Analyse Complexe S´eries de Fourier

125 Pages·2012·7.46 MB·French

Analyse Complexe
.4
.0
−.4 .0 .4
−.4
Se´ries de Fourier
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Ernst Hairer et Gerhard Wanner
Universite´ deGene`ve Octobre2006
Section demathe´matiques
Case postale240
CH-1211 Gene`ve4

Table de matie`re
I Diffe´rentiabilite´ dans Cl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.1 Les nombrescomplexeset leplancomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Fonctionscomplexesd’unevariablecomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.3 E´quationsdeCauchy–Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.4 Proprie´te´s defonctionsholomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.5 Se´ries etfonctionsanalytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.6 Holomorphieet analyticite´ des se´ries entie`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.7 Calcul avecdes se´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.8 Lafonctionexponentielleet lelogarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II Calcul inte´gral etthe´orie deCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.1 Cheminset courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.2 Inte´grales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.3 Existencedes primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.4 The´ore`mefondamentaldeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.5 Formuleinte´graledeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II.6 De´rive´es supe´rieuresd’unefonctionholomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II.7 The´ore`mefondamentaldel’alge`bre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.8 Principedu maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.9 Prolongementanalytiqueet the´ore`medel’imageouverte . . . . . . . . . . . . . 43
II.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III Singularite´s et fonctions me´romorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.1 Lepointa` l’infiniet lasphe`redeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.2 Lede´veloppementdeLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.3 Singularite´sisole´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III.4 The´ore`medes re´sidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.5 Calcul d’inte´gralespar lame´thodedes re´sidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III.6 Fonctionsme´romorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III.7 Principedel’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
i
IV Se´ries deFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IV.1 De´finitionsmathe´matiqueset exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IV.2 LemmedeRiemann et fonctionsa` variationborne´e . . . . . . . . . . . . . . . . 75
IV.3 Etudee´le´mentairedelaconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
IV.4 Noyau deDirichletet convergenceponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
IV.5 Lephe´nome`nedeGibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
IV.6 Fonctionscontinues,The´ore`medeFeje´r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
IV.7 Syste`mesorthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
IV.8 L’espacedeHilbert ℓ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV.9 OndelettedeHaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V Equations aux de´rive´es partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V.1 Equationdes ondes(cordevibrante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V.2 L’e´quationdelachaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
V.3 Leproble`medeDirichletpourl’e´quationdupotentiel . . . . . . . . . . . . . . 106
V.4 Equationdes ondes(membranecirculaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
V.5 TransformationdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
V.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
ii
Œuvres ge´ne´rales sur l’analyse complexe et les se´ries de Fourier
Il y a un grand assortiment de livres qui introduisent le sujet d’analyse complexe (voir le rayon
30 a` la bibliothe`quede la section de mathe´matiques et aussi le rayon 27 pour des traite´s ge´ne´raux
d’analyse). Des livres sur l’analyse de Fourier se trouvent au rayon 42. En voici quelques ex-
emples. Les nume´ros entre chrochets (p. ex. [MA 30/213]) vous permettent de trouver le livre
facilementa` labibliothe`que.
L.V.Ahlfors(1979):ComplexAnalysis.McGraw-Hill.[MA30/62]
T.Apostol(1957):Mathematical Analysis. Addison-Wesley. [MA27/51]
H. Behnke & F. Sommer (1962): Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Vera¨nderlichen.
Springer-Verlag. [MA30/91]
J.C.Burkill&H.Burkill(1970): ASecond CourseinMathematical Analysis. CambridgeUniversity Press.
[MA27/152]
H. Cartan (1961): The´orie e´le´mentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes.
Hermann.[MA30/101]
J.Conway(1973):Functionsofonecomplexvariable. Springer.[MA30/152]
H.Dym&H.P.McKeen(1972):FourierSeriesandIntegrals. AcademicPress.[MA42/62]
W.Fulks(1993):ComplexVariables. M.Dekker.[MA30/268]
T.W.Gamelin(2001): ComplexAnalysis.Springer. [MA30/300]
R.Godement(1998):Analysemathe´matique IIetIII.Springer. [MA27/274]
P.Henrici(1974): AppliedandComputational ComplexAnalysis.JohnWiley&Sons.[MA30/166]
A.Hurwitz&R.Courant(1964):Funktionentheorie. Springer-Verlag. [MA30/100]
E. Neuenschwander (1996): Riemanns Einfu¨hrung in die Funktionentheorie. Go¨ttingen; cours donne´ par
Riemanna` l’Universite´ deGo¨ttingen 1855–1861.
R.Remmert(1991): TheoryofComplexFunctions. Springer. [MA30/213]
M.Rudin(1978): Analysere´elleetcomplexe. Masson.[MA27/95]
G.P.Tolstov(1962): FourierSeries.Dover.[MA42/115]
J.S.Walker(1988): FourierAnalysis.OxfordUniversityPress.[MA42/110]
Avant-propos
Ce polycopie´ contient la matie`re du cours “Analyse II (analyse complexe)” enseigne´ pendant les
anne´es 1999 -2002 par Gerhard Wanner et pendant l’anne´e acade´mique2005/06par Ernst Hairer
a` laSectiondemathe´matiquesdel’Universite´ deGene`ve. Lesportraitsdelapage1onte´te´ copie´s
surl’adresseInternethttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Mathematicians/.
∼
En ce lieu, nous aimerions remercier Assyr Abdulle, Ste´phane Cirilli, Ghislain Jaudon, Gilles
Vilmartetdesnombreuxassistantsete´tudiantssoitpourleuraidedanslapre´parationdesexercices
soitpourlacorrection des erreurs (typographiquesetmathe´matiques).
iii
iv
TABLEDEMATIE`RE 1
Analyse complexe
“COMPLEXE adj. (lat. complexus, qui contient). Qui contient plusieurs e´le´ments diffe´rents
et combine´s d’une manie`re quin’est pas imme´diatement claire pour l’esprit, qui estdifficile a`
analyser.” (PetitLarousseillustre´ 1983)
L’analysecomplexemoderneae´te´ de´veloppe´eau19e`mesie`clepartroismathe´maticiensce´le`bres:
A.L. Cauchy (1789–1857) conside`re des fonctions diffe´rentiables dans Cl (fonctions holo-
•
morphes ou analytiques). Sa the´orie est base´e sur une repre´sentation inte´grale de telles
fonctions(formuledeCauchy)et surles re´sidus.
B. Riemann (1826–1866) publie sa the`se “Grundlagen fu¨r eine allgemeine Theorie der
•
Functionen einer vera¨nderlichen complexen Gro¨sse” en 1851. Pour lui, la conception ge´o-
me´triqueoccupeuneplacepre´ponde´rante.
K. Weierstrass (1815–1897) appuie sa the´orie sur les fonctions de´veloppables en se´ries
•
entie`res(fonctionsanalytiques),ilenre´sulteuneapprochealge´briquedel’analysecomplexe.
Aujourd’hui, les trois approches sont confondues et inse´parables. De cette manie`re il est possible
desimplifierlathe´orieet detrouverdes re´sultatsimportants.
“Lathe´oriedeCauchycontenaitengermea`lafoislaconceptionge´ome´triquedeRiemannetla
conception arithme´tiquedeWeierstraß, ...lame´thodedeRiemannestavanttoutuneme´thode
dede´couverte, celledeWeierstraßestavanttoutuneme´thodedede´monstration.”
(H.Poincare´ 1898,ActaMath. 22,p.6–7)
Dans ce cours nous abordons la the´orie du calcul diffe´rentiel dans Cl (chapitre I) et des fonctions
holomorphes selon Riemann. Nous suivons ensuite le cheminement de Cauchy (inte´grales com-
plexes,formuledeCauchy)danslechapitreIIet nousde´montronsquetoutefonctionholomorphe
est analytique (posse`de un de´veloppement en se´rie entie`re). Nous traitons les singularite´s et le
calcul dere´sidusdanslechapitreIII.
Cauchy Riemann Weierstrass
Chapitre I
Diffe´rentiabilite´ dans Cl
L’objetdel’analysecomplexeestl’e´tudedefonctions Cl Cl . Nousrappelonslesre`glesdecalcul
→
avec les nombres complexes et nous discutons la diffe´rentiabilite´ dans Cl (qui est diffe´rente de la
diffe´rentiabilite´ dans IR2). Les fonctions holomorphes (c.-a`-d., diffe´rentiable dans Cl ) posse`dent
desproprie´te´ssurprenantesquiserontanalyse´esparlasuite. Nousterminonscechapitreparl’e´tude
des se´riesentie`res (fonctionsanalytiques).
I.1 Les nombres complexes et le plan complexe
Les nombres complexes ont leur origine dans l’impossibilite´ de re´soudre certaines e´quations qua-
dratiques (Cardano 1545); au cours des sie`cles suivants, ils deviennent de plus en plus importants
(Descartes 1637; voir [HW, pages 57–61]1 pour plus de pre´cisions). Euler de´couvre leur grande
utilite´ dans touteslesbranches del’analyse, et introduit(en 1777)lesymbole
i = √ 1 c.-a`-d. i2 = 1, (1.1)
− −
graˆce auquelles nombrescomplexesprennentlaforme
z = x+iy. (1.2)
De`s le de´but du 19e`me sie`cle (Gauss 1799, Argand 1806), on identifie les nombres complexes Cl
avecleplandeGauss(ouplan d’Argand)IR2 (voirFig.I.1a` gauche)
Cl = x+iy ; x,y IR IR2 = (x,y); x,y IR . (1.3)
{ ∈ } ≃ { ∈ }
On note x = Rez, y = Imz les parties re´elles et imaginaires de z, et z = x iy le nombre
−
complexeconjugue´.
Le corps des nombres complexes. En tenant compte de (1.1), le produit de deux nombres com-
plexes c = a+ib et z = x+iy donne
c z = ax by +i(ay +bx). (1.4)
· −
Avec l’addition c+z = a+x+i(b+y) l’ensemble Cl devient un corps commutatif. L’e´le´ment
inversedez pourlamultiplicationest
1 z x iy x y
= = − = i . (1.5)
z zz x2 +y2 x2 +y2 − x2 +y2
1Onutilisel’abbreviationHWpourlelivredeE.Hairer&G.Wanner,L’analyseaufildel’histoire. Celivrenous
sertdere´fe´rencesurlesujetstraite´saucoursAnalyseI.
Diffe´rentiabilite´ dans Cl 3
w = c z
Cl
i eiϕ z = x+iy ·
w = c+z
r y
i i
ϕ c c
0 x 1 z
z
1
z ϕ α
z = x iy ϕ
i − 0 1 0 1
−
FIG. I.1: Plan complexe(gauche),additioncomplexe(milieu),multiplicationcomplexe(droite)
En identifiant un nombre re´el x avec le nombre complexe x + i 0, l’ensemble IR peut eˆtre
·
conside´re´ commeunsous-corpsde Cl .
Coordonne´es polaires. Si l’onde´noteparr ladistancedupoint z = x+iy a` l’origine,etparϕ
l’angleentre l’axehorizontalet ladroitequi reliel’origineavecle pointz (voirFig.I.1 a` gauche),
nousavons x = rcosϕ et y = rsinϕ. Ladistancer s’appellemoduleouvaleurabsoluedez, et
ϕ = argz est sonargument. Ainsilenombrecomplexez peuteˆtre e´crit comme
z = r(cosϕ+i sinϕ). (1.6)
Cette repre´sentation des nombres complexes permet une interpre´tation ge´ome´trique du produit.
Pour c = s(cosα+isinα) et z = r(cosϕ+isinϕ), leproduit(1.4)devient
c z = sr(cosαcosϕ sinαsinϕ+i(sinαcosϕ+cosαsinϕ))
· − (1.7)
= sr(cos(α+ϕ)+isin(α+ϕ))
a` l’aide des identite´s trigonome´triques connues ([HW, p.43]). Ainsi, la multiplication de deux
nombrescomplexesmultiplieles valeursabsoluesetadditionnelesarguments(Fig.I.1a` droite).
Espace me´trique. Avecl’identification(1.3)de Cl avecIR2, lavaleurabsoluede z = x+iy
z = r = x2 +y2, (1.8)
| |
q
correspond a` lanormeeuclidiennedeIR2. Ellefait de Cl un espacenorme´. Ladistanceentredeux
nombrescomplexesest ainsi d(z ,z ) = z z .
1 2 2 1
| − |
Les concepts de convergence, limites, continuite´,convergence uniforme, ensembles ouverts et
ferme´s, compacite´, etc. sont les meˆmes qu’en Analyse I et n’ont donc pas besoin d’eˆtre re´pe´te´s.
Nous utiliseronslanotation D (c) = z Cl ; z c < r pourledisqueouvert centre´ au point
r
{ ∈ | − | }
c et derayonr.
I.2 Fonctions complexes d’une variable complexe
Soit U Cl un ensemble (ge´ne´ralement ouvert) et V Cl un autre ensemble. Une fonction qui
⊂ ⊂
associea` chaquez U unw = f(z) V estunefonctioncomplexe f : U V.
∈ ∈ →
Nous pouvons aussi identifier z = x + iy (x,y) IR2 et w = f(z) (u,v) IR2 et
≃ ∈ ≃ ∈
arrivons a` deux fonctions u(x,y),v(x,y) (les coordonne´es du point w) de deux variables re´elles
x,y (les coordonne´esdu pointz); voirFig.I.2.
4 Diffe´rentiabilite´ dans Cl
1 1 w = f(z)
V
z
w
U 1
f v
w
z
1 f(γ)
y
z
f(H)
γ
H
z w
2 2
x 1 u 1
FIG. I.2: Fonctioncomplexe w = (z +0.2)2
Si un point z se met en mouvement le long d’une courbe γ, alors le point image w bougera
1 1
lelongd’uneautrecourbef(γ);si un pointz remplitunesurfaceH (“thehorseofSarah”), alors
2
lepointimagew rempliraunesurface f(H);voirFig.I.2.
2
Plusieursexemplesvontnousaidera` nousfamiliariseraveccettematie`re. Onvaconstaterque
des formulestre`s simplesdonnentde´ja` lieua` des situationsassezcomplique´es.
Exemple 2.1(application Cl -line´aire) Pourun nombrecomplexec fixe´, conside´ronslafonction
w = f(z) = cz. (2.1)
Elleest Cl -line´aire, c.-a`-d., ellesatisfait f(c z +c z ) = c f(z )+c f(z ) pourtout c ,c Cl
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
∈
et pourtoutz ,z Cl .
1 2
∈
Vue comme application de IR2 dans IR2 (z = x + iy, c = a + ib = s(cosα + i sinα),
w = u+iv), nouspouvonsl’e´criresous formematricielle(cf. laformule(1.4))
u a b x cosα sinα x
= − = s − . (2.2)
v b a y sinα cosα y
! ! ! ! !
Cette applicationline´aireest unerotationorthogonaled’angleα = argc, suivied’unehomothe´tie
de rapport s = c (voir Fig.I.3). Elle sera fondamentale, plus tard, pour toute la compre´hension
| |
des fonctions Cl -diffe´rentiables.
w = cz
z
c c
1 1
−1 1 −1 1
−1 −1
FIG. I.3: Produit avecuneconstante,w = cz