Analyse fonctionnelle appliquée aux équations aux dérivées partielles PDF
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Jean-Michel Rakotoson Analyse fonctionnelle appliquée aux équations aux dérivées partielles puf Analyse fonctionnelle appliquée aux équations aux dérivées partielles COLLECTION DIRIGÉE PAR PAUL DEHEUVELS Analyse fonctionnelle appliquée aux équations aux dérivées partielles JEAN-EMILE RAKOTOSON Maître de conférences à ^Université de Fianarantsoa JEAN-MICHEL RAKOTOSON Professeur à VUniversité de Poitiers PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE ISBN 2 13 049838 8 ISSN 0246-3822 Dépôt légiil — édition ; 1999, avril © Presses Universitaires de France, 1999 108, boulevard Saint-Germain, 75006 Paris Avant-propos Ce livre est en partie issu des cours et des travaux dirigés que nous avons professés dans nos établissements respectifs. Nous avons mis surtout l’accent sur le coté pédagogique en essayant d’utiliser des outils simples mais très efficaces comme le procédé diagonal de Cantor ou la méthode de Galerkin. Ainsi, une grande partie de l’ouvrage s’appuie sur l’usage des suites et sur le fait que les objets utilisés ont la propriété dite de séparabilité. Le cours aussi bien que les exercices proposés et leurs solutions sont détaillés afin de faciliter la compréhension d’un maximum de lecteurs. Néanmoins, beaucoup d’exercices sont proposés le long du cours afin de compléter ce dernier. Pour inciter le lecteur à plus d’ouverture vers d’autres disciplines, nous avons cru bon mettre quelques motivations relevant de la physique ou de la mécanique mais aussi quelques méthodes numériques, ceci aussi bien dans le cours que dans les exercices. L’ouvrage tient compte en partie des programmes de l’agrégation, de certaines maîtrises et certaines filières de D.E.A. Nous tenons à remercier Mme Bougant G., Mr Boulanouar M. pour l’aide qu’ils ont apportée pour la réalisation de ce livre ainsi que Mme Rigaudeau et Mr Sicaud pour le travail d’imprimerie. Nous remercions également le directeur de la collection mathématiques, P. Deheuvels, et les éditions P.U.F pour avoir accepté d’éditer ce livre. Enfin, nous tenons à remercier particulièrement le professeur A. Alvino de Naples de nous avoir donné une copie du cours du Prof. G. Miranda. Table des matières CHAPITRE 1 Espaces de Hilbert 1.1 Produit scalaire. Propriétés. Espaces de Hilbert..................... 13 1.1.1 Exemples.......................................................................... 13 1.1.2 Propriétés. Définition d’un espace de Hilbert.............. 14 1.2 Théorème de la projection orthogonalité et espaces de Hilbert séparables........................... 14 1.2.1 Définition d’un convexe et Théorème de la projection 15 1.2.2 Définition de l’orthogonalité, procédé de l’orthogona lisation de Schmidt, Inégalité de Bessel........................ 16 1.2.3 Espaces de Hilbert séparables........................................ 19 1.3 Dual d’un espace de Hilbert et Théorème de Riesz.............. 23 1.3.1 Définition de JT*, H' et propriétés............................... 23 1.3.2 Théorème de représentation de Riesz.......................... 24 1.4 Topologie faible........................................................................ 25 1.4.1 Non compacité de la boule unité en dimension infinie 25 1.4.2 Définition d’une P-topologie et la topologie faible---- 26 CHAPITRE 2 Quelques espaces classiques 2.1 Introduction : Notations - Espaces .................................... 33 2.2 Espaces de Lebesgue................................................................. 35 2.2.1 L’espace (Q) et quelques théorèmes fondamentaux 36 2.2.2 Les espaces Lf{Q) l^/?< oo....................................... 39 2.2.3 Convolution dans ..................................................... 44 2.2.4 Notion de transformées de Fourier dans I? (R^)....... 50 8 Analyse fonctionnelle appliquée aux équations aux dérivées partielles CHAPITRES Notions de distributions 3.1 Définition de Tespace V' et ses sous ensembles remarquables 54 3.2 Propriétés : produit multiplicatif dérivation et primitives---- 56 CHAPITRE 4 Espaces de Sobolev en dimension 1 4.1 Motivation-Définition-Propriétés immédiates........................ 59 4.2 Densité des fonctions régulières dans 62 4.3 Inégalités de Poincaré-Sobolev................................................ 71 CHAPITRES Résolution des problèmes aux limites par une méthode variationnelle : le théorème de Lax-Milgram 5.1 Théorème de Lax-Milgram....................................................... 74 5.2 Quelques exemples de problèmes aux limites linéaires......... 77 CHAPITRE 6 Introduction à la méthode des éléments finis 6.1 Définition générale - Cadre abstrait....................................... 85 6.2 Un exemple d’application : méthode d’éléments finis PI---- 87 CHAPITRE? Compacité et éléments de théorie spectrale 7.1 Définition théorème d’Ascoli - Théorème de Frechet Kolmo- gorov......................................................................................... 94 7.2 Eléments de Théorie spectrale................................................ 101 Table des matières 9 CHAPITRES Espaces de Sobolev en dimension N 8.1 Notations - Définition - Propriétés......................................... 105 8.2 Densité des fonctions régulières dans 107 8.2.1 Quelques lemmes préliminaires.................................... 107 8.2.2 Densité des fonctions régulières et ses conséquences.. 110 8.3 Trace des fonctions de sur le bord dQ. et formule de Gauss-Green et Stokes.............................................................. 122 8.4 Inclusion de Sobolev................................................................. 129 8.5 Quelques exemples d’applications......................................... 135 CHAPITRE 9 Équations d’évolution du type parabolique 9.1 Prototype ou équation modèle : équation de la chaleur....... 145 9.2 Espaces fonctionnels : fonctions à valeurs vectorielles et intégrales de Bochner.............................................................. 148 9.3 Le théorème de J.L. Lions pour les équations paraboliques linéaires...................................................................................... 161 9.4 Quelques exemples d’applications......................................... 172 CHAPITRE 10 Exercices 10.1 Exercices.................................................................................... 181 10.2 Problème d’agrégation............................................................ 194 CHAPITRE 11 Indications des solutions ou solutions 11.1 Corrigé des exercices.............................................................. 205 ANNEXE A Références bibliographiques................................................... 231
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