Analysis 2

150 Pages·2001·0.921 MB·German

by  Skoruppa N.-P.

Analysis II
Nils-Peter Skoruppa
Universit˜at Siegen 2001
ii
(cid:176)c CountNumber Publishing 2001
www.countnumber.de
iii
Dieses Skript ist die Ausarbeitung einer Vorlesung zur Analysis II, die ich
im Sommer-Semester 2001 an der Universit˜at Siegen gehalten habe. Bei der
Vorbereitung der Vorlesung habe ich ein Skript von 1990 benutzt, welches
damals Studierende der Mathematik in Bonn nach Vorlesungen von F. Hir-
zebruch und unter meiner Anleitung ausgearbeitet hatten. Als erg˜anzende
Bu˜cher zum vertiefenden Selbststudium empfehle ich
Michael Spivak | Calculus on Manifoldes (W.A.Benjamin, Inc.).
†
Serge Lang | Analysis (Inter European Editions).
†
IchdankeherzlichFrauKarinSchu˜tz,diedasKapitelu˜berIntegralrechnung
in LATEX gesetzt hat. Die U˜bungsaufgaben aus dem Anhang B stammen von
Herrn Dr. Georg Illies, der nicht nur dadurch zum Gelingen der Lehrver-
anstaltung beigetragen hat, und dem an dieser Stelle ausdru˜cklich gedankt
sei.
Siegen im Juli 2001 Nils-Peter Skoruppa
Bezeichnungen
Wir benutzen durchweg die Bezeichnungen aus der Analysis I. Insbesondere
erinnern wir daran, da… N die Menge der natu˜rlichen Zahlen einschlie…-
lich der Zahl 0 bedeutet. Fu˜r die positiven natu˜rlichen Zahlen, wie auch
fu˜r negative reelle Zahlen und ˜ahnlich, benutzen wir sich selbst erkl˜arende
Notationen wie Z>0, R<0, etc.. Mit Rm£n bezeichnen wir die Menge aller
Matrizen mit m Zeilen, n Spalten und reellen Eintr˜agen; gelegentlich be-
nutzen wir auch Cm£n, Zm£n, ...mit entsprechender analoger Bedeutung.
Die Menge der Zeilenvektoren der L˜ange n wird demnach mit R1£n bezeich-
net. Statt Rm£1 schreiben wir fu˜r Spaltenvektoren auch einfacher Rm. Ist
M eine Menge und Y ein reller Vektorraum, so ist die Menge Abb(M;Y)
aller Abbildungen U Y wieder ein reller Vektorraum, wenn man Summe
!
und Skalarmultiplikation durch die Formeln (f +g)(m) = f(m)+g(m) und
(rf)(m) = r(f(m)) erkl˜art. Mit Hom(X;Y) bezeichnen wir die Menge aller
linearen Abbildungen X Y. Dies ist dann auch ein Vektorraum, n˜amlich
!
ein Untervektorraum von Abb(X;Y).

Inhaltsverzeichnis
1 Topologische Grundbegrifie 1
1.1 Normierte Vektorr˜aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Euklidische Vektorr˜aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Metrische R˜aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Konvergenz von Punktfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Aequivalenz von Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Stetigkeit 23
2.1 Stetigkeit auf metrischen R˜aumen. . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Stetigkeit von linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Stetigkeit und kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Difierenzierbarkeit 29
3.1 Der Grenzwert von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Die Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Totale Difierenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Stetige Difierenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Nabla oder Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Spur und Determinante einer Ableitung . . . . . . . . . . . . 43
4 H˜ohere Ableitungen 45
4.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Die Haupts˜atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Intermezzo: Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Systeme difierenzierbarer Gleichungen 65
5.1 Banachscher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Maxima und Minima mit Nebenbedingung . . . . . . . . . . . 83
vi INHALTSVERZEICHNIS
6 Integralrechnung 89
6.1 Deflnition des Riemannschen Integrals . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Iterierte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Lebesgue- und Jordan-Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.1 Der Integrierbarkeitsbegrifi aus der Analysis I . . . . . 106
6.4 Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A Aufgaben zu den einzelnen Kapiteln 113
A.1 Stammfunktionen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . 113
A.2 Normierte und euklidische Vektorr˜aume, metrische R˜aume,
Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.4 Difierenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.5 Umkehrsatz, Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.6 Iteration von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.7 Maxima und Minima mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . 126
B U˜bungsaufgaben aus dem Sommersemester 2001 127
C Die Graphen einiger Funktionen bei kritischen Punkten 139
Kapitel 1
Topologische Grundbegrifie
In dieser Vorlesung geht es darum, die grundlegenden Begrifie der Theorie
der reellwertigen Funktionen in n 1 Ver˜anderlichen zu entwickeln. Die
‚
m˜oglichen Argumente einer solchen Funktion sind also n-Tupel von reellen
Zahlen. Jedes solche n-Tupel repr˜asentiert einen Punkt im Rn, dem aus der
linearen Algebra bekannten Standardvektorraum
x
1
Rn = 80 ... 1 x1;:::;xn R9:
fl 2
>< x fl >=
n
B C fl
@ A fl
Man beachte, da… die Elem>:ente vonfl Rn als Spalten>;geschrieben sind. Wie
schon mit dem Wort Vektorraum angedeutet, besitzt die Menge Rn Zusatz-
struktur. Man kann zwei Elemente des Rn addieren:
x y x +y
1 1 1 1
. . .
0 .. 1+0 .. 1 = 0 .. 1;
x y x +y
n n n n
B C B C B C
@ A @ A @ A
oder man kann ein Element des Rn mit einer reellen Zahl, einem Skalar,
multiplizieren:
x ‚ x
1 1
¢
. .
‚ 0 .. 1 = 0 .. 1:
¢
x ‚ x
n n
B C B ¢ C
@ A @ A
Es ist der logischen Klarheit wegen oft gu˜nstig, den Betrachtungen statt
des Rn einen abstrakten reellen Vektrorraum X zu Grunde zu legen. Wo
dieser abstrakte Standpunkt wirklich nu˜tzlich erscheint, werden wir dies im
Folgenden auch tun. Ist X endlich-dimensional, so ist X nach bekannten
Tatsachen aus der linearen Algebra isomorph zum Rn, d.h. man kann sich
dann X durchaus stets als Rn vorstellen, wenn das dem Verst˜andnis helfen
sollte.
2 Topologische Grundbegrifie
In diesem Kapitel werden wir uns noch nicht mit reellwertigen Funktio-
nen auf Vektorr˜aumen besch˜aftigen, sondern zun˜achst einige geometrische
Grundbegrifie in reellen Vektorr˜aumen | und sogar in allgemeinen metri-
schen R˜aumen | entwickeln. Diese Grundbegrifie werden in sp˜ateren Kapi-
telneinenerheblichenTeilderSprachebilden,mitHilfedererwirFunktionen
in mehreren Variablen untersuchen werden.
1.1 Normierte Vektorr˜aume
Sei X ein reeller Vektorraum. Der anschauliche Begrifi der L˜ange eines Vek-
tors wird mathematisch durch den Begrifi der Norm wiedergegeben.
Norm Deflnition. Eine NormeinesR-VektorraumsX isteineAbbildungX R,
!
die jedem x X eine reelle Zahl x so zuordnet, da… folgende Axiome
2 k k
gelten:
(N1) x X : x = 0 x = 0;
8 2 ) k k
(N2) x X : x = 0 x > 0;
8 2 6 ) k k
(N3) ‚ R; x X : ‚x = ‚ x ;
8 2 2 k k j j¢k k
(N4) x;y X : x+y x + y :
8 2 k k • k k k k
Normierter Ein reeller Vektorraum zusammen mit einer Norm hei…t normierter Vektor-
Vektorraum raum.
x
1
.
Beispiel. Es sei X = Rn. Fu˜r x = 0 .. 1 X sei
2
x
n
B C
@ A
n
x := x :
i
k k j j
i=1
X
Hierdurch wird eine Norm auf Rn deflniert: Die Gu˜ltigkeit von (N1) und
(N2) ist klar. (N3) gilt wegen
n n n
‚x = ‚x = ( ‚ x ) = ‚ x = ‚ x :
i i i
k k j j j j¢j j j j j j j j¢k k
i=1 i=1 i=1
X X X
(N4) gilt wegen
n n
x+y = x +y ( x + y ) = x + y :
i i i i
k k j j • j j j j k k k k
i=1 i=1
X X
Fu˜rn = 1ist x dergew˜ohnlicheAbsolutbetrag,wiewirihninderAnalysis
k k
I als Norm auf R benutzt haben.
1.2 Euklidische Vektorr˜aume 3
Beispiel. Ebenso wird durch
x := max x
i
k k1 1 i nj j
••
eine Norm auf dem Rn deflniert, die sogenannte Maximum-Norm. Maximum-
Beispiel. Wir betrachten X = C0([a;b]), den Vektorraum aller stetigen Norm
Funktionen f : [a;b] R, versehen mit der Addition f +g deflniert durch
!
(f +g)(x) = f(x)+g(x) und der skalaren Multiplikation ‚f deflniert durch
(‚f)(x) = ‚f(x). Auf X wird durch
b
f = f(x) dx
k k j j
Za
eineNormdeflniert:(N1)giltwegenderLinearit˜atdesIntegrals.ZumNach-
weisvon(N2)seif 0,d.h.esgebeein» [a;b]mitf(») = 0.Danngibtes
6· 2 6
wegen der Stetigkeit von f ein † > 0, so da… f(x) > k mit einer geeigneten
j j
Konstanten k > 0 fu˜r alle x [» †;»+†] gilt. Damit ist dann
2 ¡
b »+† »+†
f(x) dx f(x) dx k dx = 2†k > 0:
j j ‚ j j ‚
Za Z» † Z» †
¡ ¡
Die Axiome (N3) und (N4) folgen aus der Linearit˜at und der Monotonie des
Integrals.
x
1
U˜bung. Sei p > 0 eine reelle Zahl. Fu˜r x = 0 ... 1 setzen wir p-Norm
x
n
B C
@ A
1
n p
x := x p :
p i
k k j j
ˆ !
n=1
X
Man zeige, da… hierdurch eine Norm auf dem Rn deflniert wird.
U˜bung. IndenBezeichnungendervorangehendenU˜bungzeigemanfu˜rjedes
x Rn
2
lim x = x :
p
p k k k k1
!1
1.2 Euklidische Vektorr˜aume
Spezielle Normen sind solche, die sich aus einem Skalarprodukt herleiten.
Deflnition. Es sei X ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt ; ist Skalarprodukt
h i
eine Abbildung X X R, die folgende Eigenschaften erfu˜llt:
£ !
(SP1) x;y X : x;y = y;x ;
8 2 h i h i
4 Topologische Grundbegrifie
(SP2) x;y;z X : x+y;z = x;z + y;z ;
8 2 h i h i h i
(SP3) ‚ R; x;y X : ‚x;y = ‚ x;y ;
8 2 2 h i h i
(SP4) x X : x = 0 x;x > 0:
8 2 6 ) h i
Euklidischer Einen reellen Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt nennt man
Vektorraum euklidischen Vektorraum.
Bemerkung. Bei fest gehaltenem y ist die Abbildung x x;y nach (N2)
7! h i
und (N3) linear. Da das Skalarprodukt nach (N1) symmetrisch ist, so ist bei
fest gehaltenem x auch die Abbildung y x;y linear.
7! h i
x y
1 1
. .
Standard- Beispiel. Es sei X = Rn. Dann wird mit x = 0 .. 1; y = 0 .. 1 durch
skalarprodukt x y
n n
auf dem Rn B@ CA B@ CA
n
x;y = x y
i i
h i
i=1
X
ein Skalarprodukt auf X deflniert. Dieses hei…t das Standardskalarprodukt
fu˜r den Rn.
Beispiel. Wir betrachten den Vektorraum C0([a;b]). Analog zum Standard-
skalarprodukt im Rn deflnieren wir hier:
b
f;g = f(x)g(x) dx:
h i
Za
(SP1) { (SP3) sind ofiensichtlich erfu˜llt, (SP4) folgt mit ˜ahnlichen Argu-
b
menten wie oben (N2) fu˜r die Norm f = f(x) dx. Man beachte, da…
k k a j j
C0([a;b])eineBeispielfu˜ereinenunendlich-dimensionalen,euklidischenVek-
R
torraum ist.
InjedemeuklidischenVektorraumX hatmaneinenatu˜rlicheNorm,n˜amlich
die Betragsnorm
x := x;x :
k k h i
Fu˜r X = R hat man insbesondere xp= px2 = x . Um zu beweisen, da…
k k j j
1
x := x;x 2 tats˜achlich eine Norm deflniert, ben˜otigen wir die folgende
k k h i
Ungleichung:
Cauchy- Satz. Sei X ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt ; , und seien
h i
Schwarzsche x;y zwei Vektoren in X. Dann gilt:
Ungleichung
x;y 2 x;x y;y :
h i • h i¢h i
Es gilt Gleichheit genau dann, wenn x und y linear abh˜angig sind.