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Otto Forster Analysis 1 vieweg studium Grundkurs Mathematik Berater: Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann und Gisbert Wüstholz Lineare Algebra von Gerd Fischer Übungsbuch zur Linearen Algebra von Hannes Stoppel und Birgit Griese Analytische Geometrie von Gerd Fischer Analysis 1 von Otto Forster Übungsbuch zur Analysis 1 von Otto Forster und Rüdiger Wessoly Analysis 2 von OttoForster Übungsbuchzur Analysis 2 von Otto Forster und Thomas Szymczak Numerische Mathematik für Anfänger von GerhardOpfer Numerische Mathematik von Matthias Bollhöfer und Volker Mehrmann vieweg Otto Forster Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen 9., überarbeitete Auflage Mit 55 Abbildungen Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. Prof. Dr. Otto Forster Ludwig-Maximilians-Universität München Mathematisches Institut Theresienstraße 39 80333 München [email protected] 1. Auflage 1976 2Nachdrucke 2.,durchgesehene Auflage 1979 3.,durchgesehene Auflage 1980 2Nachdrucke 4.,durchgesehene Auflage 1983 7Nachdrucke 5.,überarbeitete Auflage 1999 1Nachdruck 6.,verbesserte Auflage 2001 2Nachdrucke 7.,verbesserte Auflage 2004 1.AuflageJuli 1999 8., verbesserte Auflage 2006 2., überarbeitete Auflage März 2004 9., überarbeitete Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten ©Friedr.Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfäl- tigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Ein- speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tesinská Tiskárna, Tschechien Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in the Czech Republic ISBN 978-3-8348-0395-5 V Vorwort zur ersten Auflage DiesesBuchistentstandenausderAusarbeitungeinerVorlesung,dieichim WS1970/71fu¨rStudentenderMathematikundPhysikdeserstenSemesters anderUniversita¨tRegensburggehaltenhabe.DieseAusarbeitungwurdespa¨ter vonverschiedenenKollegenalsBegleittextzurVorlesungbenutzt. Der Inhalt umfaßt im wesentlichen den traditionellen Lehrstoff der Analy- sis-Kurse des ersten Semesters an deutschen Universita¨ten und Technischen Hochschulen.Bei derStoffauswahlwurdeangestrebt,demkonkretenmathe- matischenInhalt,derauchfu¨rdieAnwendungenwichtigist,voreinemgroßen abstraktenBegriffsapparatdenVorzugzugebenunddabeigleichzeitiginsys- tematischer Weise mo¨glichst einfach und schnell zu den grundlegenden Be- griffen(Grenzwert,Stetigkeit,Differentiation,RiemannschesIntegral)vorzu- dringenundsiemitvielenBeispielenzuillustrieren.Deshalbwurdeauchdie Einfu¨hrungderelementarenFunktionenvordieAbschnitteu¨berDifferentiati- onundIntegrationgezogen,umdortgenu¨gendBeispielmaterialzurVerfu¨gung zuhaben.AufdienumerischeSeitederAnalysis(ApproximationvonGro¨ßen, die nicht in endlich vielen Schritten berechnet werden ko¨nnen) wird an ver- schiedenen Stellen eingegangen, um den Grenzwertbegriff konkreter zu ma- chen. DerUmfangdesStoffesistsoangelegt,daßerineinervierstu¨ndigenVorlesung ineinemWintersemesterdurchgenommenwerdenkann.DieeinzelnenPara- graphenentsprechenjenachLa¨ngeeinerbiszweiVorlesungs-Doppelstunden. Bei Zeitmangel ko¨nnendie§§ 17 und 23 sowieTeileder §§16 (Konvexita¨t) und20(Gamma-Funktion)weggelassenwerden. Fu¨r seine Unterstu¨tzung mo¨chte ich mich bei Herrn D. Leistner bedanken. ErhatdieseinerzeitigeVorlesungs-Ausarbeitunggeschrieben,beimLesender KorrekturengeholfenunddasNamens-undSachverzeichniserstellt. Mu¨nster,Oktober1975 O.Forster VI Vorwort zur 5. Auflage DieersteAuflagediesesBucheserschien1976.SeitdemhatesvieleJahrga¨nge vonStudentinnenundStudentenderMathematikundPhysikbeimBeginnih- resAnalysis-Studiumsbegleitet.AufgrundderdamaligenSatz-Technikwaren beiNeuauflagennurgeringfu¨gigeA¨nderungenmo¨glich.Dieeinzigewesentli- cheNeuerungwardasErscheinendesU¨bungsbuchszurAnalysis1[FW]. BeiderjetzigenNeuauflageerhieltderTextnichtnureineneuea¨ußereForm (TEX-Satz), sondern wurde auch gru¨ndlich u¨berarbeitet, um ihn wo mo¨glich nochversta¨ndlicherzumachen.AnverschiedenenStellenwurdenBezu¨gezur Informatikhergestellt.Soerhielt§5,indemu.a.dieEntwicklungreellerZah- len als Dezimalbru¨che (und allgemeiner b-adische Bru¨che) behandelt wird, einenAnhangu¨berdieDarstellungreellerZahlenimComputer.In§9finden sich einigegrundsa¨tzlicheBemerkungen zurBerechenbarkeit reellerZahlen. VerschiedenenumerischeBeispielewurdendurchProgramm-Codeerga¨nzt,so dassdieRechnungendirektamComputernachvollzogenwerdenko¨nnen.Da- beiwurdederPASCAL-a¨hnliche Multipra¨zisions-InterpreterARIBAS benutzt, den ich urspru¨nglich fu¨r das Buch [Fo] entwickelt habe, und der frei u¨ber das Interneterha¨ltlich ist(Einzelheitendazu aufSeite VIII). DieProgramm- BeispielelassensichaberleichtaufandereSysteme,wieMapleoderMathe- matica u¨bertragen. In diesem Zusammenhang sei auch auf das Buch [BM] hingewiesen. Insgesamtwurdenaberfu¨rdieNeuauflagediebewa¨hrtenCharakteristikendes Buchesbeibehalten,na¨mlichohnezugroßeAbstraktionenundohneStoffu¨ber- ladungdiewesentlichenInhaltegru¨ndlichzubehandelnundsiemitkonkreten Beispielenzu illustrieren.Sohoffeich,dassdasBuchauchweiterhinseinen LeserinnenundLeserndenEinstiegindieAnalysiserleichternwird. Wertvolle Hilfe habe ich von Herrn H. Stoppel erhalten. Er hat seine TEX-ErfahrungalsAutordesBuches[SG]eingebrachtunddenHauptteilder TEXnischen Herstellung der Neuauflage u¨bernommen.Viele der Bilder wur- den von Herrn V. Solinus erstellt. Ihnen sei herzlich gedankt, ebenso Frau Schmickler-HirzebruchvomVieweg-Verlag,diesichmitgroßemEngagement fu¨rdasZustandekommenderNeuauflageeingesetzthat. Mu¨nchen,April1999 OttoForster VII Vorwort zur 9. Auflage NebenderKorrekturbekanntgewordenerDruckfehler(denvielenaufmerksa- menLeserInnenseiDank!),habeichfu¨rdie6.bis9.AuflagedenTextanver- schiedenenStellenweiteru¨berarbeitetunderga¨nzt.Außerdemhabeichneue AbbildungenundU¨bungsaufgabenhinzugefu¨gt. Mu¨nchen,November2007 OttoForster VIII Software zum Buch DieProgramm-BeispieledesBuchessindfu¨rARIBASgeschrieben.Diesistein Multipra¨zisions-InterpretermiteinerPASCAL-a¨hnlichen Syntax.Erist(unter der GNU General Public License) frei u¨ber das Internet erha¨ltlich. Es gibt Versionen von ARIBAS fu¨r verschiedene Plattformen, wie MsWindows(von Windows95u¨ber WindowsNTbis WindowsXP), LINUX und andere UNIX- Systeme. Fu¨r diejenigen, die hinter die Kulissen sehen wollen, ist auch der C-Source-Code von ARIBAS verfu¨gbar. Um ARIBAS zu erhalten, gehe man aufdieWWW-HomepagedesVerfassers, http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼forster undvondortzumUnterpunktSoftware/ARIBAS. DortfindensichweitereIn- formationen. Da ARIBAS ein kompaktes System ist, muss nur etwa 1/4 MB heruntergeladenwerden. VonderobengenanntenHomepagegelangtmanu¨berdenUnterpunktBu¨cher/ Analysis auch zur Homepage dieses Buches. Von dort sind die Listings der Programm-Beispiele erha¨ltlich, so dass sie nicht mu¨hsam abgetippt werden mu¨ssen. Im Laufe der Zeit werden noch weitere Listings zu numerischen U¨bungsaufgabenundzuErga¨nzungenzumTextdazukommen.Ebenfallswird dorteineListederunvermeidlichzutagetretendenErrataabgelegtwerden.Die aufmerksamenLeserinnenundLeserseienermuntert,mirFehlerperEmailan folgendeAdressezumelden: [email protected] IX Inhaltsverzeichnis 1 Vollsta¨ndigeInduktion 1 2 DieKo¨rper-Axiome 12 3 DieAnordnungs-Axiome 20 4 Folgen,Grenzwerte 29 5 DasVollsta¨ndigkeits-Axiom 43 6 Wurzeln 56 7 Konvergenz-Kriterienfu¨rReihen 64 8 DieExponentialreihe 75 9 Punktmengen 82 10 Funktionen.Stetigkeit 94 11 Sa¨tzeu¨berstetigeFunktionen 104 12 LogarithmusundallgemeinePotenz 114 13 DieExponentialfunktionimKomplexen 126 14 TrigonometrischeFunktionen 135 15 Differentiation 151 16 LokaleExtrema.Mittelwertsatz.Konvexita¨t 165 17 NumerischeLo¨sungvonGleichungen 178 18 DasRiemannscheIntegral 188 19 IntegrationundDifferentiation 203 20 UneigentlicheIntegrale.DieGamma-Funktion 219 21 Gleichma¨ßigeKonvergenzvonFunktionenfolgen 234 22 Taylor-Reihen 249 23 Fourier-Reihen 268 ZusammenstellungderAxiomederreellenZahlen 283 Literaturhinweise 284 Namens-undSachverzeichnis 285 Symbolverzeichnis 290
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