Analyse : Topologie générale et analyse fonctionnelle

440 Pages·2008·25.61 MB·French

by  Laurent Schwartz

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TOPOLOGIEGtNtRALE
et ANALYSE FONCTIONNELLE
Laurent Schwartz
HERMANN

Analyse
Topologie générale et analyse fonctionnelle
1. Henri Cartan Théorie élémentaire des fonctions analytiques
3. Laurent Schwartz Méthodes mathématiques pour les sciences physiques
5. Roger Godement Cours d'algèbre
7. Gustave Choquel L'enseignement de la géométrie
11. Laurent Schwartz Analyse. Topologie générale et analyse fontionnelle
13. Pierre-Jean Laurent Approxîmation et optimisation
14. Paul Malliavin Géométrie différentielle intrinsèque
16. Claude Cohen-Tannoudji et al. Mécanique quantique. 2 volumes
17. François Chapeville et al. Biochimie
20. Jean-Pierre Lafon Les formalismes fondamentaux de l'algèbre comm.
24. Jean-Pierre Lafon Algèbre commutative
25. Jean Bussac, Paul Reuss Traité de neutronique
26. Max Bausset Dynamiques
27. Luc Valentin Le monde subatomique
28. Luc Valentin Physique subatomique Il
29. Luc Valentin L'univers mécanique
30. Pierre Laszlo Cours de chimie organique
31. Michel Sakarovitch Optimisation. Graphes et programmation
32. Michel Sakarovitch Optimisation. Programmation discrète
33. Pierre Bergé el al. L'ordre dans le chaos
34. Jean-Paul Larpent Eléments de microbiologie
35. M. Blanchard-Desce et al. Chimie organique expérimentale
36. Ch. Vidal, H. Lemarchand La réaction créatrice
37. Bernard Diu el al. Eléments de physique statistique
38. Jacques Baranger et al. Analyse numérique
39. Luc Valentin Noyaux et particules. Modèles et symétries
40. F. Diener, G. Reeb Analyse Non Standard
41. P. Papon, J. Leblond Thermodynamique des états de la matière
42. Laurent Schwartz Analyse 1. Théorie des ensembles et topologie
43. Laurent Schwartz Analyse II. Calcul différentiel et équations diff.
44. Laurent Schwartz Analyse III. Calcul intégral
45. Laurent Schwartz Analyse IV. Calcul diff. ext et fonc. holomorphes
Laurent Schwartz
Analyse
Topologie générale
et analyse fonctionnelle
ÉDITION CORRIGÉE
ê
HERMANN ÉDITEURS DES SCIENCES ET DES ARTS
Ce livre est constitué par le deuxième chapitre, revu et considérablement augmenté, du cours de
l'auteur à !'Ecole Polytechnique; la première édition de ce cours avait été publiée en 1967 sous le
titre Cours d'analyse, Paris, Hermann.
L'auteur remercie MM. Hubert Delorme, Sou Khim et Dominique Thillaud qui l'ont aidé dans la
rédaction et MM. Alain Chenciner et François Laudenbach qui lui ont apporté leurs concours pour
la correction des épreuves.
Nouveau tirage, corrigé, 1993
ISBN 2 7056 5900 5
© 1970, Hermann, éditeurs des sciences et des arts. 293 rue Lecourbe, 75015 Paris
Tous droits de reproduction, même fragmentaire, sous quelque forme que ce soit, y compris
photographie, microfihn, bande magnétique, disque ou autre, réservés pour tous pays.
Table
J. ESPACES MÉTRIQ.UES
1. Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II. SOUS-ENSEMBLES PARTICULIERS DES ESPACES MÉTRIQ.UES
l . Parties ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Parties fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6. Frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7. Adhérence . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8. Sous-ensembles denses. Espaces séparables ........ : . . . . . . . . . . . . . . . 25
9. Sous-espaces. Métrique induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III. ESPACES TOPOLOGIQ.UES
1. Définition et exemples d'espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Espaces topologiques séparés, métrisables, réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Comparaison des topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Métriques équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6. Topologie de la droite achevée R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
IV. FONCTIONS CONTINUES ET HOMÉOMORPHISMES
1. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Topologie induite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Applications ouvertes et applications fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. Homéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 TABLE
V. SUITES. LIMITES. CONVERGENCE
1. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2. Application aux suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
VI. FILTRES
1. Filtres et ultrafiltres .................... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2. Convergence d'un filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
VII •. TOPOLOGIE PRODUIT. TOPOLOGIE QUOTIENT
1. Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2. Fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. Suites et filtres convergents dans un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5. Topologies initiales et finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
VIII. ESPACES COMPACTS
1. Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2. Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3. Filtres sur les espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4. Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IX. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT
1. L'image directe et les extremums d'une fonction réelle continue définie
sur un espace compact . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2. Plus courte distance de deux parties fermées dans.un espace métrique . . . 103
3. Théorème de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4. Fonctions semi-continues à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5. Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 08
6. Applications propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
X. ESPACES CONNEXES
1. Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
l bis. Image d'un espace connexe. Théorème des valeurs intermédiaires . . . 116
2. Espaces connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7
3. Théorème du passage des douanes et théorèmes généraux . . . . . . . . . . . 118
4. Espaces localement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5. Critères de non-homéomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6. Existence et continuité de la fonction réciproque d'une fonction continue
strictement monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
TABLE 9
XI. ESPACES MÉTRIQ.UES COMPLETS
1. Suites de Cauchy dans un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2. Espaces métriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3. Prolongement des applications uniformément continues . . . . . . . . . . . . . 132
4. Complétion d'un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
XII. THÉORÈME DU POINT FIXE
et méthode des approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
XIII. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS
ET DES ESPACES DE BANACH
1. Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2. Noyau et image d'une application linéaire continue . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2 bis. Espaces d'applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3. Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4. Produits d'espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5. Applications multilinéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
XIV. SÉRIES DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS
1. Convergence et somme d'une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2. Séries normalement convergentes dans les espaces de Banach ... ~.... 164
3. Changement de l'ordre des termes d'une série. Séries commutativement
convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4. Séries partielles et sommation par paquets dans les espaces de Banach . . . 170
. 5. Effet sur une série d'une application linéaire continue . . . . . . . . . . . . . . 17.4
6. Produit de deux séries numériques. Effet d'une application bilinéaire
continue sur deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7. Applications inversibles dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8. Critère de semi-convergence: théorème d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
XV. ESPACES FONCTIONNELS
1. Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2. Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . 189
3. Espaces faisant intervenir à la fois la structure de E et la structure de F . . 193
4. Continuité d'une limite uniforme locale de fonctions continues . . . . . . . . . 195
5. Séries de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . 199
10 TABLE
XVI. PRODUITS INFINIS DE NOMBRES
OU DE FONCTIONS RÉELLES OU COMPLEXES
1. Produits infinis de nombres réels ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
2. Produits infinis et série des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3. Produits infinis de fonctions réelles ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4. Application à la fonction?: de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
XVII. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQ.UES.
PROPRIÉTÉS PARTICULIÈRES AUX ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQ.UES
DE DIMENSION FINIE
1. Généralités sur les espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7
Ç}
2. Propriétés des voisinages de dans un espace vectoriel topologique . . . . 222
3. Topologie canonique d'un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . 225
4. Sous-espaces vectoriels de dimension finie .... '............... . . . . . . 228
5. Espaces vectoriels topologiques localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . 229
XVIII. ESPACES SEMI-MÉTRIQ.UES ET UNIFORMES.
ESPACES VECTORIELS SEMI-NORMÉS
1. Espaces semi-métriques ...... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
2. Continuité et continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3. Structures uniformes, structures lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4. Espaces semi-métriques métrisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5. Parties bornées d'un espace semi-métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6. Espaces vectoriels semi-normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7. Exemples d'espaces semi-métriques et vectoriels semi-normés . . . . . . . . . 245
8. Espaces complets. Suites de Cauchy, espaces séquentiellement complets" . 250
XIX. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQ.UES LOCALEMENT CONVEXES.
THÉORÈME DE HAHN-BANACH
1. Sous-normes continues sur les espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . 255
2. Ensembles convexes dans les espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . 258
3. Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4. Forme analytique réelle du théorème de Hahn-Banach ......... , . . . 267
5. Forme analytique du théorème de Hahn-Banach sur le corps des réels ou
des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6. Forme géométrique du théorème de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7. Théorie élémentaire de la dualité dans les espaces vectoriels topologiques
localement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285