Analyse Différentielle

232 Pages·1974·3.069 MB·French

by  Valentin Poenaru (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold, Heidelberg and .B Eckmann, hciriCZ
Series: lnstitut de Mathematique, Faculte des Sciences d'Orsay
Adviser: ..JP Kahane
173
II I
nitnelaV Poenaru
Universite de Paris-Sud, Centre d'Orsay/France
Analyse Differentielle
galreV-regnirpS
Berlin-Heidelberg New York 1974
AMS Subject Classifications (1970): 58 C25, 58 C99, 26A93
ISBN 3-540-06665-9 Springer-Verlag Berlin • Heidelberg • New York
ISBN 0-387-06665-9 Springer-Verlag New York. Heidelberg • Berlin
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole
or part of the material is concerned, specifically those of translation,
reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photo-
copying machine or similar means, dna storage in data banks.
Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other
than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to
be determined by agreement with the publisher.
© by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1974. Library of Congress
Catalog Card Number 74-298?. Printed in Germany
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
Preface
La pattie I de ces notes, correapondant ~ un premier semestre d'un cours
d'Analyse diff~rentielle, contiemt essentlellement des outils:
.1 Le th~or@me de preparation de Weleretrsss-Mal~range-Mather°
sous ses diff@rsntes formes. On a cholsi ici la d~monstrstlon
de Msther /2/, quoiQu'il y air des d~monstrations plus ~l~gantes
Cvoir: Proceedings o~ the Liverpool Singularities-Symposium ,I
Springer 1971). Ella est° peut-~trs, calla qu'on a la probabilit~
la plus grands de trcuver tout seul.
.2 Le th~or@me d'extension de Whitney.
.3 Le th~or~me "de recollement" de £oJasiewicz.
4. Le th~or@me de "synth@se spectrale" (id@au× farm@s] de Whitney.
Pour le plaisir du lecteur, on a inclus, ~ titre d'exemple d'aDplicatiom
simple d'id~es "g@om~trico-alg~briques" @ un probl~me de "~om~trie
diff~rentielle", un chapitre 0 sur les ~quivalences de contact.
Pour r~diger ces notes, on s'est serv± tr@s largement de:
/l/ B. Malgrange: "Ideals of differentiable functions". Oxford
Univ. Press 2966.
/2/ .J Mather : Stability of C~ mapping I [Ann. o~ Math. 87
{1968) pp. 89-104) IIi (Journal bleu No 35
[1968) pp. 279-308).
La partie II [second semestre~ est une suite du premier. Ella contient
essentiellement la th~orie de la stabillt~ ~ C al[ "th~orie de Matber"],
Pour plus de d~tails le lecteur est renvoy~ ~ la table des mati@res et
l'introduction ~ la pattie iI.
Table des Mati@res
ANALYSE DIFFERENTIELI~ (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . ]
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chapitre I: Le th@or@me de division de Mather . . . . . . . . 11
Chapitre II: Le th@or@me de pr@paration de Weierstrass-
Malgrange-Mather . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Appendice au chapitre II . . . . . . . . . . . . 64
Chapitre III: Le th@or@me d'extension de Whitney ....... 66
Chaoitre IV: Le th@or@me "de recollement" de %ojasiewicz. . . 80
Chapitre V: Le th@or@me de synth@se spectrale de Whitney . . 90
ANALYSE DiFFERENTIELLE (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Chapitre I: La division des distributions g partir de la
r~solution des singularit@s de Hironaka ..... 104
Chapitre II: Bur la stabilit@ des application diff@rentiables 124
Chapitre III: Germes d'applications ~ C . . . . . . . . . . . . 166
Chapitre IV: Charact@risation des applications (et des germes
d'applications) stables . . . . . . . . . . . . . 210
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
ESYLA.~2~ DIFFERENTIELLE (I)
(notes informelles d'un cours de III~me eyle, 1971)~
INTRODUCTION
I) Dgfinitions et notations : sauf mention explicite du contraire, on ne s'occupera
que de vari@t@s de classe ~ . C
C (X,Y) = l'ensemble des applications de classe C X : ~ Y . Su~ cet ensemble
on peut mettre la topologie p C (0 g g p ~)o
C~(X,Y) = l'ensemble des germes d'applications ~ C de (X,x) ~ Y .
X
Cx(X,R) = C X) a une structure naturelle d'anneau (en fair de R-alg&bre).
C'est un anneau local dont l~id@al maximal (unique) est :
nT[C~(X) = l'eusemble des germes d'applications C ~° : (X,x) ~ R qui s'annulent
au point x .
C~,y(X,Y) = l'ensemble des germes (X,x) ~ (Y,y).
3~,y(X,Y) = l'ensemble des k-jets (X,x) ~ (Y,y).
P(x,Y) =
L'application naturelle k = ~k(x,y ) ~ X ×Y est une fibration ~ C , oh la
fibre a tune structure naturelle alg6brique-r@elle (puisque les formules de transfor-
mation dee d@riv@es partieltes, par changement de variables, sont alg@briques).
On a aussi, une application naturelle
.k ~ ~ k
3 : C (X,Y)~ C (X,~ (X,Y))
telle que
k
2) Eq,uivalence de contact : ce paragraphe donne un exemple (relativement facile) de
r@duction d'un probl&me d'applications diff@rentiables, & un probl~me alg@brique°
Soient (X,x o) , (Y,yo) deux germes de vari~t@s ~ , C et :
S' ~= CXo,Yo(X,Y) •
On consid~re le groupe Diff ~ (X xY) , des germes de diff@omorphisme :
° x x Yo
(xxY , %xy o) ~ (x×Y , %x%) , et ,~ ~ou~-~ro~,
~c D:Lt'f~ XYo(X xZ)
d@fini comme suit :
On consid~re l'inclusion naturelle :
(x,x )o ~ (XxY x , oxy )o
i
d@finie par : i(x) = x xy ° (x £ X) , et la projection naturelle :
: (xxY x , oxoy) ~ (x,x o) o
Par d@finition H : £ Diff ~xoxyo(XxY ) est un @l@ment de ~(H £~) si et seulement
si, le diagramme suivant est commutatif :
i (xxz , XoXY o)
• (xx xoxy o)
Si on d4finit un germe de sous-vari4t4 :
f E Cxo,Y 0 X,Y)
par :
~(f) : {(~,f(~))} .
On d@finit ~e action de grou~ :
par :
H(graph(f)) = graph(H.f)
(on remarque que l'image, par H , d'un graphe, est toujours un graphe).
D@finition : f,g £ Cxo,Yo(X,y ) sont (contact)-6quivalentes s'il existe H ~ £ tel
que H.f = g °
Si f £~ , on a un homomorphisme de R-alg~bres :
* c ~(z)~c ~(x).
f : Yo Xo
L'id@al :
I(f) = f*(~LC~ (Y)). ~ ~ (X) c (X) C C est appel@ l'anneau des coordonn@es de f.
~o X O X O
(Si f est 6crit sons la forme : Yi : fi(xl .... x n) (i = 1 ..... m) , e'est
l'id@al engendr@ par les fonctions f (x)...) .
l
THEORE~ 1.- (J. Mather, Public. Math. de I'IHES, no. 35 (1968)) : f,g E ont une
@quivalence de contact ~
l(f) = l(g) (6galit@ entre sons-ensembles de ~ (X)). C
x
O
D6monstration :
Lemme : Soit (x ..... I Xn) un syst~me de coordonn6es locales autour de x EX
O
(xi(x O) = 0) , et N c X le germe de sous-vari@t@ d6fini par :
)n
x1 = x2 =°..= xz = o (z,< .
Les deux assertions suivantes sont 4quivalentes :
(i) u E {x 1,°° .,Xk}I ~ C x (X)
o
(ii) U , ainsi que routes ses d4riv4es d'ordre < s'annulent sur N
(identiqusment) (ici u 6 ~ C (X)).
x
o
D4monstration : (i) ~(ii) trivialement).
(ii) ~(i) se d4montre par induction sur I .
On d4finit :
rap :
u. C C '= (x)
l X
O
Ui(X I ..... X n) = ~o ~ I ~u (o,...,O . .tx . i . . xi.+ . I xn)dt •
On a : xiui(x I .... x n) = u(o ..... o, xi, xi+ I ..... Xn) - u(o .... o, xi+ 1 .... Xn) . Donc :
k
u(x 1 .... x ]- u(o .... O,Xk+ 1 .... Xn) : Z xiu i
j i=I
: 0 (puisqu~on suppose (ii))o
Ceci d4montre d4jA le cas ~ =I .
Si £ > I , u s'annule, ainsi que routes ses d4riv4es d'ordre < 2-I sur N ,
l
e.a.d.s.
Le th4or&me Iest impliqu4 par le :
THEOREME 2.- Si f,g E~ , les assertions suivantes sont 4quivalentes :
) f ° I et g ont une 4quivalence de contact.
)o2 3
o±ff~o ¢ ×Yo (x×~)
tel que H IXxy o = identit4, et :
H(graph f) = graph g .
3 °) I(f) : I(g) c ~ C (X) (4galit4 entre sous ensembles de ~ C (X)).
X o X 0
4 °) Si l'on d4signe par m la dimension de Y , il existe tune matrice
inversible :
(uij(x)) [ GL(m,C: (X))
o
telle que :
z f*(q) : )~(ji~ )jy(*~
D4monstration : 1 o) ~ 2 o) trivialement.
On va montrer ) ° 2 ==~-3o). Soit V~-~X xY un germe de sous-vari4t4 ~ : C
° x XYo V £ .
On d@signe par :
z(v) ~
l'id4al des (germes de) fonctions ~ C qui s'annullent sur V . II est 4vident que :
z(v) -- z(v,) <-->v :v, .
Je dis que :
z(~ )f = {q- q(x)b~o,Yo(X )y× .
(Ceci r4sulte du lemme ~ : consid6rons le diff6omorphisme
XxY -,. XxY
F
d4fini, en coordonn@es, par :
)F( { jxq :: J.~-q )~(if
alors F(graph f) : {Yi:o} . D'apr~s le lemme I
z({q:o}) : {q}g, ts :
)f : /(Z({h:o})) :
Z(~r~ph
: F*({q}~ : {yi-q(~)}~...) .
On consid&re, en outre de graph f c XxY , le germe de sous-vari4t4 XXYo c XxY ,
et les restrictions des fonctions de Z(graph f) c~ ~ Xxx , (consid6r4es comme
0
des fonctions en x , seulement). On a :
I
Z(graph f) X×Y o :
: {y±(yo)-q(x)} (c~o,Yo(X×Z) I X×yo) :
o : : -c )x(
X
0
= -{ (x)l i f Cx (X) : I(f)c x (X) C .
0 0
Puisque H 6 Diff~oXYo(XXY) poss&de les propri4t@s :
H I Xxy ° : identit@
hparg(H f)
= graph g
il en r4sulte que l'homomorphisme :
*H : ~.g
poss&de les deux propri4t4s suivantes :
a) H*(Z(graph g)) = Z(graph f)
b) Pour tout ~ £ ~: