Analysis 3

481 Pages·2008·4.75 MB·German

by  Herbert Amann

Herbert Amann
Joachim Escher
Analysis III
Zweite Auflage
Birkhäuser
Basel · Boston · Berlin
Autoren:
Herbert Amann Joachim Escher
Institut für Mathematik Institut für Angewandte Mathematik
Universität Zürich Universität Hannover
Winterthurerstr. 190 Welfengarten 1
8057 Zürich 30167 Hannover
Switzerland Germany
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Erste Auflage 2001
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ISBN 978-3-7643-8883-6 Birkhäuser Verlag, Basel – Boston – Berlin
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ISBN 978-3-7643-8883-6 e-ISBN 978-3-7643-8884-3
9 8 7 6 5 4 3 2 1 www.birkhauser.ch
Vorwort
Der vorliegende dritte Band beschließt unsere Einfu¨hrung in die Analysis, mit
der wir ein Fundament fu¨r den weiteren Aufbau des Mathematikstudiums gelegt
haben.
Wie schon in den ersten beiden Teilen haben wir auch hier wesentlich mehr
Stoff behandelt, als dies in einem Kurs geschehen kann. Bei der Vorbereitung
von Vorlesungen ist deshalb eine geeignete Stoffauswahl zu treffen, auch wenn
dieLehrveranstaltungendurchSeminareerg¨anztundvertieftwerden.Anhandder
ausfu¨hrlichenInhaltsangabeundderEinleitungenzudeneinzelnenKapitelnkann
ein rascher U¨berblick u¨ber den dargebotenen Stoff gewonnen werden.
DasBuchistinsbesondereauchalsBegleitlektu¨rezuVorlesungenundfu¨rdas
Selbststudium geeignet. Die zahlreichen Ausblicke auf weiterfu¨hrende Theorien
sollen Neugierde wecken und dazu animieren, im Verlaufe des weiteren Studiums
tiefer einzudringen und mehr von der Sch¨onheit und Gr¨oße des mathematischen
Geb¨audes zu erfahren.
Beim Verfassen dieses Bandes konnten wir wieder auf die unsch¨atzbare Hil-
fe von Freunden, Kollegen, Mitarbeitern und Studenten z¨ahlen. Ganz besonders
danken wir Georg Prokert, Pavol Quittner, Olivier Steiger und Christoph Wal-
ker, die den gesamten Text kritisch durchgearbeitet und uns so geholfen haben,
Fehler zu eliminieren und substantielle Verbesserungen anzubringen. Unser Dank
gilt auch Carlheinz Kneisel und Bea Wollenmann, die ebenfalls gr¨oßere Teile des
Manuskripts gelesen und uns auf Ungereimtheiten hingewiesen haben.
Ohne den nicht zu u¨bersch¨atzenden großen Einsatz unseres Satzperfektio-
”
nisten“, der unermu¨dlich und mit vielGeduld nicht nur das Endprodukt, sondern
auch zahlreiche Vorl¨auferversionen mittels TEX und anderer Datenverarbeitungs-
systemein einemakelloseundansprechendeErscheinungsformgebrachthat,w¨are
dieser Band nie in der vorliegenden Form entstanden. Fu¨r dieses Mitwirken gilt
ihm unser allergr¨oßter Dank.
Schließlich ist es uns eine Freude, Thomas Hintermann und dem Birkh¨auser
Verlag fu¨r die gewohnte Flexibilit¨at und gute Zusammenarbeit zu danken.
Zu¨rich und Hannover, im Juli 2001 H. Amann und J. Escher
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Kapitel IX Elemente der Maßtheorie
1 Meßbare R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Die Borelsche σ-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Das zweite Abz¨ahlbarkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Erzeugung der Borelschen σ-Algebra durch Intervalle . . . . . . . . . . 8
Basen topologischer R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Die Produkttopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Produkte Borelscher σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Die Meßbarkeit von Schnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Mengenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Maßr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Eigenschaften von Maßen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 A¨ußere Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Die Konstruktion ¨außerer Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Das Lebesguesche ¨außere Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Lebesgue-Stieltjessche ¨außere Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Hausdorffsche ¨außere Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Die σ-Algebra der μ∗-meßbaren Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Lebesguesche und Hausdorffsche Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Metrische Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Das Lebesguesche Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Der Lebesguesche Maßraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Die Regularit¨at des Lebesgueschen Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . 42
viii Inhalt
Eine Charakterisierung Lebesgue meßbarer Mengen . . . . . . . . . . . 45
Bilder Lebesgue meßbarer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Die Translationsinvarianz des Lebesgueschen Maßes . . . . . . . . . . . 48
Eine Charakterisierung des Lebesgueschen Maßes . . . . . . . . . . . . 49
Die Bewegungsinvarianz des Lebesgueschen Maßes. . . . . . . . . . . . 51
Der spezielle Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Nicht Lebesgue meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kapitel X Integrationstheorie
1 Meßbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Einfache und meßbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Ein Meßbarkeitskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Meßbare numerische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Der Verband der meßbaren numerischen Funktionen. . . . . . . . . . . 71
Punktweise Grenzwerte meßbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 75
Radonmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Das Integral fu¨r einfache Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Die L -Seminorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1
Das Bochner-Lebesguesche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Die Vollst¨andigkeit von L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1
Elementare Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Konvergenz in L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1
3 Konvergenzs¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Integration nichtnegativer numerischer Funktionen . . . . . . . . . . . 100
Der Satz u¨ber die monotone Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Das Lemma von Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Integration numerischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Der Satz von Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 Die Lebesgueschen R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Wesentlich beschr¨ankte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Die H¨oldersche und die Minkowskische Ungleichung . . . . . . . . . . . 115
Die Vollst¨andigkeit der Lebesgueschen R¨aume . . . . . . . . . . . . . . 118
L -R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
p
Stetige Funktionen mit kompaktem Tr¨ager . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Stetige Linearformen auf L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
p
Inhalt ix
5 Das n-dimensionale Bochner-Lebesguesche Integral . . . . . . . . . . . 133
Lebesguesche Maßr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Das Lebesguesche Integral fu¨r absolut integrierbare Funktionen . . . . 135
Eine Charakterisierung Riemann integrierbarer Funktionen . . . . . . . 138
6 Der Satz von Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Fast-u¨berall definierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Das Cavalierische Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Anwendungen des CavalierischenPrinzips . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Der Satz von Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Der Satz von Fubini fu¨r skalare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 151
Der Satz von Fubini fu¨r vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . 154
Die Minkowskische Ungleichung fu¨r Integrale. . . . . . . . . . . . . . . 159
Eine Charakterisierung von L (Rm+n,E) . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
p
Ein Spursatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7 Die Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Die Definition der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Translationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Elementare Eigenschaften der Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Approximative Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Testfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Glatte Zerlegungen der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Faltungen E-wertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Lineare Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Schwache Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8 Der Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Inverse Bilder des Lebesgueschen Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Der allgemeine Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
n-dimensionale Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Integration rotationssymmetrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . 209
Der Transformationssatzfu¨r vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . 210
9 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Definition und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Der Raum der schnell fallenden Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 215
Die Faltungsalgebra S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Rechenregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Der Fouriersche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Faltungen und Fouriertransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Fouriermultiplikationsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Der Satz von Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
x Inhalt
Symmetrische Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Die Heisenbergsche Unsch¨arferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Kapitel XI Mannigfaltigkeiten und Differentialformen
1 Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Definitionen und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Submersionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Berandete Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Lokale Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Tangenten und Normalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Der Satz vom regul¨aren Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Eindimensionale Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Zerlegungen der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
2 Multilineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
A¨ußere Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Ru¨cktransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Das Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Der Rieszsche Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Der Hodgesche Sternoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Indefinite innere Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
3 Die lokale Theorie der Differentialformen. . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Definitionen und Basisdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Ru¨cktransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Die ¨außere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Das Lemma von Poincar´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
4 Vektorfelder und Differentialformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Lokale Basisdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Lokale Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Die ¨außere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Geschlossene und exakte Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Kontraktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Orientierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Inhalt xi
5 Riemannsche Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Das Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Riemannsche Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Der Sternoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Die Koableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Der Rieszsche Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Die Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Der Laplace-BeltramiOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Die Lie-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Der Hodge-Laplace Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Das Vektorprodukt und die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Kapitel XII Integration auf Mannigfaltigkeiten
1 Volumenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Die Lebesguesche σ-Algebra von M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Die Definition des Volumenmaßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Berechnung einiger Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
2 Integration von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Integrale von m-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Restriktionen auf Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Der Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
Berechnung einiger Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Flu¨sse von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Das Transporttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
3 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
Der Stokessche Satz fu¨r glatte Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . 442
Mannigfaltigkeiten mit Singularit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Der Stokessche Satz mit Singularit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Ebene Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
H¨oherdimensionale Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
Homotopieinvarianz und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
Die Greenschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
Der klassische Stokessche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Der Sternoperator und die Koableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464