Analysis 1

406 Pages·1995·7.6 MB·German

by  Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer
Berlin
Heidelberg
New York
Barcelona
Budapest
Hong Kong
London
Mailand
Paris
Tokyo
Konrad Konigsberger
Analysis 1
Dritte, iiberarbeitete
und erweiterte Auflage
Mit 141 Abbildungen
Springer
Prof. Dr. Konrad Konigsberger
Mathematisches Institut
der Technischen Universitat Miinchen
ArcisstraBe 21
D-80333 Miinchen
Mathematics Subject Classification (1991): 26,26A
ISBN-13: 978-3-540-58876-4 e-ISBN-13: 978-3-642-97622-3
DOl: 10.1007/978-3-642-97622-3
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Konigsberger, Konrad: Analysis / Konrad Konigsberger. -
Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hong Kong; London;
Mailand; Paris; Tokyo: Springer
(Springer-Lehrbuch)
Literaturangaben
1. - 3., iiberarb. und erw. Aufl. - 1995
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten
Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags,
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Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugs
weiser Verwertung, vorbehalten. Eine VervielfaItigung dieses Werkes oder
von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der ge
setzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik
Deutschland yom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zuliis
sig. Sie ist grundsiitzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterlie
gen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
<ill Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1990, 1992, 1995
SPIN 10494641 44/3143 - 543210 - Gedruckt auf siiurefreiem Papier
Vorwort zur dritten Auflage
Fiir die neue Auflage wurde der gesamte Text griindlich iiberarbeitet. Ich
habe einen Abschnitt iiber summierbare Familien aufgenommen und das
Kapitel iiber elementar integrierbare Differentialgleichungen erganzt. Fer
ner wurde die Behandlung der Exponentialfunktion und der trigonome
trischen Funktionen zusammengezogen. SchlieBlich habe ich konsequent
die Klasse der Funktionen, die Stammfunktionen von Regelfunktionen
sind, siehe 11.4, ins Spiel gebracht. Diese Klasse ist umfangreicher als
die Klasse der stetigen, stiickweise stetig differenzierbaren Funktionen.
Ihr groBfJr Nutzen fill die element are Analysis und auch fur zahlreiche
Anwendungen wird oft zu wenig beachtet.
Bei der Uberarbeitung hat mich eine Reihe von Mitarbeitem mit Rat
und Tat unterstiitzt. Herr Dipl.-Mathematiker M. Kahlert hat die ge
samte Druckvorlage einschlieBlich aller Abbildungen mit hervorragender
Sachkenntnis, groBem Engagement und feinem Gespiir neu gestaltet. Ihm
mochte ich an dieser Stelle besonders herzlich danken. Herr Dr. Th. Ho
nold, Frau cando math. H. Miindlein und Frau Dipl.-Mathematikerin
B. Mayer-Eggert lasen mit viel Sorgfalt die Korrekturen. Hierfur und fill
manche weitere Hilfe und Anregung danke ich auch ihnen sehr herzlich.
Miinchen, im Juli 1995 Konrad Konigsberger
Vorwort zur zweiten Auflage
Die positive Aufnahme meiner Analysis 1 veranlaBt den Verlag, bereits
nach kurzer Zeit eine neue Auflage herauszubringen. In dieser habe ich
lediglich einige kleine Berichtigungen vorgenommen. Fill Hinweise dazu
danke ich an dieser Stelle den aufmerksamen Lesem.
Miinchen, im Januar 1992 Konrad Konigsberger
VI Vorwort
Vorwort zur ersten A uflage
Das vorliegende Buch ist der erste Teil einer zweibiindigen Darstellung
der reellen Analysis. Es ist aus einer Vorlesung entstanden und beinhaltet
den kanonischen Stoff der Analysiskurse des ersten Semesters an deut
schen Universitiiten und Technischen Hochschulen, dazu einfache Diffe
rentialgleichungen, Fourierreihen und ein groBeres Kapitel iiber differen
zierbare Kurven. Eingefiochten sind auch einige Perlen der elementaren
Analysis: der Beweis von Niven fUr die Irrationalitiit von 71", die Hur
witzsche Losung zum isoperimetrischen Problem, die Eulersche Summen
formel sowie die Gammafunktion nach Artin. Die numerische Seite der
Analysis wird wiederholt angesprochen unter Anerkennung der Existenz
des Computers. Zahlreiche Beispiele, Aufgaben und historische Anmer
kungen ergiinzen den Text.
Besonderen Wert habe ich darauf gelegt, zentrale Gegenstiinde aus
sachbezogenen Fragestellungen heraus zu entwickeln. Bei der Einfiihrung
der elementaren Funktionen wird der Kenner auch neue Varianten finden.
Der Begriff der Stammfunktion ist etwas allgemeiner und fiexibler als
ublich gefaBt. 1m ubrigen habe ich in dies em ersten Teil der Analysis
abstrakte Begriffsbildungen sehr maBvoll verwendet.
Zum SchluB mochte ich all meinen Mitarbeitern danken, die mich mit
Rat und Tat unterstiitzten. Insbesondere hat Herr Dr. G. Fritz das Ma
nuskript mit Engagement und kritischer Sorgfalt durchgesehen und zahl
reiche Verbesserungen angeregt. Die Erstellung von 1E;X-Makros und die
umfangreiche Arbeit der Textgestaltung fiihrte Herr Dipl.-Mathematiker
S. Biiddefeld mit groBer Sachkenntnis, Zuverliissigkeit und unermiidli
cher Geduld aus. Herr Dr. Th. Dietmair las Korrekturen und fertigte
einen erheblichen Teil der Abbildungen an. Herzlich danke ich auch mei
ner Frau, der Hiiterin meiner Arbeitsruhe. SchlieBlich gilt mein Dank
dem Springer-Verlag fiir die vertrauensvolle Zusammenarbeit.
Miinchen, im Juli 1990 Konrad Konigsberger
Inhaltsverzeichnis
1 Natiirliche Zahlen und vollstandige Induktion ......... 1
1.1 Vollstandige Induktion .. .... . ........ . .... .... ....... ...... . 1
1.2 Fakultat und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Aufgaben................................................... 5
2 Reelle Zahlen ............ '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Die Korperstruktur von R .................................. 7
2.2 Die Anordnung von R ...................................... 8
2.3 Die Vollstandigkeit von It . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 It ist nicht abzahlbar ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Der Korper der komplexen Zahlen .......................... 20
3.2 Die komplexe Zahlenebene .................................. 22
3.3 Algebraische Gleichungen in <C ••.••.•••.•••.•••.••.•.••••.•• 24
3.4 Unmoglichkeit einer Anordnung von <C ••.•••..•••••..•••.••• 26
3.5 Aufgaben................................................... 26
4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
4.1 Grundbegriffe ...... ...... ............. ....... ....... . ...... . 28
4.2 Polynome .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Rationale Funktionen ....................................... 35
4.4 Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Folgen ..................................................... 41
5.1 Konvergenz von Folgen ..................................... 41
5.2 Rechenregeln............................................... 43
5.3 Monotone Folgen ........................................... 46
5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln ... 48
VIII Inhaltsverzeichnis
5.5 Der Satz von Bolzano-WeierstraB 50
5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy.
Nochmals die Vollstandigkeit von R ......................... 52
5.7 Uneigentliche Konvergenz ................................... 54
5.8 Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Reihen .................................................... 58
6.1 Konvergenz von Reihen ..................................... 58
6.2 Konvergenzkriterien ... .... ... .... ......... . . ....... ..... .. .. 60
6.3 Summierbare Familien ...................................... 65
6.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5 Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 Stetige Funktionen. Grenzwerte ........................ 80
7.1 Stetigkeit... ......... .. ................ ...... . .... ...... . . .. 80
7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen ............................ 83
7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente
Reihen ...................................................... 84
7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen.
Der Zwischenwertsatz ....................................... 87
7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen.
Satz yom Maximum und Minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88
7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra..... 92
7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen ............ 94
7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte ............ 98
7.9 Aufgaben ................................................... 101
8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen
Funktionen ................................................. 105
8.1 Definition der Exponentialfunktion .......................... 105
8.2 Die Exponentialfunktion fiir reelle Argumente ............... 109
8.3 Der natiirliche Logarithmus ................................. 112
8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen.
Allgemeine Potenzen ........................................ 114
8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe ....................... 116
8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen ................ 119
8.7 Nullstellen und Periodizitat ................................. 121
8.8 Die Arcus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125
8.9 Polarkoordinaten........... .... .... .......... ........ ...... 126
8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des
komplexen Logarithmus und des Arcustangens .............. 127
Inhaltsverzeichnis IX
8.11 Die Zahl 132
7r •••••••••••••••••••••....•••...•••••••••••••••.•••
8.12 Die hyperbolischen Funktionen .............................. 134
8.13 Aufgaben ................................................... 135
9 Differentialrechnung ..................................... 141
9.1 Die Ableitung einer Funktion ............................... 141
9.2 Ableitungsregeln ............................................ 145
9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz ........................... 149
9.4 Beispiele und Anwendungen ................................. 152
9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen ......................... 158
9.6 Ableitungen haherer Ordnung ............................... 161
9.7 Konvexitiit ................................................. 164
9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen .................... 168
9.9 Fast uberall differenzierbare Funktionen.
Verallgemeinerter Schrankensatz ............................ 171
9.10 Begriff der Stammfunktion .................................. 175
9.11 Eine auf ganz R stetige, aber nirgends differenzierbare
Funktion ................................................... 176
9.12 Aufgaben ................................................... 178
10 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten ............................................... 184
10.1 Einfuhrende Feststellungen .................................. 184
10.2 Der Eindeutigkeitssatz ...................................... 185
10.3 Ein Fundamentalsystem fur die homogene Gleichung ........ 187
10.4 Berechnung einer partikuliiren Lasung bei speziellen
Inhomogenitiiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192
10.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme ....................... 194
10.6 Partikuliire Lasungen bei allgemeinen Inhomogenitiiten.
Erweiterung des Lasungsbegriffes ............................ 198
10.7 Aufgaben ................................................... 202
11 Integralrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration ..................... 205
11.2 Regelfunktionen. ... .. .. . .... . .. .. . .. . .. . . .. .. . . . . . ... . . . . .. 207
11.3 Integration der Regelfunktionen uber kompakte Intervalle ... 210
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Stammfunktionen zu Regelfunktionen ....................... 214
11.5 Erste Anwendungen ......................................... 221
11.6 Integration elementarer Funktionen ......................... 223
11. 7 Integration normal konvergenter Reihen .............. . . . . . .. 229
x Inhaltsverzeichnis
11.8 Riemannsche Summen ...................................... 231
11.9 Integration uber nicht kompakte Intervalle.
Uneigentliche Integrale ...................................... 234
11.10 Die Eulersche Summationsformel ............................ 239
11.11 Aufgaben ................................................... 246
12 Geometrie differenzierbarer Kurven .................... 251
12.1 Parametrisierte Kurven ..................................... 251
12.2 Die Bogenliinge ............................................. 256
12.3 Parameterwechsel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 260
12.4 Krummung ebener Kurven .................................. 262
12.5 Die Sektorfliiche ............................................ 266
12.6 Windungszahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
12.7 Kurven in Polarkoordinaten ................................. 273
12.8 Geometrie der Planetenbewegung.
Die drei Keplerschen Gesetze ............................... 276
12.9 Aufgaben ................................................... 279
13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen ....... 283
13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen .. 283
13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veriinderlichen ....... 287
13.3 Nicht-lineare Schwingungen.
Die Differentialgleichung x = f (x) ........................... 295
13.4 Aufgaben.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 301
14 Lokale Approximation von Funktionen.
Taylorpolynome und Taylorreihen ....................... 304
14.1 Approximation durch Taylorpolynome ....................... 304
14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen ..................... 308
14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe.
Die Bernoulli-Polynome ..................................... 312
14.4 Das Newton-Verfahren ...................................... 315
14.5 Aufgaben ................................................... 321
15 Globale Approximation von Funktionen.
GleichmaBige Konvergenz ................................ 324
15.1 GleichmiiBige Konvergenz ................................... 324
15.2 Vertauschungssiitze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 328
15.3 Kriterien fur gleichmiiBige Konvergenz ...................... 329
15.4 Anwendung; die Eulerschen Formeln fur ((2n) .............. 333
15.5 Lokal gleichmiiBige Konvergenz .............................. 335