Analysis 3: Integralrechnung im IRn mit Anwendungen PDF
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slze/ .§IQU/Q .P/ndenuzc~&-~~ ;'2 Otto Forster 54()().%&'~ 9:6 '.9()46'() Analysis 3 wieweg stuclium Aufbaukurs Mathematik Herausgegeben von Gerd Fischer Wolfgang Fischer I I ngo Lieb Funktionentheorie Otto Forster Analysis 3 Ernst Kunz Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Grundkurs Mathematik Gerd Fischer Ernst Kunz Lineare Algebra Ebene Geometrie Gerd Fischer Joseph Maurer Analytische Geometrie Mathemecum Otto Forster R. Mennicken I E. Wagenführer Analysis 1 Numerische Mathematik 1 Otto Forster R. Mennicken I E. Wagenführer Analysis 2 Numerische Mathematik 2 Otto Forster Analysis 3 Integralrechnung im IR" mit Anwendungen 2., überarbeitete Auflage Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH vieweg studium Band 52 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Aufbaukurs Mathematik Forster, Otto: AnalysislOtto Forster. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg Früher außerdem im Ver!. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg.-Teilw. Ver!. Vieweg mit Erscheinungsort: Braunschweig 3. .... Forster, Otto: Integralrechnung im IR0 mit Anwendungen Forster, Otto: Integralrechnung im IR0 mit Anwendungen/ Otto Forster. - 2. überarb. Aufl. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1983. (Analysis/Otto Forster; 3) (Vieweg-Studium; 52: Aufbaukurs Mathematik) ISBN 978-3-528-17252-7 ISBN 978-3-663-06814-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-06814-3 NE: 2. GT 1.-3. Tausend Oktober 1981 4.-6. Tausend Januar 1983 2., überarbeitete Auflage 1983 Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 1983 UrsprUnglieh erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1983 Die Vervielfältigung und Übertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch flir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. Im Einzelfall muß über die Zahlung einer Gebühr flir die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt flir die Vervielfältigung durch alle Verfahren ein schließlich Speicherung und jede Übertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bänder, Platten und andere Medien. ISBN 978-3-528-17252-7 V Inhaltsverzeichnis Vorwort ................................................... VI § 1 Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger . . . . . . . . . . . . . . . . 1 § 2 Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 § 3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 § 4 Integral für halbstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 § 5 Berechnung einiger Volurnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 § 6 Lebesgue-integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 § 7 Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 § 8 Rotationssymmetrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 § 9 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 § 10 Die Lp-Räume ........................................... 90 §11 Parameterabhängige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 § 12 Fourier-Integrale ......................................... 104 §13 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen ......... 120 § 14 Integration auf Untermannigfaltigkeiten .......................... 128 § 15 Der Gaußsehe Integralsatz ................................... 148 § 16 Die Potentialgleichung ...................................... 161 § 17 Distributionen ............................................ 175 § 18 Pfaffsche Formen. Kurvenintegrale ............................. 192 § 19 Differentialformen höherer Ordnung ............................ 216 § 20 Integration von Differentialformen ............................. 234 § 21 Der Stokessehe Integralsatz .................................. 255 Literaturhinweise ............................................. 280 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 81 Namens-und Sachverzeichnis ..................................... 283 VI Vorwort Das vorliegende Buch stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathe matik und Physik dar und umfaßt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen. Die mehrdimensionale Integration ist wahrscheinlich innerhalb der mathematischen Grund vorlesungen das unangenehmste Stoffgebiet. Das hat verschiedene Gründe. Einerseits bleibt die Integrationstheorie unbefriedigend, wenn nicht das Lebesguesche Integral eingeführt wird. Dessen Einführung verbraucht aber meist soviel Zeit, daß am Schluß der Vorlesung der Student nicht in der Lage ist, die Oberfläche einer Kugel auszurechnen, ganz zu schwei gen von der Kenntnis der Integralsätze. Will man aber andererseits die Integralsätze in ihrer heutigen eleganten Form darstellen, so muß der ganze Differentialformenkalkill auf Mannig faltigkeiten eingeführt werden, was wiederum kaum Zeit für die maßtheoretische Seite der Integrationstheorie und flir Anwendungen läßt, von denen es vor allem in der klassischen Analysis so viele gibt und die heute immer mehr in Vergessenheit geraten. Für dieses Dilemma konnte auch im vorliegenden Buch keine Ideal-Lösung gefunden wer den. Es wurde aber versucht, zu einem vernünftigen Kompromiß zu kommen. Insbesondere wird der ermüdende systematische Aufbau der Theorie immer wieder durch Paragraphen unterbrochen, in denen Beispielmaterial bereitgestellt oder Anwendungen besprochen werden. Das Buch beginnt mit der Einführung des Integrals für stetige Funktionen mit kompaktem Träger im IRn durch sukzessive Integration. Dieses Integral wird dann als das bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmte Haarsehe Maß auf dem IRn charakterisiert. In § 2 wird die Transformationsformel für mehrfache Integrale bewiesen. In § 3 erfolgt die erste Unterbrechung, wo die partielle Integration dazu benützt wird, die Adjunktion von linea ren Differentialoperatoren zu definieren, und wo mit Hilfe der Integral-Transformations formel die Darstellung des Laplace-Operators in krummlinigen Koordinaten abgeleitet wird. In § 4 erfolgt dann die erste Erweiterung des Integralbegriffs auf halbstetige Funktionen. Da die charakteristische Funktion eines Kompaktums von oben halbstetig ist, kann damit bereits das Volumen von kompakten Körpern definiert werden, und in§ 5 berechnen wir die Volumina verschiedener Körper, wie Zylinder, Kegel und Kugel. In den§§ 6-10 wird dann das Wichtigste aus der Lebesgueschen Integrationstheorie abgehandelt, unterbrochen von einem Paragraphen über die Integration rotationssymmetrischer Funktionen. Die Kon vergenzsätze werden in§ 11 auf parameterabhängige Integrale angewandt, und in§ 12 er folgt als Anwendung davon ein kurzer Abriß der Theorie der Fourier-Integrale. Der nächste Teil des Buches ist dem Gaußsehen Integralsatz und seinen Anwendungen ge widmet. Dabei haben wir aus didaktischen Gründen zunächst darauf verzichtet, diesen Satz im Differentialformenkalkill zu formulieren, sondern beweisen ihn in seiner klassischen Form, daß das Integral der Divergenz eines Vektorfelds über ein Gebiet gleich dem Rand integral des Skalarprodukts des Vektorfeldes mit dem Einheits-Normalenfeld ist. In dieser Vorwort VII Form kann er auch gleich in§ 16 zur Behandlung der Potentialgleichung benützt werden. Wir leiten dabei insbesondere die Poissonsche Integralformel zur Lösung des Dirichletpro blems ftir die Kugel ab. In§ 17 erfolgt eine kurze Einflihrung in die Theorie der Distribu tionen, in deren Rahmen wir die Fundamental-Lösungen ftir die Potentialgleichung, die Helmholtzsche Schwingungsgleichung und die Wärmeleitungsgleichung bestimmen. Die letzten vier Paragraphen(§§ 18-21) flihren schließlich in den Differentialformenkalkül ein, mit deren Hilfe der allgemeine Stokessehe Integralsatz bewiesen wird. Dabei haben wir uns, um die Abstraktion in Grenzen zu halten, auf den 1Rn und seine Untermannigfaltigkei ten beschränkt. Neben dem Stokessehen Integralsatz werden als Anwendungen u.a. die Cauchysche Integralformel sowie die Bochner-Martinellische Integralformel ftir holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlichen bewiesen. Der Umfang des dargestellten Stoffes ist zuviel ftir eine einsemestrige Vorlesung. So muß der Dozent eine Auswahl treffen. Als eine Möglichkeit bietet sich an, die Integrationstheo rie ohne den Differentialformenkalkül bis zum Gaußsehen Integralsatz mit seinen Anwen dungen zu bringen(§§ 1-16), wobei noch der eine oder andere nicht zum systematischen Aufbau gehörende Gegenstand weggelassen werden kann (in der Hoffnung, daß der Stu dent ihn aus eigenem Antrieb studiert). Eine andere Möglichkeit ist, auf die Lebesguesche Integrationstheorie zu verzichten und nach den§§ 1-3 direkt zu den Differentialformen (§§ 18, 19) überzugehen. Dann kann unter Benützung von Teilen des§ 4 der Integralbe griff für stetige Funktionen auf kompakten Mengen wie im Anhang zu § 20 eingeführt wer den. Für den§ 20 (Integration von Differentialformen) werden Teile von§ 14 benötigt. Nach dem Stokessehen Integralsatz (§ 21) sollte dann noch die Rückübersetzung in die klassische Form des Gaußsehen Integralsatzes erfolgen(§§ 14, 15) und möglichst noch seine Anwendung auf die Potentialgleichung (§ 16) besprochen werden. Ich danke den vielen Kollegen, die mich immer wieder dazu angespornt haben, das Buch endlich fertigzustellen, sowie Frau G. Marschalleck für das Tippen des Manuskripts. Ich hoffe, daß das Buch dazu beitragen kann, diesen wichtigen Teil der Analysis, wie ihn die mehrdimensionale Integration darstellt, ftir Vorlesungen wieder populärer zum achen. Otto Forster 1 § 1. Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger In diesem Paragraphen definieren wir das Integral ftir stetige Funktionen im IR n, die außerhalb eines genügend großen Quaders verschwinden, durch sukzessive Integration über die einzelnen Variablen. Dann zeigen wir, daß das Integral durch seine Eigenschaften Linearität, Monotonie und Translations invarianz bis auf einen konstanten Faktor schon eindeutig bestimmt ist. Mehrfache Integrale Sei Q ein achsenparalleler kompakter Quader im1R n, d.h. Q=I1XI2X ... XIn, wobei jedes h = [ab bk] C 1R ein beschränktes abgeschlossenes Intervall ist. Auf Q sei eine stetige Funktion f: Q---+1R (Xt. ... ,Xn) ~ f(xl, ... ,Xn) gegeben. Bei festgehaltenem (x2, ... ,Xn) EI2 X ... X In kann diese Funktion bzgl. x1 über das Intervall I integriert werden, 1 bt S F1(X2, ... ,Xn) := f(xt,X2, ... ,Xn)dxl. al Nach An. 2, § 9, Satz 1 ,-erhält man so eine stetige Funktion F1:I2X ... XIn~1R. Diese Funktion kann wiederum bei festgehaltenem (x3, •.. , Xn) E I3 X ... X In bzgl. der Variablen x über I integriert werden, 2 2 b2 b2 bt (f S S F2(x3, ... ,xn):= Fl(x2, ... ,xn)dx2= f(xt,X2, ... ,Xn)dxt)dx2. F2 ist eine stetige Funktion auf I3 X ... X In, die bzgl. x3 über I3 integriert werden kann. Nach n-maliger Wiederholung des Verfahrens erhält man schließlich nach Integration über die letzte Variable Xn eine reelle Zahl, die Integral von f über Q heißt und mit bn b2 bt J S( S ft(xt. ... ,xn)dxt ... dxn = f(Xt.X2, ... ,Xn)dxt)dx2) ... dxn Q an bezeichnet wird. 2 § 1. Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger J J AbkürzeJnd schreibt man statt f(xt. ... , Xn)dx1 ••• dxn auch f(x)dnx oder einfach f(x)dx. Q Q Q Träger einer Funktion Unter dem Träger einer Funktion f: IR n ~ IR versteht man die abgeschlossene Hülle der Menge aller Punkte, in denen die Funktion von Null verschieden ist. Der Träger von f wird mit Supp (f) bezeichnet (von engl. und frz. support). Es gilt also Supp(f) = {xEIRn:f(x):FO}. Wir bezeichnen mit C€ (IRn) den Vektorraum aller stetigen Funktionen f: IR n ~IR und mit C€c (IRn) = {fE C€ (IRn): Supp (f) kompakt} den Untervektorraum aller stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Zu jedem fE C€c (IR n) gibt es also einen kompakten achsenparallelen Quader Q C IRn mit Supp (f) C Q. Außerhalb von Q ist f identisch null. Für Funktionen fE C€c (IRn) wird nun das Integral folgendermaßen definiert: Man wähle einen kompakten achsenparallelen Quader Q C IR n mit Supp (f) C Q und setze J J f(x., ... ,Xn)dxl ... dxn := f(x., ... ,Xn)dxl ... dxn. Rn Q Offenbar ist diese Definition unabhängig von der Auswahl des Quaders Q. Bezeichnung. Statt J f(x., ... ,Xn)dxl ... dxn Rn J J schreibt man auch kürzer f(x)dnx oder f(x)dx. Rn Rn Natürlich kann man statt der Integrationsvariablen x auch andere Buchstaben verwenden J J f(x., ... ,Xn)dxl···dxn= f(tt.···.tn)dtl···dtn= .... Rn Rn Beispiel: Seien '{J1, ••• , 'fln E C€c (IR) stetige Funktionen einer Veränderlichen mit kom paktem Träger. Wir defmieren eine Funktion f: IR n ~IR von n Veränderlichen durch f(x., ... ,Xn) := 'P1 (xl) · ... "'Pn (xn)· § 1. Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger 3 Es gilt /E ~'Ce (lR.n). Ist nämlich der Träger von 'Pk im kompakten Intervall Ik C IR ent halten, so gilt Supp(J) C Q :=/1 X ... X In· Für das Integral erhält man S S = f(x)dx 'PI(x1)· ... ·cpn(Xn)dx1 ... dxn Rn Q S. .. (J(J = 'PI(Xt)· ... ·cpn(Xn)dxt)dx2) ... dxn In h h n s = 'Pk(xk)dxk. k= 1 R Eigenschaften des Integrals Satz I (Linearität und Monotonie). Seien f, g E ~'Ce (IRn) und XE IR. Dann gilt J J J a) {f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx, Rn Rn Rn J J b) "'A.f(x)dx =X f(x)dx. !Rn Rn c) Gilt f.<:. g, d. h. f(x) <:. g (x) für alle x E IR n, so folgt J J f(x)dx <:. g(x)dx. Rn Rn Diese Aussagen folgen unmittelbar durch n-malige Anwendung der entsprechenden Aus sagen für das Integral von Funktionen einer Veränderlichen.
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