Table Of Content

Analysis I N.-P. Skoruppa Vorlesungsskript — Universität Siegen, 2000 Version: Id (cid:13)c Nils-Peter Skoruppa, 2000 – 2003 http://www.countnumber.de Die folgenden Seiten stellen eine nur leicht veränderte Version eines Skripts dar, welches ich 1990 frei nach Mitschriften zu Vorlesungen von F. Hirze- bruch verfasste, die er in in Bonn in den Wintersemestern 1978/79 und 1989/90gehaltenhatte. ZuderzuletztgenanntenVeranstaltungstelltenmir verschiedene Studenten gelegentlich ihre jeweiligen Notizen zur Verfu¨gung. Zu der ersten lag mir eine sehr schöne, noch handschriftlich angefertigte Vorlesungsausarbeitung von A. Ku¨ster vor, die dieser “mit spitzer Feder” niedergeschriebenhatte,wieF.Hirzebruchesnannte. Diese“spitzeFeder”, diepunktgenauwitzigeAnmerkungenausF.Hirzebruch’sVortragaufzeich- neteundzuweilennochextrapolierte,habeichhiererstgarnichtnachzuah- men versucht — obgleich ansonsten viele Details aus beiden Vorlesungen wortwörtlich u¨bernommen wurden —, dagegen ist aber der methodische Aufbauderurspru¨nglichenVorlesungenfastunverändert. Dasurspru¨ngliche Skript von 1990 war unter dem Titel “Infinitesimalrechnung I” an der Uni- versität Bonn verfu¨gbar. N.-P. Skoruppa, Siegen im September 2000 DasvorliegendeSkriptwurdeaufPCsdesMax-Planck-Institutsfu¨rMathe- matik mit TEX gesetzt. Numerische Beispiele mit großen Zahlen waren dank PARI in Sekundenbruchteilen möglich, und die Graphen von Funk- tionen sind von MATHEMATICA gezeichnet worden. Die raffinierteren Aspekte des Layout wären ohne häufige Ru¨cksprachen mit Ulrich Everling nicht zustande gekommen, und Rainer Jung verdanke ich einen wertvollen Hinweis, wie man von MATHEMATICA erstellte Graphen “glatter” repro- duziern kann. Karin Deutler nahm die Mu¨he auf sich, ihren PC eine erste TEX -Rohform der Kapitel 1 bis 9 zu lehren. Das zwölfte Kapitel wurde von Hans-Olaf Herøy geschrieben (und in TEX gesetzt). Pia Bauer-Price, Rainer Jung, Hartmut Maennel brachten die Rohform der Kapitel 5,6,7 in eine TEX-lesbare Form. Verschiedene Mathematiker im Max-Planck- Institut fu¨r Mathematik und die U¨bungsleiter der U¨bungen zu den Vor- lesungen halfen beim Korrektur lesen. Schließlich mußte das vorliegende Skript in Riesenauflage gedruckt und gebunden werden. Allen genannten und ungenannten Beteiligten möchte ich an dieser Stelle aufrichtig danken. N-P. Skoruppa, Bonn, Februar 1990 INHALT 1 Einige historische Bemerkungen u¨ber Zahlsysteme . . . . . . . . . . 1 2 Die Axiomatik der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 U¨ber vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 General Nonsense und elementare Kombinatorik . . . . . . . . . . . 21 5 Das Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 9 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 11 Gleichmäßige Steitigkeit und gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . 121 12 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13 Ergänzungen zum Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Anhang A Die Graphen einiger elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 147 B Aufgaben zu den einzelnen Kapiteln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Im sechsten Kapitel wird die Parametrisierung x 7→ (cos2πx,sin2πx) des Einheitskreises betrachtet. Allgemeiner kann man Abbildungen der Gestalt x7→(cos2πx,sin2πx) studieren, wobei p und q irgendwelche positiven ganzen p q Zahlen bedeuten. Die dabei entstehenden Kurven heißen Lissajou Figuren. Das Titelblatt zeigt die Lissajou Figuren fu¨r (p,q)=(1,1), (1,3), (2,3), (3,5), (5,7), (7,11). 1 EINIGE HISTORISCHE BEMERKUNGEN ¨ UBER ZAHLSYSTEME In diesem einfu¨hrenden Kapitel werden die Zahlsysteme vorgestellt, denen maninderInfinitesimalrechnungbegegnet. Insbesonderewerdenwirdiefu¨r sie in der Mathematik heute allgemein gebräuchlichen Symbole vorstellen, wir werden andeuten, wie die einzelnen Zahlsysteme historisch auseinander hervorgegangen sind und wie ihre Entwicklung notwendig zur Infintesimal- rechnung fu¨hren mußte. Nebenbei werden wir gleichzeitig schon einige der Schreibweisenkennenlernen,diemaninderMathematikheutzutageständig benutzt. Natu¨rliche Zahlen Mit N bezeichnet man die Menge der natu¨rlichen Zahlen. Dies kann man symbolisch auch durch die Schreibweise N:={0,1,2,3,...}. ausdru¨cken. DasZeichen“:=”besagt,daßdaslinkeSymboleineabku¨rzende Schreibweise fu¨r den Ausdruck auf der rechten sein soll. Der Ausdruck auf Mengen der rechten bezeichnet eine Menge, wobei die Elemente der Menge gerade dieObjektesind, diezwischendengeschweiftenKlammernaufgefu¨hrtsind; da man nicht alle natu¨rlichen Zahlen auflisten kann, behilft man sich mit “...”undappelliertdamitandiePhantasiedesBetrachters. Derimletzten Jahrhundert lebende Mathematiker Kronecker (1823–1891) hat gesagt, die natu¨rlichen Zahlen habe der liebe Gott gemacht, der Rest sei Menschen- werk. (Die Zahl “0” ist möglicherweise auch schon als Menschenwerk zu betrachten.) Tatsächlich kann man alle anderen Zahlsysteme mengentheoretisch aus den natu¨rlichen Zahlen heraus konstruieren und ihre Eigen- schaftenausdenendernatu¨rlichenZahlenableiten. Mitnatu¨rlichenZahlen kann man rechnen, man kann sie addieren und multiplizieren: die Menge dernatu¨lichenZahlenistabgeschlossenunterdenOperationen“+”und“·”. Ganze Zahlen Allerdings kann man natu¨rliche Zahlen nicht uneingeschränkt voneinander subtrahieren. Dies kann man erst im nächst größeren Bereich Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} derganzenZahlen. Hierkannnununeingeschränktaddiert,subtrahiertund multipliziert werden, allerdings kann man nicht uneingeschränkt durch von 0verschiedeneZahlendividieren. Diesisterstimwiederumnächstgrößeren Rationale Zahlen Bereich Q der rationalen Zahlen möglich. Die Elemente von Q sind Bru¨che p,wobeip,qganzeZahlensind,allerdingsqvon0verschiedenist,undwobei q 1 2 Kapitel1 zwei Bru¨che p und p0 als gleich angesehen werden, falls die ganzen Zahlen q q0 pq0 und p0q gleich sind. Letzteres schreibt man auch symbolisch p p0 = :⇐⇒ pq0 =p0q. q q0 Es wird hier natu¨rlich vorausgesetzt, daß man mit rationalen Zahlen rechnen kann, allerdings kann man—wie schon erwähnt—die rationalen Zahlen zusammen mit ihren Operationen “±”, “·,÷” mengentheoretisch aus den natu¨rlichen Zahlen konstruieren. Nehmen wir einmal an, wir hätten schon die ganzen Zahlen konstruiert, so wäre eine typische Vorgehensweise zur Konstruktion der rationalen Zahlen, einen Bruch p als Menge der Paare q (tp,tq) zu definieren, wo t die Menge der ganzen, von 0 verschiedenen Zahlen durchläuft. Dabei wäre jetzt eigentlich noch der Begriff ”Paar” zu erklären (mengentheoretisch ein Paar (a,b) wiederum definiert als die Menge {a,{a,b}}) etc.. Reelle Zahlen DasHauptobjektderInfinitesimalrechnungistdieMengeRderreellenZah- len. Wählt man eine Gerade und darauf zwei Punkte, so kann man sich die reellenZahlenalsPunkteaufdieserGeradenvorstellen. Die beidenPunkte entsprechen den Zahlen 0 und 1, die natu¨rliche Zahl n erhält man, indem mann−maldieStreckevon0nach1ausgehendvonder0inRichtungder1 abträgt, dienegativenZahlen, indemmanindieentgegengesetzteRichtung abträgt, und die rationale Zahl p — wobei wir q als positive ganze Zahl q voraussetzen können — erhält man, indem man erst den p entsprechenden Punkt auffindet und dann die Strecke von 0 nach p in q gleiche Teile teilt; der dem Punkt 0 am nächsten gelegene Teilungspunkt ist dann die Zahl p. q Die Punkte der Geraden werden durch die rationalen Zahlen nicht aus- geschöpft. Es bleiben noch Punkte u¨brig: die irrationalen Zahlen, d.h. die- jenigen reellen Zahlen, die nicht rational sind—in Symbolen: die Elemente der Menge R\Q. Das es tatsächlich irrationale Zahlen gibt, war eine der großen Entdeckungen in der Mathematik. Eudoxos entdeckte die folgende Tatsache: Die Seite und die Diagonale eines Quadrates sind inkommen- surabel. ZweiStreckenheißenkommensurabel,fallsmansiebeideinStreckenauftei- len kann, von denen alle ein-und dieselbe Länge haben; andernfalls heißen sieinkommensurabel. NimmtmaneinQuadrat,desseneineSeitegeradedie Streckevon0nach1aufunsererZahlengeradenist,sobesagtEudoxosSatz also, daß die Länge der Diagonalen dieses Quadrats keine rationale Zahl √ ist. Die Länge dieser Diagonalen ist nach dem Satz des Pythagoras 2, wobei dies Symbol gerade die nichtnegative Zahl bedeutet, deren Quadrat 2 ergibt. In moderner Sprechweise besagt Eudoxos Entdeckung daher EinigehistorischeBemerkungen 3 √ Satz. Die Zahl 2 ist irrational. Beweis. Der Beweis, den wir hier geben ist ein typisches Beispiel eines √ indirekten Beweises. Wir nehmen an, daß 2 rational ist und fu¨hren dies √ zum Widerspruch. Angenommen also, 2 sei rational. Dann gibt es ganze √ Zahlen p und q 6= 0, sodaß 2 = p. Wir können dabei annehmen, daß p q und q nicht beide zugleich gerade sind, denn andernfalls können wir p und q solangedurchzweiteilen,bismindestenseinederbeidenZahlenungerade √ ist. Die Gleichung 2 = p ist gleichbedeutend mit 2q2 = p2. Hieraus q folgern wir, daß p gerade sein muß, denn hiernach ist jedenfalls p2 gerade, und das Quadrat einer ungeraden Zahl wäre wieder ungerade. Also kann man p=2p0 mit einer geeigneten ganzen Zahl p0 schreiben. Setzen wir das in die letzte Gleichung ein und teilen wir beide Seiten der resultierenden Gleichung sogleich noch durch 2, so erhalten wir q2 =2p02. Wie eben folgt hieraus, daß q gerade ist. Da aber nicht beide, p und q, gerade sind, haben wir einen Widerspruch gefunden. Zahldarstellungen Wie notiert man reelle Zahlen. Fu¨r natu¨rliche Zahlen hat man die Dezi- malschreibweise a a ...a a a a , n n−1 3 2 1 0 mit Ziffern a aus der Menge der Zahlen von 0 bis 9, die als Abku¨rzung fu¨r k a ·10n+···+a ·100+a ·10+a n 2 1 0 steht, und die schon in Indien vor Jahrhunderten verwendet wurde. Ganze Zahle erhält man, indem man gegebenenfalls ein Minus-Zeichen vor solche Ausdru¨cke setzt, und die rationalen Zahlen notiert man als Paare solcher Dezimalzahlen, eine u¨ber und eine unter dem Bruchstrich. Die Notierung von reellen Zahlen dagegen fordert eine völlig neue Begriffsbildung. Wie wir sahen, ist nicht jede reelle Zahl rational, d.h. nicht jeder Punkt auf der ZahlengeradenentsprichteinemBruch. Aberimmerhinliegendierationalen Zahlen dicht auf der Zahlengeraden, d.h. die Bru¨che kommen jedem Punkt auf der Zahlengeraden beliebig nahe. Eine reelle Zahl notiert man also am naheliegendsten,indemmaneineFolgevonrationalenZahlenangibt,sodaß die Glieder dieser Folge der ins Auge gefaßten reellen Zahl immer näher kommen. Solch eine Approximation von reellen Zahlen durch rationale war imGrundeschondenGriechenbekannt,wennaucheinelogischeinwandfreie Fassung dieser “infiniten” Prozesse erst sehr viel später erfolgte. So hatte schon Archimedes benutzt, daß 265 1351 <π < 153 780 ist, wo π den Umfang des Kreises vom Radius 1 bezeichnet. Wienotiertmanalsoeinereelle,nichtnotwendigrationaleZahl. Wirgeben drei Beispiele; das erste ist ein Beispiel fu¨r die Dezimaldarstellung einer 4 Kapitel1 reellen Zahl, hier der Zahl π π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105 82097494459230781640628620899862803482534211706798214 80865132823066470938446095505822317253594081284811174 50284102701938521105559644622948954930381964428810975 66593344612847564823378678316527120190914564856692346 03486104543266482133936072602491412737245870066063155 88174881520920962829254091715364367892590360011330530 54882046652138414695194151160943305727036575959195309 21861173819326117931051185480744623799627495673518857 52724891227938183011949129833673362440656643086021394 94639522473719070217986094370277053921717629317675238 46748184676694051320005681271452635608277857713427577 89609173637178721468440901224953430146549585371050792 27968925892354201995611212902196086403441815981362977 47713099605187072113499999983729780499510597317328160 96318595024459455346908302642522308253344685035261931 18817101000313783875288658753320838142061717766914730 35982534904287554687311595628638823537875937519577818 57780532171226806613001927876611195909216420199··· Dies steht als Abku¨rzung fu¨r die Folge von rationalen Zahlen 1 31 1 4 157 3, 3+ = , 3+ + = 10 10 10 100 50 1 4 1 3141 3+ + + = , 10 100 1000 1000 1 4 1 5 6283 3+ + + + = . 10 100 1000 10000 2000 DerNachteildieserDarstellungist,daßmannichtaufdenerstenBlicksieht, wie es weiter geht — aber natu¨rlich gibt es Algorithmen, um (theoretisch beliebigviele)weitereDezimalstellenvonπzuberechnen. Ingeschlossenerer Form steht die Folge von rationalen Zahlen 1 1 1 1 1 1 1,1+ ,1+ + ,1+ + + ,..., 4 4 9 4 9 16 die man noch prägnanter als ∞ X 1 n2 n=1 schreiben kann. Hier wird der Algorithmus zur Berechnung der Folge von rationalenZahlensofortmitgeliefert. Abernatu¨rlichhabensolcheeinfachen Darstellungen auch Nachteile: man frägt sich nämlich sofort, welche aus- gezeichnetereelleZahldurchsolcheineausgezeichneteinfachgebauteFolge EinigehistorischeBemerkungen 5 dargestellt wird. Die reelle Zahl, die hier dargestellt wird, ist π2. Aber fu¨r 6 das Beispiel ∞ X 1 n3 n=1 ist die Natur der hier dargestellte Zahl bis heute noch unklar; wir werden unten noch einmal darauf zuru¨ckkommen und dies präzisieren. Eine drittes Beispiel fu¨r die Darstellung reeller Zahlen ist der unendliche Kettenbruch 1 x=1+ . 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1+··· Hier ist der Algorithmus zur Berechnung der Folge von rationalen Zahlen sofort ersichtlich: 1 1 3 1 5 1,1+ =2,1+ = ,1+ = ,..., 1 1+1 2 1+ 1 3 1+1 als auch die Natur der dargestellten Zahl: aufgrund der Struktur des Ket- tenbruchs muß offenbar gelten 1 x=1+ , x d.h. x2−x−1=0, also √ 1+ 5 x= 2 √ (oder = 1− 5, was aber sofort ausgeschloßen werden kann, da x offenbar 2 positiv sein soll). Wie schon das eben gegebene Beispiel des Kettenbruchs nahelegt, sind die Wurzeln von rationalen Zahlen in einem gewissen Sinne einfacher, den rationalen Zahlen näher verwandt als etwa π. Dies kann man leicht mittels derfolgendenBeobachtungpräzisieren? DierationaleZahlr istLösungder linearen Gleichung x−r =0. Die Zahl √ 1+ 5 2 6 Kapitel1 ist Lösung der quadratischen Gleichung x2−x−1=0. In diesem Sinne sind die den rationalen Zahlen verwandtesten Zahlen die- jenigen reellen Zahlen x, die Lösung einer Gleichung xn+r xn−1+r xn−2+···+r x+r =0, n−1 n−2 1 0 wo n eine positive ganze Zahl und die r ,r ,... rationale Zahlen sind. n−1 n−2 Algebraische Zahlen Solche Zahlen bezeichnet man als (reell-)algebraische Zahlen. Man kann zeigen daß der Bereich dieser Zahlen abgeschloßen ist unter Addition, Sub- traktion,MultiplikationundDivision,d.h. mitzweialgebraischenZahlenist auchwiederihreSumme,Differenz,etc. einealgebraischeZahl. Tatsächlich istnichtjedeZahlalgebraisch;zumBeispielistdieZahlπ nichtalgebraisch. Transzendente Zahlen NichtalgebraischeZahlennenntmantranszendent. DieTranszendenzvonπ isteineganzundgarnichtoffensichtlicheTatsache. Eswurdeerst1882von Lindemann bewiesen, daß π transzendent ist. Die Transzendenz von π im- pliziertauchdieUnmöglichkeitderQuadraturdesKreises: Esistunmöglich lediglich mit Zirkel und Lineal die Seite eines Quadrats zu konstruieren, welchesdengleichenFlächeninhaltwiederKreisvomRadius1hat(dieKo- ordinaten aller Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem, die sich nurmitZirkelundLinealausdenPunktenmitKoordinaten(0,0)und(0,1) konstruieren laßen sind algebraische Zahlen). Beim Begriff “Transzendenz” gibt es heute noch viele ungelöste Fragen. Zum Beispiel weiß man nicht, ob die oben angegebene Zahl P∞ 1 transzendent ist oder nicht; man weiß n=1 n3 — und dies erst seit relativ kurzem — lediglich, daß sie jedenfalls nicht rational ist (Apéry 1978). BetrachtetmanalgebraischeZahlen,sostößtmanbaldaufdasProblem,daß solch einfache Gleichungen wie x2+1=0 scheinbar keine Lösung besitzen. Natu¨rlich besitzt diese Gleichung sehr wohl eine Lösung, allerdings nicht Komplexe Zahlen im Bereich der reellen Zahlen, sondern im größeren Bereich der komplexen Zahlen. Eine komplexe Zahl notiert man in der Form a+ib, woaundbreelleZahlenbedeuten. ManrechnetmitsolchenAusdru¨ckenwie man es mit reellen Zahlen gewohnt ist, unter Benutzung der zusätzlichen Regel, daß stets eine Potenz i2 durch die ganze Zahl −1 ersetzt werden kann. Das Symbol i bezeichnet man als imaginäre Einheit. Es ist gerade eine Lösung der Gleichung x2+1=0; die andere Lösung ist −i ( d.h. das Symbol 0+(−1)i). Die fundamentale Aussage in diesem Zusammenhang ist, daß jede Gleichung xn+r xn−1+r xn−2+···+r x+r =0 n−1 n−2 1 0 (die Koeffizienten r sind irgendwelche vorgegebenen komplexen Zahlen) k mindestens eine Lösung im Bereich der komplexen Zahlen besitzt (Funda- mentalsatz der Algebra, Gauß, 1799). Als algebraische Zahl schlechthin