Analyse et Équations aux Dérivées Partielles

308 Pages·2017·1.45 MB·French

Analyse et Équations aux Dérivées Partielles
Thomas Alazard
ThomasAlazard
CNRSetÉcoleNormaleSupérieuredeParis-Saclay
http://talazard.perso.math.cnrs.fr/
Préface
Ce livre propose une introduction aux domaines de l’Analyse mathématique qui
sont liés à l’étude des équations aux dérivées partielles. Il commence par trois
parties portant sur l’analyse fonctionnelle, l’analyse harmonique et l’analyse
microlocale. La dernière partiede ce livre, plus di�cile,concerne la théorie mo-
derne des équations aux dérivées partielles. Il s’agit d’un domaine très vaste et
j’ai choisi de donner des démonstrations complètes d’une sélection de théorèmes
majeurs. Nous étudierons la résolution du problème de Calderón, le théorème de
propagationdessingularitésd’Hörmander,legrandthéorèmedeDeGiorgietune
inégalitédeStrichartz–Bourgain.Nousétudieronségalementleséquationsauxdé-
rivées partielles elliptiques, hyperboliques ou dispersives. Les problèmes donnés
dansladernièrepartiecomplètentcetteprésentationetproposentdedémontrerde
nombreux résultats célèbres (théorème de Nash pour les équations paraboliques,
conditiond’Hörmandersurlessommesdecarrésdechampsdevecteurs,construc-
tiondesmesuresmicrolocalesdedéfautdeGérardetTartar...).
J’ai essayé de proposer un enseignement exigeant mais accessible à un(e) étu-
diant(e)deMastermotivé(e)(niveauM1pourl’Analysefonctionnelleetl’Analyse
harmonique, et niveau M2 pour l’Analyse microlocale et la théorie des équations
auxdérivéespartielles).
Au niveau pédagogique, la principale originalité de ce livre est qu’il correspond
fidèlementàunenseignementdonnédevantdesétudiants.Cesnotesn’ontpasété
pensées comme un complément du cours. Au contraire, elles retranscrivent mot
pour mot ce qui a été écrit au tableau lors de plusieurs cours di�érents, à l’ENS
Paris et à l’ENS Cachan, pour un volume horaire total d’à peu près 100 heures
de cours. Absolument toutes les démonstrations qui figurent dans ce livre ont été
écrites au tableau in extenso. Ces démonstrations ont été choisies en partie pour
leurs vertus pédagogiques, en essayant de faire intervenir des notions présentées
dans d’autres chapitres par exemple. Certaines redondances sont voulues, car je
pensequ’ellespeuventaiderlesétudiants.
Remerciements.JeremercietrèschaleureusementCécileHuneau,IrèneWaldspur-
geretIsabelleTristani,quiontdonnédesTravauxDirigéssurlapartieEDPdece
cours, Arthur Leclaire, Ayman Rimah et Rémi Tesson qui ont donné des Travaux
DirigéssurlapartieAnalyseFonctionnelle.
Table des matières
partie1. Analysefonctionnelle
Chapitre1. Topologiegénérale 2
§1. Espacestopologiques 3
§2. Séparabilité,compacitéetcomplétude 8
§3. ThéorèmedeBaire 14
§4. Exercices 17
Chapitre2. Espacesvectorielstopologiques 19
§1. Espacesvectorielsnormés 20
§2. Partiesconvexes,bornées,équilibrées 23
§3. Espacesdedimensionfinie 26
§4. Semi-normes 30
§5. EspacesdeBanach 35
§6. L’espacedesfonctionscontinues 40
§7. Exercices 49
Chapitre3. Théorèmesdepointfixe 51
§1. Rappelsdecalculdi�érentiel 51
§2. ThéorèmedupointfixedeBanach 52
§3. Théorèmesd’inversionlocale 53
ii
Tabledesmatières iii
§4. ThéorèmedeCauchy-Lipschitz 56
§5. ThéorèmedupointfixedeBrouwer 57
§6. Théorèmedel’invariancedudomaine 61
§7. ThéorèmedeNash 65
§8. Exercices 72
Chapitre4. AnalyseHilbertienne,dualitéetconvexité 75
§1. IntroductionauxespacesdeHilbert 76
§2. Baseshilbertiennes 82
§3. ThéorèmedeHahn-Banach 84
§4. EspacesdeLebesgue 90
§5. Convergencefaible,convergencefaibleétoile 92
§6. ThéorèmedeBanach-Alaoglu 97
§7. Exercices 99
partie2. AnalyseHarmonique
Chapitre5. SériesdeFourier 102
§1. Introduction 102
§2. Fonctionsdecarrésintégrables 104
§3. Convergencesimpleetconvergenceuniforme 107
§4. ApplicationsdelaformuledePlancherel 112
§5. Exercices 113
Chapitre6. TransforméedeFourier 115
§1. Introduction 115
§2. ClassedeSchwartz 117
§3. Distributionstempérées 123
§4. DécompositiondeLittlewood-Paley 127
§5. Exercices 133
Chapitre7. Fonctionsharmoniques 135
§1. Propriétédelamoyenne 135
§2. SolutionfondamentaleduLaplacien 138
Tabledesmatières iv
§3. Fonctionsharmoniquesconjuguées 142
§4. Régularitédesfonctionsharmoniques 145
§5. Exercices 148
Chapitre8. InégalitésdanslesespacesdeLebesgue,produitdeconvolution
etfonctionsàsupportcompact 151
§1. InégalitésdeHölder,MinkowskietHardy 151
§2. Fonctiondedistribution 155
§3. Définitionduproduitdeconvolution 156
§4. Fonctionsrégulièresàsupportcompact 159
§5. Approximationsdel’identité 163
§6. Exercices 165
Chapitre9. Fonctionmaximaleetapplications 168
§1. Fonctiondedistribution 168
§2. Fonctionmaximaled’Hardy-Littlewood 171
§3. Convergencesimpled’uneapproximationdel’identité 175
§4. Inégalitéd’Hardy-Littlewood-Sobolev 179
§5. Exercices 181
Chapitre10. EspacesdeSobolev 183
§1. Dérivationausensfaible 183
§2. InégalitésdePoincaré 188
§3. EspacesdeSobolevdéfinissurunouvertquelconque 191
§4. InjectionsdeSobolev 198
§5. Injectionscompactes 199
§6. TracesetproblèmedeDirichletinhomogène 203
§7. AnalysedeFourieretespacesdeSobolev 204
§8. Exercices 211
partie3. Analysemicrolocale
Chapitre11. Opérateurspseudo-di�érentiels 216
§1. Symboles 217
Tabledesmatières v
§2. Continuitédesopérateurspseudo-di�érentiels 220
§3. Exercices 223
Chapitre12. Calculsymbolique 226
§1. Introductionàl’analysemicrolocale 226
§2. Introductionaucalculsymbolique 228
§3. Intégralesoscillantes 233
§4. Adjointetcomposition 239
§5. Applicationsducalculsymbolique 250
Chapitre13. Equationshyperboliques 254
§1. Équationsdetransport 254
§2. Equationshyperboliquespseudo-di�érentielles 257
§3. Régularisationdel’équation 262
Chapitre14. Singularitésmicrolocales 267
§1. Propriétéslocales 267
§2. Frontd’onde 270
§3. Théorèmedepropagationdessingularités 274
§4. Calculparadi�érentiel 277
partie4. Analysedeséquationsauxdérivéespartielles
Chapitre15. LeproblèmedeCalderón 280
§1. Introduction 280
§2. Densitédesproduitsdefonctionsharmoniques 281
§3. Equationsàcoe�cientsvariables 283
§4. ThéorèmedeSylvester-Uhlmann 291
Chapitre16. ThéorèmedeDeGiorgi 293
§1. Introduction 293
§2. Sous-solutionsettransformationsnonlinéaires 296
§3. ItérationsdeMoser 301
§4. Inégalitéd’Harnack 304
Tabledesmatières vi
§5. RégularitéHölderienne 307
Chapitre17. ThéorèmedeSchauder 311
§1. Moyenneslocalesetéquationselliptiques 311
§2. MoyenneslocalesetespacesdeHölder 313
§3. ThéorèmedeCampanato 315
§4. ThéorèmedeSchauder 317
§5. RégularitéH2 324
§6. Régularitédessurfacesminimales 325
Chapitre18. Estimationsdispersives 329
§1. L’équationdeSchrödinger 329
§2. EstiméedeStrichartz-BourgainpourKdV 334
§3. Exercices:LemmedeVanderCorputetapplications 339
partie5. Problèmesetsolutionsdesexercices
Chapitre19. Problèmes 343
§A. Lelemmediv-curldeMuratetTartar 343
§B. ÉtudedupenduledeKapitsaparlaconvergencefaible 345
§C. Inégalitéd’interpolationdeRiesz–Thorin 346
§D. LemmedeFriedrichs 349
§E. ContinuitésurlesespacesdeHölder 349
§F. E�etrégularisantpourSchrödingeretAiry 352
§G. Sommesdecarrésdechampsdevecteurs 354
§H. Mesuresmicrolocalesdedéfaut 359
§I. ThéorèmedeNash 362
Chapitre20. Solutions 365
partie6. Bibliographie
Analysefonctionnelle 382
ThéorèmesdeBrouwer 382
Analyseharmonique 383
Tabledesmatières vii
Analysemicrolocale 383
Problèmeselliptiques 384
Equationsdispersives 385
Problèmesinverses 385