Maxime PELLETIER Travail EncadrØ de Recherche C Analyse harmonique sur SU ( ) : 2 polyn(cid:244)mes de Jacobi et Øquation de la chaleur EncadrØ par M. JØr(cid:244)me GERMONI Master 1 MathØmatiques GØnØrales 2011-2012 Introduction L’objectif de ce Travail EncadrØ de Recherche est d’illustrer des applications de cer- tains outils comme les reprØsentations et les algŁbres de Lie dans le cas d’un groupe trŁs simple : SU (C) (que nous noterons par la suite seulement SU , puisqu’il n’y aura pas 2 2 d’ambigu(cid:239)tØ), qui a la particularitØ d’Œtre un groupe compact. Nous verrons principale- ment deux applications de ces outils. LapremiŁreapplicationconcerneracertainesfonctionsspØcialesparticuliŁresquisont les polyn(cid:244)mes de Jacobi. Ils forment une famille de polyn(cid:244)mes orthogonaux et l’essentiel de cette partie consistera (cid:224) retrouver, gr(cid:226)ce aux reprØsentations de SU , les relations 2 d’orthogonalitØ entre ces polyn(cid:244)mes. La deuxiŁme application est liØe (cid:224) l’analyse har- monique et aux Øquations aux dØrivØes partielles. Il s’agira de rØsoudre, sous une certaine forme, l’Øquation de la chaleur sur le groupe SU . Nous utiliserons la dØcomposition de 2 fonctions sur SU en sØrie de Fourier, ce qui nØcessite l(cid:224) encore de conna(cid:238)tre les reprØsen- 2 tations de ce groupe. Pour cela, il faudra bien entendu donner tout d’abord les outils que nous allons utiliser. Cela commencera Øvidemment par un certain nombre de dØ(cid:28)nitions (concernant lamesuredeHaar,lesalgŁbresdeLie,etlesreprØsentations),puisparplusieursthØorŁmes trŁsimportants:Schur,Peter-Weyl,Plancherel...UnelonguepartieseraensuiteconsacrØe (cid:224)larecherchedesreprØsentationsirrØductiblesdeSU ,eten(cid:28)nnouspourronspasseraux 2 deux applications dØtaillØes prØcØdemment. 1 Table des matiŁres 2 1 GØnØralitØs 1.1 Mesure de Haar On va dans cette partie dØ(cid:28)nir dans un groupe localement compact la notion de mesure invariante (cid:224) gauche, que l’on appellera ensuite mesure de Haar. On donnera Øgalement un thØorŁme gØnØral d’existence d’une telle mesure. 1.1.1 DØ(cid:28)nition et expression pour un groupe (cid:28)ni DØ(cid:28)nition 1.1. Soit G un groupe topologique localement compact. Une mesure positive µ est dite invariante (cid:224) gauche si, pour tout g ∈ G et pour toute f ∈ C (G) (espace des C fonctions continues sur G et de support compact), (cid:90) (cid:90) f(gx)µ(dx) = f(x)µ(dx). G G C’est Øquivalent (cid:224) dire que, pour tout E, sous-ensemble mesurable de G, et pour tout g ∈ G, µ(gE) = µ(E). DØ(cid:28)nition 1.2. Une mesure invariante (cid:224) gauche sur un groupe localement compact est appelØe mesure de Haar (cid:224) gauche. On verra par la suite qu’une telle mesure existe toujours, mais intØressons-nous pour l’instant (cid:224) cette mesure dans un cas particuliŁrement simple qui est celui des groupes (cid:28)nis. Soit G un groupe (cid:28)ni. Pour dØ(cid:28)nir une mesure sur G, il su(cid:30)t de la dØ(cid:28)nir sur {g}, pour tout g ∈ G. Soit µ une mesure sur G. Si µ est invariante (cid:224) gauche, on a, pour tout g ∈ G, µ(g{e}) = µ({e}), oø e est l’ØlØment neutre de G, i.e. µ({g}) = µ({e}). La mesure µ est donc entiŁrement dØterminØe par la valeur de µ({e}). De plus, rØcipro- quement, une mesure qui vØri(cid:28)e cela est clairement invariante (cid:224) gauche. En e(cid:27)et, pour tous g,g ,...,g ∈ G, avec g ,...,g deux (cid:224) deux distincts, 1 n 1 n (cid:32) n (cid:33) n (cid:91) (cid:88) µ(g{g ,...,g }) = µ {gg } = µ({gg }) = nµ({e}) = µ({g ,...,g }). 1 n i i 1 n i=1 i=1 Les mesures non nulles invariantes (cid:224) gauche sur un groupe (cid:28)ni sont donc Øgales (cid:224) un facteur strictement positif prŁs, qui dØpend du choix de la mesure de {e}. On va voir 3 que cette ØgalitØ (cid:224) un facteur prŁs est valable sur tout groupe localement compact. Par contre, la mesure n’est pas forcØment dØterminØe par le choix de la mesure de {e} mais plut(cid:244)t par celle de G puisque, si la mesure est bornØe et le groupe in(cid:28)ni, la mesure de {e} est alors nØcessairement nulle. 1.1.2 ThØorŁme gØnØral d’existence ThØorŁme 1.1. Soit G un groupe localement compact. Alors, il existe une mesure non nulle invariante (cid:224) gauche. De plus, elle est unique (cid:224) un facteur multiplicatif strictement positif prŁs. On ne dØmontrera pas ce thØorŁme, que nous n’utiliserons d’ailleurs pas. En e(cid:27)et, la mesure de Haar qui va nous intØresser est celle sur SU , dont on peut obtenir une 2 expression. Nous n’aurons donc pas besoin de ce thØorŁme trŁs gØnØral d’existence, dont une dØmonstration dans le cas d’un groupe de Lie linØaire peut Œtre trouvØe dans le livre de Faraut [?], pages 91 (cid:224) 93. Pour une dØmonstration dans le cas d’un groupe compact, on pourra se reporter au livre de MneimnØ et Testard [?](cid:159) 3.6 1.2 AlgŁbre de Lie d’un sous-groupe fermØ de GL (R) n DØ(cid:28)nition 1.3. (cid:21) Un groupe de Lie linØaire est un sous-groupe fermØ d’un groupe linØaire de la forme GL (R) pour n entier naturel. n (cid:21) SoitGungroupedeLielinØaire.OnluiassociesonalgŁbredeLie,quiestl’ensemble g = {X ∈ M (R)/∀t ∈ R,exp(tX) ∈ G}. n Remarque : Un sous-groupe fermØ de GL (C) est un groupe de Lie linØaire car GL (C) n n peut-Œtre vu comme un sous-groupe fermØ de GL (R). En e(cid:27)et, le C-espace vecto- 2n riel Cn est un R-espace vectoriel de dimension 2n : si (e ,...,e ) est une base de Cn, 1 n (e ,ie ,...,e ,ie ) est une base de Cn comme R-espace vectoriel. Alors, (cid:224) une matrice 1 1 n n de GL (C), qui correspond (cid:224) un C-automorphisme de Cn, on peut associer la matrice n de cet automorphisme dans la base prØcØdente de Cn comme R-espace vectoriel, qui sera dans GL (R). De plus, cette injection de GL (C) dans GL (R) rØalise GL (C) comme 2n n 2n n un sous-groupe fermØ de GL (R). 2n L’algŁbre de Lie d’un groupe de Lie linØaire possŁde les propriØtØs donnØes dans le thØorŁme suivant : ThØorŁme 1.2. L’ensemble g est un sous-espace vectoriel rØel de M (R) et, pour tous n X,Y ∈ g, on a [X,Y] = XY −YX ∈ g. 4 DØmonstration. On ne la fera pas ici, elle peut Œtre trouvØe dans le livre de Faraut [?], page 41. Plus gØnØralement, une algŁbre de Lie est un espace vectoriel sur R (on parle alors d’algŁbre de Lie rØelle) ou sur C (complexe dans ce cas), muni d’une application bili- nØaire : g×g −→ g (X,Y) (cid:55)−→ [X,Y] antisymØtrique et telle que ∀X,Y,Z ∈ g,[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]. Cette relation est appelØe l’identitØ de Jacobi. Exemples : (cid:21) L’espace vectoriel M (R) muni de (X,Y) (cid:55)−→ [X,Y] = XY −YX est une algŁbre n de Lie. Cet espace est alors notØ gl (R). n (cid:21) Si G est un groupe de Lie linØaire (donc sous-groupe fermØ de GL (R)), alors n l’ensemble g dØ(cid:28)ni prØcØdemment est une sous-algŁbre de Lie de M (R). n (cid:21) L’algŁbre de Lie de GL (R) est M (R). n n (cid:21) L’algŁbre de Lie de SL (C) est sl (C) = {X ∈ M (C)/tr(X) = 0}. n n n DØmontrons ceci : X ∈ sl (C) ⇔ ∀t ∈ R,det(exp(tX)) = 1 n ⇔ ∀t ∈ R,et·tr(X) = 1 ⇔ tr(X) = 0 D’oø l’expression annoncØe pour sl (C). n (cid:21) L’algŁbre de Lie de SU est su = {X ∈ M (C)/tX + X = 0 et tr(X) = 0} = 2 2 2 (cid:26)(cid:20) (cid:21) (cid:27) ia b+ic ;a,b,c ∈ R . −b+ic −ia 1.3 ReprØsentations OnvamaintenantpouvoirdØ(cid:28)nirlanotiondereprØsentationd’ungroupetopologique, ainsi que celle de reprØsentation d’une algŁbre de Lie. On fera ensuite le lien entre les deux gr(cid:226)ce (cid:224) la notion de reprØsentation dØrivØe, qui nous sera trŁs utile lorsque nous nous intØresserons aux reprØsentations irrØductibles de SU . 2 5 1.3.1 PremiŁres dØ(cid:28)nitions sur les reprØsentations DØ(cid:28)nition 1.4. (cid:21) Soient G un groupe topologique et V un espace vectoriel de dimen- sion (cid:28)nie sur R ou C. Une reprØsentation de G dans V est un morphisme continu de groupes π : G −→ GL(V). (cid:21) Un sous-espace vectoriel W de V est dit invariant si, pour tout g ∈ G, π(g)W = W. Dans ce cas, g (cid:55)−→ π(g)| est une reprØsentation de G dans W. On dit que c’est W une sous-reprØsentation de π. (cid:21) La reprØsentation π est dite irrØductible si ses seuls sous-espaces invariants sont {0} et V. (cid:21) Soient π et π deux reprØsentations de G respectivement dans V et V . On dit 1 2 1 2 qu’un morphisme d’espaces vectoriels A : V −→ V est un opØrateur d’entrelace- 1 2 ment, ou morphisme de reprØsentations (on dit aussi que A entrelace les reprØsen- tations π et π ) lorsque 1 2 ∀g ∈ G,Aπ (g) = π (g)A. 1 2 Quand il existe un isomorphisme vØri(cid:28)ant cela, les reprØsentations π et π sont 1 2 dites Øquivalentes. On parlera aussi dans la suite d’autres objets provenant d’une reprØsentation : les coe(cid:30)cients matriciels. Ceux des reprØsentations de SU nous permettront plus tard de 2 faire appara(cid:238)tre les polyn(cid:244)mes de Jacobi. DØ(cid:28)nition 1.5. (cid:21) Soit π une reprØsentation d’un groupe G dans un espace vectoriel de dimension (cid:28)nie V. Soit (e ,...,e ) une base de V. Alors, pour tout g ∈ G, 1 n l’applicationlinØaireπ(g)possŁdeunematrice(πi,j(g))1(cid:54)i,j(cid:54)n danscettebase,c’est- (cid:224)-dire que, pour tout j ∈ {1,...,n}, n (cid:88) π(g)e = π (g)e . j i,j i i=1 Pour tout (i,j) ∈ {1,...,n}2, π est une fonction dØ(cid:28)nie sur G et (cid:224) valeurs dans i,j R ou C, selon si V est un espace vectoriel rØel ou complexe. Les π sont appelØs i,j les coe(cid:30)cients matriciels (relativement (cid:224) la base (e ,...,e )) de la reprØsentation 1 n π. (cid:21) Si l ∈ V∗ et v ∈ V, on appelle Øgalement coe(cid:30)cient matriciel (gØnØralisØ) la fonction g (cid:55)−→ l(π(g)v). Cette fonction est une combinaison linØaire des π , et ce quelle que soit la base i,j (e ,...,e ) choisie. 1 n Nous allons donner une derniŁre dØ(cid:28)nition dans ce paragraphe : celle d’une reprØsen- tation unitaire. 6 DØ(cid:28)nition 1.6. Soient G un groupe et V un C-espace vectoriel de dimension (cid:28)nie muni d’un produit hermitien (cid:104).,.(cid:105). Une reprØsentation π de G sur V est dite unitaire si, pour tout g ∈ G, π(g) est un opØrateur unitaire sur V, c’est-(cid:224)-dire si ∀v,w ∈ V,∀g ∈ G,(cid:104)π(g)v,π(g)w(cid:105) = (cid:104)v,w(cid:105). Remarque : ReprenonslesnotationsdeladØ(cid:28)nition.Soitdeplus(e ,...,e )unebase 1 n orthonormaledeV.Notons(π ) lescoe(cid:30)cientsmatricielsdeπ danscettebase. i,j i,j∈{1,...,n} Alors, π est unitaire si seulement si la matrice (π (g)) est unitaire pour tout i,j i,j∈{1,...,n} g ∈ G, c’est-(cid:224)-dire si et seulement si, pour tout g ∈ G, pour tout (i,j) ∈ {1,...,n}, π (g) = π (g−1). i,j j,i Ene(cid:27)et,lapremiŁreØquivalenceesttrivialecar(π ) estlamatricedeπ(g)dans i,j i,j∈{1,...,n} la base (e ,...,e ), qui est orthonormale. La seconde Øquivalence est due au fait qu’une 1 n matrice A est unitaire si A−1 = tA et que, pour tout g ∈ G, π(g)−1 = π(g−1), ce qui se traduit par la mŒme ØgalitØ au niveau des matrices associØes dans la base (e ,...,e ). 1 n 1.3.2 ReprØsentation dØrivØe DØ(cid:28)nition 1.7. Une reprØsentation d’une algŁbre de Lie g dans un espace vectoriel V est une application linØaire ρ : g −→ End(V) qui est un morphisme d’algŁbre de Lie, c’est-(cid:224)-dire que ∀X,Y ∈ g,ρ([X,Y]) = [ρ(X),ρ(Y)] = ρ(X)ρ(Y)−ρ(Y)ρ(X). Remarque : on peut Ønoncer une dØ(cid:28)nition de l’Øquivalence entre deux reprØsentations d’une algŁbre de Lie tout (cid:224) fait analogue (cid:224) celle ØnoncØe pour deux reprØsentations d’un groupe topologique. Voyons (cid:224) prØsent comment on peut passer d’une reprØsentation d’un groupe de Lie linØaire (cid:224) une reprØsentation de son algŁbre de Lie, ce qui nous sera trŁs utile au moment dedØterminertouteslesreprØsentationsirrØductiblesdeSU .CelanØcessitetoutd’abord 2 un rØsultat sur les sous-groupes (cid:224) un paramŁtre d’un groupe topologique. DØ(cid:28)nition 1.8. Soit G un groupe topologique. Un sous-groupe (cid:224) un paramŁtre de G est un morphisme continu de groupes : γ : (R,+) −→ G. ThØorŁme 1.3. Soit γ un sous-groupe (cid:224) un paramŁtre de GL (R). Alors, γ est de classe n C∞ et ∀t ∈ R,γ(t) = exp(tA) oø A = γ(cid:48)(0). 7 DØmonstration. On ne la fera pas ici, elle peut Œtre trouvØe dans le livre de Faraut [?], page 40. On peut maintenant introduire la notion de reprØsentation dØrivØe. Soient G un groupe de Lie linØaire d’algŁbre de Lie g et V un espace vectoriel de dimension (cid:28)nie. Soit π une reprØsentation continue de G dans V. Alors, pour tout X ∈ g, γ : t (cid:55)−→ π(exp(tX)) est un sous-groupe (cid:224) un paramŁtre de X GL(V), et donc dØrivable d’aprŁs le thØorŁme prØcØdent. DØ(cid:28)nition 1.9. On pose dπ : g −→ End(V) . X (cid:55)−→ γ(cid:48) (0) X La reprØsentation dπ (nous allons montrer que c’en est une) est appelØe la reprØsentation dØrivØe de π. Montrons que dπ est une reprØsentation de g dans V : Par le thØorŁme ØnoncØ sur les sous-groupes (cid:224) un paramŁtre, on a, ∀X ∈ g,π(exp(X)) = exp(dπ(X)). D’aprŁs la dØ(cid:28)nition de dπ, on a, pour tous t ∈ R, X ∈ g, dπ(tX) = tdπ(X). De plus, on a, d’aprŁs le corollaire II-2.4 de Faraut [?], (cid:18) (cid:18) tX(cid:19) (cid:18) tY (cid:19)(cid:19)k π(expt(X +Y)) = lim π exp π exp k→∞ k k (cid:18) dπ(tX) dπ(tY)(cid:19)k = lim exp exp k→∞ k k = exp(dπ(tX)+dπ(tY)) = exp(tdπ(X)+tdπ(Y)) Ce qui donne, en dØrivant en t = 0 : dπ(X +Y) = dπ(X)+dπ(Y). En(cid:28)n, π(exp(tgYg−1)) = π(g)π(exptY)π(g−1). D’oø, en dØrivant en t = 0 : dπ(gYg−1) = π(g)dπ(Y)π(g−1). Et, en posant g = expsX et en dØrivant en s = 0 : dπ([X,Y]) = dπ(X)dπ(Y)−dπ(Y)dπ(X). Ainsi, dπ est bien un morphisme d’algŁbres de Lie, et donc une reprØsentation. 8 1.3.3 Lemme de Schur Nous allons (cid:224) prØsent citer un rØsultat qui est assez rapide (cid:224) obtenir et qui nous permettra de dØmontrer, au paragraphe suivant, les relations d’orthogonalitØ de Schur. ThØorŁme 1.4. (Lemme de Schur) (i) Soient π et π deux reprØsentations irrØductibles d’un groupe topologique G respec- 1 2 tivement dans V et V , deux espaces vectoriels de dimension (cid:28)nie. Soit A : V −→ V 1 2 1 2 une application linØaire qui entrelace les reprØsentations π et π , c’est-(cid:224)-dire que 1 2 ∀g ∈ G,Aπ (g) = π (g)A. 1 2 Alors, A = 0 ou est un isomorphisme. (ii) Soit π une reprØsentation irrØductible C-linØaire d’un groupe topologique G dans un espace vectoriel complexe V de dimension (cid:28)nie. Soit A un endomorphisme de V qui commute avec la reprØsentation π, c’est-(cid:224)-dire que ∀g ∈ G,Aπ(g) = π(g)A. Alors, il existe λ ∈ C tel que A = λI (oø I dØsigne l’identitØ de V). DØmonstration. (i) Soient g ∈ G,x ∈ ker(A). Alors, A(π (g)x) = π (g)(Ax) = π (g)(0) = 0 (car π (g) est un endomorphisme de V) 1 2 2 2 Donc π (g)x ∈ ker(A), i.e. ker(A) est un sous-espace invariant de π , qui est irrØductible. 1 1 Ainsi, ker(A) = {0} ou V . 1 De mŒme, on montre que Im(A) est un sous-espace invariant de π , et donc que 2 Im(A) = {0} ou V . 2 On en dØduit que A = 0 ou A est un isomorphisme. (ii) A possŁde au moins une valeur propre complexe (son polyn(cid:244)me caractØristique pos- sŁde une racine sur C), notØe λ. Alors, A−λI n’est pas un isomorphisme. Or, A−λI commute avec la reprØsentation π (car c’est le cas pour A et pourI), donc, en appliquant le (i), et comme A−λI n’est pas un isomorphisme, on a A−λI = 0, i.e. A = λI. 1.3.4 Relations d’orthogonalitØ de Schur Nousallons(cid:224)prØsentpouvoirØnoncer,puisdØmontrer((cid:224)l’aidedulemmedeSchur)les relations d’orthogonalitØ de Schur. Celles-ci nous seront utiles dans le paragraphe faisant le lien entre les coe(cid:30)cients matriciels d’une certaine reprØsentation et les polyn(cid:244)mes de Jacobi, a(cid:28)n de donner une preuve, issue de la thØorie des reprØsentations, de l’orthogo- nalitØ de cette famille de polyn(cid:244)mes. 9