Analysis 2

409 Pages·1991·10.76 MB·German

by  Wolfgang Walter (auth.)

Springer-Lehrbuch
Wolfgang Walter
Analysis 2
Dritte, unveränderte Auflage
Mit 83 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg NewYork
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona
Budapest
Wolfgang Walter
Mathematisches Institut I
Universitat Karlsruhe
EnglerstraBe 2
W-7500 Karlsruhe 1, FRG
Mathematics Subject Classification (1991):
26-01, 26B05, 26B 10, 26B 12, 26B 15, 26B20, 26B25, 26B30, 26B35, 26B99
Dieser Band erschien bisher als Band 4 der Reihe Grundwissen Mathematik
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
WaIter, Wolfgang:
AnaIysis1 Wolfgang WaIter. -
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo; HongKong; Barcelona; Budapest:
Springer.
2.-3., unveriind. Aufl. - 1992 (Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-55385-4 ISBN 978-3-642-97402-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-97402-1
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1990, 1991
Softcover reprint ofthe hardcover 3rd edition 1991
Satz: Universitătsdruckerei H. Stiirtz AG, Wiirzburg
44/3140 -5 4 3210 Gedruckt auf săurefreiem Papier
Vorwort zur zweiten Auflage
Die Notwendigkeit einer Neuauflage nach einem guten Jahr gibt dem Autor die
willkommene Gelegenheit, Unebenheiten im Text zu glätten und Druckfehler,
diese sinnentstellenden Plagegeister, auszumerzen. Hier bin ich vielen Lesern,
meinen Kollegen und Mitarbeitern und nicht zuletzt den Hörern meiner Analysis
Vorlesung für nützliche Hinweise dankbar. Dieser Dank gilt ganz besonders
Herrn Prof. Dr. R.B. Burckel (Kansas State University), dessen scharfes Auge
viele Druckfehler entdeckt hat und dessen umfassender Kenntnis ich wertvolle
Anregungen verdanke. Eine Umstellung im Text von § 8 geht auf einen Hinweis
von Herrn Prof. Dr. H. König (Saarbrücken) zurück. Ihm verdanke ich auch ein
schönes Beispiel; es findet sich in Bemerkung 3 von Abschnitt 8.3.
Die technische Vorbereitung dieser Auflage unter zeitlichem Druck hätte ohne
die umsichtige Arbeit meiner Sekretärin, Frau I. Jendrasik, nicht termingerecht
durchgeführt werden können. Ihr gilt mein besonderer Dank.
Karlsruhe, im September 1991 Wolfgang Walter
Vorwort zur ersten Auflage
Mit dem vorliegenden zweiten Band ist diese Einführung in die Analysis ab
geschlossen. Das Hauptthema ist die Differential- und Integralrechnung für
Funktionen von mehreren Veränderlichen, also jener Stoff, der an den mei
sten Universitäten im zweiten und teilweise dritten Semester eines einführenden
Analysis-Kurses behandelt wird. Es war meine Absicht, mit diesem Lehrbuch ei
nen hilfreichen Begleiter der Vorlesung anzubieten, der auch im weiteren Studium
als zuverlässige Quelle benutzt werden kann. Das Buch geht an verschiedenen
Stellen über den Vorlesungsstoff hinaus und dient so der Vertiefung des Gegen
standes.
Auch dieser Band enthält zahlreiche historische Anmerkungen. Ihr Umfang
ist jedoch deutlich geringer als im ersten Band, wo die Entstehungsgeschichte
der Analysis beschrieben wird. In den Anwendungen, die zumeist der Physik
und Astronomie entnommen sind, wird die zentrale Rolle der Analysis in den
Naturwissenschaften sichtbar.
Im folgenden Streifzug durch das Buch wird auf Stellen hingewiesen, wo der
Text von üblichen Darstellungen sachlich oder methodisch abweicht oder wo
Dinge behandelt werden, die man vielleicht nicht erwarten wird. In den ersten
beiden Paragraphen werden die Themen Grenzwert und Stetigkeit im Rahmen
des metrischen Raumes abgehandelt. Auf das Problem der stetigen Fortsetzung
von Funktionen und auf konvexe Mengen im IRn wird näher eingegangen. Die
mehrdimensionale Differentialrechnung und ihre Anwendungen sind den folgen
den beiden Paragraphen vorbehalten. Mit dem Morse-Lemma machen wir einen
ersten Schritt in das höchst aktuelle Gebiet der Klassifikation von kritischen Stel
len differenzierbarer Abbildungen. Die Paragraphen 5 und 6 behandeln Wege und
Kurven und ihre Integrale sowie Riemann-Stieltjes-Integrale. Zu Beginn wird der
allgemeine Begriff des Netzlimes (nach Moore-Smith) eingeführt. Später werden
wir davon an vielen Stellen nützlichen Gebrauch machen, im besonderen bei den
verschiedenen Integralbegriffen, welche allesamt als allgemeine Limites definiert
werden können. Grundlegende Eigenschaften des Integrals wie die Linearität und
die Gebietsadditivität müssen so nur einmal bewiesen werden. Beim Thema Wege
und Kurven ist die Lehrbuchliteratur außerordentlich uneinheitlich. Ursache sind
zwei verschiedene Vorstellungen (mit verschiedenen Anwendungen): einmal im
mechanischen Bild der in der Zeit durchlaufene Weg, zum anderen die Kurve
als geometrischer Ort oder als Punktmenge. Nach Meinung des Autors kann
man keine dieser Vorstellungen unterdrücken, und so erscheinen hier Wege und
Kurven.
Vorwort zur ersten Auflage VII
In Paragraph 7 wird die Theorie des Jordan-Inhalts und des Riemannschen
Integrals im Rn ausgebreitet. Zu den Besonderheiten gehört ein neuer Zugang zur
Substitutionsregel, deren Schwierigkeiten wohlbekannt sind. Dazu wird zunächst
das Lemma von Sard bewiesen; es hat für eine Reihe von Fragen der höheren
Analysis große Bedeutung erlangt. Aus ihm erhalten wir dann die Substituti
onsformel in der Verschärfung, daß sie für beliebige (beschränkte) Funktionen
bezüglich des oberen und unteren R-Integrals gültig ist. Als Anwendungen findet
man u.a. die Faltung und Elementares aus der Potentialtheorie. Die Approxima
tion stetiger Funktionen durch COO-Funktionen (Friedrichs mollifiers) und durch
Polynome (Weierstraßscher Approximationssatz) wird durch Faltungsintegrale
bewerkstelligt; schon Weierstraß hat diesen Weg beschritten.
Bei den Integralsätzen der Vektoranalysis in Paragraph 8 beschränken wir
uns auf den zwei- und dreidimensionalen Raum. Die Allgemeinheit der Substitu
tionsregel erlaubt es, Flächen in Parameterdarstellung allgemeiner zu definieren,
als man es sonst meist findet. Der Begriff der k-dimensionalen Fläche im Rn und
der Gaußsche Integralsatz im Rn werden jedoch behandelt.
Ein maßtheoretischer Zugang zum Lebesgueschen Integral wird in Paragraph
9 dargestellt. Dabei folgen wir dem von Caratheodory eingeschlagenen Weg,
was zur Folge hat, daß die wesentlichen Beweise auch für den Übergang von
einem beliebigen äußeren Maß zum entsprechenden Maßraum gut sind; die
Darstellung beschränkt sich jedoch auf das Lebesguesche Maß. Das Lebesguesche
Integral wird als Limes in der ,natürlichen' (durch Verfeinerung der Zerlegung
definierten) Ordnung eingeführt. Die Meßbarkeit des Integranden ergibt sich dann
als Bedingung für die Existenz des Integrals. Es schließt sich eine kurze Theorie
der absolut stetigen Funktionen an, welche durch den Hauptsatz abgeschlossen
wird (der Kenner sei auf Satz 9.27 hingewiesen). Die im Vorwort zum ersten Band
a
angedeutete Möglichkeit, das Lebesguesche Integral la Riemann einzuführen,
wurde nicht verwirklicht. Man bekommt auch bei diesem sicher interessanten
Zugang nichts geschenkt. Schließlich war der Gesichtspunkt ausschlaggebend,
daß die allgemeine Maß- und Integrationstheorie sowieso irgend wann bewältigt
werden muß.
Der letzte Paragraph behandelt die Fourierschen Reihen. Im klassischen
Teil der Theorie wurde ein neuer, von Chernoff (1980) gefundener und von
Redheffer (1984) auf SprungsteIlen erweiterter Zugang gewählt. Er hat den Vorteil
außerordentlicher Kürze, wenn auch die Ergebnisse nicht ganz so allgemein wie
beim Dirichletschen Weg sind. Die Darstellung zeigt, daß man auf diese Weise
auch die Sätze über die gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen erhalten
kann. Mit der L 2_ Theorie der Fourierreihen schließt das Buch.
Beim Aufgabenteil haben sich die Gewichte verschoben. Neben den für das
Verständnis erforderlichen Übungen werden auch anspruchsvollere Aufgaben
angeboten, welche den Stoff ergänzen und weiterführen und mit Anleitungen
versehen sind. Einige Beispiele: Die stetige Fortsetzung von gleichmäßig steti
gen Funktionen nach Whitney, der Satz über implizite Funktionen für reelle
Potenzreihen, das Hausdorff-Maß und sein Zusammenhang mit der Kurvenlänge.
Bei Verweisen wird der erste Band mit I bezeichnet; im übrigen bleibt es
bei den dort genannten Regeln. Satz 2.9 ist der Satz im Abschnitt 2.9, die
VIII Vorwort zur ersten Auflage
Aufgabe 2.9 ist im Aufgabenteil am Ende von § 2 zu finden, und der Abschnitt
1.11.15 befindet sich im ersten Band in § 11.
Zum Schluß bleibt mir die angenehme Aufgabe, all jenen zu danken, die
mich mit Rat und Tat unterstützt haben. Dem Herausgebergremium verdanke
ich viele hilfreiche Hinweise; das gilt im besonderen für Herrn Lamotke, der
auch den Anstoß zur Aufnahme des Morse-Lemmas gegeben hat. Herr Prof. Dr.
R.B. Burckel (Kansas State University) machte mich auf den neuen Beweis für
den Satz von Arzela in 7. 11 aufmerksam. Herr Prof. Dr. K. Hinderer (Karlsruhe)
regte die sukzessive Bestimmung eines Extremums in 2.10 an und wies auf den
Zusammenhang mit Methoden der Optimierung hin. Die Übertragung eines
häufig schwer lesbaren Manuskripts in einen sauberen Text wurde - zum großen
Teil in TEX - von Frau I. Jendrasik mit außergewöhnlicher Zuverlässigkeit
und Sachkenntnis durchgeführt. Herr Dr. A. Voigt hat zur Formulierung der
ersten Paragraphen beigetragen und das Sachverzeichnis angelegt. Am Lesen der
Korrekturen - erschwert durch unterschiedliche TEX-Systeme - waren neben ihm
Frau Dr. S. Schmidt und die Herren Priv.-Doz. Dr. R. Lemmert, cand.math.
U. Mayer, Priv.-Doz. Dr. R. Mortini und Priv.-Doz. Dr. R. Redlinger beteiligt.
Dabei erhielt ich manche wertvolle Anregung. Das Programmieren der meisten
Tuschezeichnungen besorgte Herr cand.chem. D. Wacker. Dem Verlag danke ich
für die zuvorkommende Zusammenarbeit.
Karlsruhe, im Januar 1990 Wolfgang Walter
Inhaltsverzeichnis
§ 1. Metrische Räume. Topologische Grundbegriffe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Der n-dimensionale euklidische Raum Rn 6 ... 1.2 Konvergenz 8 ... 1.3 Die
Regeln von de Morgan 10 ... 1.4 Äquivalenzrelation 10'" 1.5 Metrischer Raum
11 ... 1.6 Konvergenz und Vollständigkeit 12 ... 1.7 Normierter Raum und
Banachraum 15 ... 1.8 Die Maximumnorm 17 ... 1.9 Innenproduktraum und
Hilbertraum 19'" 1.10 Der Hilbertsche Folgenraum [2 20 ... 1.11 Innerer Punkt,
Randpunkt, Häufungspunkt 21 ... 1.12 Offene und abgeschlossene Mengen 22
... 1.13 Satz über Inneres, Rand und abgeschlossene Hülle 23 ... 1.14 Charakte
risierung der abgeschlossenen Hülle 24 ... 1.15 Metrischer Teilraum 25 ... 1.16
Kompakte Mengen 25 ... 1.17 Abstand zwischen Mengen. Umgebungen von
Mengen 26 ... 1.18 Orthogonalität und Winkel im Rn 28 ... 1.19 Unterräume und
Ebenen im Rn 29 * 1.20 Gerade, Strecke, Polygonzug 30 ... 1.21 Hyperebenen
und Halbräume 31 * 1.22 Konvexe Mengen 32 ... 1.23 Konvexe Funktionen 35
... Aufgaben 35
§2. Grenzwert und Stetigkeit 39
2.1 Grenzwert und Stetigkeit 41 ... 2.2 Schwankung einer Funktion. Limes
superior und Limes inferior 45 ... 2.3 Stetigkeitsmodul 46 ... 2.4 Komposition
stetiger Funktionen 46 * 2.5 Stetige vektor- und skalarwertige Funktionen
47 ... 2.6 Polynome in mehreren Veränderlichen 48 ... 2.7 Stetigkeit bezüglich
einzelner Veränderlichen 48 * 2.8 Lineare Abbildungen 49 ... 2.9 Stetigkeit
und Kompaktheit 51 * 2.10 Extremwerte bezüglich einzelner Variablen 52 ...
2.11 Satz über die gleichmäßige Stetigkeit 53 ... 2.12 Satz über die Stetigkeit
der Umkehrfunktion 54 * 2.13 Das Halbierungsverfahren 54 ... 2.14 Offene
Überdeckungen kompakter Mengen 57 ... 2.15 Gleichmäßige Konvergenz 58
... 2.16 Satz von Dini 59 ... 2.17 Weierstraßsches Majorantenkriterium 59 ...
2.18 Potenzreihen in mehreren Veränderlichen 59 ... 2.19 Fortsetzung stetiger
Funktionen 61 * 2.20 Landau··Symbole 64 ... Aufgaben 65
§ 3. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen ....................... 68
3.1 Partielle Ableitungen. Gradient 70 ... 3.2 Graphische Darstellung einer
Funktion. Höhenlinien 72 ... 3.3 Vertauschung der Reihenfolge der Differen
tiation 75 3.4 Der allgemeine Fall 76 ... 3.5 Funktionalmatrix und Funktional
determinante 78 ... 3.6 Höhere Ableitungen. Die Klassen Ck 79 ... 3.7 Lineare
Differentialoperatoren 80 * 3.8 Differenzierbarkeit und vollständiges Differen-
tial 81 ... 3.9 Satz 83 ... 3.10 Die Kettenregel 85 ... 3.11 Der Mittelwertsatz der
Differentialrechnung 87 ... 3.12 Richtungsableitungen 89 ... 3.13 Der Satz von
Taylor 90 * 3.14 Das Taylorpolynom 93 ... 3.15 Die Taylorsche Reihe 94 ...
3.16 Fläche und Tangentialhyperebene 96 * 3.17 Die Hessematrix 99 ... 3.18
Differentiation im Komplexen. Holomorphie 100 ... 3.19 Cauchy-Riemannsche
x Inhaltsverzeichnis
Differentialgleichungen. Satz 101 .. 3.20 Bewegung, winkeltreue und konforme
Abbildung 102 .. Aufgaben 103
§ 4. Implizite Funktionen. Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106
4.1 Fixpunkte kontrahierender Abbildungen 106 .. 4.2 Einige Hilfsmittel. Lip
schitzbedingung im Rn 109·. 4.3 Das Newton-Verfahren 111 • 4.4 Implizite'
Funktionen 111 .. 4.5 Satz über implizite Funktionen 114 • 4.6 Umkehrab
bildungen. Diffeomorphismen 118 .. 4.7 Offene Abbildungen 121 .. 4.8 Qua
dratische Formen 122 * 4.9 Maxima und Minima 124 • 4.10 Das Fermatsche
Kriterium für lokale Extrema 124 .. 4.11 Hinreichende Bedingung für ein Ex
tremum 125 • 4.12 Extrema mit Nebenbedingungen 128 • 4.13 Lagrangesche
Multiplikatorenregel 130 * 4.14 Corollar (Lagrangesche Multiplikatorenregel)
131 .. 4.15 Lokale Klassifikation von glatten Funktionen 133 .. 4.16 Lemma
von Marston Morse 135 .. Aufgaben 138
§ 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven ............................ 142
5.1 Gerichtete Menge und Netz 142 .. 5.2 Der Grenzwert eines Netzes 143
.. 5.3 Konvergenzkriterium von Cauchy 145 .. 5.4 Reellwertige Netze 145 *
5.5 Monotone Netze 146 .. 5.6 Das Riemann-Integral als Netzlimes 146 .. 5.7
Netzlimes für Teilintervalle 147 .. 5.8 Konfinale Teilfolgen 148 .. 5.9 Metrische
Ordnung und Riemannsche Summendefinition des Integrals 149
Wege und Kurven 151
5.10 Weg und Kurve 153 .. 5.11 Die Weglänge 160 .. 5.12 Die Weglänge als
Funktion von t 161 * 5.13 Äquivalente Darstellungen, Orientierung 163 .. 5.14
Die Länge einer Kurve 164 * 5.15 Die Bogenlänge als Parameter 168 * 5.16
Tangente und Normalenebene 169 * 5.17 Ebene Kurven, positive Normalen
170" 5.18 Krümmung und Krümmungsradius 171 .. 5.19 Ebene Kurven 174
.. 5.20 Funktionen von beschränkter Variation 175 .. 5.21 Darstellungssatz
von C. Jordan 177 .. 5.22 Satz über Rektifizierbarkeit 177 .. 5.23 Die Bewe
gungsgleichungen 178 .. 5.24 Die Lösung des Zweikörperproblems 179 .. 5.25
Satz über das Zweikörperproblem 182 * 5.26 Eindeutigkeitssatz 184 .. 5.27
Historisches zu den Keplerschen Gesetzen 184 .. Aufgaben 186
§ 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale . . . . . . . . . . .. 190
6.1 Das Riemann-Stieltjes-Integral 191 .. 6.2 Eigenschaften des Riemann
Stieltjes-Integrals 192 .. 6.3 Partielle Integration. Satz 193 .. 6.4 Transformation
in ein Riemann-Integral. Satz 194 • 6.5 Weitere Beispiele 194 .. 6.6 Bemer
kungen 195 .. 6.7 Mittelwertsätze für Riemann-Stieltjes-IntegraIe 197 .. 6.8
Zweiter Mittelwertsatz für Riemannsche Integrale 197 .. 6.9 Kurvenintegrale
bezüglich der Bogenlänge 198 * 6.10 Eigenschaften von Kurvenintegralen 199
* 6.11 Anwendungen 199 * 6.12 Wegintegrale 201 .. 6.13 Eigenschaften und
Rechenregeln für Wegintegrale 202 * 6.14 Vektorfelder 203 * 6.15 Bewegung
in einem Kraftfeld 204 .. 6.16 Gradientenfelder. Stammfunktion und Potential
206 .. 6.17 Die Integrabilitätsbedingung 208 .. 6.18 Nochmals Kraftfelder 212
.. 6.19 Komplexe Wegintegrale 213 * 6.20 Integralsatz von Cauchy 214 .. 6.21
Satz über Stammfunktionen 215 * Aufgaben 216
§ 7. Jordanscher Inhalt und Riemannsches Integral im Rn ................. 218
7.1 Anforderungen an den Inhaltsbegriff 219 .. 7.2 Zerlegungen eines Intervalls
220 .. 7.3 Intervallsummen 222 .. 7.4 Äußerer und innerer Inhalt. Jordan-
Inhaltsverzeichnis XI
Inhalt 223 .. 7.5 Würfelsummen 225 .. 7.6 Quadrierbare Mengen. Satz 226
.. 7.7 Produktmengen 227 .. 7.8 Abbildungen von Mengen 228 .. 7.9 Lineare
Abbildungen 229
Das Riemann-Integral im IR" 231
7.10 Definition und einfache Eigenschaften des Integrals 232 .. 7.11 Satz
über gliedweise Integration 237 .. 7.12 Jordanscher Inhalt und Riemannsches
Integral 238 .. 7.13 Die Riemannsche Summendefinition des Integrals 239 ..
7.14 Parameterabhängige Integrale 241 .. 7.15 Iterierte Integrale. Der Satz von
Fubini 243 .. 7.16 Das Cavalierische Prinzip 245 .. 7.17 Die Abbildung von
Gebieten. Das Lemma von Sard 246 .. 7.18 Transformation von Integralen. Die
Substitutionsregel 247 .. 7.19 Beispiele 250 .. 7.20 Uneigentliche Integrale 255
.. 7.21 Beispiele 256 .. 7.22 Die Faltung 258 .. 7.23 Approximation durch Coo_
Funktionen. Mittelwerte 261 .. 7.24 Der Weierstraßsche Approximationssatz
263 .. 7.25 Masse und Schwerpunkt 265 .. 7.26 Potential einer Massenbelegung
266 .. 7.27 Rotationssymmetrische Massenbelegungen 268 .. Aufgaben 273
§ 8. Die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 277
8.1 Gaußscher Integralsatz in der Ebene 278 .. 8.2 Vektorprodukt und Paralle
logrammfläche 281 * 8.3 Flächen im IR3 283 .. 8.4 Der Inhalt einer Fläche im
IR3 286 .. 8.5 Oberflächenintegrale 289 .. 8.6 Gaußscher Integralsatz im IR3 291
.. 8.7 Physikalische Bedeutung des Gaußschen Satzes. Geschwindigkeitsfelder
294 .. 8.8 Gramsche Matrizen und Determinanten 296 .. 8.9 Der Inhalt von
rn-dimensionalen Flächen im IRn 297 .. 8.10 Der Fall rn = n - 1 299 .. 8.11 Die
Rotation eines Vektorfeldes 301 .. 8.12 Der Satz von Stokes 301 .. Aufgaben
305
§ 9. Das Lebesgue-Integral ................................................... 308
9.1 Mathematische Vorbereitung. Das Rechnen in IR 311 .. 9.2 Intervalle 313
* 9.3 Mengen. Aigebren und a-Algebren 314 .. 9.4 Das äußere Lebesgue
Maß 315 .. 9.5 Das Lebesguesche Maß 317 .. 9.6 Offene Mengen und G~­
Mengen 320 * 9.7 Das Lebesguesche Integral im IR" 321 .. 9.8 Nichtnegative
Funktionen 325 * 9.9 Meßbare Funktionen 326 .. 9.10 Treppenfunktionen und
Elementarfunktionen 327 .. 9.11 Meßbarkeit und Integrierbarkeit 329 .. 9.12
ce
Funktionen mit Werten in IRP und 330 .. 9.13 Satz von Beppo Levi 331
.. 9.14 Satz von der majorisierten Konvergenz 332 .. 9.15 Lemma von Fatou
333 * 9.16 Das Prinzip von Cavalieri 333 .. 9.17 Die Produktformel 334 .. 9.18
Satz von Fubini (1. Form) 335 .. 9.19 Die Substitutionsregel 336 .. 9.20 Die
U-Räume 337 * 9.21 Dichtesatz 340
Das Lebesgue-Integral in IR 341
9.22 Absolutstetige Funktionen 341 .. 9.23 Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung 342 .. 9.24 Überdeckungssatz von Vitali 342 .. 9.25 Satz 344
.. 9.26 Satz 344 .. 9.27 Satz 345 .. 9.28 Abschluß des Beweises 346 .. 9.29 Satz
347" 9.30 Partielle Integration 348 .. 9.31 Die Substitutionsregel für n = 1 348
.. 9.32 Ausblicke 348 .. Aufgaben 349
§ 10. Fourierreihen ............................................................. 354
10.1 Trigonometrische Reihe und Fourierreihe 358 * 10.2 Satz von Riemann
Lebesgue 361 .. 10.3 Satz 361 .. 10.4 Konvergenzsatz 362 .. 10.5 Konvergenz-
satz für Sprungstellen 363 .. 10.6 Gerade und ungerade Fortsetzung 364 .. 10.7
Umrechnung auf andere Periodenlängen 364 .. 10.8 Riemannscher Lokalisati
onssatz 365 .. 10.9 Gleichmäßige Konvergenz. Satz 365