Analysis 1: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für Studienanfänger

346 Pages·1980·13.882 MB·German

by  Arndt Blickensdörfer-Ehlers, Winfried G. Eschmann, Helmut Neunzert, Klaus Schelkes (auth.), H. Neunzert (eds.)

Mathematik fOr Physiker und Ingenieure
A. Blickensdorfer-Ehlers W. G. Eschmann
H. Neunzert K Schelkes
Ein Lehr- und Arbeitsbuch
fOr Studienanfanger
Herausgegeben von H. Neunzert
Mit 172 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1980
Arndt Blickensdorfer- Eh lers
Winfried G. Eschmann
Helmut Neunzert
Fachbereich Mathematik der Universitat Kaiserslautern
Postfach 3049
6750 Kaiserslautern
Klaus Schelkes
Bundesanstalt fOr Geowissenschaften und Rohstoffe
Stilleweg 2
3000 Hannover 51
ISBN-13: 978-3-540-10396-7 e-ISBN-13: 978-3-642-96597-5
001: 10.1007/978-3-642-96597-5
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Mathematik fOr Physiker und Ingenieure. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer.
---+ Analysis 1
Analysis 1: e. Lehr- u. Arbeitsbuch fOr Studienanfanger 1 A. Blickensdorfer
Ehlers ... Hrsg. von H. Neunzert. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1980.
(Mathematik fOr Physiker und Ingenieure)
NE: BlickensdOrfer-Ehlers, Arndt [Mitverf.]; Neunzert, Helmut [Hrsg.]
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1980
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2144/3140-543210
Inhaltsverzeichnis
Vorwort VIII KAPITEL 4. REELLE UNO KOMPLEXE FUNKTIONEN
Wie arbeiten Sie mit diesem Buch? XI
Einleitung 50
KAPITEL 1. DIE REELLEN ZAHLEN
§ 1 Definition der reel len Funktionen
§ Mengen und Beispiele 50
§ 2 Funktionen 4 § 2 Monotone Funktionen 52
Definitionen und Beispiele 4
§ 3 Beispiele aus der Wechselstrom
Die Komposition von Funktionen 6
lehre 54
Die Umkehrfunktion 8
Bijektive Funktionen 9 § 4 Rechnen mit reel len Funktionen 56
§ 3 Die reellen Zahlen 10 § 5 Polynome 58
Die Zahlengerade 10 Das Horner-Schema 58
Die arithmetischen Eigenschaften Nullstellen von Polynomen 60
von lR 10 § 6 Komplexe Funktionen 62
Ungleichungen 12 Komplexe Funktionen mit reel len
Intervalle 16 Argumenten 64
Definition und Eigenschaften der
Zusammenfassung 65
Wurzel 17
Der Betrag 19 KAPITEL 5. DAS SUPREMUM
Zusammenfassung 22 Einleitung 66
KAPITEL 2. VOLLSTANOIGE INOUKTION § 1 Schranken, Maximum, Minimum,
Supremum, Infimum 67
§ 1 Beweis durch vollstandige Induktion 24
Erklarung des Summenzeichens 26 § 2 Das Supremumsaxiom 70
§ 2 Rekursive Definitionen 26 § 3 Eigenschaften von Supremum und
Infimum 70
§ 3 n-te Potenz und n-te Wurzel 28
Eigenschaften der n-ten Potenz 28 § 4 Supremum und Maximum bei Funktionen 71
Die n-te Wurzel 30 § 5 Dual-, Dezimal- und Hexadezimal
Die binomische Formel 30 zahlen 72
Zusammenfassung 34 Zusammenfassung 74
KAPITEL 3. DIE KOMPLEX EN ZAHLEN KAPITEL 6. FOLGEN
Einleitung 36 Einleitung 75
§ Definition und Veranschaulichung 36 § Definition 75
§ 2 Der Korper ~ der komplexen Zahlen 36 § 2 Monotonie und Beschranktheit 76
Rechengesetze in ~ 36 Beschranktheit 76
lR als Teilmenge von ~ 38 Monotonie 76
§ 3 Realteil, Imaginarteil, Betrag 39 Monotone beschrankte Folgen 78
Realteil, Imaginarteil, Konjugierte 39 § 3 Konvergenz und Divergenz 80
Der Betrag 40 Konvergenz 80
§ 4 Die Polarform 44 Divergenz 82
Rechenregeln fUr konvergente Folgen 82
§ 5 n-te Wurzeln einer komplexen Zahl 46
Beispiele 84
Zusammenfassung 49 Rekursiv definierte Folgen 86
VI Inhaltsverzeichnis
§ 4 Komplexe Folgen 89 § 3 Sinus und Cosinus 142
Zusammenfassung 92 § 4 Hyperbelfunktionen 144
Zusammenfassung 146
KAPITEL 7. EINFOHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG
Einleitung 94 KAPITEL 10. STETIGE FUNKTIONEN
§ Beispiele 94 Einleitung 146
§ 2 Obersumme und Untersumme 98 § 1 Stetigkeit 149
Grenzwerte von Funktionen 149
§ 3 Die Definition des Integrals 102
Einseitige und uneigentliche
§ 4 Das Riemannsche Integrabilitats Grenzwerte 151
kriterium 104 Stetige Funktionen 152
Integrierbarkeit monotoner Funktionen 106 Trigonometrische Funktionen und
§ 5 Integral als Grenzwert einer Folge 107 Exponentialfunktion sind stetig 154
Das Riemannsche Summen-Kriterium 108 Stetig auf [a,b]: Drei Satze 156
§ 6 Numerische Integration 109 § 2 Anwendung auf spezielle Funktionen 161
Die Rechteckregel 109 Exponentialfunktion, Logarithmus
Die Trapezregel 110 und allgemeine Potenz 161
Die Simpsonregel 111 Trigonometrische Funktionen 164
§ 7 Eigenschaften des Integrals 112 § 3 Die E-o-Definition der Stetigkeit
Eigenschaften des Integrals bezUg und die Lipschitz-Stegigkeit 168
lich des Integrationsintervalls 112 § 4 Stetigkeit und Integration 171
Eigenschaften bezUglich des Inte
Zusammenfassung 172
granden 114
Ungleichungen fUr Integrale 116 KAPITEL 11. DIFFERENTIALRECHNUNG
Zusammenfassung 117 Einleitung 174
KAPITEL 8. REIHEN § Lineare Approximation 174
Einleitung (Zenon's Paradoxon) 118 § 2 Definition der Differenzierbarkeit 177
§ Beispiele 120 § 3 Differenzierbare Funktionen 180
§ 2 Konvergente Reihen 122 § 4 Rechenregeln fUr differenzierbare
Geometrische Reihen 122 Funktionen 184
Die "Schneeflockenkurve" 123 Summe, Produkt, Quotient 184
Rechenregeln fUr konvergente Reihen 124 Die Kettenregel 185
Notwendiges Konvergenzkriterium 125 Die Ableitung der Umkehrfunktion 188
Differenzierbarkeit von Potenzreihen 190
§ 3 Konvergenzkriterien 126
Vergleichskriterien 126 § 5 Die Ableitung komplexer Funktionen 190
Wurzelkriterium 126 § 6 Hohere Ableitungen 192
Quotientenkriteriurn 128 Aufgaben zum Eintiben der Diffe
Alternierende Reihen 128 rentiationstechniken 193
§ 4 Absolut konvergente Reihen 130 § 7 Beispiele von Differential
Zusammenfassung 133 gleichungen und Losungen 194
Losung der Schwingungsgleichung
KAPITEL 9. POTENZREIHEN UND SPEZIELLE FUNKTIONEN durch Potenzreihenansatz 194
Einleitung 134 § 8 Der erste Mittelwertsatz 196
§ 1 Potenzreihen 136 Lokale Extrema 196
Konvergenz von Potenzreihen 136 Der erste Mittelwertsatz der
Zusammenfassung: Potenzreihen als Differentialrechnung 198
Funktionen 139 Anwendungen des ersten Mittel
wertsatzes 200
§ 2 Exponentialfunktion 140
Definition der Exponentialfunktion 140 § 9 Die Regeln von de L'Hopital 201
Eigenschaften der Exponentialfunktion 140 Zusammenfassung 204
Inhaltsverzeichnis VII
KAPITEL 12. INTEGRALRECHNUNG-INTEGRATIONSTECHNIK Konvergenzkriterien 239
Einleitung 207 § 2 Unbeschrankter Integrand 240
Konvergenzkriterien 242
§ 1 Der Hauptsatz der Differential
und Integralrechnung 208 § 3 Die Gammafunktion 243
§ 2 Die Stammfunktion 210 § 4 Die Laplace-Transformation 245
§ 3 Eine andere Formulierung des Linearitat und elementare Laplace-
Transformation 246
Hauptsatzes 211
Bemerkungen zum Umkehrproblem 247
§ 4 Integration zur Losung einfachster
Transformation von Ableitungen 248
Differentialgleichungen 212
Tranformaiton von f(at±b) 249
§ 5 Das unbestimmte Integral 214 Verschiebung des Arguments in der
Bildfunktion 250
§ 6 Die Integration komplexer Funktionen 215
Kurze Ubersicht 251
§ 7 Integrationsmethoden 216
f' Zusammenfassung 252
Integranden der Form jf 216
Partielle Integration 217
Substitution 219
Eine Umformulierung der Substitu KAPITEL 14. TAYLORPOLYNOME UND TAYLORREIHEN
tionsregel 222
§ 1 Approximation durch Polynome 253
Substitution bei bestimmten Inte
Approximation 253
gralen 224
Taylorpolynome 255
§ 8 Separable Differentialgleichungen 225 § 2 Restglied 256
Losungsmethode 225
Restglied nach Taylor 256
Merkregel 226
Anwendung: Funktionswerte berechnen 257
Anfangswertprobleme 227
Restglied nach Lagrange 258
§ 9 Integration rationaler Funktionen 228 Restglied abschatzen 258
1. Schritt: Polynomdivision 228 Anwendung: Lokale Extrema 259
2. Schritt: Polynomzerlegung 229
§ 3 Taylorreihen 261
3. Schritt: Partialbruchzerlegung 230
Definition 261
4. Schritt: Integration rationaler
Ein Gegenbeispiel 262
Funktionen 232
Konvergenz der Taylorreihe 263
Kurze Merkregelsammlung 233
Beispiel Logarithmus 265
Zusammenfassung 234 Beispiel Arcus-Tangens 266
Beispiel Binomische Reihe 266
KAPITEL 13. UNEIGENTLICHE INTEGRALE
Zusammenfassung 267
Einleitung 236
Losungen der Aufgaben 269
§ 1 Unbeschranktes Integrationsintervall 236
Integrationsintervall ]_oo,oo[ 238 Sachverzeichnis 333
Vorwort
Dieses Buch entstand aus "Studienbriefen", die uns nun gelungen ist, dieser Forderung gerecht
im Rahmen des Projektes "Fernstudium im Medien zu werden, muB der Leser beurteilen; aIle Anre
verbund" flir Fernstudenten des Faches Elektro gungen, die wir in dieser Hinsicht von Lesern
technik entwickelt wurden. Inhaltlich sollten der Studienbriefe - Kollegen verschiedener
durch diese Studienbriefe etwa 2 bis 3 Semester Fachrichtungen und Studenten - erhielten, ver
der normalen Mathematikausbildung von Studenten suchten wir zu berlicksichtigen.
der Elektrotechnik an deutschen technischen
Hochschulen und Universitaten abgedeckt werden; Doch nun zu der Frage, welche Rolle nach unse
in ihrer Darstellungsform, ihrer didaktischen rer Meinung die Mathematik in der Ausbildung
Gestaltung aber sollten die Studienbriefe auf von Physikern und Ingenieuren spielt und was
Fernstudenten abgestellt sein - auf Studenten praktischer Umgang mit dieser Mathematik flir
also, die mit Ausnahme weniger Prasenzphasen Studenten dieser Fachrichtungen bedeutet.
fern von jedem Hochschulort, ohne Besuch von Die mathematische Ausbildung von Naturwissen
Vorlesungen nur mittels solcher Texte studieren. schaftlern und Technikern unterscheidet sich
Fernstudium in dieser Form ist weitgehend auch von der Ausbildung von Mathematikern. Ein Ma
Selbststudium, deshalb sollte dieses Buch, dank thematikstudent muB lernen, Mathematik zu schaf
seiner Entstehungsgeschichte, dem Pradikat fen, mathematische Fragestellungen herauszuar
"zum Selbststudium geeignet" genligen. beiten und Losungstheorien zu entwickeln - der
Ingenieur- oder Physikstudent muB lernen, die
Mathematik lernt man nicht nur dadurch, daB man Mathematik flir seine Wissenschaft nutzbar zu
sich Definitionen und Satze einpragt, Algorith machen. Urn bei dem Beispiel des Fahrschlilers
men oder gar Beweise auswendig lernt: Mathema zu bleiben: Jemand, der ein Auto nutzen will,
tik lernt man durch eigenes Tun. Wie es flir muB nicht lernen wie ein Auto entwickelt und
einen Fahrschliler von entscheidender Bedeutung konstruiert wird (umgekehrt ist es flir den Kon
ist, neben dem Erlernen von Verkehrsregeln und strukteur allerdings schon vorteilhaft zu wis
technischen Daten eine gewisse Fahrpraxis zu sen, wozu sein Produkt spater praktisch ge
gewinnen, so muB derjenige, der Mathematik er braucht wird - ein Aspekt, der in der modernen
lernen will, Praxis im Umgang mit Mathematik Ausbildung von Mathematikern oft zu kurz kommt).
erwerben. Diese Aussage gilt, unabhangig davon, Er muB lernen, wie er es optimal nutzt, er muB
ob man Mathematik urn ihrer selbst willen oder Leistungsvermogen und Grenzen kennen.
als Hilfsmittel zur Losung naturwissenschaft Natlirlich ist die Verflechtung von Mathematik
licher, technischer oder okonomischer Probleme und Physik oder Technik komplex und sicher muB
erlernen will. Was "Praxis" allerdings bedeu insbesondere der Physikstudent im weiteren Ver
tet, ist abhangig von der Zielsetzung, und wir lauf seines Studiums auch lernen, die Mathema
werden unsere Vorstellung von der Rolle der Ma tik seinen physikalischen Problemen entspre
thematik als Grundlage flir Physik und Technik chend zu entwickeln und zu formen. Flir die ma
kurz erlautern. Aber schon aus dem bisher ge thematischen Anfangsgrlinde einer wissenschaft
sag ten folgt, daB ein Mathematiktext, der zum lichen Ausbildung in diesen Fachern genligt aber
Selbststudium geeignet ist, das folgende Merk der Benutzerstandpunkt vollig.
mal hat: Er regt den Leser immer wieder dazu Das bedeutet nach unserer Meinung jedoch keine~
an, einzelne Gedankenschritte selbst zu voll wegs, daB Mathematik als Sammlung von Rechen
ziehen, Gedanken weiterzuflihren, Verbindungen vorschriften, sogenannten Kochrezepten zu ver
herzustellen, Rechnungen nachzuvollziehen, die mitteln ist.
eigenen Kenntnisse zu liberprlifen. Dazu ist un Wir zitieren einen bekannten Vertreter der an
seres Erachtens weder der sogenannte "Defini gelsachsischen angewandten Mathematik, Sir
tion-Satz-Beweis"-Stil noch ein Text im Sinne James Lighthill ("UlttvuveMung hn EntweJtnen und hn
des "programmierten Lernens" geeignet. Ob es Geb~eh rnathem~eheJt Be6ehneIbungen teeh~eheJt Sy-
Vorwort IX
-6teme" in W. H. Bohme (ed): Ingenieure fur die dienfach im allgemeinen hat. Urn dies an Bei
Zukunft, TH Darmstadt 1980): spielen zu verdeutlichen: Man kann nicht
gleich zu Beginn Uber Differentialgleichun
"VOJthell moc.hte ic.h Sie jedoc.h daJtan eJlinnelln, daJ3 Mathe gen sprechen, wenn der Begriff der Differen
niVt
matik., cW, un Fac.h -6ic.h, nMt voW-g aun Logik. tiation vorher nicht klar ist; man kann
gtu1ndet. E-6 i-6t teil.wwe Me-6ell un-6eitige Zugang, dell einen Studenten kaum zur Beschaftigung mit
niVt
Itune Mathematik. unbJta.uc.hbM mac.ht cW, Bac.k.gltound Taylorreihen motivieren, indem man zeigt,
IngenieuJte. In Wiltk.l1.c.hk.eit wi-6-6en wilt, daB IngenieuJte daB die klassische Mechanik aus der spezi
ihJte Ent-6c.hudungen vOlt dem HivttellgltUnd unell Mi-6c.hung ellen Relativitatstheorie durch Abbruch
a.u-6 !ogi-6c.hell Avta.!yu, expeJlimevtteUen Vaten und j enell einer Taylorreihe nach dem zweiten Glied
AJtt "Que/tdenk.en", dM man oOt cW, "Intuilion de-6 Inge entsteht, wenn dieser Student noch nie etwas
nieuM" bezuc.hnet, tJte66en mUMen. AngeL<.Ja.ndte MathemlLtik von spezieller Relativitatstheorie gehort
-6uc.ht un G!uc.hgwic.ht hellzU-6teUen, dM nCihell bu dem hat.
Uegt, WM dell IngenieUJt bMUC.ht, wei! e-6 au6 dell Idee Bei diesem Weg zwischen Theorie und Praxis
beJtUht, da/3 FoJtt.6c.hJUt:t eJt!tuc.ht wellden mu/3, indem man hatten wir wertvolle Hilfe insbesondere von
In6oltmationen au6gltUnd !ogi-6c.hell Ana.!y-6e mit Innoltmatio Kollegen der Elektrotechnik. Vor allem gilt
nen ivttegJtieJtt, die au6 ExpeJlimevtt und Beobac.htung ba hier unser Dank den Herren Professoren
-6ieJtt. W. Heinlein, J. Stepina und W. Freise yom
Ic.h betone jedoc.h, da/3 dell gltUnd-6atzUc.he !ogi-6c.he "Ge Fachbereich Elektrotechnik der Universitat
-6c.hmac.k." dell Mathematik. au6 jeden Fall ellha.!ten b!uben Kaiserslautern und Professor H.-G. Bausch
mu/3, und ihJt !ogi-6c.hell ChMak.tell mu/3 in dell IngenieUJt und Diplom-Ingenieur U. Schneider von der
aU-6bildung nahegebMc.ht wellden. Au6 alle, die zUJt EIt TU Hannover.
k.envttvti-6 dell !ogi-6c.hen E!emevtte une-6 mathema.tu.,c.hen
2) Urn den "logischen Geschmack der Mathematik"
AJtgument-6 gek.ommen -6ind, k.ann man -6ic.h veJt!M-6en, wenn
zu erhalten, haben wir versucht, den im mo
e-6 zum Bwpiu dMaun ank.ommt, une Hypothe-6e zu bewell
dernen Sinn exakten Aufbau der Mathematik
ten, nic.ht nUJt att6 GltUndfuge expeJlimevtteUell Bewwe,
zu erhalten; Definitionen sollten logisch
M ndelln auc.h au6 dell Gltund!ag e expeJlimevtteUell Bewwe
einwandfrei sein (wenn auch Funktionen noch
uvttell Belluc.k.-6ic.ht1.gung dell !ogi-6c.hen KOn-6equenzen dell
"Zuordnungen" , nicht "Teilmengen eines kar
Hypothe-6e. Man k.ann -6ic.h dMau6 veJt!M-6en, daB -6ie bu
tesischen Produktes" sein werden), Satze
ihJten eJt-6ten GbeJt!egungen au6 die GltundpJtinzipien zUJtuc.k.
sollten vollstandig formuliert sein. Beweise
gehen wellden, an-6tatt -6ic.h in au6wendige Bellec.hnungen
allerdings werden dann weggelassen, wenn sie
attn dell BMi-6 obellnUc.hUc.hell GltUnd!agen zu -6tiVtzen. Vem
weder dem Verstandnis des Satzes noch dem
ent-6pltec.hend k.ann ic.h nic.ht mit jenen ExtJtemi-6ten ubell
EinUben bestimmter SchluBweisen oder Begrif
un-6timmen, die angeL<.Ja.ndte Mathematik. cW, une Sa.mm!ung
fe dienen. Wir hoffen dadurch "das Meer de
empiJti-6c.hell Foltmun !ehJten moc.hten! Eben-6o UnbMUc.hbM
duktiver Einzelheiten" auf ein ertragliches,
i-6t die -6ruk.te !ogi-6c.he En:twic.k.-tung de-6 ThemM cW, une
aber notwendiges MaB reduziert zu haben.
Ruhe von Theoltemen und Bewwen. Wilt bMUc.hen unen
Auch fUr diese Aufgabe konnten wir uns auf
KuM dell Mitte, bu dem wic.ht1.ge Mpek.te dell !ogi-6c.hen
zahlreiche Hilfe stUtzen: Die Studienbriefe
NatUJt mathema.tu.,c.hell Avta.!yu bubehaUen wellden, ohne den
entstanden im Rahmen eines Teilprojektes
Studevtten in unem Meell deduk.tivell Einzuheiten zu ell
zum Projekt "Fernstudium im Medienverbund
tJtCink.en".
der Mathematik" und grtinden inhaltlich auf
dem Basistext "Analysis" dieses Projektes.
Wir haben versucht, einen solchen "Kurs der
Den Mitarbeitern dieses projekts, insbeson
Mitte" zu steuern:
dere dem Projektleiter Dr. J. Scheiba (Main~
1) Urn die BrUcke zu den den Studenten primar gebUhrt unser Dank ebenso wie den Mitglie
interessierenden Wissenschaften zu schlagen, dern der zugehorigen Fachkommissionen, ins
haben wir uns in Stoffauswahl und Reihenfol besondere ihrem Vorsitzenden Prof. M. Barner
ge so weit wie moglich an den BedUrfnissen (Universitat Freiburg) und den Herren Pro
dieser Wissenschaften orientiert und viele fessoren H. Heuser (Karlsruhe), C. MUller
konkrete Beispiele aufgenommen. NatUrlich (Aachen) und W. Thimm (Kaiserslautern).
sind diesem Vorhaben Schranken gesetzt: Ganz herzlich dank en wir auch Frau C. Kranz,
Einmal durch die Eigengesetzlichkeit des Frau I. Schaumloffel und Frau R. StUrmer,
Aufbaus der Mathematik, zum anderen durch ohne deren MUhe und Geduld beim Schreiben
die relativ geringen Kenntnisse, die ein der Texte dieses Buch sicher nicht zustande
Studienanfanger auch in seinem eigenen Stu- gekommen ware.
x Vorwort
SchlieBlich wollen wir noch einige allgemeine d-i.e WoJt.te zu -6.tMk plte!.>-6en. VM g-i.bt dem K-i.nde e-i.nen
Gesichtspunkte zitieren, die sicherlich fUr k.e.e-i.nUc.hen, -6 c.h-i.e6 en, -6pUzMnd-i.gen Ven-6.tand; dM mac.ht
einen beliebigen Lehrtext ihre GUltigkeit haben. e!.> gehe-i.mn-i..6!te-i.c.h, abeJtg.f.au.b.u,c.h, voil VVtac.h.tu.ng gegen
Die Formulierung ist ziemlich genau 200 Jahre aile!.> Fa~c.he und Le-i.c.hte.
alt und stammt aus "Die Erziehung des Menschen E-i.n b~eJt Padagog mu~ kommen und dem Kbuie dM en-6c.hap6-
geschlechts". Lessing hat natUrlich an ein Buch te E.f.emenXtvtbuc.h au.-6 den Handen It~en.
ganz anderen Inhalts gedacht, trotzdem - wir
konnten es gewiB nicht besser ausdrUcken und
bitten nur den Leser, die Bezeichnung "Kind", Kaiserslautern im September 1980
die Leserschaft, die Bezeichnung "kindliches
Die Autoren
Volk" zu verzeihen.
"Un E.f.emenXtvtbuc.h 6liA K-i.ndeJt dM6 gM woh.e. d-i.e!.>e!.> odeJt
jene!.> wic.hUge StUc.k deJt W.u,-6en6c.haQ.t odeJt KUn6t, d-i.e e!.>
vo~agt, mit Sti.[.[J.,c.hwe-i.gen ubeJtgehen, von dem deJt
padagog u.n.teitte, da~ e!.> den Fah-i.gke-i..ten deJt K-i.ndeJt, 6liA
d-i.e eJt uJuueb, noc.h n-i.c.ht angeme!.>-6en -6e-i.. AbeJt e!.> dM6
-6c.h.e.ec.hteJtd-i.ng-6 n-i.c.w en.thaUen, WM den K-i.ndeJtn den
Weg zu den zunuc.kbehaUnen wic.h.t-i.gen StUc.ken ven-6penne
odeJt veJt.f.ege. V-i.e.f.mel!!t mU-6-6en -i.hnen aile Zugange zu den
-6e.f.ben -6OfLg6ii.t:tLg 066en ge.[aJ.,-6en weJtden; und -6-i.e nun von
e-i.nem e-i.nz-i.gen d-i.e!.> eJt Zugange ab.f.e-i..ten odeJt veJtun-6ac.hen,
da~ -6-i.e den6e.f.ben -6pateJt be.t!Le.ten, wiiAde aUe-i.n d-i.e Un
voU-6.tand-i.gke-i..t de!.> E.f.emenXtvtbuc.h-6 zu. e-i.nem we!.>en.tUc.hen
Feh.e.eJt de!.>-6e.f.ben mac.hen. '"
Une An6p-i.efung nenne -i.c.h, WM b.f.o~ d-i.e Neu.g-i.eJtde Ite-i.zen
und e-i.ne FJtage veJtamaMen Mme. E-i.nen UngeJtze-i.g nenne
-i.c.h, WM -6c.hon -i.Jtgende-i.nen Ke-i.m en.tha.e..t, au.-6 we.f.c.hem -6-i.c.h
d-i.e noc.h zu.!tUc.kgehaUne wal!!the-i..t en.tw.tc.ke.f.n .f.a~t. In -60.f.
c.hen Voltubungen, An6p-i.efungen, UngeJtze-i.gen be!.>teht d-i.e
p0-6ilive Voilkommenhe-i..t e-i.ne!.> E.f.emen.tMbuc.h-6; Mwie d-i.e
oben~hn.te E-i.gen6c.ha6t, da~ e!.> den Weg zu den noc.h
zunuc.kgehaUenen Wal!!the-i..ten n-i.c.ht en-6c.hweJte odeJt veJt
-6penne, d-i.e nega.t-i.ve Voilkommenhe-i..t de!.>-6e.f.ben WU!t.
se.tzt man h-i.eJtzu noc.h d-i.e E-i.nk.e.e-i.dung und den St-i..[ -
1 J d-i.e Unk.e.e.[dung deJt n-i.c.ht woh.e. zu ubeJtgehenden ab
-6tnakten Wal!!the-i..ten in AttegoJtien und .f.eh!tJte-i.c.he e-i.nze.f.
ne Fille, d-i.e a.f.-6 w-i.JtkUc.h geJ.>c.hehen eJtzah.e.e.t weJtden.
2) den St-i..[ - ba.f.d p.f.an und e-i.n6a.e.t-i.g, ba.e.d po e.t-i..6 c.h,
dunc.hau.-6 voil Tau..to.f.ogieen, abeJt -6o.f.c.hen, d-i.e den SC.hM6-
-6-i.nn uben, indem -6ie ba.f.d e.tWM anden-6 zu. Mgen -6c.he-i.nen
und doc.h dM namUc.he Mgen, ba.f.d dM namUc.he zu. Mgen
-6c.he-i.nen und im Gltunde e.tWM anden-6 bedeu..ten odeJt bedeu.
ten konnen: Und il!!t habt aUe gu..te E-i.gen6c.ha6ten e-i.ne!.> Die Gedichte auf den Seiten 132, 145 und 172
E.f.emenXtvtbuc.h-6 MWoh.e. 6liA KindeJt a.f.-6 6liA e-i.n undUc.he!.> sind aus der Sammlung "Carmina Mathematica"
Vo.f.k. von Hubert Cremer (5.Auflage, 1977). Wir
danken dem Verlag I.A.Mayer, Aachen fUr die
AbeJt jene!.> E.f.emenXtvtbuc.h .u,t nun 6liA e-i.n gewiMe!.> AUeJt. freundliche Genehmigung zum Abdruck.
VM -i.hm efttWac.h-6 ene Kind .f.ang eJt, a.f.-6 d-i.e Me-i.nu.ng 9 We!.> en,
dabe-i. zu. veJtWeUen, .u,t -6c.hadUc.h. Venn u.m die!.>e!.> au.6 Die Abbildung auf dem Broschurumschlag zeigt
e-i.ne nun e-i.n-i.geJtm~en nUtzUc.he A!t.t .tun zu kannen, mu~ die Messung des Inhal ts von Fassern und wurde
man mel!!t h-i.ne-i.megen, a.f.-6 daltin Uegt, mel!!t h-i.ne-i.ntnagen, dem Ti telblatt des 1531 in NUrnberg gedruckten
a.f.-6 e!.> 6M-6en kann. Man mu~ deJt An6p-i.e.f.ungen und F-i.ngeJt- VisierbUchleins von Johann Frey entnommen. Die
ze-i.ge zu v-i.e.f. -6uc.hen und mac.hen, d-i.e AttegoJtieen zu ge- Formel zur Berechnung des Rauminhalts ist die
nau au.-6-6c.hatte.f.n, d-i.e Bwpie.f.e zu u.m-6tandUc.h deu..ten, Keplersche (FaB-) Regel (siehe Sei te 111).
Wie arbeiten Sie mit diesem Buch?
insbesondere
Wahrend Ihres Studiums der Mathematik sollten Sie werden bald merken, daB das bloBe Durchle
beim Selbst
studium zu Sie eine moglichst groBe Sicherheit im Umgang sen des Lehrtextes noch kein Verstehen oder
beach ten
mit mathematischen Methoden und Ergebnissen er Lernen des Stoffes ausmacht. Sie sollten des
langen. Urn dieses Ziel auch schon fUr den in halb Ihnen schwer verstandliche Pas sagen noch
diesem Buch vorliegenden Stoff zu erreichen, einmal selbstandig (eventuell ausfUhrlicher)
finden Sie im Text viele Aufgaben. Diese sind Schritt fUr Schritt aufschreiben. Unterstrei
in der Randspal te durch ein A gekennz·eichnet. chen von Textstellen ist kein Ersatz fUr dieses
Halten Sie also beim Lesen und Lernen stets Nachvollziehen. Manchmal ist es auch hilfreich,
Bleistift und Papier bereit! Die Aufgaben sind sich an einer schwierigen Stelle nicht festzu
mit dem (bis zu der jeweiligen Aufgabe) ge beiBen, sondern erst einmal weiterzulesen. Nacir
brachten Stoff zu losen. dem Sie dann ein Beispiel nachvollzogen, eine
Aufgabe selbst gerechnet oder weitere Informa
Am Ende des Buches (ab Seite 269) finden Sie tionen gelesen haben, nehmen Sie sich diese
die "Losungen der Aufgaben". Diese Losungen Stelle noch einmal vor. Und siehe da ...
gliedern sich fUr die meisten Aufgaben in Solche Aha-Erlebnisse lassen gelegentlich auch
"1) Hinweise" und "2) Losung". Sollte Ihnen bei etwas langer auf sich warten.
einer Aufgabe nach einigen Anlaufen eine eige
ne Losung nicht gelingen, so sollten Sie zu Wenn Sie beim Lesen auf Begriffe oder Ergebnis
nachst die "Hinweise" lesen und dann neue Lo se stoBen, die Ihnen nicht ganz klar sind,
sungsversuche unternehmen. Wenn Ihnen auch die sollten Sie sofort nachschlagen. Bei dieser
"Hinweise" nicht weiterhelfen, (was durchaus Suche helfen Ihnen die im Text stehenden Zitate
mehrfach vorkommen kann), so ziehen Sie die (z.B. bedeutet (4.22) ein Ergebnis aus Kapitel
komplette Losung zu Rate und vergleichen diese 4), das Sachverzeichnis ab Seite 333 und die
mit Ihren zuvor angestellten Uberlegungen. Se Marginalien in den Randspalten.
hen Sie sich jedoch die Losung auch dann an, Kwu,iv ge.dJruc.kte Textpl16l.>agel'l enthalten keinen Lehr
wenn Ihnen die Bearbeitung der Aufgabe gelingt. text sondern geben Ihnen Erlauterungen, Hinwei
Zum einen erkennen Sie vielleicht, welchen an se oder Beschreibungen.
deren (eventuell kUrzeren) Losungsweg es noch Klein gedruckte Textpassagen konnen Sie beim ersten
gibt; zum anderen schleichen sich beim Erlernen Lesen Uberschlagen.
der Mathematik sehr leicht Denkfehler ein, die
Sie beim UberprUfen entdecken konnen. Wir wUnschen Ihnen viel Erfolg!