Analysis 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im IRn und Anwendungen PDF
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Aufbaukurs Mathematik Otto Forster Analysis 3 Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im IRn und Anwendungen 8. Auflage Aufbaukurs Mathematik Herausgegebenvon MartinAigner,FreieUniversitätBerlin PeterGritzmann,TechnischeUniversitätMünchen VolkerMehrmann,TechnischeUniversitätBerlin GisbertWüstholz,ETHZürich In der Reihe „Aufbaukurs Mathematik“ werden Lehrbücher zu klassischen und moder- nenTeilgebieten der Mathematik passend zu den StandardvorlesungendesMathematik- studiums ab dem zweiten Studienjahr veröffentlicht. Die Lehrwerke sind didaktisch gut aufbereitetundführenumfassendundsystematischindasmathematischeGebietein.Sie stellendiemathematischenGrundlagenbereitundenthaltenvieleBeispieleundÜbungs- aufgaben. Zielgruppe sind Studierende der Mathematik aller Studiengänge, sowie Studierende der Informatik, Naturwissenschaften und Technik. Auch für Studierende, die sich im Laufe des Studiums in dem Gebiet weiter vertiefen und spezialisieren möchten, sind die Bü- chergutgeeignet.DieReiheexistiertseit1980undenthältvieleerfolgreicheKlassikerin aktualisierterNeuauflage. WeitereBändedieserReihefindenSieunter http://www.springer.com/series/12357 Otto Forster Analysis 3 Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im IRn und Anwendungen 8., verbesserte Auflage OttoForster MathematischesInstitut Ludwig-Maximilians-UniversitätMünchen München,Deutschland AufbaukursMathematik ISBN978-3-658-16745-5 ISBN978-3-658-16746-2(eBook) DOI10.1007/978-3-658-16746-2 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillier- tebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH1981,1983,1984,2007,2009,2011,2012,2017 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesondere fürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerar- beitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigt auchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenindiesem WerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnochdieAutorenoder dieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehler oderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungenundGebietsbezeichnungenin veröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. Planung:UlrikeSchmickler-Hirzebruch GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. SpringerSpektrumistTeilvonSpringerNature DieeingetrageneGesellschaftistSpringerFachmedienWiesbadenGmbH DieAnschriftderGesellschaftist:Abraham-Lincoln-Strasse46,65189Wiesbaden,Germany V Vorwort zur 6. Auflage DasvorliegendeBuchstelltdendrittenTeileinesAnalysis-Kursesfu¨rStudierendeder Mathematik und Physik dar, und widmet sich der Maß- und Integrationstheorie, den Integralsa¨tzenimRnundihrenAnwendungen. VondererstenAuflage,die1981erschien,biszur5.AuflagebliebderText,bisaufklei- nereKorrekturen,imWesentlichenunvera¨ndert.Fu¨rdiejetzigeNeuauflagewurdedas Buch weitgehend umgearbeitet. Die wesentliche A¨nderung bezieht sich darauf, dass das LebesguescheIntegral jetzt aufder Grundlagederabstrakten Maß- undIntegrati- onstheoriedargestelltwird,wa¨hrendindenfru¨herenAuflagenderAusgangspunktdas Integralfu¨rstetigeFunktionenmitkompaktemTra¨geraufdemRn war,dassukzessive auf allgemeinere Funktionenklassen erweitert wurde. Ich habe mich auf mehrfachen Wunsch zu dieser A¨nderung des Aufbaus entschlossen, da in den heutigen Studien- pla¨nenfu¨rMathematikvonderVorlesungAnalysis3meisterwartetwird,dasssiedie Grundlagen der Maß- und Integrationstheorie bereitstellt. Die Vorlesung Analysis 3 sollte nach meiner Meinung aber nicht zu einem Kurs u¨ber Maß- und Integrations- theorieentarten.EinwesentlicherTeilbleibtdieIntegralrechnungimRn mitdenInte- gralsa¨tzenundderenzahlreichenAnwendungen. DasBuchbeginntmiteinerEinfu¨hrungindieMaßtheorie.Der 3behandeltdieFort- § setzung eines Pra¨maßes zu einem Maß. Insbesondere wird das Lebesgue-Maß auf der s-Algebra der Borelschen Mengen im Rn konstruiert. Danach wird der Integral- Begriff auf abstrakten Maßra¨umen entwickelt und in 5 werden die wichtigstenKon- § vergenzsa¨tze der Lebesgueschen Integrationstheoriebewiesen, na¨mlich die Sa¨tze von der monotonen und von der majorisierten Konvergenz, sowie die Vollsta¨ndigkeit von L1. Der 7 ist dem Satz von Fubini im Rn gewidmet, und es ko¨nnen jetzt die ersten § mehrdimensionalen Integrale und Volumina berechnet werden. Um die Durststrecke bis dahin nicht zu verla¨ngern, beschra¨nken wir uns hier auf den Rn und verzichten aufeineallgemeineTheoriederProdukt-Maße.Derna¨chsteParagraphu¨berrotations- symmetrischeFunktionendientebensodemZiel,mo¨glichstbaldinteressanteIntegrale zu berechnen und Beispiel-Material zur Verfu¨gung zu haben. In 9 beweisen wir die § Transformationsformelu¨berdasVerhalten vonIntegralenbei stetigdifferenzierbarem Koordinatenwechsel,waswesentlichfu¨rdieIntegrationstheorieaufMannigfaltigkeiten ist.ImParagraphenu¨berFourier-IntegralekommenfastallebisdahingelerntenSa¨tze derIntegrations-TheoriezurAnwendung. Derna¨chsteTeildesBuchesistdemGaußschenIntegralsatzundseinenAnwendungen gewidmet.DabeihabenwirausdidaktischenGru¨ndenzuna¨chstdavonabgesehen,die- sen Satz im Differentialformenkalku¨l zu formulieren, sondern beweisen ihn in seiner klassischen Form. Der Gaußsche Satz wird dann in 16 zur Behandlung der Potenti- § algleichungbenutzt.WirleitendabeiinsbesonderediePoissonscheIntegralformelzur VI Lo¨sungdesDirichletschenRandwertproblemsfu¨rdieKugelab.In 17erfolgteinekur- § ze Einfu¨hrung in die Theorie der Distributionen, in deren Rahmen wir Fundamental- Lo¨sungen fu¨r die Potentialgleichung, die Helmholtzsche Schwingungsgleichung und dieWa¨rmeleitungsgleichungbestimmen. Dieletzten vierParagraphen ( 18–21)fu¨hren schließlichden Kalku¨lderDifferenti- §§ alformen ein, mit deren Hilfe der allgemeine Stokessche Integralsatz bewiesen wird. Dabei haben wiruns,umdieAbstraktionin Grenzen zu halten,aufdenRn undseine Untermannigfaltigkeiten beschra¨nkt. Als Anwendungen beweisen wir u.a. den Brou- werschenFixpunktsatzsowieIntegralsa¨tzefu¨rholomorpheFunktioneneinerundmeh- rererVera¨nderlichen. Der Umfang des dargestellten Stoffes ist mehr, als in einer einsemestrigen Vorlesung behandeltwerdenkann.AlseineAuswahl-Mo¨glichkeitbietetsichan,dieIntegrations- theoriebiszumGaußschenIntegralsatzundseinenAnwendungenzubringen( 1–10 § und 14 – 16). Falls ein mehrdimensionales Integral schon zur Verfu¨gung steht (nicht notwendigdievolleLebesguescheIntegrationstheorie),kannmanauchbeimDifferen- tialformenkalku¨l( 18und19)einsteigenundunterBenutzungvon 9und 14mit 20 § § § § und 21 zum Stokesschen Integralsatz gelangen. Dieser kann dann in die klassische § Form des Gaußschen Integralsatzes zuru¨cku¨bersetzt werden und steht so fu¨r Anwen- dungenin 16und 17zurVerfu¨gung. § § Im Zuge der Neubearbeitung erhielt das Buch durch TEX-Satz auch eine neue a¨ußere Form.Hierfu¨rgehtmeinherzlicherDankanFrau YOSHIDA Kuniko,diedenGroßteil desTextesmitLATEXgesetztunddieFiguren(mitpstricks)erstellthat. Mu¨nchen,September2010 OttoForster Vorwort zur 8. Auflage Bei der U¨berarbeitung fu¨r die 7. und 8. Auflage wurde an einigen Stellen der Text erga¨nztundeskamenneueAufgabenundAbbildungenhinzu. Besonderer Dank gebu¨hrt einigen sorgfa¨ltigen Lesern der 6. und 7. Auflage, durch derenHilfeeineganzeReihevonDruckfehlernbeseitigtwerdenkonnte. Mu¨nchen,Oktober2016 O.F. VII Inhaltsverzeichnis 1 Mengenalgebren 1 2 Inhalte,Pra¨maße,Maße 13 3 FortsetzungeinesPra¨maßeszueinemMaß 23 4 IntegrationmessbarerFunktionen 39 5 Konvergenz-undApproximations-Sa¨tze 54 6 Bewegungs-InvarianzdesLebesgueschenMaßes 70 7 CavalierischesPrinzip,SatzvonFubini 79 8 RotationssymmetrischeFunktionen 95 9 DieTransformationsformel 101 10 PartielleIntegration 114 11 Parameterabha¨ngigeIntegrale 127 12 DieLp-Ra¨ume 133 13 Fourier-Integrale 142 14 IntegrationaufUntermannigfaltigkeiten 157 15 DerGaußscheIntegralsatz 177 16 DiePotentialgleichung 192 17 Distributionen 206 18 PfaffscheFormen,Kurvenintegrale 224 19 Differentialformenho¨hererOrdnung 248 20 IntegrationvonDifferentialformen 265 21 DerStokesscheIntegralsatz 283 Literaturhinweise 307 Symbolverzeichnis 308 Namens-undSachverzeichnis 309 VIII Webseite Fu¨rdieAnalysis3gibteseineWebseite,dieu¨berdieHomepagedesVerfassers http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster erreichbarist.DortwirdeineListederbekanntgewordendenErrataabgelegt. IchbinallenLeserinnenundLeserndankbar,diemirperEmailan [email protected] FehlermeldungenodersonstigeKommentarezusenden. OttoForster 1 § 1 Mengenalgebren IndiesemParagraphenfu¨hrenwirMengenringe,Mengenalgebrenunds-Algebrenein,dassind gewisseSystemevonTeilmengeneinerGrundmenge.SiedienenalsDefinitionsbereichvonIn- haltenundMaßen,dieimna¨chstenParagrapheingefu¨hrt werden.Mengenalgebren sindabge- schlossengegenu¨berKomplementbildungsowieendlichenVereinigungenundDurchschnitten. Ins-AlgebrensindsogarVereinigungenundDurchschnittevonabza¨hlbarenFamilienmo¨glich. Wichtigfu¨rdasLebesgue-MaßimRnistderMengenringderendlichenQuadersummensowie diedavonerzeugtes-AlgebraderBorelschenTeilmengendesRn. Operationen auf Mengen. Sei W eine beliebige Menge. Wir bezeichnen mit P(W) die Potenzmenge von W, das ist die Menge aller Teilmengen A W. Fu¨r Elemente ⊂ A,B P(W) hat man die Verknu¨pfungen Vereinigung A B, Durchschnitt A B und ∈ ∪ ∩ mengentheoretischeDifferenz ArB:= x A:x B . { ∈ 6∈ } Manbeachte,dasshiernichtverlangtwird,dassBeineTeilmengevonAist.DieDif- ferenz WrA heißt dasKomplementvon A und wird oft mit Ac abgeku¨rzt. Mit dieser BezeichnunggiltArB=A Bc.VereinigungundDurchschnittsindauchfu¨rbeliebige ∩ FamilienAi P(W),i I,definiert: ∈ ∈ Ai:= x W: j I mitx Aj , Ai:= x W:x Aj fu¨ralle j I . [ { ∈ ∃ ∈ ∈ } \ { ∈ ∈ ∈ } i I i I ∈ ∈ DabeiistIeinebeliebigeIndexmenge,siekannendlichoderunendlich(abza¨hlbaroder u¨berabza¨hlbar) sein. Fu¨r die leere Indexmenge vereinbart man (in U¨bereinstimmung mitdenobigenFormeln) Ai=0/, Ai=W. [ \ i 0/ i 0/ ∈ ∈ DiesymmetrischeDifferenzzweierTeilmengenA,B Wistdefiniertdurch ⊂ AMB:=(ArB) (BrA). ∪ AMB besteht aus allen Punkten x W, diein genau einerder Mengen A,B enthalten ∈ sind,sieheBild1.1. A B AMB AMB Bild1.1 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017 O. Forster, Analysis 3, Aufbaukurs Mathematik, DOI 10.1007/978-3-658-16746-2_1
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