Analyse complexe (Collection Maitrise de mathématiques pures)

252 Pages·1990·14.23 MB·French

by  P Dolbeault

CHEZ LE MiME EDITEUR
Ouvrages de fa meme collection (Maitrise de mathematiques pures): voir
page 4 de couverture.
Collection Mathematlques app/iquees pour fa Maitrise sous la direction de Ph.
CiARLET et J. LIoNs:
INTRODUCTION A L'ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE ET A L'OPTIMISATION,
par Ph. CiARLET. 1988, 3" tirage, 292 pages.
EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE ET D'OPTIMISATION, avec solu
tions, par Ph. CiARLET, B. MIARA et J. M. THOMAS. 1987, 2" edition,
192 pages.
ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES, par M. CROUZEIX et
A. L. MIGNOT. 1989, 2" edition, 192 pages.
EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES, par M.
CROUZEIX et A. L. MIGNOT. 1986, 192 pages.
INTRODUCTION A L' ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX DERIVERS PARTIELLES,
par P. A. RAVIART et J. M. THOMAS. 1988, 2" tirage 224 pages.
EXERCICES D'ANALYSE NUMERIQUE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES,
par P. RABIER et J. M. THOMAS. 1985, 208 pages.
ANALYSE FONC1IONNELLE. Theorie et applications, par H. BREZIS. 1987,
2" tirage, 248 pages.
Autres ouvrages
ANALYSE REELLE ET COMPLEXE, par W. RUDIN. 1987, 4· tirage, 408 pages.
MATHEMATIQUES POUR LA LICENCE, Second cycle des Universites et ecoles
d'ingenieurs. Variable complexe, calcul differentiel et tensoriel, espaces
normes et calcul integral, analyse de Fourier, par J. P. FERRIER. 1984,
232 pages
ALGEBRE ET GEOMETRIE. PROBLEMES DE MATHEMATIQUES, Ecrit du CAPES,
avec rappels de cours. Annee 1979-1987, Concours interne 1987, par
A.Ltvy-.BRUHL, P. LEVy-BRUHL, C. PIQUET, C. SERVIEN et J. VAUTHIER.
,.!988, 2· edition, 224 pages.
ANALYSE. PROBLEMES bE MATHEMATIQUES, Ecrit du CAPES, avec rappe1s de
cours. Aimee 1980-1987, par A. LEVy-BRUHL, P. LEVy-BRUHL, C. PIQUET,
c. SE~YIEN et J. VAUTHIER. 1988,2" edition, 248 pages.
Collection Maitrise de mathematiques pures
sous Ia direction de J. DIEUDONNE et P. MALLIAVIN
de l'Institut
P.DOLBEAULT
a
Pro/esseur I'Universite
Pierre et Marie Curie
ANALYSE COMPLEXE
Ouvrage publie avec Ie concours du Ministere
de la Recherche et de la Technologie (DIST).
MASSON Paris Milan Barcelone Mexico 1990
Toute reproduction ou representation integrale ou partielle, par quelque procede que ce soit, des
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© Masson, Paris, 1990
ISBN: 2-225-81425-2
ISSN : 0339-879 X
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INTRODUCTION AU COURS D'ANALYSE
L'ANALYSE MATHEMATIQUE donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des
limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de
limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse
a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa
demarche.
Des Ie xvme siecle les series ont ete utilisees pour definir des fonctions nouvelles. Dans un
langage moderne, l'Analyse demontre des theoremes d'exlSfence en formulant les problerres
dans des espaces complets convenables. Lorsqu'un resultat d'existence est precise par un theo
reme d'unicite, alors, et seulement alors, la notion de solution approchee a un sens ; Ies algo
rithmes numeriques de caIcul des solutions approchees proviendront souvent de la demarche
anterieure de l'Analyste.
L'evolution des systemes mecaniques est gouvernee par Ie prinCipe du minimum d'action.
Plus generalement I'Analyse permet de definir des fonctions remarquables : celles qui reali
sent Ie minimum de fonctionnelles naturel ies. Les proprietes de ces fonctions extrrJmales pour
ront etre deduites alors des equations aux variations de la fonctionnelle associee.
Les lois elementaires de conservation de la Physique ne permettent pas de decrire un phe
nomene complexe. Toutefois la formulation infinitesimale de ces lois peut conduire a des
equations aux derivees partielles. L' Analyse, en etablissant I'existence globale des solutions de
ces equations, ainsi que leurs proprietes, apportera un outil pour passer de I'infinitesimal
au global.
Le caIcul des probabilites sur un nombre fini n d'evenements, est souvent equivalent a des
problemes de combinatoire. Lorsque n tend vers I'infini, des lois limites simples apparaissent.
La Oll l'on ne trouvait que Ie contingent et l'enchevetrement d'enumerations fastidieuses, Ie
passage a la limite fera apparaitre des fonctions regulieres justiciables des methodes de caIcul
de I' Analyse.
Ces points de vue seront mis en evidence dans ce cours, destine a des etudiants de licence
ou de maitrise, et qui comportera quatre volumes de 100 a 200 pages chacun :
- Topologie et Analyse fonctionneJle ;
- Integration, Probabilites, Analyse de Fourier et Analyse Spectrale ;
- Calcul differentiel ;
- Analyse complexe.
Chaque volume sera ecrit de teJle sorte qu'i! puisse etre lu de fa90n independante.
P. MALLIA VIN
INTRODUCTION AU COURS D'ALGEBRE
L'Algebre n'est pas vraiment
une discipline independante,
mais un fondement et un
outil pour I'ensemble des
mathematiques, et son deve
loppement rapide dans les
dernieres annees a ete en fait
suscite et dirige par les be
soins d'autres disciplines ma
thematiques.
L. KRONECKER (1861),
Math. Werke, vol. Y, p. 387.
L'OPINION DE KRONECKER (I'un des plus illustres algebristes de tous les temps) peut paraitre
en opposition avec Ie phenomene bien connu de la preponderance de plus en plus grande de
I'A lgebre dans les mathematiques actuelles, ce qu'on a pu appeler 1'« algebrisation» de
l'Analyse, de la Geometrie et de la Topologie. En realite, cette preponderance est due au fait
que les algebristes ont su inflechir leurs recherches sous I'influence des parties des mathe
matiques ou elles pouvaient apporter un appui decisif. Un exemple historique typiqlle est
l'evolution de l'Algebre lineaire et muItilineaire, qui, pour devenir un outil fondamental en
Analyse fonctionnelle, a dCt commencer par se debarrasser dll fatras des calculs de determi
nants et de matrices qui I'encombraient inutilement au XIXe siede. De meme, on sait que
l'AIgebre commutative est nee, d'une part avec les demonstrations, par Dedekind et Weber,
des theoremes fondamentaux de la Theorie des nombres et de la Theorie des courbes alge
briques, et de l'autre avec les decouvertes de Hilbert sortant la Theorie des invariants des
interminables calculs ou elle s'enlisait. Et son essor a partir de 1920 est concomitant avec
I'essor simultane, a partir de la meme epoque, de la Geometrie algebriqlle et de la Geometrie
analytique, dont elle forme la base.
C'est donc dans I'esprit de Kronecker qu'est redige ce Cours d' Algebre ; il ne comprend
pas une seule definition ni un seul resuItat d'Algebre pure qui n'ait une application dans une
autre partie des mathematiques, et on a veille a ce que les etudiants s'en rendent compte dans
toute la mesure du possible. Pour Ie premier volume, consacre a l'AIgebre lineaire et multi
lineaire, cela ne posait pas de probleme, car il s'agit la de ce que I'on peut appeler Ie « pain
quotidien» de tout mathematicien, qu'il s'occupe d'Arithmetique, d'Analyse fonctionnelle,
de Geometrie differentielle, de Topologie algebrique ou de Mecanique qllantique.
Les deux autres volumes sont divises en trois chapitres, dont deux, consacres respective
ment a la Theorie des groupes et a la Theorie des nombres algebriques, sont deja essentielle
ment des chapitres d'applications de I'Algebre. Le troisieme, qui traite des parties elementai
res de l'Algebre commutative, a pour domaines principaux d'applications la Theorie des
nombres et la Geometrie algebrique. Le niveau plus eleve de cette derniere n'a pas permis
d'en indure une partie appreciable dans Ie texte ni dans les exercices ; mais on a essaye de
signaler a quoi correspondent « geometriquement » de nombreuses notions purement alge
briques de cette theorie, !orsque cela n'exigeait pas l'introduction d'un trop grand nombre de
notions nouvelles.
J. DIEUDONNE
TABLE DES MATIERES
ATant-propos ...................................................................... .
1. Fonctions holomorphes ; theoremes de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Fonctions holomorphes ........................................................ 5
2. Formes differentielles de degre 1 et 2, chaines differentiables de dimension 0, 1 et 2 ; formule
de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Theoreme de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
4. Indice d'un cycle de dimension 1 ................................................ 27
5. Formule integrale de Cauchy ................................................... 28
6. Surfaces de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2. Proprietes des fonctions holomorphes ................................................ 39
o.
Series entieres convergentes ..................................................... 39
1. Developpement en serie de Taylor d'une fonction holomorphe ...................... 42
2. Application : theoreme d'identite ; inegalitSs de Cluchy ; theoreme de Liouville ;
probleme du d" dans un disque ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
3. Principe du maximum; lemme de Schwarz ....................................... 47
4. Developpement en serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
5. Residus; theoreme des residus.... .................... ... ........................ 54
6. Applications : zeros et poles d'une fonction meromorphe ; calculs d'integrales par la
methode des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3. Espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de C, trar.~fcrm:!tio!:s ccnformes 65
1. Convergence d'une suite de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65
2. Suite exhaustive de compacts d'un ouvert D de R2 ; theoreme de Stieljes-Vitali-Montel 68
3. Topologie de I'espace des fonctions continues sur un ouvert D de C ; espace des fonc-
tions holomorphes sur D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
4. Series et produits infinis dans tJ'1 ouvert D de C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
5. Applications holomorphes, tr.msformations con formes ............................. 79
6. Representation conforme ....................................................... 82
4. Approximation des fonctions holo:norp!Je:; sur un compact. Construction de fonctions mero
morphes it singularites donnees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88
1. Theoreme de Runge ........................................................... 88
2. Probleme du d" dans un ouvert D de C .......................................... 93
3. Theoreme de Mittag-Leffler dans un ouvert de C ................................. 94
4. Theoreme de Weierstrass d:n3 U:1 ouvert D de C .................................. 95
S. Surfaces de Riemann etalees ....................................................... 99
1. Homeomorphismes locaux ; revetements topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
2. Morphismes de surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
3. Faisceaux................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110
4. Prolongement analytique ........................................................ 115
5. Groupe fondamental ; revetement universel ....................•. _ ................ 118
6. Surface de Riemann d'une fonction algebrique .................................... 126
VIII TABLE DES MATIERES
6. Surfaces de Riemann compactes .............................•........•..•...•..•... 134
1. Cohomologie it valeur dans un faisceau .......................................... 135
2. Th~oreme de finitude ..................................................... '" . " 142
3. Tbeoreme de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147
4. Fonctions harmoniques dans un ouvert D de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152
5. Formes diff~rentielIes harmoniques sur une surface de Riemann ..................... 157
6. Formes differentielIes abc!liennes ; tbeoreme d'Abel ............................ " ... 164
7. Fibres holomorphes en droites .................................................. 171
8. Dualite de Serre et applications ................................................ " 175
7. Fonctions holomorphes de plusieurs Tariables ......................................... 184
1. Preliminaires..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 184
2. Fonctions holomorphes sur Q ................................................... 185
3. Formule integrale de Cauchy ................................................... 187
4. Series entieres convergentes ..................................................... 189
5. Applications de la formule de Cauchy ............................................ 194
6. Introduction au probleme du d" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199
7. Espace des fonctions holomorphes ............................................... 203
8. Singularites apparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
8. Etude locale des fonctions et des ensembles analytiques .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 209
O. Introduction: fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 209
1. Theoreme de division; theoreme de preparation de Weierstrass ...................... 210
2. Algebres analytiques ; noetherianite .............................................. 211
3. Factorialite de K{X} ........................................................... 213
4. Germes de fonctions et d'ensembles analytiques en un point ........................ 214
5. Proprietes des algebres analytiques ............................................... 215
6. Structure locale d'un ensemble analytique ........................................ 218
7. Point, singuliers et dimension d'un ensemble analytique ............................. 220
8. Cas des ensembles analytiques complexes (K = C) .................................. 222
9. Theoreme des zeros de Hilbert (K = C) ........................................... 223
Appendice : Varietes differentielles ; formes differentielles ; chaines differentiables ......... 224
1. Varietes differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 224
2. Differentielles en un point ..................................................... " 226
3. Fibre cotangent; formes differentielles de degre I .................................. 227
4. Formes differentielles sur X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229
5. Varietes orientables ; varietes orientees ; integrale d'une forme differentielle de degre
maximum .................................................................... 231
6. Image reciproque par une application differentiable; differentielle exterieure ; chaines
differentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233
Bibliographie ....................................................................... 237
Index alphabetique des matieres ..................... ,. . .... ....................... 239
AVANT-PROPOS
L'Analyse complexe etudie les fonctions holomorphes d'une ou plusieurs varia
bles complexes localement ou globalement, ainsi que d'autres notions connexes.
Localement, c'est-a-dire au voisinage d'un point de en (nEN*), ces fonctions sont
des sommes de series entieres convergentes ; globalement, meme s'il s'agit de fonc
tions sur un ouvert de C, des procedes de topologie algebrique ou differentielle
doivent etre utilises. On se propose d'introduire, pour une variable complexe des
methodes et des resultats generalisables, moyennant une plus grande elaboration,
pour plusieurs variables; deux courts chapitres sur les fonctions de plusieurs varia
bles comprennent l'un, apres des generalisations faciles, l'apparition de phenomenes
specifiques, l'autre, une etude locale preliminaire indispensable au developpement
ulterieur de la theorie.
Les fonctions holomorphes d'une variable complexe z sont definies comme les
fonctions differentiables au sens complexe ou encore comme les fonctions diffe
rentiables de deux variables reelles (les parties reelle et imaginaire de z), satis
faisant a la condition de Cauchy-Riemann fJ!/fJz=O. L'expose est base sur l'analyse
des fonctions differentiables de deux variables reeIIes et emploie les notions de
fonction indefiniment differentiable a support compact et de partition de l'unite ;
les formes differentielles de degre 0, I, 2 seront definies et la formule de Stokes
pour les chaines differentiables etablie. La formule de Cauchy non homogene (for
mule C) sera obtenue a partir de la formule de Stokes : c'est la formule integrale,
pour les fonctions continument differentiables, relative au noyau de Cauchy. II en
resulte deux types de proprietes selon qu'elle est appliquee a une fonction holomorphe
ou a une fonction differentiable a support compact:
1. Developpement d'une fonction holomorphe en serie de Taylor dans un disque,
en serie de Laurent dans un disque prive de son centre, d'ou Ie principe du prolonge
ment analytique ; formule de la moyenne qui permet, par ailleurs, de caracteriser
les fonctions harmoniques, intimement liees aux fonctions holomorphes ; prin
cipe" 'du maximum et lemme de Schwarz. Le developpement de Laurent permet
"
l'etude des points singuliers isoles ; Ie tbeoreme des residus, deduit de la formule
de Stokes, generalise la formule de Cauchy et a de nombreuses applications.
2 AVANT·PROPOS
2. La formule C fournit la base de I'etude topologique de I'espace (I}(D) des
fonctions holomorphes sur un ouvert D de C ; Ie theoreme de la representation
a
conforme d'un domaine simplement connexe est demontre partir d'une propriete
de (I) (D) et du lemme de Schwarz par I'intermediaire des automorphismes du disque.
La formule C permet de resoudre, en u, I'equation (ou/oz)=g, oil g est une fonc
a
tion continument differentiable, d'abord pour g support compact, puis par un
procede d'approximation des fonctions holomorphes, dans Ie disque ouvert et plus
generalement, moyennant Ie theoreme d'approximation de Runge, dans un ouvert
de C, d'ou les theoremes de Mittag-LefHer et de Weierstrass dans D qui montrent
a
I'existence de fonctions meromorphes singularites donnees.
La notion de surface de Riemann, i.e. de variete analytique complexe de dimension
un, est utilisee des Ie chapitre 2 dans Ie cas particulier de la droite projective com
plexe ou sphere de Riemann ; eIle est systematiquement etudiee dans les chapitres 5
et 6. Le chapitre 5 concerne principalement Ie prolongement analytique d'un
germe de fonction holomorphe sur une surface de Riemann ; ceIa necessite I'em
ploi des arcs continus, de I'homotopie, des faisceaux et des revetements. Le chapitre
6 groupe, outre quelques resuItats sur les surfaces de Riemann queIconques, plu
sieurs theoremes fondamentaux sur les surfaces de Riemann compactes deduits
d'un theoreme de finitude de cohomologie, en suivant, pour I'essentiel, un plan du
a
J.-P. Serre.
a
Le chapitre 7 etend facilement des proprietes des fonctions holomorphes un
en a
ouvert de et une variete analytique complexe, puis met en evidence Ie phe
nomene de Hartogs pour n;;,.2 sur l'extension des fonctions holomorphes a cer
tains ensembles d'interieur non vide. Le chapitre 8 contient les resuItats locaux
sur les fonctions holomorphes et les ensembles analytiques complexes indispensables
a a
I'analyse complexe globale plusieurs variables.
Les varietes differentieIIes, I'algebre exterieure, les formes differentieIIes de degre
queIconque et leur integration sur des chaines differentiables sont decrites sommaire
ment dans l'Appendice.
a
Les chapitres 1 3, eventueIIement 4, constituent un enseignement de licence ;
les chapitres suivants peuvent fournir la matiere d'options d'Analyse complexe en
maitrise.
Sont utilisees sans reference des notions elementaires de topologie generale dans
Rn ou dans un espace metrique ; Ie theoreme d'Ascoli intervient dans la demonstra
a
tion de 2.2 du chapitre 3 ; les proprietes utiIisees des fonctions c~ support
compact sont etablies dans Ie livre de P. MaIIiavin de la meme collection en 3.2.0
et 3.4.2.