Analyse continue par ondelettes French

253 Pages·1995·9.67 MB·French

by  Bruno Torresani

Bruno Torrésani
Centre de Physique Théorique de Marseille (CNRS)
Analyse continue
par ondelettes
Préface de Yves Meyer, membre de l’Institut
S A V O I R S A C T U E L S
InterÉditions / CNRS Éditions

O 1995, InterEditions, 5, rue Laromiguière, 75005 Paris
et
CNRS Éditions, 20/22, rue Saint-Amand, 75015 Paris.
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ISBN 2 7296 0591 6
ISBN 2 271 05364 1
SOMMAIRE
Préface xi
Introduction 1
I Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II Analyse continue par ondelettes et par gaborettes 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
I Décomposition temps-fréquence 10
II L’analyse de Fourier à court terme . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.1 Les gaborettes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.2 Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Le cas multidimensionnel 17
III L’analyse par ondelettes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . 17
111.1 Décompositions continues en ondelettes . . . . . . . . . . 17
111.2 Quelques exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
IV Ondelettes multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
IV.l Ondelettes radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
IV.2 Ondelettes engendrées par les translations, rotations et di-
latations de lR” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
IV.3 Retour sur l’espace “temps-fréquence” . . . . . . . . . . . 29
V Noyauxreproduisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
VI Quelques remarques et compléments . . . . . . . . . . . . . . . 33
VI .1 Analyses multirésolutions infinitésimales . . . . . . . . . . 33
VI.2 Quelques exemples singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VI1 Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
VI11 Complément A : Rotation dans lR“ . . . . . . . . . . . . . . . 38
VIII.l Les angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
V111.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
vi Sommaire
III Quelques exemples et illustrations 41
I Le plan temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II Aspect temps-échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
III Aspect temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
.....................
IV Exemples bidimensionnels 51
....................
V Commentaires et références 56
IV Ondelettes et régularité globale et locale des fonctions 59
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Singularité et contours 59
. . . .
III Convergence ponctuelle de la formule de reconstruction 64
IV Régularité holderienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
IV.l Régularité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
IV.2 Régularité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
V Auto-similarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
V.l Mesures fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
V.2 Fonctions fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
VI Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
V Applications : Approximations asymptotiques et analyse de
signaux modulés en amplitude et en fréquence 81
I Signal analytique et transformation de Hilbert . . . . . . . . . 82
II Analyse par ondelettes de lignes spectrales . . . . . . . . . . . . 85
11.1 Coefficients d’ondelettes de lignes spectrales . . . . . . . . 85
11.2 Caractérisation de lignes spectrales . . . . . . . . . . . . . 88
III Signaux modulés en amplitude et en fréquence . . . . . . . . . 92
111.1 Estimation des coefficients d’ondelettes . . . . . . . . . . . 92
111.2 L’arête de la transformée en ondelettes . . . . . . . . . . . 93
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.3 Les courbes-ondelette 94
111.4 Extraction de l’arête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
111.5 Une implémentation possible . . . . . . . . . . . . . . . . 97
111.6 Commentaires, développements . . . . . . . . . . . . . . . 99
IV Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
. . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.l Analyse de lignes spectrales 105
. . . . . .
IV.2 Fréquences locales bidimensionnelles et texture 106
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Illustrations 108
V Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VI Complément B : Approximations asymptotiques et phase sta-
tionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
VI.l Développements asymptotiques : un exemple simple . . 112
VI.2 Méthode de la phase stationnaire : calcul des premiers
termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Sommaire vii
VI.3 Méthode de la phase stationnaire : qualité de l’approxima-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tion 116
VI Ondelettes discrètes. repère d’ondelettes et de gaborettes 119
. . .
I Théorie élémentaire des repères dans un espace de Hilbert 119
II Repères de gaborettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Le phénomène de Balian-Low 126
111.1 Le principe d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . 126
111.2 Le théorème de Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Repère d’ondelettes 129
. . . . . . . . . . . . . . . .
V Repères continus et généralisation 132
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.l Repères continus 132
. . . . . . . . .
V.2 Repères discrets d’ondelettes interpolantes 134
VI Ondelettes “presque continues” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
VI1 Commentaires et références .................... 136
VI1 États cohérents et représentations de carré intégrable de
groupes localement compacts et d’espaces homogènes associés139
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
II Représentations de carrés intégrables et états cohérents . . . . 140
11.1 Coefficients de Schur et relations d’orthogonalité . . . . . 141
11.2 Etats cohérents et transformation associée . . . . . . . . . 143
. . . . . . . .
11.3 Retour aux représentations temps-fréquence 144
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Exemples 144
III Carré intégrabilité, modulo un sous-groupe et ondelettes associées151
111.1 Retour sur le groupe de Weyl-Heisenberg . . . . . . . . . 151
111.2 Ondelettes indexées par un espace homogène . . . . . . . 151
111.3 Atomes temps-fréquence : le groupe de Weyl-Heisenberg
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
affine 152
IV Espaces de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
IV.l Théorie de Kirillov et espace des phases . . . . . . . . . . 157
. . . . . . . . . . . . .
IV.2 Retour sur les exemples précédents 158
IV.3 Les ondelettes multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . 159
IV.4 Les gaborettes sur la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V Commentaires et références 164
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI ComplémentC 166
. . . . . . . . . . . .
VI.l Quelques calculs d’espace des phases 166
VI.2 Le groupe euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
VI1 ComplémentD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.l Ondelettes sur les sphères 173
VII.2 Identité approchée sur la sphère . . . . . . . . . . . . . . 175
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.3 Le schéma bilinéaire 176
viii Sommaire
VI11 Algorithmes rapides de calcul de la transformée en on-
delettes 179
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
II Ondelettes sur une grille dyadique . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.1 Le théorème d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . 181
. . . . .
11.2 Algorithmes pyramidaux en traitement d’images 184
11.3 Codage en sous-bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.4 Transformée en ondelettes sur grille dyadique . . . . . . . 189
. . . . . . . . . . . .
11.5 Quelques exemples et commentaires 191
III Ondelettes sur grille régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
111.1 Utilisation de QMFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.2 Pseudo-QMFs 195
111.3 Redondance en échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
IV Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
IV.l Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
IV.2 Algorithmes approchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
V Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
VI Complément E : Filtres pour ondelettes splines et LOG . . . . 208
VI.l Splines de base et ondelettes de Battle-Lemarié . . . . . . 208
. . . . . . . . . . .
VI.2 Filtres approchés pour ondelettes LOG 212
Annexe A Eléments d’analyse 217
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I Notionsdebase 217
1.1 Continuité, différentiabilité, régularité . . . . . . . . . . . 217
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mesurabilité, intégrabilité 219
II Espaces fonctionnels et distributions . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.1 Les espaces LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.2 L’espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.3 Quelques inégalités utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Identité approchée 222
. . . . . . . . . . . . . .
11.5 Fonctions de test et distributions 222
III Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
111.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
111.2 Quelques propriétés (aide-mémoire) . . . . . . . . . . . . . 225
111.3 Transformation de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Annexe B Eléments de théorie des groupes 227
I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
1.1 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
II Groupes et algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
III Mesure de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
IV Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Sommaire ix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.l Généralités 231
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Exemples 232
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Représentation régulière 233
......................
V Représentations induites 233
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.l Espaces homogènes 233
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Représentations induites 234
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI Références 235
Index 237