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Springer-Lehrbuch Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH Stefan Hildebrandt Analysis 2 Mit Abbildungen 122 i Springer Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Stefan Hildebrandt Universitiit Bonn Mathematisches Institut BeringstraBe 1 53115 Bonn, Deutschland Mathematics Subject Classification (2000): 26-01 sowie 34-01, 42-01 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Der Holzschnitt auf dem Umschlag stellt das Sternbild LEO dar und wurde dem astronomischen Lehrgedicht Mythographus, Poeticon Astronomicon des romischen Schriftstellers Hyginus entnommen, das 1482 von Erhard Ratdolt in Venedig gedruckt wurde. ISBN 978-3-540-43970-7 ISBN 978-3-642-18972-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-18972-2 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Dbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfi1mung oder der Vervielfăltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfăltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zuliissig. Sie ist grundsiitzlich vergiitungs pllichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. http://www.springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003 Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen in! Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wăren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Satz: Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer TJlX-Makropakets Einbandgestaltung: design 6-production GmbH, Heidelberg Gedruckt auf săurefreiem Papier 44/3142Ck -5 4 3 2 1 o Vorwort De!"vorhcgendeBandschliebt cine EiufuhruugindieGrundlegen dcrDifferential lind Intcgralrechnung aboSic ist so angclegt, daBcinerseits die ncnere Auffes sting der Analysis durchscheint. unci anderersetts moghchst viele der Hilfsmit tel entwickelt werden, die man schon fruhaeitig beniitigt, urn den Voriesungen der angewandten Naturwissenschaften wie etwa dec Physik folgen zu konnen. Dies Iiefi sich nur durch einige Beschraukungen erreichen. Bcisplelswelse wird statt des mehrdimensionalen Lebesgucschen Integralsdas Riemannsche Integral behaudelt, das sich in aller KOr7R einftihren laBt., weil dee N6tigste schon im eindlmeusionalen Fall gesagt ist, Die hier hehandelten Dinge umfassenden Stoff der Vorlesung AnalysisII,,...iesie ublichcrweiso au deutschcn Hochschulcn gelehrt wlrd, lind dariiber hinaus Teile der Analysis III sowteder Funktioncntheorie.Esschelnt mir ntltzfich und fl{iti~, den Leser schon fruh mit den Idcen und Res ultaten der komplexen Analysis ver treut worden zu lassen. Ubcrdil:'S bietet derResiduenkalkilldie Mogllchkelt,unei gentlichcIntcgraleelegautuudin natiirlichcr\Vcisezu berechnen:schlieBlichsind Euler und Cauchy durch das Problem der Integralberochnung zur Funkt.ionen thconc gelangt. Hicr schlie6t sichdie Behandlung der Fouriertransformation an, die cines der wichtigsten Hilfsmittel dcr Xlathcmatik lind Ausgangspunkt dcr harmonisehcn Analysis ist. Zur Vorbereitungwird friihzeitig der I3egriffdes Kurvenintegralsentwickelt,was auch den Vorteil bictet, beizeiten Potentiale von Vektorfeldern befriedigeud be handeln zu konnen. Es folgt ein AbriB der Diffcrentialgeometrie von Kurven,die in cinfiihrenden Vorlesungen viclfach nlcht oder nur sttefmnttcrllch dargestellt wird, obwohl gerade die Kurventheorie faszinierenden Stoff fur den Matherne tlkuuterrirht im Gymnasium bidet lind uberdtes fur das Verstandnls der 1\1e chanikvorlesung uncntbehrlich ist. Aus letzterem Orunde findet slch auch elne Daratellungdcr Ek-mentedec Variationsrechnungmitsamt Erhaltungseatzen von Emmy Noether, holoucmen Xebenbcdingungen und zahlreichcn Belspiclcn, un tcr Einschluf mehrdimensionaler vartanouslntegralc.Demgleichen Zwcck dient die Behandlung der Legendretransformation,VOIl Variationsprinzipien wieetwa dem Prinzip der klelnstcn Wlrkung, der Dtfforenttalglek-hungen auf Mannigfal tlgkeiten und des Liouviilescheu Satzes, dec zeigt, daf Hamiltonsche Systeme VI Vorwort maBtreueFlusse erzeugen. Alldieserfordert die in Absehnitt 2.3 untersuehtedif ferenzierbare Abhangigkeit der Losungen von Anfangswertproblemen bezliglieh Parametern;erst so wird gesiehert, daf Phasenflusse Diffeomorphismen generie ren. Eingesehlossen ist aueh eine eingehende Behandlung konvexer Mengen und kon vexer Funktionen;diese wiehtigen Begriffe ersehienen im ersten Band nur in den Aufgaben. DifferenzierbareMannigfaltigkeiten werdenin Gestalt gleiehungsdefinierterMan nigfaltigkeiten untersueht. Damit lassen sieh viele wesentliehe Ideen und Resul tate der globalen Analysis ohne weitergehende Begriffeder mengentheoretisehen Topologie erlautern. Hinzu kommt ein Absehnitt uber Flachenverdickung und Abstandsfunktion.Diessind grundlegendegeometrisehe Hilfsmittel,die aueh zur globalen Definition desFlacheninhalts und allgemeiner von Flachenintegralen so wiezu einem geometrisehen Beweisdes GauBsehen Integralsatzesfuhren, Zudem enthalt die Abstandsfunktion viele geometrisehe Eigensehaften einer Mannig faltigkeit und ist unentbehrlieh bei der Untersuehung von Randwertaufgaben niehtlinearer partieller Differentialgleiehungen. Aueh dieser zweite Band umfaBt mehr, als im ublichen Vorlesungsturnus gelehrt werden kann. Daher ist alles hier Gebraehtesoausftihrlich dargestellt,dafessieh im Selbststudium oder in einem Proseminar bewaltigen laBt. Ieh hoffe, dureh die beiden vorliegenden Bande den Leser ausreiehend auf die weiterftihrenden Vorlesungen vorbereitet zu haben. In dem geplanten dritten Band wird das Lebesguesehe Integral unter versehie denen Aspekten betraehtet. Daneben werden der Kalkul der alternierenden Dif ferentialformen und das allgemeine Konzept der Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten behandelt. Hinzu kommt eine Einfuhrung in die Funktional analysis, insbesonderein dieTheorieder metrisehen Raume,und eine Erganzung zur komplexen Analysis, wobei insbesondere konstruktive Verfahren untersucht werden. Allen Kollegen und Studenten, die sich an der kritischen Durchsicht des Textes und am Korrekturlesen beteiligt haben, danke ich wiederum sehr herzlich, ins besondere den Herren Daniel Habeck,Ruben Jakob,Michail Lewintan, Andreas Ratz,BerndSchmidt und DanielWienholtz.Letzteremwie auch HerrnLewintan verdanke ich zahlreiche Abbildungen. Die Herren Carl-Friedrich Bodigheimer, Mariano Giaquinta, Joachim Naumann und Arnold Staude haben mir mehrere Korrekturen und Anderungsvorschlage zukommen lassen, wofur ich ihnen be stens danke,ebenso wie Frau Beate Leutloffund Frau Anke Thiedemann fur die geduldige und sorgfaltige TEX-Erfassung meines Manuskriptes. Bonn, November 2002 Stefan Hildebrandt Inhaltsverzeichnis 1 Differentialrechnung fUr Funktionen mehrerer Variabler 1 1 Partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Variabler 2 2 Differenzierbarkeit. Differential. Tangentialebene . . . . . 16 3 Parameterabhangige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Differenzierbarkeit parameterabhangiger uneigentlicher Integrale 31 5 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 38 6 Taylorformel fur Funktionen mehrerer Variabler . 52 7 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . 56 8 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen 66 9 Invertierbare Abbildungen 77 10 Legendretransformation . 84 11 Satz von Heine-Borel. Lipschitzstetigkeit. Nullmengen 94 2 Kurven und Kurvenintegrale 103 1 Bogenlange. Kurven- und Wegintegrale . 104 2 Kriimmung und Windung. Frenetsche Fonneln 134 3 Das Anfangswertproblem III . 154 4 Eindimensionale Variationsrechnung 162 VIII Inhaltsverzeichnis 3 Holomorphe Funktionen, Residuen, Fouriertransformation 193 1 Holomorphe Funktionen 194 2 Cauchys Integralformel . 208 3 Potenzreihen und holomorphe Funktionen 224 4 Gebietstreue, Maximumprinzip, Schwarzsches Lemma 237 5 Nullstellen holomorpher Funktionen.Satzevon Hurwitz und Rouche242 6 Abelscher Grenzwertsatz.Satz von Tauber . . . . . . . . . . . . . 247 7 Isolierte Singularitaten, Laurentreihen. Meromorphe Funktionen 250 8 Berechnung uneigentlicher Integrale mit dem Residuensatz . 261 9 Das Fouriersche Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10 Die Fouriertransformation auf dem Schwartzschen Raume S 285 4 Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten 295 1 Satz ilber implizite Funktionen. Mannigfaltigkeiten im lRn 296 2 Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit 306 3 Extrema mit Nebenbedingungen. Lagrangesche Multiplikatoren 310 4 Enveloppen . . . . . . . .... . . .. . . .. . 323 5 Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten . 340 6 Abstandsfunktion und Eikonalgleichung 346 5 Integralrechnung im lRn 359 1 Quadrierbare Mengen, Inhalt und Integral im lRn 359 2 Der Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . 391 3 Pararneterabhangige Integrale. Eulersche Differentialgleichung . 408 4 Uneigentliche Integrale im lR". Newtonsches Potential . . . .. 420 6 FHichenintegrale und Integralsatze 433 1 Flacheninhalt .. 433 2 Flachenintegrale 455 Inhaltsverzeichnis IX 3 Die Integralsatze von Cauf undGreen 470 4 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . 490 Kapitel 1 Differentialrechnung fur Funktionen mehrerer Variabler In diesem Kapitel behandeln wir die Differentialrechnung fur Funktionen meh rerer Variabler. Des besseren Verstandnisses wegen entwiekeln wir alle Begriffe im JRn, also mittels kartesischer Koordinaten. Wir beginnen in Abschnitt 1.1 damit, die Begriffe partielle Differenzierbarkeit, partielle Ableitung, Richtungsableitung, Gradient, Divergenz und Rotation ein zuftihren und erste Eigenschaften partiell differenzierbarer Funktionen herzu leiten. In Abschnitt 1.2 wird der Begriff der (totalen) Differenzierbarkeit defi niert und untersucht,inwieweit er mit der partiellen Differenzierbarkeit uberein stimmt; es zeigt sich, daf beide Begriffe auf der Klasse C1(0,JRN) der stetigen Funktionen f : 0 JRN mit stetigen ersten partiellen Ableitungen uberein ----7 stimmen. Im Anschluf daran wird die Tangentialebene eines differenzierbaren Graphen definiert, und es werden die Begriffe totales Differential, Differential form ersten Grades (l-Form) und Kovektorfeld eingefuhrt. SchlieBlich wird die allgemeine Form der Kettenregel angegeben. In Abschnitt 1.3 wird die Differenzierbarkeit bestimmter Integrale nach einem Parameter untersucht. Das so gewonnene Ergebnis fiihrt zu dem wichtigen Satz von B.A. Schwarz ilber die Vertauschbarkeit zweier partieller Ableitungen. Par tielle Ableitungen hoherer Ordnung werden in 1.5 studiert, und anschlieBend werden der Begriffdes Potentiales eines Vektorfeldes definiert und notwendige sowie hinreichende Bedingungen fur die Existenz eines Potentiales aufgestellt. In 1.6wird die Taylorsche Formel fur Funktionen mehrererVariabler hcrgeleitet. S. Hildebrandt, Analysis 2 ©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
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