Analyse complexe : un regard analytique et géométrique enrichi de 230 exercices corrigés

410 Pages·2014·19.418 MB·French

by  Yger, Alain

Alain Yger
Analyse complexe
Un regard analytique et géométrique
enrichi de 230 exercices corrigés
Analyse complexe
Un regard analytique et géométrique
enrichi de 230 exercices corrigés
Alain Yger
Collection Références sciences
dirigée par Paul de Laboulaye
[email protected]
Retrouvez tous les livres de la collection et des extraits sur www.editions-ellipses.fr
ISBN 9782340-000292
©Ellipses Édition Marketing S.A., 2014
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
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Avant-propos
Depuis le siècle des Lumières et la formalisation du principe de moindre
action, l’analyse complexe en une variable n’a eu de cesse de nourrir l’évolution
des idées en mathématiques, tous champs confondus : géométrie, analyse pro­
prement dite, théorie des nombres, aujourd’hui ingénierie mathématique et
théorie de l’information. À l’heure où les calculateurs efficaces n’existaient pas
encore, elle a constitué tant un fil directeur (et unificateur) qu’un précieux
auxiliaire.
Le but de cet ouvrage (se plaçant au niveau master 1, niveau où l’analyse
complexe en une variable est en général enseignée à l’université) est de tenter
d’en présenter (sans être exhaustif, bien loin de là) les multiples facettes, de
mettre en lumière les aspects transversaux qui lui sont inhérents, en même
temps que de faire entrevoir le très riche champ des applications potentielles.
Une présentation de l’analyse harmonique en deux variables, qui en constitue
le pendant réel, accompagne cette initiation. L’objectif est ici d’exploiter ces
« modèles - jouets » déjà si riches en eux-mêmes que constituent les ouverts
du plan complexe ainsi que certaines surfaces de Riemann compactes très
simples (sphère de Riemann ou droite projective complexe, tore ou courbes
elliptiques), avec les fonctions qui vivent dessus, pour introduire (ici en une
variable) les concepts mathématiques élaborés depuis Euler et Gaufi, puis tout
au long du XIXe siècle. Ce sont ces mêmes concepts dont la transposition au
cadre de plusieurs variables s’est avérée inéluctable à l’orée du XXe siècle,
avec les travaux des écoles de géométrie allemande, italienne, française, ceux
d’Henri Poincaré, d’Elie Cartan, de George de Rham, d’André Weil, pour ne
citer que quelques noms. Le point de vue adopté, tant sous l’angle analytique
que géométrique, vise précisément à mettre le lecteur en situation d’aborder
ultérieurement les immenses champs que constituent aujourd’hui (tant pour
eux même que comme outils au service d’autres) la géométrie et l’analyse
en une ou plusieurs variables complexes (citons [Horm] pour poursuivre le
voyage).
Cet ouvrage suppose comme prérequis le bagage concernant les séries de
fonctions, en particulier les séries entières et les séries de Fourier, ainsi que
les bases du calcul différentiel et du calcul intégral élémentaire (point de vue
de Riemann). Quelques fondements en géométrie différentielle (sous variétés
ii AVANT-PROPOS
de R^, champs de vecteurs, formes différentielles) peuvent s’avérer utiles. Le
contenu de cet ouvrage correspond à un enseignement dispensé en master de­
puis plusieurs années, à diverses périodes marquées par des interruptions. La
matière de ce cours s’est nourri bien sûr de mes travaux de recherche (je pense
en particulier à mes collaborations avec mes amis Roger Gay, Carlos Beren-
stein, Mats Andersson, Jan Erik Bjôrk, Mikael Passare, August Tsikh), qui
m’ont avec le temps forcé à prendre le recul bien souvent nécessaire et à croiser
divers regards. Les ouvrages de Carlos Berenstein et Roger Gay ([BG], cha­
pitres 1-2-3-4), d’Eric Amar et Etienne Matheron [AM], de Mats Andersson
[And], de Steven Krantz [Kra], de Raghavan Narasimhan [Nar], m’ont beau­
coup influencé ; il convient d’y ajouter quelques références plus spécifiques (tels
des articles séminaux) que je mentionnerai au fil du texte. Les références incon­
tournables que constituent les ouvrages de L.V. Ahlfors [Ahl], J.B. Conway
[Conway], P.L. Duren [Duren], C. Pommerenke [Pom], W. Rudin [Rud],
[WW], [Vall, Val2] qui ont nourri ma formation, ont été évidemment pour
moi des mines durant la gestation de ce texte. Une partie de la matière de cet
ouvrage puise ses bases dans la monographie (encore imparfaite car de « jeu­
nesse ») [Y], où je proposais une confrontation (que je crois encore porteuse de
constructives interactions) entre le cadre « rigide » de l’analyse complexe en
une variable et, face à lui, la « souplesse > de l’analyse au travers de la théorie
des distributions. Les aspects culturels et historiques de l’analyse complexe
ne doivent certes pas être négligés. J’ai tenu à émailler le texte autant que
faire se peut de références, d’indications historiques, etc., mais je m’empresse
de renvoyer le lecteur aux sites en ligne aujourd’hui très bien documentés.
S’il est un champ des mathématiques où apprendre à situer de la genèse des
concepts s’avère essentiel, indéniablement l’analyse complexe en une variable,
fédératrice des diverses branches des mathématiques depuis voilà plus de deux
siècles, en fait partie.
Une série de 230 exercices, tous entièrement corrigés (chapitre par cha­
pitre), accompagne, comme je l’ai déjà mentionné, le lecteur au fil des quatre
parties de l’ouvrage. La place qu’ils y occupent est plus que substantielle, ce
qui constitue de ma part un choix délibéré. Ils proposent un approfondissement
vers des résultats dépassant le cadre actuel du cours, tels les théorèmes de Pi­
card, les représentations conformes < explicites », la « promenade » guidée
dans l’univers fascinant des fonctions gamma d’Euler, zêta de Riemann, ou
des sommes de séries de Dirichlet, etc. Certains sont inspirés d’énoncés pro­
posés dans l’ouvrage de C.A. Berenstein et R. Gay [BG] ou dans celui d’Eric
Amar et Etienne Matheron [AM]. D’autres sont en relation avec des questions
soulevées par mes thématiques de recherche (ils figuraient sous une forme pri­
mitive comme exercices dans [Y] et ont été réactualisés depuis). Tous ont fait
l’objet d’exercices de travaux dirigés, d’encadrement de mémoires de master
(TER) ou de textes d’examen (auquel cas ils ont étés organisés en une suite
AVANT-PROPOS 111
d’exercices enchaînés). Certains sont des exercices d’application immédiate
(parfois illustrés avec Maple ou MATLAB) ; d’autres, nettement plus difficiles, se
présentant sous la forme de longs problèmes guidés de bout en bout, nécessitent
une réflexion progressive et le lecteur y est pris par la main ; il peut à tout mo­
ment, s’il le souhaite ou se retrouve bloqué, se reporter au corrigé . Outre ceux
que j’ai construit, beaucoup sont dus également à tous les collègues qui ont
assuré les travaux dirigés de mon cours à Bordeaux au fil des années : Karim
Kellay, Chantal Ménini, Nikolai Nikolski, Pierre Parent, Mohamed Zarrabi. Je
me dois ici de les remercier tous, ainsi que Philippe Charpentier dont j’ai assuré
/
les travaux dirigés du cours, sans oublier Eric Charpentier et Ahmed Sebbar
qui m’ont fait profiter à maintes reprises de leur immense culture. Je dois enfin
un grand merci à tous mes étudiants, à l’École Polytechnique, à l’université
de Maryland, à Bordeaux depuis bien des années, années aux fil desquelles
ces notes de cours se sont lentement élaborées en même temps que ma re­
cherche; sans leurs réactions, leurs commentaires et leurs critiques lorsqu’il
leur a fallu par exemple patiemment « tester » ces exercices ou ces problèmes,
elles n’auraient certainement pas pu se trouver ainsi finalisées ; je me dois de
✓
remercier en particulier les étudiants bordelais ou venant des Ecoles Normales
Supérieures de Lyon ou de Cachan que j’ai eu la chance d’encadrer comme
stagiaires dans la préparation de mémoires de master ; j’ai pu ainsi construire
sur la base de ces riches expériences des textes de problèmes inspirés du travail
de synthèse qu’ils avaient réalisé sous ma direction.
Cet ouvrage est bien loin d’être complet ! L’ouverture vers le cadre géomé­
trique des surfaces de Riemann n’y est qu’à peine esquissée, alors qu’évidem-
ment celle ci aurait du s’imposer : je pense par exemple à la construction
explicite de formes méromorphes suivant la méthode de Perron, à la théorie
des formes modulaires, au théorème de la monodromie, etc. Autant de lacunes
auxquelles j’ai du à regret me résoudre. Il m’a fallu faire des choix. Je souhaite
cependant que cet ouvrage puisse inviter le lecteur à pénétrer cet univers et lui
fournisse un minimum de bases nécessaires pour une exploration ultérieure de
l’analyse et la géométrie complexes en non plus une, mais cette fois plusieurs
variables.

Table des matières
Chapitre 1. Le plan complexe et les formes différentielles dans le plan 1
1.1. Le plan complexe et ses compactifications 1
1.1.1. Deux structures sur R2 1
1.1.2. La sphère de Riemann et la projection stéréographique 3
1.1.3. La droite projective P^C) 6
1.1.4. Exercices 7
1.2. Formes différentielles dans un ouvert du plan complexe 7
1.2.1. Champs de vecteurs et 1-formes différentielles dans le plan 7
1.2.2. Potentiel et 1-formes exactes 9
1.2.3. 2-formes différentielles dans un ouvert du plan 10
1.2.4. Image réciproque d’une forme différentielle 15
1.2.5. Exercices 16
1.3. Intégration des formes différentielles 19
1.3.1. Chemins paramétrés dans R2 19
1.3.2. Intégrale curviligne d’une 1-forme le long d’un chemin
paramétré C1 par morceaux 20
1.3.3. Exactitude des 1-formes et intégration curviligne 21
1.3.4. Intégration des 2-formes différentielles 26
1.3.5. La formule de Green-Riemann 28
1.3.6. La formule de Cauchy-Pompeiu 33
1.3.7. Exercices 34
1.4. Formes localement exactes et chemins continus 38
1.4.1. Primitive d’une 1-forme localement exacte le long d’un
chemin continu 38
1.4.2. Homotopie entre chemins continus et groupes d’homotopie 44
1.4.3. Le théorème de Rouché, version topologique 50
1.4.4. Exercices 52
1.5. Une brève initiation aux notions d’homologie et de cohomologie 57
1.5.1. Groupes des fc-chaines singulières différentiables d’un ouvert 57
1.5.2. Le morphisme bord et la notion de cycle 59
1.5.3. Homologie singulière différentiable et cohomologie d’un
ouvert 61
1.5.4. Exercices 64
1.6. Corrigés des exercices du chapitre 1 65
vi TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 2. Holomorphie et analyticité 87
2.1. Fonctions holomorphes : plusieurs points de vue 87
2.1.1. Différentiabilité au sens complexe 87
2.1.2. Le théorème de Cauchy-Goursat 88
2.1.3. L’opérateur de Cauchy-Riemann 90
2.1.4. Le théorème de Morera 92
2.1.5. Exercices 96
2.2. Formules de Cauchy et analyticité 103
2.2.1. Séries entières ; quelques rappels 103
2.2.2. Formules de représentation de Cauchy
et analyse de Fourier 106
2.2.3. Développement de Taylor d’une fonction holomorphe
au voisinage d’un point 107
2.2.4. Principes des zéros isolés, du prolongement analytique,
et de l’application ouverte 111
2.2.5. Exercices 114
2.3. Les inégalités de Cauchy et leurs conséquences 123
2.3.1. Inégalités de Cauchy et théorème de Liouville 123
2.3.2. Suites de fonctions holomorphes, théorèmes de
Weierstrafi et de Montel 124
2.3.3. Principes du maximum 128
2.3.4. Exercices 130
2.4. Corrigés des exercices du chapitre 2 142
Chapitre 3. Singularités isolées, méromorphie et théorèmes
d’approximation 185
3.1. Singularités isolées des fonctions holomorphes 185
3.1.1. Singularités isolées et coupures 185
3.1.2. Développement de Laurent d’une fonction holomorphe
dans une couronne ou au voisinage épointé
d’un point 186
3.1.3. Résidu en une singularité isolée et version topologique
de la formule des résidus 191
3.1.4. Exercices 195
3.2. Types de singularités isolées, méromorphie 199
3.2.1. Classification des singularités isolées 200
3.2.2. Méromorphie et calcul de résidu en un pôle 202
3.2.3. Méromorphie et variation de l’argument 206
3.2.4. La formule des résidus, version analytique 206
3.2.5. Le théorème de Rouché, version analytique 209
3.2.6. Exercices 211
3.3. Théorème de Weierstrafi, approximation, et résolution du B 228
3.3.1. Produits infinis et facteurs primaires de Weierstrafi 229
TABLE DES MATIÈRES VU
3.3.2. Le théorème de Weierstrafi 232
3.3.3. Les théorèmes d’approximation de Runge 235
3.3.4. Résolution du B 242
3.3.5. Le théorème de Mittag-Leffler et l’interpolation 245
3.3.6. Exercices 247
3.4. Représentation conforme et théorème de Riemann 252
3.4.1. Les notions de conformité de d’univalence 253
3.4.2. Le théorème de représentation conforme dans C ou S2 255
3.4.3. Le cas des domaines de Jordan : la formule de l’aire
et le théorème de Carathéodory 257
3.4.4. Exercices 260
3.5. Corrigés des exercices du chapitre 3 269
Chapitre 4. Harmonicité, sous-harmonicité, positivité 331
4.1. Sous-harmonicité et haxmonicité 331
4.1.1. Définitions des deux notions, exemples 332
4.1.2. Sous-harmonicité, positivité et opérateur
de Monge-Ampère complexe 335
4.1.3. Principes du maximum
pour les fonctions sous-harmoniques 342
4.1.4. Exercices 343
4.2. Autour du problème de Dirichlet 345
4.2.1. Le théorème de Dirichlet pour un disque 346
4.2.2. La régularité des fonctions harmoniques réelles 348
4.2.3. La formule intégrale de Poisson dans un disque 350
4.2.4. La relation entre harmonicité réelle et holomorphie 350
4.2.5. Mesure harmonique, fonction de Green et problème de
Dirichlet 351
4.2.6. Analyse de Fourier et formule de Poisson
du disque D(0,1) 356
4.2.7. Exercices 359
4.3. Formules de Jensen et Poisson-Jensen 364
4.4. Corrigés des exercices du chapitre 4 372
Bibliographie 389
Index 391