Analysis. Aufgaben. Lösungen

85 Pages·2020·84.202 MB·German

by  Erhard Rhyn

Erhard Rhyn
Aufgaben Lösungen
Erhard Rhyn
Aufgabensammlung
Analysis
Lösungen
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oder in Buchhandlungen
Auflage 2020
© E. Rhyn 2020
ISBN 2240001647363
INHALTSVERZEICHNIS
Zahlenfolgen .......
600004
a) Einführung ....0400005
b) Arithmetische und geometrische Folgen ......
c) Vollständige InduktioAn ..........+40+4440
d) Konvergenz und Divergenz ....
Funktionen
a) Einführung ..
b) Nullstellen
c) Grenzwert und Stetigkeit ..........-
d) Die Ableitung einer Funktion .........
aD) ifEfeinrfeünhzriuanlgre‘chn2u.n..g 9I4m:mDineegeanKzearerantioRnalEe FuRnkEtionW.A...E...E...E..-
b) Kurvendiskussionen ........+++404
c) Bestimmen der Parabelgleichung ......+
d) Extremalprobleme ..........0000000000
Integralrechnung I
a) Das bestimmte Integral S ............
b) Berechnung von Flächeninhalten ........00+000400000 00H H HER KER
5. Differenzialrechnung II: Gebrochenerationale Funktion,
Quadratwurzelfunktion, trigonometrische Funktion .............-.
a) Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel ...........+1+0+0000010000
b) Einführende Aufgaben ...........+.+4+
c) Bestimmen der Funktionsgleichung
d) Kurvendiskussionen .........+++ x
e) Extremalprobleme Rn REKEN KERNE
.......00000000000
HEHE
6. Integralrechnung II. ........0000000000000 RK
a) Das unbestimmte Integral ...........40000000000 00H EEK EHE
b) Das bestimmte Integral bei Quadratwurzel- und trigonometrischer Funktion
c) Berechnenvon Rauminhalten ..........400400010000000H dee
d) Das uneigentliche Integral ..........0.0000000000 HHN
Funktion und Umkehrfunktion .............0.0000000001 HH HH
Exponential- und Logarithmusfunktion .............0.00000101010t
EHRE
Integralrechnung III. ......0.000000000000 RE
H
a) Substitutionsmethode ............++«
b) Partialbruchzerlegung ........-. äe
NREKEN
cE) Partielle IntegrationN.........0.0400040+00000 000 EEE
HH
10. Näherungsverfahren .........0.0.0.000000000H EHEEE
a) Näherungsweises Lösen von Gleichungen .
b) Numerische Integration . ........+++++
1. ZAHLENFOLGEN
a) Einführung
% Berechne die ersten fünf Glieder der gegebenen Folge n — an.
a) a, ==3n b) a,=L4n-1 © 87-320
Das
d) ä,=n" +3. e)a= n |
En
g) a = (-1)" h) a, =n + (-1)" i) a, = 5 + 2-(-1)”
. Ergänze jeweils auf die ersten sieben GliedeTr deraFolge.
a) aı=z5, a,=e-a2, a3==-9 b) a; SS9 = el
gr TE
C) a,=25, a4 = 49, a=s = 64 d) a6 as =3, a6 =1.5
48
€) 83 = 27,84 = 3160 49 f) a= 28 = M13 _S._ 3%
. Bestimme das allgemeine Glied a, der Folge.
a) 4,8, 12, ... 5) 3,5, Zu €) 16; 21,26;
A 2 24
d) 2,48, 16; 0 e) 1, 3 ana 53 S-B4D6 9t
PR si
9) 1,-1,1,-1,... h) 20,20; D-- 5a a ge
="
Ebenso:
a) 0, -2, -4, -6, ... BD) 7,3 1 Si
2.3
C) 0, 1, 4,9, 16, w.. d) 0, 21.7 ar arıe
14
e) 3, -7, 11, 8-15, 19, ... f) aa _9S3 E1%
g) 1, A19 n9 E17 n h) e5, 15{ ; 17=50
1) 2,6, 12, 20, 30,2: k) 2, 12, 36, 80, 150, ...
die
. Bestimme ersten fünf Glieder der rekursiv definierten Folge.
SaSl
a) a, = 20, anı = 3,74 b) aı = 1, amı = 38
C) a1 = 1,841 =283,+3 d) 2
e) ay=1,amı=283,-3 f) a =0, ayı =38,+3"
-
g) 3ı = 32 = 1, dpı2 = 8, + Ant h) a, =2, 832 = 1, apt2 = 8,An
6. Wie heisst jeweils das allgemeine Glied a, der Folgen 5a) bis 5f)?
7. Definiere die Folge durch eine Rekursionsformel.
24, 2358 10.
a) 50,47,44,41,... b) 3,6,12, ©)
d) 5, 9, 17, 33, 65,.... e)‘1,4,10, 19, 31, ... f) 4, 10, 22, 46, 94,...
8. Ebenso:
8a) 2,3: 5,917, b) 5, 7, 11, 17, 25, ...
c) 5, 6, 10, 19, 35, ... d) 16, 24, 36, 54, 81, ...
e) 6, 14, 30, 62, 126,... f) 100, 100, 98, 92, 80, 60, 30,...
9. Die Folge n > ap = ist gegeben.
n(n+2)
EX
Berechne a) s2 = +32,
b) S3 = 3ı + 32+ 33,
C) Ss = 3ı + a2+ 33 + 34 + as.
10. Führe die gleichen Berechnungen für n — a, = (n- 1)-2" durch.
X,
=
11. Berechne a) su=X(K-2), b)
az
Os=Xk0k-7, 0) s>
12. Untersuche die Folge n — a, auf Monotonie und Grenzen.
a) a, =5n-1 b) a.=3 0) a, =>
d) a, =(-2)" e) a, = nn f) a, =4+(-1)"
="
13. Ebenso: a)a,= "71 b)a c) a, =2""
Ve) i:2”
da = as 0) as Inn
b) Arithmetische und geometrische Folgen
Abkürzungen: AFfür arithmetische, GFfürgeometrische Folge.
14. Bestimme die ersten sechs Glieder der folgenden AF (Kopfrechnung!).
a) 3, 11, b) aı=5,d=4 c) az=4,d=-1,5
d) az =7,a6= 13 e) a3=-5,a6=5 f) as=9,aı=23s
15a) AF: as = 27.9; aı> = 59.4. Berechne a;.
b) AF: ax = 11.11; d = -0.77. Berechne a
16. Bestimme die fehlenden Grössen dieser AF.
a) b) ©) d) e) iD)
ar 12 404 1.8 207
9
an 107 0
n 20 61 46
d 2A =7 5.2 0.05
Sa 123 2196_| 4059 207
17. Berechne die Summederdreistelligen Zahlen, die durch 7 teilbar sind.
18. Wie gross ist die Summe der ungeraden vierstelligen Zahlen, die durch
17 teilbar sind?
19. Ermittle die ersten fünf Glieder der folgenden GF (Kopfrechnung!).
ä) 7, 14,0 b) a=-6,4=3 C) 2 =1.5,q=-2
d) a=9,9=> e) a2=10,a;=-5 ff) az=18,a4=27
20. Berechne das erste Glied der GF.
a
a) a3=48,a;=75 Db) a, =20, as = 10.24 c) a; = 216, as =28.4
21. Bestimmedie fehlenden Grössen dieser GF.
a) b) c) d) e) f)
aı 1 6 4 40
an 13122 5.8564 |_-625 0.16
n 8 12 5 4 6
q 2 3 -3 0.2
Sa 398580
22. Bestimme die nächsten drei Glieder so, dass eine GF entsteht.
ZZ
60 ie
8) 12 b) Z7 ©)
fa
d) a?ab, ... e) Zu ie 18-1...
23. Bei einer AF beträgt die Summeder ersten fünf Glieder 165, die Summe
der ersten fünfzehn Glieder 120. Wie heisst das erste Glied ?
24a) AF: d=7, a3ıs = 66. Berechne a, + a4 + a6 +... + 318.
b) AF: d = 7, azız = 1000. Berechne a3? + aze + a4 + ... + 3312.
3
a;
25a) GF: q=5, Ss = 195312. Bestimme .
b) GF: ay=7, ao = 3584. Bestimme Sı5.
c) GF: ay=2, q=3, S«= 177146. Bestimme ax.
26. Schalte zwischen 48 und 243 drei Zahlen so ein,
a) dass eine AF mit fünf Gliedern entsteht,
b) dass eine GF mit fünf Gliedern entsteht.
Wie heissen die fehlenden Glieder der Folge ?
27% Berechne a) 1+3+9+... + 531441,
WO
+ 1-2+-..-8192,
b)
3
c) 1+V3+3+... + 6561,
d) -65536 + 16384 - 4096 + - ... + Al
28. 01 29.
4
43 45 47 49 51 53 55 67 7073 7% 79 82
57 59 61 6365 67 69 1 85 88 91 94 97 100 103 106
© 8 © © © ©
Das Zahlendreieck denken wir uns in gleicher Weise fortgesetzt.
a) Berechne die Summeder aufgeschriebenen Zahlen.
b) Definiere die Folgen ©, @, © durch Rekursionsformeln.
c) Wieviel beträgt die Summeder Zahlen in der 50.Reihe ?
d) Welchen Wert hat die 20.Zahl in der 50.Reihe ?
e) In welcher Reihe und an welcherStelle steht die Zahl 9997?
30. Das 4. und das 14.Glied einer AF haben zusammen den Wert 22. Das
8.Glied ist um 4 grösser als das 3.Glied. Berechne das 1.Glied der Folge.
33 80 400
31. Berechne a) >(4k-7), b) (400 -—9K), €) X(k+2).
k=1 k=8 k=40
32 Ermittle x aus a) 305 + 289 + 273 + ... + X = 39,
b) 206 + 197 + 188 + ... + X = 161.
4
33. Wieviel beträgt die Summeder verbleibenden Glieder, wenn aus
a) 14 + 16.1 + 18.2 + ... + aso jeder 3. Summand weggestrichen wird,
b) 211+206.75+202.5+...+ a,oo jeder 4.Summand weggestrichen wird ?
34; Bei einer GF beträgt die Summedes 1. und 3. Gliedes -26, die Summe
des 2. und 4. Gliedes 39. Welchen Wert haben diese Glieder?
35. Welchesist der kleinste mögliche Wert für x?
a) 2+5+8+..+x > 10000 BD) 34+6+12+4 4. Ex 10°
36. Vom wievielten Glied an sind alle Glieder grösser als 50000 ?
a) -36, -28.75, -21.5, ... b) 37, 73, 109, ...
c) 8, 12, 18, 27, ... d) 20, 463, 1083, A
37. Wie viele Schläge macht eine Uhr in 24 Stunden, wennsie nur die vollen
Stunden schlägt?
38. Ein Körperfällt im freien Fall in der ersten Sekunde 4.9 m; in jeder
folgenden Sekunde legt der Körper 9.8m mehrzurück als in der
vorhergehenden (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes).
Berechnedie Fallstrecke in der 10. Sekunde und den zurückgelegten
Weg nach 10 Sekunden.
39. Ein Kapital von Fr. 5000.- wird auf Zinseszins angelegt, Zinsfuss 5%.
a) Wie gross ist das Kapital nach 10 Jahren ?
b) Bei welchem Zinsfuss wird sich das Kapital in 10 Jahren verdoppeln ?
40. Die Erdbevölkerung betrug 1960 3.0 Milliarden, 2004 6.4 Milliarden.
a) Wie viel betrug die mittlere jährliche Zunahme(in Prozenten) ?
b) Gleiche Zunahme vorausgesetzt: Wie viele Menschen würden im
Jahre 2050 die Erde bevölkern ?
c) Ein UNO-Bericht rechnet für 2050 mit einer Bevölkerungszahl von 8.9
die
Milliarden. Bestimme mittlere jährliche Zunahme ab 2004.
d) Die 50 ärmsten Länder werden, gemäss Prognose, von 600 Millionen
2004 auf 1.7 Milliarden 2050 wachsen.
Welche mittlere jährliche Zunahme ab 2004 wird hier erwartet ?
41. Für die Papierformate A0,A1,A2,... gilt:
- Format AO ist ein Rechteck von 1m? Fläche;
- die Seiten verhalten sich wie 1 : v2;
- durch Halbieren des Rechtecks A(n-1) entstehen
zwei Rechtecke An.
a) Wie viele A5 - Blätter entstehen aus einem A0 - Blatt ?
b) Wie lang sind die Seiten eines A5 -Blattes?
5
42. Ein quadratisches Zeichenblatt von 1 m* Fläche und 0.3 mm Dicke wird
in vier gleiche Quadrate zerschnitten; jedes dieser Quadrate wird wieder
geviertelt, usw. Insgesamt macht man dies sechsmal.
a) Welche Seitenlängen haben die letzten Quadrate ?
b) Wie hoch würde der Stoss der aufeinandergelegten Blätter?
43. Die Gradzahlen der Winkel eines Dreiecks mit dem kleinsten Winkel 15°
und der längsten Seite 10 cm bilden a) eine AF, b) eine GF.
Wie lang ist die kürzeste Seite des Dreiecks ?
Die Masszahlen der Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem
Umfang 39cm bilden eine AF.
Welchen Inhalt hat die Dreiecksfläche?
45. Die Summederersten zweiGlieder einer fallenden AF ist 2, die Summe
der Quadrate dieser Glieder 74. Welchen Wert hat das dritte Glied?
46. Eine AF ist durch a, = 20 und d = 4 gegeben.
der
Die Summederersten n Glieder ist halb so gross wie die Summe fol-
genden n Glieder. Für welches n gilt diese Bedingung ?
47. Eine AFist durch s;32 = 330 und Sı33 = 133 gegeben.
a) Berechne a; und d.
b) Für welches n wird s, maximal ? Wie viel beträgt der grösste Wert?
6
48. Vier Zahlen, deren Summe beträgt, bilden eine AF. Das Produkt aus 3.
und 4.Zahl ist 36. Wie heissen die vier Zahlen ?
49. Eine AF hat 20 Glieder. Die Summevon1., 3., 5., ... und 19.Glied be-
trägt 300, die Summeder übrigen Glieder 400.
Berechne das 1. Glied der Folge.
50. Drei Zahlen bilden eine GF. Ihre Summebeträgt 14, ihr Produkt - 1728.
Bestimmedie drei Zahlen.
51. Bei einer steigenden AF ist der Quotient aus dem 1. und dem 2.Glied 4
und das Produkt 144.
Berechne die Summederersten 17 Glieder der Folge.
52; Die Zahl 111 ist in drei Summandenzu zerlegen, die eine GF bilden. Der
ist
mittlere Summand 36. Wie heissen die anderen ?
53. Die Summederersten n Glieder einer GF mit dem Quotienten q = 2 be-
trägt 315. Lässt man das erste und das letzte Glied weg, so beträgt die
Summederrestlichen Glieder 150.
Bestimme n und die Glieder der Folge.
6
|
54. Die Summeeiner viergliedrigen AF beträgt 130. Lässt man das 3.Glied
Weg, So entsteht eine GF. Wie heissen die vier Glieder der AF?
55. Die drei Zahlen a, b, c mit dem Summenwert 3 bilden in dieser Reihen-
folge eine AF, in der Reihenfolge b, a, c eine GF.
Wie heissen die Zahlen ?
56. Die Masszahlen der Seiten a = ABund b = BCund der Diagonalen
e = AC und f = BD des Parallelogramms ABCDbilden in der Reihenfol-
ge a, b, e, feine GF. Wie gross sind die Winkel des Parallelogramms ?
57. Löse die gleiche Aufgabe, wenna, b, e, feine AF bilden.
Zum Abschluss folgen zwei Maturaufgaben.
58. Ein gleichschenkliges Trapez besitzt den Umfang 40 cm. Die Masszahlen
der Decklinie a, der Schenkel, der Grundlinie und der Diagonalen bilden
in dieser Reihenfolge eine AF.
Bestimme den Flächeninhalt und die Winkel des Trapezes.
59. Die Zahlenz;, z,, Z3, Z4 bilden in dieser Reihenfolge eine AF.
Die Zahlen z,, Z3, Zı, z4+3 bilden in dieser Reihenfolge eine GF.
Bestimmedie Zahlen z;, z,, Z3 und Z4.
c) Vollständige Induktion
> Beweise mit vollständiger Induktion, dass die folgenden Formeln für al-
le natürlichen Zahlen n gelten (Aufgaben 60 bis 70).
60. R=1+3+5+... + (2n-1)=n?
ee
=
61. S2=1+3+3 4... +3 (3°-1)
eh
ap
TI udn 301 4 an1) WOn
2.3 nA
63. Sı = 1:2 + 2:3 + 3:4 + ... + n(n+1) = Zn(n+1)X(n+2)
Si
E31
=
64. San = Xk* = = n(n+1)(2n+1) 65. Xk*= - n(n+1)2
kl 6 ka 4 =
66.5 = X(2k-1)?= 1 n(2n-1)(2n+1) 67.rns1= aY—kA1_ ne
‚AuDes 3 af
68. AUS 3; = 0, anıı = an +N(n+1) folgt: a = zn(n-1) (n+1).
7