Analyse : Cours de mathématiques - Première année

207 Pages·2016·1.64 MB·French

by  Arnaud Bodin et al.

A N A LY S E
C
OURS DE MATHÉMATIQUES
P
REMIÈRE ANNÉE
Exo7

À la découverte de l’analyse
Lesmathématiques,vouslesavezbiensûrmanipuléesaulycée.Danslesupérieur,ils’agitd’apprendreà
lesconstruire!Lapremièreannéeposelesbasesetintroduitlesoutilsdontvousaurezbesoinparlasuite.
Elle est aussi l’occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l’infiniment grand (les limites) à
l’infinimentpetit(lecalculdedérivée).
L’outil central abordé dans ce tome d’analyse, ce sont les fonctions. Vous en connaissez déjà beaucoup,
racine carrée, sinus et cosinus, logarithme, exponentielle... Elles interviennent dès que l’on s’intéresse à
des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Position d’une comète en fonction du
temps,variationduvolumed’ungazenfonctiondelatempératureetdelapression,nombredebactérieen
fonctiondelanourrituredisponible:physique,chimie,biologieouencoreéconomie,autantdedomaines
danslesquelsleformalismemathématiques’appliqueetpermetderésoudredesproblèmes.
Cetomedébuteparl’étudedesnombresréels,puisdessuites.Leschapitressuivantssontconsacrésaux
fonctions:limite,continuité,dérivabilitésontdesnotionsessentielles,quireposentsurdesdéfinitionset
despreuvesminutieuses.Toutescesnotionsontuneinterprétationgéométrique,qu’onlitsurlegraphedela
fonction,etc’estpourquoivoustrouverezdanscelivredenombreuxdessinspourvousaideràcomprendre
l’intuition cachée derrière les énoncés. En fin de volume, deux chapitres explorent les applications des
étudesdefonctionsautracédecourbesparamétréesetàlarésolutiond’équationsdifférentielles.
Leseffortsquevousdevrezfournirsontimportants:toutd’abordcomprendrelecours,ensuiteconnaître
par cœur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les
démonstrations,quipermettentdebienassimilerlesnotionsnouvellesetlesmécanismesderaisonnement.
Enfin,vousdevrezpasserautantdetempsàpratiquerlesmathématiques:ilestindispensablederésoudre
activementparvous-mêmedesexercices,sansregarderlessolutions!Pourvousaider,voustrouverezsurle
siteExo7touteslesvidéoscorrespondantàcecours,ainsiquedesexercicescorrigés.
Alorsn’hésitezplus:manipulez,calculez,raisonnez,etdessinez,àvousdejouer!

Sommaire
1 Les nombres réels 1
1 L’ensembledesnombresrationnels(cid:81) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Propriétésde(cid:82) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Densitéde(cid:81)dans(cid:82) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Bornesupérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Les suites 15
1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Exemplesremarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Théorèmedeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Suitesrécurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Limites et fonctions continues 37
1 Notionsdefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Continuitéenunpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Continuitésurunintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Fonctionsmonotonesetbijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Fonctions usuelles 59
1 Logarithmeetexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Fonctionscirculairesinverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Fonctionshyperboliquesethyperboliquesinverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Dérivée d’une fonction 69
1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2 Calculdesdérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 Extremumlocal,théorèmedeRolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Théorèmedesaccroissementsfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Intégrales 85
1 L’intégraledeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2 Propriétésdel’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Primitived’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Intégrationparparties–Changementdevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Intégrationdesfractionsrationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Développements limités 109
1 FormulesdeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2 Développementslimitésauvoisinaged’unpoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3 Opérationssurlesdéveloppementslimités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4 Applicationsdesdéveloppementslimités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8 Courbes paramétrées 127
1 Notionsdebase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2 Tangenteàunecourbeparamétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3 Pointssinguliers–Branchesinfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4 Pland’étuded’unecourbeparamétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Courbesenpolaires:théorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6 Courbesenpolaires:exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9 Équations différentielles 165
1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2 Équationdifférentiellelinéairedupremierordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3 Équationdifférentiellelinéairedusecondordreàcoefficientsconstants . . . . . . . . . . . 174
4 Problèmesconduisantàdeséquationsdifférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10 Leçons de choses 185
1 Alphabetgrec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2 Écriredesmathématiques:LATEXencinqminutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3 Formulesdetrigonométrie:sinus,cosinus,tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4 Formulaire:trigonométriecirculaireethyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5 Formulesdedéveloppementslimités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6 Formulaire:primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Index

Chapitre
1
Les nombres réels
VidØo (cid:132) partie 1. L’ensemble des nombres rationnels (cid:81)
VidØo (cid:132) partie 2. PropriØtØs de (cid:82)
VidØo (cid:132) partie 3. DensitØ de (cid:81) dans (cid:82)
VidØo (cid:132) partie 4. Borne supØrieure
Fiche d’exercices (cid:135) PropriØtØs de (cid:82)
Motivation
Voiciuneintroduction,nonseulementàcechapitresurlesnombresréels,maisaussiauxpremierschapitres
dececoursd’analyse.
Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J.C.) le système de numération était
en base 60, c’est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la forme a+ b + c +···. On peut
60 602
imaginer que pour les applications pratiques c’était largement suffisant (par exemple estimer la surface
d’unchamp,lediviserendeuxpartieségales,calculerlerendementparunitédesurface,...).Enlangage
modernecelacorrespondàcompteruniquementavecdesnombresrationnels(cid:81).
(cid:112)
Lespythagoriciens(vers500avantJ.C.enGrèce)montrentque 2n’entrepascecadrelà.C’est-à-direque
(cid:112)
p
2nepeuts’écriresouslaforme avec p etq deuxentiers.C’estundoublesautconceptuel:d’unepart
(cid:112) q
concevoirque 2estdenaturedifférentemaissurtoutd’endonnerunedémonstration.
(cid:112)
Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombres 10 et 1,101/12. Le premier
représenteparexempleladiagonaled’unrectangledebase3etdehauteur1;lesecondcorrespondpar
exempleautauxd’intérêtmensueld’untauxannuelde10%.Danscepremierchapitrevousallezapprendre
(cid:112) (cid:112)
àmontrerque 10n’estpasunnombrerationnelmaisaussiàencadrer 10et1,101/12 entredeuxentiers
consécutifs.
Pourpouvoircalculerdesdécimalesaprèslavirgule,voiredescentainesdedécimales,nousauronsbesoin
d’outilsbeaucoupplussophistiqués:
• uneconstructionsolidedesnombresréels,
• l’étudedessuitesetdeleurlimites,
• l’étudedesfonctionscontinuesetdesfonctionsdérivables.
Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons en
(cid:128) (cid:138)
étudiantlafonction(cid:112)f(x)= x2−10quelasuitedesrationnels(un)définieparu0=3etu(cid:112)n+1= 12 un+ 1u0
n
tendtrèsvitevers 10.Celanouspermettradecalculerdescentainesdedécimalesde 10etdecertifier
qu’ellessontexactes:
(cid:112)
10=3,1622776601683793319988935444327185337195551393252168...
LES NOMBRES RÉELS 1.L’ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELS(cid:81) 2
(cid:81)
1. L’ensemble des nombres rationnels
1.1. Écriture décimale
Pardéfinition,l’ensembledesnombres rationnelsest
(cid:167)p (cid:170)
(cid:81)= |p∈(cid:90),q∈(cid:78)∗ .
q
Onanoté(cid:78)∗=(cid:78)\{0}.
Parexemple: 2; −7; 3 = 1.
5 10 6 2
Lesnombresdécimaux,c’est-à-direlesnombresdelaforme a ,avec a∈(cid:90)et n∈(cid:78),fournissentd’autres
10n
exemples:
1234 345
1,234=1234×10−3= 0,00345=345×10−5= .
1000 100000
Proposition 1.
Unnombreestrationnelsietseulements’iladmetuneécrituredécimalepériodiqueoufinie.
Parexemple:
3 1
=0,6 =0,3333... 1,179325325325...
←→←→←→
5 3
Nousn’allonspasdonnerladémonstrationmaislesensdirect(=⇒)reposesurladivisioneuclidienne.Pour
laréciproque(⇐=)voyonscommentcelamarchesurunexemple:Montronsque x =12,3420212021...
←−→←−→
estunrationnel.
L’idéeestd’aborddefaireapparaîtrelapartiepériodiquejusteaprèslavirgule.Icilapériodecommence
deuxchiffresaprèslavirgule,donconmultipliepar100:
100x =1234,20212021... (1)
←−→←−→
Maintenantonvadécalertoutverslagauchedelalongueurd’unepériode,doncicionmultiplieencorepar
10000pourdécalerde4chiffres:
10000×100x =12342021,2021... (2)
←−→
Les parties après la virgule des deux lignes (1) et (2) sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant
(2)-(1)alorslespartiesdécimaless’annulent:
10000×100x−100x =12342021−1234
donc999900x =12340787donc
12340787
x = .
999900
Etdoncbiensûr x ∈(cid:81).
(cid:112)
1.2. 2 n’est pas un nombre rationnel
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, les irrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent
naturellementdanslesfiguresgéométriques:parexempleladiagonaled’uncarrédecôté1estlenombre
(cid:112)
irrationnel 2;lacirconférenced’uncerclederayon 1 estπquiestégalementunnombreirrationnel.Enfin
2
e=exp(1)estaussiirrationnel.
LES NOMBRES RÉELS 1.L’ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELS(cid:81) 3
π
(cid:112)
2
•
1
2
1
(cid:112)
Nousallonsprouverque 2n’estpasunnombrerationnel.
Proposition 2.
(cid:112)
2∈/ (cid:81)
(cid:112)
Démonstration. Parl’absurdesupposonsque 2soitunnombrerationnel.Alorsilexistedesentiers p∈(cid:90)
(cid:112)
etq∈(cid:78)∗ telsque 2= p,deplus–ceseraimportantpourlasuite–onsupposeque p etq sontpremiers
q
p
entreeux(c’est-à-direquelafraction estsousuneécritureirréductible).
(cid:112) q
En élevant au carré, l’égalité 2 = p devient 2q2 = p2. Cette dernière égalité est une égalité d’entiers.
q
L’entierdegaucheestpair,donconendéduitque p2 estpair;entermededivisibilité2divise p2.
Maissi2divise p2 alors2divise p (celaseprouveparfacilementl’absurde).Doncilexisteunentier p(cid:48)∈(cid:90)
telque p=2p(cid:48).
Repartonsdel’égalité2q2=p2etremplaçonsppar2p(cid:48).Celadonne2q2=4p(cid:48)2.Doncq2=2p(cid:48)2.Maintenant
celaentraîneque2diviseq2 etcommeavantalors2diviseq.
Nous avons prouvé que 2 divise à la fois p et q. Cela rentre en contradiction avec le fait que p et q sont
(cid:112)
premiersentreeux.Notrehypothèsededépartestdoncfausse: 2n’estpasunnombrerationnel.
Commecerésultatestimportantenvoiciunedeuxièmedémonstration,assezdifférente,maistoujourspar
l’absurde.
(cid:112) (cid:112)
Autredémonstration. Parl’absurde,supposons 2= p,doncq 2=p∈(cid:78).Considéronsl’ensemble
q
(cid:112)
(cid:78) =(cid:8)n∈(cid:78)∗|n 2∈(cid:78)(cid:9).
(cid:112)
Cetensemblen’estpasvidecaronvientdevoirqueq 2=p∈(cid:78)doncq∈(cid:78) .Ainsi(cid:78) estunepartienon
videde(cid:78),elleadmetdoncunpluspetitélément n =min(cid:78) .
0
Posons
(cid:112) (cid:112)
n =n 2−n =n ( 2−1),
1 0(cid:112) 0 0
ildécouledecettedernièreégalitéetde1< 2<2que0<n <n .
(cid:112) (cid:112) (cid:112) (cid:112) 1 0
De plus n 2 = (n 2−n ) 2 = 2n −n 2 ∈ (cid:78). Donc n ∈ (cid:78) et n < n : on vient de trouver un
1 0 0 0 0 1 1 0
élément n de(cid:78) strictementpluspetitque n quiétaitleminimum.C’estunecontradiction.
1 (cid:112)0
Notrehypothèsededépartestfausse,donc 2∈/ (cid:81).
Exercice 1.
(cid:112)
Montrerque 10∈/ (cid:81).
Onreprésentesouventlesnombresréelssurune«droitenumérique»:
(cid:112)
2 e π
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5