Analyse Harmonique sur les Groupes de Lie: Séminaire Nancy-Strasbourg 1973–75

715 Pages·1975·8.633 MB·French

by  Georges Bohnke (auth.), Pierre Eymard, Reiji Takahashi, Jacques Faraut, Gérard Schiffmann (eds.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold and .B Eckmann
497
Analyse Harmonique
sur sel Groupes de eiL
Seminaire Nancy-Strasbourg 1973-75
llftllllflllftlIJIIIJfflfltNItlllllJllfltlllIJ fIHIt ttWH
SCIHTE BIB-HTE
53571700000100
Edite par .P Eymard, .J Faraut, .G Schiffmann,
et .R Takahashi
galreV-regnirpS
Berlin.Heidelberg weN kroY 5791
Editors
Pierre Eymard
ijieR Takahashi
Departement de Mathematiques
Universite de Nancy I
Case Officielle 140
F-54037 Nancy
Jacques Faraut
Gerard Schiffmann
Departement de Mathematiques
,7 eur Rene Descartes
F-67084 Strasbourg
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Main entry under title:
Analyse harmonique sur les groupes de Lie.
(Lecture notes in mathematics ; 497)
Bibliography: p.
Includes index.
1. Lie groups--Congresses. 2. Harmonic analysis--
Congresses. I. Eymard, Pierre. II. Series:
Lecture notes in mathematics (Berlin) ; 497.
QA3.L28 no. 2+97 ~QA387j 510'.8s tS12'-55:r 75-41429
AMS Subject Classifications (1970): 22-02, 22D10, 22E25, 22E30,
22E35, 43-02, 43A75, 43A85, 60J15
ISBN 3-540-07537-2 Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 NewYork
ISBN 0-387-07537-2 Springer-Verlag New York (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 Berlin
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be determined by agreement with the publisher.
(cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg 1975
Printed ni Germany
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
Dans le cadre des activit4s r4gionales de la Soci4t4 Math4matique
de France et durant les ann4es universitaires 1973-74 et 1974-75, un s~mi-
naire hebdomadaire a r4uni les math4maticiens de Nancy et de Strasbourg
int~ress4s par l'analyse harmonique sur les groupes de Lie. Ce s4minaire
s'est tenu alternativement ~ Nancy te ~ Strasbourg. Un certain hombre de
coll~gues d'autres universit4s ont accept4 d'y participer ; nous les en re-
mer cions vivement.
Le pr4sent fascicule contient les r4dactions d4taill4es d'un certain
nombre d'expos4s fairs dans le cadre de ce s4minaire. Les expos4s non
r4dig4s sont ceux pour lesquels une publication aurait fait double emploi
avec d'autres r4f4rences.
Nous avons b4n4fici4 du soutien financier des D4partements de Math4-
matiques de Nancy te de Strasbourg. Za frappe a 4t4 assur4e par le secr4-
tariat de Strasbourg et notamment par Mesdames Greulich, Koehly te
Rumberger ; el lecteur pourra appr4cier la qualit4 de leur travail.
P. EYMARD et R. TAKAHASHI J. FARAUT et G. SCHIFFMANN
D~partement de Math~matiques Institut de Recherche
Universit~ de Nancy I Math~matique avanc~e
Case officielle 140 Universit~ Louis Pasteur
54 037 NANCY C~dex ,7 Rue Ren~ Descartes
67 084 STRASBOURG C~dex
TABLE DES MATIERES
G. BOHNKE Syntheses des spheres pour l'algebre de
Sobolev... ........................ . ....... I
J.L. CLERC Quelques th~oremes de convergence pour
l'analyse harmonique de SU(2) ........... 16
M. DUFLO Repr6sentations irr&ductibles des groupes
semi-simples complexes .................... 26
P. E YMARD Initiation & la th@orie des groupes
moyennables ............................... 89
P. EYMARD et Marches al~atoires sur le dual de SU(2) . 108
B. ROYNETTE
J. FARAUT Moyennabilit@ et normes d'op~rateurs de
convolution ............................... 153
J. FARAUT Semi-groupes de Feller invariants sur
les espaces homogenes non moyennables ..... 164
J. FARAUT Noyaux sph~rigues sur un hyperboloYde
& une nappe ............................... 172
K. HARZ ALLAH Distributions coniques et representations
associ~es & SOo(l,q ) ..................... 211
J. LOEB Formule de Kirillov pour les groupes de
Lie semi-simples compacts ................. 230
H. MATSUMOTO Analyse harmonique dans certains systemes
de Coxeter et de Tits ..................... 257
I. MULLER Int~grales d'entrelacement pour GL(n,k)
o~ k est nut corps p-adique ............ 277
IV
M. NICHANIAN Les transs de Fourier des distribu-
tions de type positis sur SL(2,R) et la
Formule des traces .......................... 349
B. ROYNETTE Marches al~atoires sur les groupes
d'Heisenberg ............................... 368
H. RUBENTHALER Distributions bi-invariantes par
SL (k) .................................... 383
n
G. SCHIFFMANN et Distributions invariantes par le groupe
S. RALLIS orthogonal ................................. 494
R. SPECTOR Apergu de la th@orie des hypergroupes ...... 643
N. SUBIA Formule de Selberg et formes d'espaces
hyperboliques compactes .................... 674
R. TAKAHASHI Fonctions de Jacobi et repr@sentations
des groupes de Lie ......................... 701
SYNTHESES DES SPHERES
POUR L'ALGEBRE DE SOBOLEV
de
Georges BOHNKE
w I. INTRODUCTION.
Soit G un groupe localement compact et K un sous-groupe compact
de G . Soit X l'espace homog@ne G/K . On se propose d'6tudier par une m6-
thode de "radialisation" (cf. 11) les isomorphismes locaux qui existent entre
des alg~bres de Fonctions A(X) d@Finies sur X , invariante par l'action du
groupe K , et des alg~bres de fonctions d@Finies sur la droite r@elle (cid:12)9 . II
en r6sultera, notamment, que tout r@sultat de synth~se harmonique pour le point,
dans A(~ ) , aura son analogue pour les orbites de X suivant K dans l'alg~-
bre A(X) .Dans le cas o~ X = ~n at K = SO(n) , nous avons obtenu, par carte
m6thode, le th6or~me de synth@se pour les sph@res euclidienne dans l'alg@bre de
Sobolev L~(~ n) :
Soit ~>s . Les spheres sont de synth@se dans l'al~@bre LP(~ n) si
et seulement si ~ + I .
P
w 2. GENERALITES SUR LES ALGEBRES DE FONCTIONS.
Soit X un espace topologique localement compact. Soit Co(X ) l'es-
pace des s continues sur X et qui tendent vers z@ro ~ l'infini. Dans
route la suite, A(X) d6si~ne une al@@bre de Banach pour le produit ordinaire des
Fonctions r r6~uli~res~ dont le spectre de Gelfand est hom~omorphe ~ X , et qui
est contin~ment plong6e dans Co(X ) .
Notations.
Soit E un noun-ensemble de X (non n6cessairement s On note :
- A'(X) le dual de A(X) ;
- i(~) l'ag~bre (c'est en s un ideal) des s de A(X) ,
support dens E , munie de la norme induite ;
- I(E) l'id~al des s qui s'annulent sur E ;
- J(E) l'id6al des s qui s'annulent au voisinage de E ;
- A(E) l'alg~bre de Banach des restrictions des s de A(X)
E munie de la norme quotient : pour toute s , IIs163 ) ,
la borne ins ~tant prise suivant tousles prolongements ~ & A(X)
de s .
A(Z~
Remarque : L'application de ~ dans A(E) , qui & la classe d'~quivalence
associe la restriction glE pour route g 6A(X) , est un isomorphisme isom~tri-
qua d'alg~bres, ce qui justifie la terminolo~ie "norme quotient" employee ci-
dessus.
LEMME 2.1. Soit E I un compact de X . Soit E 2 un s de X dont l'inter-
section avec E I soit vide. L'application qui au couple (s163 E~(EI) XX(E2)
o
associe s +s 6A(E 1UE2) est bijective et bicontinu ~.
D~monstration : L'application est ~videmment injective. Ella est surjective,
car, si s 1UE2) , il existe, puisque E I ant compact et qua A(X) est
r~guli~re (5, th. 39.15, p. 492), une s T 6A(X) , identique & I sur
E I et & O sur E 2 d'o~ la d~composition s = s +92 avec F 1 = T (cid:12)9 s
et f - fl = f2 E A(E2) (cid:12)9 L'application est continue car
sfI s+ 1 UE2) ~11s + s11 = Is163 XI(E 2) "
Ella est donc bicontinue d'apr~s un th~or&me de Banach.
LEMME 2.2. Soit ~ un ouvert relativement compact de X . Soit ~o un ouvert
tel qua ~oCQ . Soit s 6A(Q) et soit s son prolonsement par z&ro & X .
Alors, is le support de f est inclus snaed ~o ' 19 appartient A A(X) . De
plus~ il existe deux constantes c I t~__e c 2 positives r telles que
)X(AIIIeIIIe )o~ (A11911 ~112e~ )X(AII ' ruop toute f ee__d A(O) ~ support dens 02 "
D4monstration : Soient ~ et ~ deux ouverts tels que ~c~c~ c~c~2cQ.
Puisque A(X) est r~guli~re, il existe (5, corollaire 39.16, p. 493) deux
fonctions X1 et X2 telles que X1 ~ I sur ~o et ~ 0 sur X-~ ; X2~I
sur ~ et ~ 0 sur X-Q . Soit 96A(~) , & support inclus dens ~o " Pour
tout prolongement ? de s & A(X) , on a l'6galit6 7 = X1~+(1-X2)7 ~ Les
s XI.~ et ~ -X2~ sont dans A(X) et le prolongement par z~ro s
de s est 6gal & XI.~ , d'o~ la premiere assertion du lemme. De plus, d'apr@s
le choix des ouverts ~ et Q2 ' supp(s et supp(s cX-~2 " ll en
r6sulte, d'apr~s le lemme 2.1, qu'il existe deux constantes c I et c 2 stric-
tement positives, ne d~pendant que de ~ et ~2 ' telles que :
c I )X(A111fll( +IIs )X(AII~I ~c2(lls ) ))X(A112PII+ "
En passant ~ la borne ins suivant tousles prolongements de f ,
on obtient :
)X(A111~l1c ~ sI < s112c )X(AII "
COROLIAIRE 2.3. Soit O un ouvert relativement compact de X . So it Qo u n
ouvert tel que ~oCQ . Soi t ~X(%) (resp. ~Q(Qo) ) la sous-alg~bre de A(X)
(rasp. de A(Q) ) des s ~ supFort dens Qo "
L'application qui & s 6AQ(Oo) o associe son prolon@ement par z~ro
19 6~X(%) est un isomorphisme d'al~@bres de Banach.
DEFINITION 2.4. Soit A'(X) le dual de l'al@~bre A(X) CCo(X ) . Le support
ee._d ~ E A'(X) est~ par d~finition Fle compl&mentaire du plus ~rand ouvert o~
s'annule ~ (cid:12)9
Remarque : Lorsque X est une vari~t~ ind~s dis et que
~(X) CA(X)CCo(X ) , les injections ~tant denses et continues, le support de 9
au sens pr~c@dent est identique au support de 9 au sens des distributions.
LEMME 2.5. Soit X un espace topolo~ique localement compact. Soil E un com-
pact de X . Soil ~ un voisina~e relativement compact de E . Solt ~o un
ouvert tel que ~oC~ (cid:12)9 Wx(E ) (resp. WQ(E) ) le sous-module de A'(X)
(resp. de A'(Q 5 ) dess & support strad E .Soit X une s de A(X)
support dans ~o et qui vaut I au voisina@e de E . Alors Wx(E ) s'identiFie
W~(E) par la formula :
< 9, s > = < ~,X.s > , pour toute ~EWx(E 5 et toute s .
D@monstration :Soit w ~ un ouvert tel que E CWoC~oCOo et soit X 6A(X) qui
vaut 1 sur ~o et O sur X - ~o " Puisque, pour route 9 6 Wx(E ) (resp. 6 Wo(E) 5
at route s 5 (resp, 6A(Q 5 ,5 on a < ~,s > = < 9,X.s > , le sous-module
Wx(E ) (resp. WQ(E) ) est aussi le sous-module des s 9E (XX(~o55'
(resp. 6 (~(~o)5 ' ) A support dans E . On a donc, dans la dualit~ entre lX(~o)
et son dual (resp. entre AQ(o ~o5 et son dual 5 les relations d'orthogonalit6 :
)E(xW 5E(xJ NAx(f~o) ~ ~ (resp. )E(lfW = )~(nj n~n(~o) ~ )
:
De plus, dans l'isomorphisme qui A s E A~(o Qo) -- associe son prolongement par
z@ro s 6Ax(~o) o -- ' l'id@al J~(E) nA~(~o5 o a pour image Jx(E) QAx(f~o) o -- ,donc
Wx(E 5 a pour image W~(E) dans l'isomorphisme transpose, c'est-A-dire que
< 9,9 > = < ~1,s > pOur route 91 6Wx(E 5 at route s 6An(Qo) o -- (cid:12)9
COROLIAIRE 2.6. Soil E un compact de X .Soit ~ un voisina@e relativement
compact de E . Alors E est de synth~se pour l'al@@bre A(X) si et seulement
si E est de synth~se pour l'al@~bre A(Q 5 .
Tout d'abord, remarquons que l'alg@bre A(Q) est r@guli~re et que
son spectre de Gels est hom&omorphe A ~ (5, p. 489, th. 39.125, ce qui
donne un sens & l'~nonc~.
D6monstration : E est de synth~se pour l'algSbre A(X) si et seulement si
I(E~ = J(E) , ca qui ~quivaut, par dualit6, g W(E) = I(E) ~ , c'est-~-dire
< ~,f > = O pour toute ~6W(E) et route F6 I(E) . Le corollaire 2.6 est
alors une consequence imm6diate du lemme 2.5 et du corollaire 2.3, puisque E
est de synth~se pour A(X) (rasp. pour A(~) ) si et seulement si E est de
synth~se pour ~X(~o) (rasp. pour A~o (%) -- 7.
w .3 ORDRE RADIAL DES DISTRIBUTIONS DE A'(~ )n D 8'(Sn_1) . CONDITION NECESSAIRE
ET SUFFISANTE POUR QUE IA SPHERE Sn_ I SOIT DE SYNTHESE POUR A(R n) .
APPLICATION AUXALGEBRES DE SOBOLEV L~(~ n)
I
Soit A(~ n) une algebra de Banach pour le produit ordinaire des
fonctions tella qua ~(~n)=A(~n)ceo(~n ) , les injections ~tant denses at con-
tinues. Cette algebra est alors n6cessairement r6guli~re et~ spectre hom~omor-
phe A ~n (cid:12)9 Nous supposons, en outre, qua l'hypoth~se d'homog~n6it~ suivante
est satiss :
(H) Le groupe G des d@placements opera continOment dans A(~ n) ; suivant la
formula fg(X) : f(g.x) pour tout xE~ ~ tout g6G et toute PEA
soit f une ~onction d6~inia sur une couro..e O = {x/a<Ixl <bl
(qui peut ~tre ~n tout antler), continue et born~e. (On pourrait prendre des
hypothhses plus s mais celles-ci seront suffisantes pour la suite.) D6fi-
o o
nissons r(f) = f par la Formula f(x) = ~SO(n) f(kox) dk , pour tout x6~
avec dk = mesure de Haar normalis~e du groupe compact SO(n) des rotations eu-
clidienneso D'apr@s les crit@res d'existence des int6grales vectorielles (2,
chap. III,w ,3 corollaire 1) si fEA(~ n) , alors ~ existe et appartient
A(~ n) . De plus, r est un projecteur continu de A(~ n) sur r.A(~ n) , algbre
des fonctions radiales de A .Cette algebra est isomorphe, par transport de
structure, ~ l'alg~bre AI(~+ ) des fonctions lf d~finies par f1(p) = ~(x)
~ +...+ 2 !
o~ p = I lx = ~n )~ (cid:12)9 On notera p cat i~o~orphisma <isomorphis~e
"proFil").