sanfteÜbergang", auch wirklich erreichtwird. Aufdiese
Weisehat das Buch soetwas wieein Studentenzertifikat.
Die ausführlichen Erläuterungen betreffen nicht nur die Analysis, eswerden
auch Problemebehandelt, diesichganz allgemein rund um das Mathematikstu
dium ergeben: Wie schreibt man einen Beweisauf? Was bedeuten die logischen
Zeichen?Wie wird Mathematik angewendet?
Viel Erfolg bei Ihrem Studium!
Ehrhard Behrends, Berlin (Frühjahr 2003)
Vorwort zur fünften Auflage
Mittlerweilesind dieerstenvierAuflagen ausverkauft. Es freut michwirklich
sehr, dass das Buch so gut angenommen wird. Wie sehr es den Lesern gefällt,
merke ich auch an den sehr positiven bis euphorischen E-Mail-Zuschriften, die
mich hin und wieder erreichen.
Die vorliegende fünfte Auflage ist noch einmal systematisch durchgesehen
worden. Es gibt auch eine umfangreiche Ergänzung: In Kapitel 2.5wird einwei
tererWegskizziert,diereellen Zahlen zukonstruieren.Man geht vonder Menge
der Dezimalzahlen aus, esist dann aber zunächst alles andereals offensichtlich,
wieman Addition und Multiplikation einführen soll.
Ehrhard Behrends, Berlin (April 2011)
Einleitung
Esgehtnichtanders,lieberTörleß,dieMathematikist eineganzeWelt
für sich, undmanmuß reichlichlangein ihrgelebt haben, um alles zu
fühlen, was in ihrnotwendigist.
(aus: "DieVerwirrungendes ZöglingsTörleß" von Robert Musil.)
Wennjemandwissenwill,wieeinRadiofunktioniert, sokann ersichineinem
kleinen Vortrag darüber informieren lassen, wie man Transistoren, Kondensa
toren usw. zusammenlöten muss, um die Radiosignale des Senders in hörbare
Musikzuverwandeln. AufdieAnschlussfrage"Wie funktioniert ein Transistor?"
müsste ein Kurzreferat zur Festkörperphysik folgen, schnell ist man bei der
Quantenmechanik und den Grenzen des gegenwärtigen Wissens im subatoma
ren Bereich.Stets lässt sich eine weitere "Warum?"-Fragestellen, ein Ende des
Weiterfragens gibt esnicht.
In der Mathematik ist es ähnlich; um trotzdem mit der Arbeit anfangen
zu können,geht man von Axiomenaus. Ein Axiom ist ein Ausgangspunkt, der
nicht mehr hinterfragtwird;dieIdee,aufdieseWeiseeinbelastbaresFundament
der Mathematik zuschaffen, wurde erstmals vor über 2000Jahren von EUKLID
verwirklicht. Beiihm ging esum Geometrie,in diesem Buch werden Zahlen die
Hauptrolle spielen.
Ausgangspunkt der Analysis wird eine axiomatische Festlegung der Eigen
schaften der reellen Zahlen sein,das wollenwir in Kapitell in Angriffnehmen.
Am Ende dieses Kapitels wird klar sein, was wir unter der "Menge der re
ellen Zahlen" verstehen wollen. Dazu muss man einige "Vokabeln" lernen, die
ausführlichmotiviertund erläutertwerden:Menge,Addition,... Außerdem wer
denschondieerstenFolgerungenausden Axiomengezogen,Sielernen dieersten
Sätze und Beweise kennen. Dazu ist ein Exkurs in Logik notwendig; von dem
Wort sollte sich aber niemand erschrecken lassen,denn es ist nichts weiter er
forderlich alsdie Übertragung des gesunden Menschenverstands in den Bereich
der Mathematik.
InKapitel2beschäftigenwiruns dannausführlichmit dem Grenzweribegriff.
Der ist fundamental für die gesamte Analysis, wirklich alles, was folgt, baut
daraufauf.SiealsAnfänget-IhabendasgroßeGlück,ihnineinervergleichsweise
gut verständlichenForm kennen lernen zu können. Das war nicht immer so, bis
zum 19. Jahrhundert war man auf eine mehr oder weniger gut funktionierende
Intuition angewiesen, um mit den "unendlich kleinen Größen" sinnvoll arbeiten
zu können. Rund um den Grenzwertbegriffwird von einigen damit zusammen
hängenden Begriffen die Rede sein, wieFolgen,Reihen, Cauchy-Folgen usw.
Kapitel 3ist den Themen "Abstand" und "Stetigkeit" gewidmet. Oft ist es
nämlich so, dass man mit Zahlen oder Funktionen arbeiten muss,die man nur
ungefähr kennt. Statt mit der "richtigen" Zahl/Funktion muss man mit einer
llNatUrlich sind Anfängerinnen ebenfalls gemeint. Diese Bemerkung gilt sinngemäß auch
für die vielen anderen Stellendieses Buches, an denen Siepersönlich angesprochen werden.
Vlll
arbeiten, die in der Nähe liegt, z.B. statt mit ,j2mit der Approximation 1.414.
Hat das zu große Fehler für das Endresultat zur Folge?
Der geeignete Rahmen für die Behandlung dieser Fragenist der Begriffdes
metrischen Raumes, damit wird in Kapitel 3 begonnen. Wir beschäftigen uns
zunächstmit der ÜbertragungdesKonvergenzbegriffs und mitoffenenund abge
schlossenen Mengen.Dann studierenwir Kompaktheit.Das ist ein für Anfänger
etwas schwieriger zugänglicherBegriff,Motivation und Aufbau werden dement
sprechend besonders ausführlich sein.
Und am EndedesKapitels behandelnwir"stetige Funktionen", das sind Ab
bildungen, dienahe beieinanderliegende Objekteaufebenfalls nahe beieinander
liegende abbilden. Bei dieser Gelegenheit wird auch etwas über mathematische
Modellegesagt werden: Wie wirdMathematik in der "richtigen" Welt angewen
det?
Kapitel4knüpft wieder an ein Themaan, das Ihnen aus der Schulevertraut
ist, es geht um die Differentiation. Das Kapitel beginnt mit der Formalisierung
der Idee, dass "differenzierbarbei xo" für eineFunktion j bedeutet, dass sie"in
der Nähe von xo" durch ihre Tangente ersetzt werden darf. Es handelt sich um
eine Eigenschaft mit weit reichenden Konsequenzen, insbesondere werden wir
die Mittelwertsätze kennen lernen.
Dannist esZeit, sich umein fast unerschöpfliches Reservoir konkreterFunk
tionen zu kümmern, um Potenzreihen. Das sind Funktionen, die sich aus den
einfachsten Bausteinen für das Arbeiten mit Zahlen, also aus ,,+", "." und
Grenzwertenaufbauen lassen.Potenzreihen werden gleich angewendet, um eini
ge spezielle, für konkrete Rechnungen wichtige Funktionen - Exponentialfunk
tion, Logarithmus und trigonometrische Punktionen- kennen zu lernen. Damit
ist dann der Weg frei, um einige einfache Typen von Differentialgleichungen
zu lösen. Differentialgleichungen sind deswegen wichtig,weilsie arn Ende vieler
mathematischer Modellierungen stehen, der Grund ist die Tatsache, dass vie
le Phänomene allein durch Nahwirkungs-Einflüsse beschrieben werden können.
Außerdem wird gezeigt, wie sich aus der Existenz beliebiger Wurzeln im Be
reich der komplexen Zahlen der Fundamentalsatz der Algebramit analytischen
Mitteln herleiten lässt.
Ich möchte Sienoch aufeinige Besonderheiten aufmerksam machen,die Ih
nen das Durcharbeiten des Buches erleichtern sollen:
• Am Ende jedes Kapitels finden Sie Übungsaujgaben. In der Mathematik
ist es nämlich wie beim Geige spielen, Ski fahren, Schnürsenkel binden:
AusBüchernallein kann man esnicht lernen,man mussesselber gemacht
haben. Mit hoher Wahrscheinlichkeit klappt es nicht gleich beim ersten
Mal perfekt. Deswegen haben wir für Sie einige Musterlösungen auf der
Internetseitehttp://Y'wnl.math.fu-berlin.derbehrends/analysisins
Netz gestellt.
• Jedes Kapitelschließt mit einer Reihe von Verständnisfragen. Wassollten
Sie nach dem Durcharbeiten kennen, was sollten Sie können? Antworten
sind natürlich auch vorbereitet,die stehen ebenfalls im Internet.
IX
• Es gibt am Anfang eines Mathematik-Studiums ziemlich viele neue Be
griffe, die man verinnerlichen muss. Deswegen ist versucht worden, das
schnelle Finden von Informationen durch Ausnutzen der Randspalten zu
erleichtern. Sie finden Stichpunkte zum behandelten Stoff sowie ? (das
wird gleich nachstehend erläutert).
• Um Ihnengleichbeim Lesen aktivesMitdenkenzuermöglichen,gibtesim
Text zahlreiche Fragen an die Leser. Die sollten Sie ohne große Schwie
rigkeiten beantworten können, der Schwierigkeitsgradliegt deutlich unter
dem von Übungsaufgaben. Siesind am Rand durch ein ? gekennzeichnet, ?
die Lösungen sind im Anhang zusammengestellt.
• Ist immer noch nicht alles klar? Auf der Internetseite gibt es auch die
Möglichkeit, mit uns in Kontakt zu kommen: für Fragen, für Kritik (Lob
ist auch nicht verboten), für Vorschläge usw.
• Es wird auch berücksichtigt werden, dass Computer heute eine wesentli
che Rolle spielen. Dazu gibt es zwei Anhänge. Im ersten finden Sieeinige
kurze Informationen über Computeralgebra-Systeme, das sind - teilweise
sehr komplexe - Programme, durch die man sich analytische Sachver
halte veranschaulichen lassen kann und die einem z.B. das Differenzieren
komplizierter Funktionen oder die Berechnung von Integralen abnehmen
können. In einem zweiten Anhang wird dargestellt, warum das Internet
für Mathematiker ein unverzichtbares Arbeitshilfsmittel ist, Siesollten es
so bald wiemöglich nutzen.
Wie schon erwähnt, sind in dieses Buch die Erfahrungen einiger Studieren
der beim Lernen der Analysis eingegangen. Martin Götze, SonjaLange,Timm
Rometzki und Tina Scherer haben sie bei mir von Anfang an gehört, JörgBey
er und Vivian Rometzki haben ihre ersten Erfahrungen mit der Analysis bei
anderen Dozenten gemacht. Mit allen gab es eine intensive und sehr produk
tive Zusammenarbeit, für die ich mich an dieser Stelle sehr herzlich bedanken
möchte.
Ehrhard Behrends,Berlin (Frühjahr 2003)
P.S.: Das gleiche Konzept wieim vorliegenden Buch soll in Band 2der Analysis
verwirklicht werden.Inhaltlichwird esdann um Funktionenräume,das Integral
und um die Differentiation von Funktionen in mehreren Variablengehen.
Inhaltsverzeichnis
1 Die Menge lR der reellen Zahlen 1
1.1 Vorbemerkungen . 3
DieStrategie: WiewirddasAxiomensystem fürIR hergeleitet?
1.2 Mengen . 6
Mengen, Mengenoperationen,Abbildungen.
1.3 Algebraische Strukturen . . . . . . 16
InnereKompositionenundihreEigenschaften,Körper,logischerExkurs,Körperei
genschaften.
1.4 Angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . 33
Positivbcrcich, angeordnete Körper,Gegenbeispicle.
1.5 Natürliche Zahlen,vollständigeInduktion 37
Definitionvon N,Induktion,Musterbeweise,Eigenschaftenvon N.
1.6 Die ganzen und die rationalen Zahlen 48
z
und1Qi, Dichtheitssatz,
1.7 Das Archimedesaxiom 52
Archimedesaxiom und Folgerungen.
1.8 Vollständigkeit . . . . . . . 56
DedekindscheSchnitte,Schnittzahlen,Vollständigkeit,dasAxiomensystem fürIR.
1.9 VonlR zu C . 58
Der Körper C,Eigenschaften.
1.10 Wie groß ist lR? . . . . 63
Ergänzungen zur Mengenlehre,Mengen mit gleicherKardinalzahl, abzählbar und
überabzählbar. die Cantorschen Diagonalverfahren.
1.11 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
Peano-Axiome, der "konstruktive" Aufbau der reellen Zahlen, Gleichheit in der
Mathematik,Eindeutigkeit von IR,Sicherheitder Grundlagen.
1.12 Verständnisfragen . 77
1.13 Übungsaufgaben . 81
xi